TEMA 1 Representación de la información

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1 TEMA 1 Representación de la información Tema 1: Representación de la información. Aritmética y Representación binaria 1) Introducción BB1, Cap 2, Ap: 2.1, ) Sistemas binario-octal-hexadecimal BB1, Cap 2, Ap: 2.3, 2.4, 2.5 3) Conversión entre sistemas BB1, Cap 2, Ap: ) Representación binaria con signo BB1, Cap 3, Ap: 3.2.1, 3.2.2, ) Aritmética binaria BB1, Cap 3, Ap: Dia T1 6) Representación binaria en coma flotante BB1, Cap 3, Ap: BB1) Estructura de Computadores I (Gestión y Sistemas), Carlos de Mora Buendía y otros, UNED, 1ª Edición 3ª reimpresión, 2004, ISBN X TEMA 1 Representación de la información 1. Introducción 2. Sistemas de numeración posicionales: binario(2), octal(8), hexadecimal(16). 3. Conversión entre sistemas 4. Representación binaria con signo 5. Aritmética binaria 6. Representación binaria en coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo 2-3

2 1. Introducción: Concepto general. 42 unidades 3 docenas y media BASE 10 BASE = grupos 12 2 = grupos = 10 4 grupos 12 1 = 12 3 grupos 3,5 grupos = 1 2 grupos 12 0 = 1 6 grupos 042 (base 10) 036 (base 12) 3 1. Introducción: Concepto de bit SISTEMA DECIMAL x x x (Ej: 149) Unidad de información x x = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 SISTEMA BINARIO x x x (Ej: 101) Unidad de información x x = 0,1 La información que tratan los sistemas digitales es binaria. La unidad básica de información del sistema binario es el bit: Dos valores o símbolos distintos: 0, 1. A partir de conjuntos de bits se puede expresar cualquier magnitud numérica. EJ: 7 (decimal) -> 111 (binario) Algunas ventajas de la información binaria (digital): Sencillez realización operaciones. Fiabilidad de la información. Desventajas de la información binaria: Necesitamos más unidades básicas o cifras EJ: 5 (decimal 1 cifras) <-> 101 (binario 3 cifras) 4

3 1. Introducción: Información binaria en sistemas digitales En los sistemas digitales se asigna un número fijo n de bits para representar un número (palabra). Una palabra es la unidad básica para las operaciones en un sistema digital. Por ejemplo: 16 bits (2 bytes) -> longitud de una palabra (Word) 8 bits (1 byte) -> media palabra (Byte) 32 bits (4 bytes) -> doble palabra (Long Word) Rango de representación: intervalo comprendido entre el menor y el mayor número representable. Resolución de la representación: mayor diferencia que existe entre un número representable y su inmediato siguiente o sucesor. Este parámetro determina el máximo error que se puede cometer al representar un número. 5 TEMA 1 Representación de la información 1. Introducción 2. Sistemas de numeración posicionales: binario, octal, hexadecimal. 3. Conversión entre sistemas 4. Representación binaria con signo 5. Aritmética binaria 6. Representación binaria en coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo 2-3

4 2. Sistemas de numeración posicionales. Sistema decimal. SISTEMA DECIMAL Dígitos posibles: 0,1,2,3,4,5,6,7,9 DÍGITOS 2 POSICIÓN 1 FACTOR , SISTEMA DECIMAL (base 10) 27,25 10 = 2 * * * * Un número se define como una cadena de dígitos afectado cada uno de ellos por un factor que depende de la posición que ocupa dentro de la sucesión de números y de la base escogida. El factor se define como la base elevada a la posición del elemento. La posición se define respecto a un origen (., ). La base marca el conjunto de caracteres distintos que podemos usar. Rango de representación de n dígitos enteros en base b 0 N b n (b=10,n=2,0 N ) Rango de representación de q dígitos fraccionarios en base b 0 N 1 b -q 10 (b=10,n=2,0 N 0,99 10 ) 7 2. Sistemas de numeración posicionales. Concepto general. Base 10 Base 2 Base

