INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL

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1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL ELECTRÓNICA: CIRCUITOS Y SISTEMAS ELECTRÓNICOS ELECTRÓNICA: Ciencia aplicada de la familia de la electricidad, que aprovecha las propiedades eléctricas de los materiales semiconductores para distintos usos (Wikipedia). En la electrónica la energía eléctrica se utiliza básicamente para: Transmitir información. Controlar a otros circuitos, que llamaremos de potencia. Un circuito electrónico está formado, fundamentalmente, por componentes semiconductores. Un sistema electrónico está formado por un conjunto de circuitos electrónicos. Los sistemas electrónicos pueden ser: Analógicos. Digitales. Mixtos analógicos-digitales. SISTEMAS ANALÓGICOS, DIGITALES Y MIXTOS Sistemas analógicos: En estos sistemas las señales eléctricas pueden tomar infinitos valores en intervalos todo lo pequeño que queramos. Son señales continuas. En los sistemas analógicos interesa la forma y la amplitud de la señal. A B C Es evidente que la señal B es diferente a la A. Las señales B y C también son distintas ya que, aunque tengan la misma forma su amplitud, o valor en el eje vertical, es diferente. El sistema de amplificación de audio de un equipo de sonido es analógico. Señal analógica de entrada Micrófono Amplificador Altavoz Señal analógica de salida La señal de entrada está formada por las infinitas variaciones de presión de aire que se forman al emitir un sonido, por tanto es una señal analógica. Esta señal es captada por el micrófono que la convierte ( traduce ) en una señal eléctrica a la que llamamos señal de audio. De esta forma las diferentes variaciones de presión pasan A. Murga (10-11) 1

2 a ser variaciones de voltaje cuya amplitud es aumentada por el amplificador. El altavoz hace la labor inversa al micrófono convirtiendo la señal eléctrica amplificada en variaciones de presión de aire. La ventaja de los sistemas analógicos es que la señal de salida es un fiel reflejo de la de entrada y debe conservar, en teoría, los infinitos valores o matices de sonido que contiene la señal sonora que le llega al micrófono. Los inconvenientes son: a Además de reproducir los diferentes matices del sonido también reproduce los ruidos y distorsiones que acompañan a la señal de entrada. Estos ruidos son igualmente amplificados disminuyendo la calidad del sonido. Para reducir este efecto no deseado se utilizan los filtros. Señal original Señal amplificada En línea continua se representa la señal real y en línea de trazos la señal distorsionada. Si la información se transmite por cable estos se comportan como antenas que son capaces de captar las señales electromagnéticas o interferencias que se transmiten por el espacio. Estas interferencias, o ruidos, distorsionan la señal. Por otro lado, debido a la caída de tensión que produce la resistencia eléctrica del propio cable, la amplitud (voltaje) de las señales eléctricas disminuye siendo necesario amplificarla cada cierta distancia, pero al amplificar la señal también se amplifican los ruidos y ésta pierde calidad. Para eliminar o disminuir el efecto antena se utilizan los cables con apantallamiento de malla metálica. Si las señales se desean transmitir a largas distancias los cables apantallados pueden resultar demasiado caros. Para dar solución a estos problemas se recurre a hacer la transmisión mediante fibra óptica o a utilizar señales digitales. b El gran inconveniente de los sistemas analógicos es que como la señal es continua en un intervalo de tiempo todo lo pequeño que queramos es portadora de infinitos valores. Este exceso de información hace que resulte muy complejo o imposible procesarla y almacenarla. Sistemas digitales: En estos sistemas las señales eléctricas sólo pueden tomar dos valores o estados lógicos a los que se les puede llamar 1 o 0, verdadero o falso, alto o bajo, on u off, encendido o apagado. Son señales discretas. En los sistemas digitales no interesa la amplitud de la señal sólo es relevante la frecuencia de los pulsos y el tiempo de duración de los estados 1 y 0. En definitiva, sólo interesa si en cada instante existe o no existe la señal. A B C Las señales A y B son idénticas ya que únicamente se diferencian por su amplitud. La señal C es diferente puesto que si tomamos intervalos de tiempo iguales el número de pulsos es diferente y, además, la duración de los pulsos es también distinta. A. Murga (10-11) 2

