TEMA 2. Sistemas y Códigos de Numeración

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María Soledad Tebar Redondo
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1 Fundamentos de los Computadores. Sistemas y Códigos de Numeración. T2-1 TEMA 2. Sistemas y Códigos de Numeración INDICE: REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS. SISTEMAS BINARIO, DECIMAL, OCTAL Y HEXADECIMAL. CONVERSIÓN ENTRE LAS DISTINTAS BASES DE NUMERACIÓN. CODIFICACIÓN. o CÓDIGOS BINARIOS. PONDERADOS, NO PONDERADOS, PROGRESIVOS... o CÓDIGOS BCD. o CÓDIGOS ALFANUMÉRICOS. o CÓDIGOS DETECTORES DE ERROR. o CÓDIGOS CORRECTORES DE ERROR.

SISTEMAS BINARIO, DECIMAL, OCTAL Y HEXADECIMAL. CONVERSIÓN ENTRE LAS DISTINTAS BASES DE NUMERACIÓN.

2 Fundamentos de los Computadores. Sistemas y Códigos de Numeración. T2-2 REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS UN SISTEMA DE NUMERACIÓN ES UN CONJUNTO DE SÍMBOLOS EMPLEADOS PARA REPRESENTAR INFORMACIÓN NUMÉRICA. EL ALFABETO O CONJUNTO DE SÍMBOLOS QUE DISPONEMOS DEPENDE DE LA BASE DE DICHO SISTEMA DE NUMERACIÓN. SISTEMA BINARIO (0,1) SISTEMA DECIMAL (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) SISTEMA OCTAL (0,1,2,3,4,5,6,7) SISTEMA HEXADECIMAL (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) CUALQUIER NÚMERO TIENE SU REPRESENTACIÓN EN UNA BASE B DE LA FORMA CUYO VALOR NUMÉRICO ES: (X n X n-1...x 1 X 0 ) b, (N) b = X n *b n + X n-1 *b n X 1 *b 1 + X 0 *b 0

EL ALFABETO O CONJUNTO DE SÍMBOLOS QUE DISPONEMOS DEPENDE DE LA BASE DE DICHO SISTEMA DE NUMERACIÓN.

3 Fundamentos de los Computadores. Sistemas y Códigos de Numeración. T2-3 CONVERSIÓN ENTRE LAS DISTINTAS BASES (I) CONVERSIÓN DE BINARIO A OCTAL (HEXADECIMAL) Y VICEVERSA 8 = 2 3 (16 = 2 4 ) 11 ( ( (10 16 B 0 Base Resultado Binaria Octal 1 3 Hexadecimal B CONVERSION ENTRE TODO TIPO DE BASES MÉTODO POLINÓMICO Expresa el número de la base fuente como un polinomio Se evalúa dicho polinomio según la aritmética de la base destino La parte decimal se trata igual que la entera salvo que los exponentes de las bases son negativos (N) b = X n *b n + + X 0 *b X -q *b -q = Σ X i *b i Útil cuando la base destino sea la decimal

16 B 0 Base Resultado Binaria 0 0 1 0 1 1 Octal 1 3 Hexadecimal B CONVERSION ENTRE TODO TIPO DE BASES MÉTODO POLINÓMICO Expresa el número de la base fuente como un

4 Fundamentos de los Computadores. Sistemas y Códigos de Numeración. T2-4 CONVERSIÓN ENTRE LAS DISTINTAS BASES (II) MÉTODO ITERATIVO La parte entera se divide por b El resto es el dígito menos significativo Se repite con el cociente X n *b n + + X 1 *b 1 + X 0 *b 0 /b X n *b n X 1 *b 0 + X 0 *b -1 X 0 X n *b n X 1 *b 0 La parte decimal se multiplica por b La parte entera de la multiplicación es el dígito más significativo Se repite con la parte decimal Útil si la base fuente es la decimal X -1 *b -1 + X -2 *b X -q *b -q *b X -1 *b 0 + X -2 *b X -q *b 1-q X -1 X -2 *b X -q *b 1-q

el cociente X n *b n + + X 1 *b 1 + X 0 *b 0 /b X n *b n-1 + + X 1 *b 0 + X 0 *b -1 X 0 X n *b n-1 + + X 1 *b 0 La parte decimal se multiplica por b La

5 Fundamentos de los Computadores. Sistemas y Códigos de Numeración. T2-5 CODIFICACIÓN CODIFICACIÓN es la relación entre el alfabeto fuente y el alfabeto destino. En el Sistema binario de numeración (0,1) Cada dígito se denomina bit MSB: Most Significative Bit, bit más significativo LSB: Least Significative Bit, bit menos significativo DISTANCIA DE HAMMING es el número de dígitos en que difieren dos palabras de código. CÓDIGOS (I) CÓDIGOS CON PESO (PONDERADOS) son códigos de la forma X n *W n + X n-1 *W n X 1 *W 1 Representado por X n X n-1 X 1 y el Vector peso W n W n-1 W 1 CÓDIGOS AUTOCOMPLEMENTARIOS son código cuyas palabras correspondientes a D y 9-D tienen los 1 s cambiados por 0 s y viceversa. CÓDIGOS PROGRESIVOS códigos en los que las combinaciones correspondientes a números decimales consecutivos son adyacentes. Si la última combinación es adyacente a la primera, se llaman CÍCLICOS. Decimal Binario Johnson GRAY

el número de dígitos en que difieren dos palabras de código.

6 Fundamentos de los Computadores. Sistemas y Códigos de Numeración. T2-6 CÓDIGOS (II) CÓDIGOS BCD.- Decimal Codificado en Binario EJEMPLOS DE CÓDIGOS BCD DÍGITO Natural Exceso 3 Aiken 5421 DECIMAL CÓDIGOS ALFANUMÉRICOS, como el ASCII (American Standard Code for Information Interchange), ejemplo con 6 bits

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 5 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 6 0 1 1

7 Fundamentos de los Computadores.Sistemas y Códigos de Numeración. T2-7 CÓDIGOS DETECTORES DE ERRORES CÓDIGOS (III) Son códigos con información sobre la posibilidad de un error Adición de bit de paridad a un código no detector 2-out-of-5 Biquinario Binario con paridad b 3 b 2 b 1 b 0 p Cualquier código de detección de fallo en un solo bit debe tener al menos una distancia de dos entre cualesquiera dos palabra de código. Las palabras con una distancia mínima de dos se pueden usar como códigos de detección de error en un bit.

paridad 5 0 4 3 2 1 0 b 3 b 2 b 1 b 0 p 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 3 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 4 0 1 0 1 0 0 1

8 Fundamentos de los Computadores.Sistemas y Códigos de Numeración. T2-8 CÓDIGOS CORRECTORES DE ERRORES CÓDIGOS (IV) Se añaden varios bits de paridad (o chequeo) tal que el error en un bit determinado da una combinación única de los bits de paridad. Con K bits de paridad, un código corrector de error puede tener como máximo una palabra de 2K-1 bits La condición necesaria y suficiente para que cualquier conjunto de palabras binarias sea un código corrector de un error en un solo bit, es que la distancia mínima entre ellas sea de tres. C 1 C 2 M 3 C 4 M 5 M 6 M

Con K bits de paridad, un código corrector de error puede tener como máximo una palabra de 2K-1 bits La condición necesaria y suficiente para que cualquier conjunto de palabras

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