5 2. Sistemas de numeración posicionales DÍGITOS 1 0, POSICIÓN 1 0 FACTOR 2 1 SISTEMA BINARIO Dígitos posibles: 0, SISTEMA BINARIO (base 2) 10,11 2 = 1 * * * * = 2,75 10 SISTEMA OCTAL Dígitos posibles: 0,1,2,3,4,5,6,7 DÍGITOS 2 1, 3 POSICIÓN FACTOR SISTEMA OCTAL (base 8) 21,32 8 = 2 * * * * = 17, Sistemas de numeración posicionales AB,79 16 = 10 * * * * = 171,47 10 SISTEMA BINARIO OCTAL HEXADECIMAL Rango de representación de n dígitos enteros en base b 0 N b n (b=2,n=2,0 N 3 10 ) (b=8,n=2,0 N ) (b=16,n=2,0 N ) Rango de representación de q dígitos fraccionarios en base b 0 N 1 b -q 10 (b=2,n=2,0 N 0,75 10 ) (b=8,n=2,0 N 0, ) SISTEMA HEXADECIMAL Dígitos posibles: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F DÍGITOS A B, 7 9 SISTEMA POSICIÓN FACTOR HEXADECIMAL (base 16) (b=16,n=2,0 N 0, ) 10

6 2. Sistemas de numeración posicionales. Sistema binario. Sistema posicional de base 2 -> ( 0 1 ). El bit de menor peso o menos significativo se denomina LSB (Least Significant Bit) y el bit de mayor peso, o más significativo, MSB (Most Significant Bit) Sistemas de numeración posicionales. Sistema binario. Rango de representación de n dígitos enteros en base 2 0 N 2 n -1 Rango de representación de q dígitos fraccionarios en base 2 0 N 1 2 -q 12

7 2. Sistemas de numeración posicionales. Sistema octal. Sistema posicional de base 8 -> ( ). Desventajas a la hora de trabajar nosotros con binario: Laborioso (gran cantidad de dígitos para expresar un valor) Peligroso (facilidad de error, muchos dígitos con sólo dos símbolos). El uso del sistema octal, así como el hexadecimal, permite la conversión de números binarios con numerosos dígitos a una forma más compacta de la información, más sencilla y conveniente para su lectura. Por qué compactar con sistemas octal y hexadecimal y no con decimal? Fácil conversión de binario a octal y viceversa, La base es potencia entera de dos, 2 3 = 8, lo que implica que cada dígito octal tiene una correspondencia con tres dígitos binarios Sistemas de numeración posicionales. Sistema octal. Ejemplo de conversión octal <-> binario: Al formar los grupos, si es necesario, se añaden ceros a la derecha de la parte fraccionaria o a la izquierda de la parte entera para completar grupos de 3 bits. 14

8 2. Sistemas de numeración posicionales. Hexadecimal. Sistema posicional de base 16 -> ( A B C D E F). El uso del sistema octal, así como el hexadecimal, permite la conversión de números binarios con numerosos dígitos a una forma más compacta de la información, más sencilla y conveniente para su lectura. Fácil conversión de binario a hexadecimal y viceversa, debido a que su base es potencia entera de dos, 2 4 = 8, lo que implica que cada dígito octal tiene una correspondencia con cuatro dígitos binarios o bits. Ejemplo de conversión octal -> hexadecimal: Octal -> Binario Binario -> Hexadecimal Ejemplo de conversión hexadecimal -> octal: Hexadecimal -> Binario Binario -> Octal TEMA 1 Representación de la información 1. Introducción 2. Sistemas de numeración posicionales: binario, octal, hexadecimal. 3. Conversión entre sistemas 4. Representación binaria con signo 5. Aritmética binaria 6. Representación binaria en coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo 2-3

9 3. Conversión entre sistemas. Binario / Octal / Hexadecimal (Conversiones ya vistas) Binario Octal Binario Hexadecimal Octal Hexadecimal Base x Decimal Binario Decimal Octal Decimal Hexadecimal Decimal Decimal Base x Decimal Binario Decimal Octal Decimal Hexadecimal Conversión entre sistemas. Base x -> Base 10 (parte entera y fraccionaria) 18

10 3. Conversión entre sistemas. 1) Decimal a binario Base 10 -> Base x (parte entera) Conversión entre sistemas. 2) Decimal a octal Base 10 -> Base x (parte entera) 504 3) Decimal a hexadecimal