3 El sistema Morse de transmisión de datos y el sistema contador de coches en los estacionamientos de coches son ejemplos de sistemas digitales. Los sistemas digitales pueden ser de dos tipos: a b Sistemas combinacionales: Son aquéllos en los que la señal de salida sólo depende de los circuitos y componentes que los forman y de la señal de entrada en el instante considerado. Sistemas secuenciales: Son aquéllos en los que la señal de salida depende de los circuitos y componentes que los forman, de la señal de entrada y de la señal de salida en instantes anteriores. Se puede decir que son sistemas con memoria ya que deben recordar el valor de los estados de salida previos. La ventaja de las señales digitales es su facilidad para manipularlas. Resulta muy simple sumarlas, detenerlas, almacenarlas, etc. Su inconveniente es que como son señales discretas el número de valores es finito. Por tanto, tienen menos información que las analógicas y en consecuencia menos calidad. c Sistemas mixtos: Casi todas las magnitudes físicas que representan a los fenómenos naturales son analógicas pero es cada vez más raro encontrar aparatos de medida con la típica agujita indicadora que utilizan los sistemas analógicos. Es común utilizar polímetros digitales, termómetros digitales y cámaras de fotos digitales. Sin embargo, la intensidad de corriente, la temperatura y la intensidad luminosa son magnitudes analógicas. Los sistemas mixtos están formados por bloques analógicos y bloques digitales En el esquema siguiente se muestra el diagrama de bloques de un termómetro digital. Visualizador digital Transductor de temperatura Amplificador Convertidor analógico-digital Procesador de datos Memoria Calor Convertidor digital-analógico Visualizador analógico de aguja El transductor convierte la temperatura del foco de calor en una señal eléctrica. Esta señal suele ser débil y es amplificada para digitalizarla en el convertidor analógico-digital y posteriormente procesarla. La señal procesada se puede: ver en un visualizador digital, guardarla en memoria o reconvertirla en analógica para verla en un visualizador analógico. A. Murga (10-11) 3

4 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y normas o códigos que permiten representar de forma unívoca una cantidad y también conocer las cantidades que en él se expresen. Todos los sistemas de numeración están formados por los símbolos y el código o norma. El número de símbolos diferentes se conoce como base. La base de un número se representa como subíndice entre paréntesis. Por ejemplo, 123 (8) es el número 123 en base ocho. Si el número no lleva paréntesis se sobreentiende que está expresado en base diez. Nosotros utilizamos el sistema de numeración en base diez o decimal. Los sistemas de numeración pueden ser posicionales y no posicionales 1. Sistemas posicionales: El valor del símbolo varía con la posición que ocupa. El sistema decimal es posicional. Si escribimos 333 en base diez el tres situado más a la derecha vale tres unidades, el central treinta y el situado a la izquierda trescientas. En los sistemas de numeración posicionales todas las cantidades se pueden desarrollar en forma polinómica. Por ejemplo: 333 se puede expresar como En general, un número a n a n-1 a n-2. a 2 a 1 a 0, a -1 a -2 a m-2 a m-1 a m, en base b se puede representar por: N=a n.b n + a n-1.b n-1 + a n-2.b n-2 + +a 2.b 2 + a 1.b 1 + a 0.b 0 + a -1.b -1 + a -2.b a m-1.b m-1 + a m.b m b representa la base. a n representa el símbolo del número que está situada en la posición n de la parte entera, comenzando a contar a partir de la coma, desde el cero y de derecha a izquierda. a m representa el símbolo del número que está situada en la posición m de la parte fraccionaria, comenzando a contar a partir de la coma, desde el menos uno y de izquierda a derecha. EJEMPLOS: Expresa en forma polinomial los siguientes números: a) 34573, 267 (8) b) 23612,42101 (4) c) 1001,00001 a) b) El número está mal escrito ya que en base 4 los símbolos son 0,1,2,3. Por tanto, 4 y 6 no existen. c) También se les llama ponderados o pesados ya que cada dígito tiene un peso que depende de su posición. A. Murga (10-11) 4

5 Sistemas no posicionales: El valor del símbolo es siempre el mismo no dependiendo de la posición. El sistema de numeración romano es no posicional; si escribimos MMM todas las M valen mil y el número representará tres mil unidades. SISTEMAS BINARIOS. CÓDIGO BINARIO NATURAL El sistema de numeración binario tiene de base 2. Los símbolos son 0 y 1. A cada uno de ellos se les denomina bit (Binary Digit) Estos dos símbolos pueden representar dos estados diferentes de una variable física, ya que se puede asociar el estado 0 a la no existencia de señal (OFF) y el estado 1 a la existencia de señal (ON). El sistema de numeración binario es la base matemática de la electrónica digital. Existen diversos sistemas de numeración binarios. Todos ellos tienen la misma base y los mismos símbolos, pero sus códigos son diferentes. El más sencillo es el código binario natural. Es un código ponderado o posicional. En un número el bit que está situado más a la izquierda es el de mayor valor o peso y se le llama MSB (Most Significative Bit ) o bit más significativo. El bit situado a la derecha es el de menos peso y se le conoce por LSB (Least Significative Bit) o bit menos significativo. Cambio de base binaria a decimal: Para pasar un número binario a decimal hay dos métodos: a. Aplicando la descomposición polinómica. b. Utilizando la tabla de pesos. a) Aplicando la descomposición polinómica: Escribimos el número en forma polinómica y sumamos los monomios: Pasa el numero binario ,011 expresado en binario natural, a base diez , = 43, ,011= 43,375 b) Utilizando la tabla de pesos Se crea una tabla formada por dos filas y por tantas columnas como dígitos tiene el número. En la fila superior se sitúan, ordenados de mayor a menor, los pesos de cada dígito. En la fina inferior los 1 y 0 que corresponden a cada peso. A continuación, se suman los pesos que corresponden a los 1. Pasa el numero binario ,01,1 expresado en binario natural, a base diez. Utiliza el método de la tabla de pesos ,5 0,250 0, ,250 0, ,11 2 = , ,125 = 43,375 A. Murga (10-11) 5

6 Cambio de base decimal a binaria: a) Parte entera: Dividimos el número decimal entre 2 hasta que el cociente sea 1. El binario se forma tomando el cociente como MSB y escribiendo, a continuación, todos los restos comenzando por el último resto obtenido. El LSB es el primer resto calculado. Pasa 2341 (10) a binario 2341 : : : 2 LSB : : : : : : : : MSB 2341 (10) = (2) b) Parte fraccionaria: Multiplicamos la parte fraccionaria por dos y tomamos la parte entera, que puede ser 0 o 1. Repetimos la operación hasta obtener la unidad o alcanzar la aproximación requerida. Pasar 0,5625 a binario 0,5625 0,125 0,250 0,500 x2 x2 x2 x2 1,1250 0,250 0,5000 1,000 0,5625 = 0,1001 (2) Pasa 0,5625 (10) a binario 0,56250,1250,2500,500 x 2 x 2 x 2 x 2 1,1250 0,250 0,5001,000 0,5625 (10) =0,1001 (2) El sistema binario natural tiene dos inconvenientes: el primero es que para representar números grandes se precisa mucho espacio. Para comprobar esta aseveración recomiendo al trabajador alumno y a la no menos esforzada alumna que pase a binario el número decimal , A. Murga (10-11) 6