11 3. Conversión entre sistemas. 1) Decimal a binario Base 10 -> Base x (parte fraccionaria) No siempre este proceso es finito y concluye cuando la parte fraccionaria se hace cero. A veces un número en base b_1 no puede ser representado en base b2 con un número finito de dígitos. Cuando se dé esta circunstancia: Se debe buscar una serie de dígitos que se repitan periódicamente Si no hay periodicidad, se establecerá un límite de precisión que marque la cantidad de dígitos a calcular Conversión entre sistemas. 2) Decimal a octal Base 10 -> Base x (parte fraccionaria) 3) Decimal a hexadecimal 22

12 TEMA 1 Representación de la información 1. Introducción 2. Sistemas de numeración posicionales: binario, octal, hexadecimal. 3. Conversión entre sistemas 4. Representación binaria con signo 5. Aritmética binaria 6. Representación binaria en coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo 2-3 TEMA 1 Representación de la información 4. Representación binaria con signo a) Coma fija sin signo b) Coma fija con signo 1. Signo-magnitud 2. Convenio del Complemento a 1 3. Convenio del Complemento a 2 c) Coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo 2-3

13 4.a Coma fija sin signo. Palabras de 16 bits P. ENTERA P. FRACCIONARIA +, , , TEMA 1 Representación de la información 4. Representación binaria a) Coma fija sin signo b) Coma fija con signo 1. Signo-magnitud 2. Convenio del Complemento a 1 3. Convenio del Complemento a 2 c) Coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo 2-3

14 4.b Coma fija con signo. Representación de signo habitual (decimal): añadir un signo a la izquierda (+ / -) Si se aplicara esto en sistemas digitales para los números binarios con signo, sería necesario trabajar con tres niveles lógicos (0, 1 y signo), lo que complicaría los circuitos. Representación de signo en sistemas digitales binarios: añadir un dígito más que indique el signo del número (BIT DE SIGNO): Situado en el extremo izquierdo 0 para números positivos y 1 para negativos 0 Positivo (Ej: 0 + ) 1 Negativo (Ej: 1 - ) 28 4.b Coma fija con signo. LENGUAJES Convenio Signo magnitud Convenio Complemento a 1 Convenio Complemento a 2 Números Positivos + Operación Signo Magnitud Operación Signo Magnitud Operación Signo Magnitud Números Negativos - Operación Signo Magnitud 1) Operación Signo Magnitud del número en + 2) Operación Complemento a 1 1) Operación Signo Magnitud del número en + 2) Operación Complemento a 2 29

15 TEMA 1 Representación de la información 4. Representación binaria a) Coma fija sin signo b) Coma fija con signo 1. Signo-magnitud 2. Convenio del Complemento a 1 3. Convenio del Complemento a 2 c) Coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo b.1 Coma fija con signo Convenio Signo-magnitud Palabras de 16 bits +/- P. ENTERA P. FRACCIONARIA, LENGUAJES Números Positivos Números Negativos Convenio Signo magnitud + Operación Signo Magnitud - Operación Signo Magnitud 31

16 4.b.1 Coma fija con signo Convenio Signo-magnitud Operación del Signo Magnitud Inconvenientes Circuitos diferentes para realizar las operaciones de suma y de resta Pérdida de rango (el cero se representa de dos formas distintas) 32 4.b.1 Coma fija con signo Convenio Signo-magnitud Tabla de valores con 4 bits Rango -(2 n-1 1) N +(2 n-1 1) -7 N 7 33

17 TEMA 1 Representación de la información 4. Representación binaria a) Coma fija sin signo b) Coma fija con signo 1. Signo-magnitud 2. Convenio del Complemento a 1 3. Convenio del Complemento a 2 c) Coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo b.2 Coma fija con signo Convenio Complemento a 1 4.b.3 Coma fija con signo Convenio Complemento a 2 Inconvenientes signo-magnitud Circuitos diferentes para realizar las operaciones de suma y de resta Pérdida de rango (el cero se representa de dos formas distintas) Convenios de Complementos Mismo circuito para sumar y restar -> Siempre sumamos El cero debe tener una representación única 35