7 Si pasamos a binario los números decimales comprendidos entre el 0 y el 9, se obtiene: Se observa cómo a partir del número 8 se precisan cuatro bits. Pero con cuatro bits se pueden representar 16 números diferentes. Es decir, es posible trabajar en un sistema de base 16. Este sistema permitirá hacer que los números sean más cortos, ya que con un solo símbolo se representan hasta 15 unidades. El sistema de numeración en base 16 se llama hexadecimal. SISTEMA HEXADECIMAL Es un sistema de numeración posicional de base 16. Los símbolos utilizados son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. En la tabla se muestran las equivalencias entre los sistemas decimal, hexadecimal y binario: Decimal Hexadecimal A B C D E F Binario Para contar en hexadecimal es necesario tener en cuenta que al símbolo 9 le sigue el símbolo A y a éste el B, y así, sucesivamente, hasta el F. Cuando se llega a F es necesario aumentar, por la izquierda, una posición pasando a tener números de dos símbolos o dígitos. Escribe los diez números siguientes, expresados en hexadecimal, a los que se muestran a continuación: a) 7, 8, 9..b) 97, 98, 99.c) 3F6, 3F7, 3F8,. a) 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, 13,. b) 97, 98, 99, 9A, 9B, 9C, 9D, 9E, 9F, A0, A1, A2, A3 c) 3F6, 3F7, 3F8, 3F9, 3FA, 3FB, 3FC, 3FD, 3FE, 3FF, 400, 401, 402 Cambio de sistema binario a hexadecimal Para convertir cantidades expresadas en el sistema binario natural en hexadecimal es necesario realizar los siguientes pasos: 1º A izquierda y derecha de la coma se toman grupos de cuatro bits. Si faltan dígitos se completan añadiendo ceros a los extremos 2º Cada grupo de cuatro bits se sustituye por su equivalente en hexadecimal. A. Murga (10-11) 7

8 Pasa a sistema hexadecimal el número binario , , , , A5,BD , (2) 6A5,BD8 (16) Cambio de sistema hexadecimal a binario Para convertir cantidades expresadas en el sistema hexadecimal en binario natural, cada dígito que forma el número en hexadecimal se pasa a binario. Pasa a sistema binario natural el número hexadecimal 6A4,BD8 6A4,BD8 6 A 5, B D , A5,BD8 (16) , (2) Cambio de sistema decimal a hexadecimal Parte entera: Se utiliza el mismo procedimiento que el empleado para pasar de decimal a binario, con la única diferencia de que en vez de dividir entre 2 se divide entre 16. Parte fraccionaria: también se aplica el método ya utilizado para pasar de decimal a binario, pero en vez de multiplicar por 2 se multiplica por 16. Pasa a sistema hexadecimal el número decimal , LSB MSB 14 0,964 0,424 0,784 0,544 0,704 x 0,16 x0,16 x0,16 x0,16 x0, ,424 6,784 12,544 8,704 11, ,964 (10) = A2E6F,F6C8B (16) A. Murga (10-11) 8

9 Cambio de sistema hexadecimal a decimal Se aplica la descomposición polinómica: Pasa a sistema decimal el número hexadecimal A2E6F,F6C8B (16) A2E6F,F6C8B (16) = = = , , , , , = , = ,964 (10) A2E F,F6C8B (16) = ,964 (10) CÓDIGOS BINARIOS Los códigos binarios tienen base 2 y, en consecuencia, dos símbolos que son el 1 y el 0. El sistema binario natural tiene dos grandes inconvenientes: 1º. Las cantidades elevadas son excesivamente largas. 2º. Si durante el proceso de transmisión de información varios bits cambian de valor, puede ocurrir que se produzcan estados intermedios que, al ser transmitidos, den lugar a error. Los códigos que se estudian a continuación tratan de solucionar ambos problemas. Se pueden clasificar en: Códigos BCD: BCD natural (8421). Aiken (2421). Exceso 3. Códigos progresivos: Gray o de error mínimo. Códigos de detección de error: De paridad par. De paridad impar. Dos entre siete o biquinario. Dos entre cinco. Códigos de detección y corrección de errores: Hamming. Código BCD natural (8421): Es un código ponderado o pesado. Los pesos de cada bit de derecha a izquierda son 8,4,2,1. Para expresar un número decimal en BCD natural se convierte cada dígito decimal en su correspondiente valor binario. Pasa a sistema BCD natural el número decimal 678, , , , , A. Murga (10-11) 9

10 Para expresar un número BCD natural en decimal se procede de la siguiente forma: se toman grupos de cuatro bits a izquierda y derecha de la coma. Si en los extremos faltan bits para completar el grupo de cuatro se añaden ceros. A continuación se convierte cada grupo en su equivalente decimal. Pasa a sistema decimal el número BCD natural , SOLUCIÓN: , = , = , , = 678,04 678,04 (10) , Código Aiken (2421): Es un código ponderado o pesado en el que se puede representar desde el 0 hasta el 9. De derecha a izquierda los pesos de cada bit son 2,4,2,1. Tiene la característica de que la suma de un número decimal y su diferencia de 9 se expresan en Aiken cambiando 0 por 1 y 1 por 0. Por ejemplo, 3 es 0011, su complemento a 9 es 9-3 = 6, y el 6 se expresa como Esta particularidad lo hace útil para ser utilizado en los circuitos aritméticos. La tabla se forma tomando las cinco primeras combinaciones y las cinco últimas de las dieciséis que se pueden formar con cuatro bits. Para pasar de decimal a Aiken y viceversa se aplica el mismo método que el utilizado en el BCD natural, teniendo en cuenta que, al tratarse de otro código, la tabla de conversión es diferente Decimal Aiken Pasa a Aiken el número decimal Utilizamos la tabla de conversión (10) en Aiken Pasa a decimal el número binario expresado en Aiken Completamos con ceros para obtener grupos de cuatro bits. A continuación, utilizamos la tabla de conversión = = en Aiken 248 (10) A. Murga (10-11) 10

11 Código Exceso 3: Es un código BCD no ponderado en el que se puede representar desde el 0 hasta el 9. Se utiliza en circuitos aritméticos para hacer sustracciones. La tabla se forma eliminando las tres primeras combinaciones y las tres últimas de las dieciséis que se pueden formar con cuatro bits. Para pasar de decimal a Exceso 3 se aplica el mismo método que el utilizado en el BCD natural., teniendo en cuenta que a cada dígito decimal hay que sumarle tres unidades antes de hacer la conversión. Al tratarse de otro código la tabla de conversión es diferente. Decimal Exceso Pasa a Exceso 3 el número decimal 538 Un método aplica directamente las equivalencias de la tabla. En el otro es necesario sumar tres unidades a cada dígito del numero decimal y, a continuación, pasamos los números obtenidos a binario natural (10) = en Exceso 3 Pasa a decimal el número expresado en Exceso 3 Un método aplica directamente la tabla de equivalencias. En el otro es necesario pasar el número dado a decimal suponiendo que el número está expresado en BCD natural. A continuación, restamos tres unidades a cada dígito del decimal obtenido = = (12) en Exceso 3 = 3694 (10) Código Gray o de error mínimo: No es un código BCD y no es ponderado. Se caracteriza por que dos números consecutivos cualesquiera sólo se diferencian en un bit. Este código evita los posibles errores que se podrían producir cuando para cambiar de un número a otro es necesario que, al mismo tiempo, varios bits pasen de 1 a 0 o al revés. Como el cambio no es instantáneo los estados intermedios, que aparecen mientras se produce el cambio de 1 a 0 y de 0 a 1, se pueden interpretar como estado final e inducir a errores. Por ejemplo, al pasar de 3 a 4 en BCD la combinación 0011, que representa al 3, debe pasar a 0100, que representa al 4. Esto supone que deben bascular tres bits. Este cambio no es instantáneo produciéndose, por ejemplo, los estados intermedios siguientes: El sistema que recibe la información podría interpretar que el paso por 0000 es el cambio definitivo y admitirlo como dato de entrada produciéndose un error. Como en el código Gray en cada paso de contaje sólo cambia un bit este error no se puede producir. Decimal Binario º Gray Se utiliza en el posicionamiento de los motores de los robots. A. Murga (10-11) 11