18 4.b.2 Coma fija con signo Convenio Complemento a 1 4.b.3 Coma fija con signo Convenio Complemento a 2 Operación del Complemento a la base n Cb( N ) = b N -b n es la potencia de la base inmediatamente superior a N - N puede tener parte fraccionaria - El número cero tiene la misma representación que la de su complemento a la base. - El complemento del complemento de un número, es el mismo número Operación del Complemento a la base menos 1 C ( n b 1 N ) = b 1 N -El número cero tiene distinta representación que la de su complemento a la base. -El complemento del complemento de un número, es el mismo número 36 4.b.2 Coma fija con signo Convenio Complemento a 1 Palabras de 16 bits +/- P. ENTERA P. FRACCIONARIA, LENGUAJES Números Positivos Números Negativos Convenio Complemento a 1 + Operación Signo Magnitud - 1) Operación Signo Magnitud del número en + 2) Operación Complemento a 1 37

19 4.b.2 Coma fija con signo Convenio Complemento a 1 Operación del Complemento a 1 Representar el valor absoluto del número, cambiando todos los bits uno por cero y los bits cero por uno (operación de complementación). b= b.2 Coma fija con signo Convenio Complemento a 1 Tabla de valores con 4 bits Rango -(2 n-1 1 ) N +(2 n-1 1) -7 N 7 39

20 4.b.2 Coma fija con signo Convenio Complemento a 1 Aspectos a destacar Esta forma de representación de los números permite utilizar la operación suma en las restas entre números (sumando acarreo). RESULTADO RESTA No aumentamos el rango de representación (el 0 tiene 2 representaciones) -> -(2 n-1 1 ) N +(2 n-1 1) 40 4.b.3 Coma fija con signo Convenio Complemento a 2 Palabras de 16 bits +/- P. ENTERA P. FRACCIONARIA, LENGUAJES Números Positivos Números Negativos Convenio Complemento a 2 + Operación Signo Magnitud - 1) Operación Signo Magnitud del número en + 2) Operación Complemento a 1 41

21 4.b.3 Coma fija con signo Convenio Complemento a 2 Operación del Complemento a 2 Representar el valor absoluto del número, cambiando todos los bits uno por cero y los bits cero por uno (operación de complementación) y sumarle uno. C b ( N ) = b n N b= b.3 Coma fija con signo Convenio Complemento a 2 Tabla de valores con 4 bits Rango -(2 n-1 ) N +(2 n-1 1) -8 N 7 Valor -8, en binario 1000 (ocupa cuatro bits): Al complementarlo a dos se obtiene de nuevo el mismo resultado (1000). Resultado esperado 8 (01000) que ocupa cinco bits. Fuera de rango (asimetría). 43

22 4.b.3 Coma fija con signo Convenio Complemento a 2 Aspectos a destacar Esta forma de representación de los números permite utilizar también la operación suma en las restas entre números (despreciando acarreo). RESULTADO RESTA SÍ aumentamos el rango de representación (el 0 NO tiene 2 representaciones) -> -(2 n-1 ) N +(2 n-1 1) Un número sumado con su complemento a 2 da cero, siempre que se desprecie el acarreo (tiene sentido que sea el número negativo). 44 TEMA 1 Representación de la información 1. Introducción 2. Sistemas de numeración posicionales: binario, octal, hexadecimal. 3. Conversión entre sistemas 4. Representación binaria con signo 5. Aritmética binaria 6. Representación binaria en coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo 2-3

23 5. Aritmética binaria: suma de números sin signo Suma binaria Semejante a la suma decimal (más simple al involucrar únicamente dos símbolos). Acarreo: desbordamiento que se alcanza al sumar al dígito de mayor valor (el 1) un valor distinto de cero (0). Conlleva el desplazamiento de una unidad en el resultado de la suma, lo que no se puede realizar con sólo el dígito inicialmente existente. 5,5 + 6,75 12, Aritmética binaria: resta de números sin signo Resta binaria Semejante a la resta decimal (más simple al involucrar únicamente dos símbolos). Préstamo: valor necesario que un dígito cede al anterior, de forma que éste pueda restar un dígito que de otra forma sería suficiente ,11 6,75-101,1-5,50 001,01 1,25 47

24 5. Aritmética binaria: Suma en complementos a 1 y a 2 Para sumar números positivos en CA1 y CA2 se opera igual que con los números sin signo ,5 + 6,75 12, b.2 Coma fija con signo Convenio Complemento a 1 Aspectos a destacar Esta forma de representación de los números permite utilizar la operación suma en las restas entre números (sumando acarreo). RESULTADO RESTA No aumentamos el rango de representación (el 0 tiene 2 representaciones) -> -(2 n-1 1 ) N +(2 n-1 1) 49

25 5. Aritmética binaria: Resta en complemento a 1 Convenio del Complemento a 1 (BINARIO) ANTES (sin signo) AC= (Acarreo) (CA1) (CA1) (CA1) - AHORA (CA1) AC= (CA1) (CA1) (CA1) -11 (Acarreo) (transf inversa CA1) b.3 Coma fija con signo Convenio Complemento a 2 Aspectos a destacar Esta forma de representación de los números permite utilizar también la operación suma en las restas entre números (despreciando acarreo). RESULTADO RESTA SÍ aumentamos el rango de representación (el 0 NO tiene 2 representaciones) -> -(2 n-1 ) N +(2 n-1 1) Un número sumado con su complemento a 2 da cero, siempre que se desprecie el acarreo (tiene sentido que sea el número negativo). 51

26 5. Aritmética binaria: Resta en complemento a 2 Convenio del Complemento a 2 (BINARIO) ANTES ANTES (sin signo) AHORA (CA2) AC=1 Se ignora (CA2) (CA2) (CA2) AC=0 Se ignora (CA2) (CA2) (CA2) (transf inversa CA2) b.2 Complementos (Coma fija con signo) COMPARACIÓN CA2 no necesita sumar 1 si se produce acarreo (CA1 sí). CA1 más fácil de implementar (sólo complementar). CA2 mayor rango de representación. CONVENIO COMPLEMENTO A 2 OPCIÓN MAYORMENTE ELEGIDA 53

27 TEMA 1 Representación de la información 1. Introducción 2. Sistemas de numeración posicionales: binario, octal, hexadecimal. 3. Conversión entre sistemas 4. Representación binaria con signo 5. Aritmética binaria 6. Representación binaria en coma flotante Bibliografía: REF: Estructura y Tecnología de Computadores I (Gestión de Sistemas) AUTOR: Carlos de Mora y otros. PÁGs: Capítulo Representación binaria en coma flotante Coma fija Ventaja: requiere sistemas digitales simples. Inconveniente: rango de valores limitado para números reales. Palabras de 16 bits +/- P. ENTERA P. FRACCIONARIA Con palabras de 16 bits 1 bit signo 11 bits asignados a la parte entera 4 bits asignados a la parte fraccionaria N (2 11-1) + (1 2-4 ) = 11264,0625, 55

28 6. Representación binaria en coma flotante Coma fija 0, Palabras de 16 bits +/- P. ENTERA P. FRACCIONARIA Coma flotante (equivalente a notación científica) para aumentar el rango de representación. N = S M (b) E, S: signo del número; M: valor absoluto de la mantisa; E: valor del exponente; b: base del sistema de numeración utilizado; Palabras de 16 bits +/- EXPONENTE MANTISA Representación binaria en coma flotante Coma flotante -> reducimos el número de dígitos significativos. Coma fija -> dígitos parte entera + dígitos parte fraccionaria (Ej: 11+4 = 15 bits SIGNITICATIVOS) Coma flotante -> dígitos mantisa (10 bits SIGNIFICATIVOS) Palabras de 16 bits +/- EXPONENTE MANTISA Palabras de 16 bits +/- P. ENTERA P. FRACCIONARIA 57

29 6. Representación binaria en coma flotante Múltiples posibilidades (necesidad de convenio): 6,25 Desplazar coma: Izquierda (x 2) Derecha (/ 2) NORMALIZACIÓN 0,1 M 1 (límites en binario) Representación binaria en coma flotante Convenio de representación IEEE 754 S signo de la mantisa m mantisa en valor absoluto sin el primer 1. (S y m -> signo magnitud) E exponente (entero sin signo en exceso a 127) b base binaria (2) Ejemplo (IEEE 754): 59