12 Para pasar un número, expresado en BCD natural, a Gray se sigue el siguiente proceso: 1º Al número que se quiere convertir se le elimina el bit de la derecha y se le añade un 0 a la izquierda. 2º Se compara dígito a dígito el número obtenido con el original, si los dígitos son iguales se pone un 0 y si no lo son un 1. La combinación obtenida es el número Gray buscado. Para convertir un número del sistema Gray a BCD natural se sigue el siguiente proceso: 1º Se compara el bit MSB con cero. Si los dígitos son iguales se pone un 0 y si no lo son un 1 2º El resultado obtenido se compara con el bit situado a la derecha. Si los dígitos son iguales se pone un 0 y si no lo son un 1. 3º Comparamos el tercer bit por la izquierda con el resultado obtenido de la comparación del segundo bit. Si ambos son iguales se pone un 0 encima del cuarto bit por la izquierda, si son diferentes ponemos un 1. 4º Comparamos el bit LSB con el resultado obtenido de la comparación del tercer bit. Si ambos son iguales se pone un 0, si son diferentes ponemos un 1. También se puede hacer la conversión aplicando la tabla de transformación Pasa a código Gray el número binario binario natural 1011 Gray Pasa a BCD natural los números Gray : a) 1010 b) 0011 a) b) o en Gray 1100 BCD natural 0011 en Gray 0010 BCD natural Códigos de paridad Es un código que se utiliza para detectar posibles errores que se pueden producir en la transmisión de información. Una palabra binaria puede estar compuesta por cuatro bits, ocho bits (byte) o un múltiplo de ocho. Los códigos de paridad añaden al comienzo de la palabra un bit que hace que el número de unos 1 sea par, paridad par, o impar, paridad impar. La tabla de conversión es la siguiente: Decimal Binario Paridad par Paridad impar Código dos entre siete o biquinario Es un código ponderado en el que se utilizan siete bits distribuidos en dos columnas de dos y cinco bits. Los pesos de la parte binaria (dos bits) son 5 y 0, y en la parte biquinaria (cinco bits) son 4, 3, 2, 1, 0. En cada palabra siempre hay dos unos, facilitando la detección de errores. La tabla de conversión es: Decimal Binario Dos entre siete A. Murga (10-11) 12

13 Código dos entre cinco Es un código ponderado. Se utilizan cinco bits por palabra o carácter. Los pesos son 6, 3, 2, 1, 0. En cada grupo de cinco bits siempre hay dos unos. Decimal Binario Dos entre cinco Por ejemplo, el número 3 en decimal se representa en este código por 00101, si le aplicamos los pesos será: = 2+1 = 3 Código de detección y corrección de errores. Código Hamming Es un código que en cada palabra que se quiere enviar lleva intercalados y situados en posiciones predefinidas un número determinados de unos que son capaces de detectar si hay error y además corregirlo. A. Murga (10-11) 13

14 Preguntas teóricas 1. Define el concepto de electrónica. 2. Indica los tipos de sistemas electrónicos y explica brevemente las características fundamentales de cada uno. 3. Indica las ventajas y los inconvenientes que tienen los sistemas digitales frente a los analógicos. 4. Define los tipos de sistemas digitales. 5. Define el concepto de sistema de numeración. Qué quiere decir que un sistema de numeración es posicional?. 6. Define el concepto de código de numeración. Qué es la base de un sistema de numeración? 7. Qué otros nombres reciben los sistemas posicionales? 8. Qué es un sistema de numeración binario? EJERCICIOS Y ACTIVIDADES 9. Qué inconvenientes tiene el sistema de numeración binario natural?. Cómo se solucionan? 10. Qué quiere decir BCD?. Indica el nombre de tres códigos BCD. 11. Qué quiere decir que un código es progresivo?. Indica el nombre de un código progresivo. 12. Qué es un código de detección de error?. Indica el nombre de cuatro códigos de detección de error. 13. Qué es un código de detección y corrección de errores?. Indica el nombre de uno de estos códigos. Cuestiones prácticas 1. El funcionamiento de un interruptor es analógico o digital?. Justifica la respuesta. 2. El sistema de aceleración de un coche es analógico o digital?. Justifica la respuesta. 3. Expresa en forma polinomial los siguientes números: a) 345,67 (10) b) 1021 (2) c) 10010,01101 (2) d) ( ) 4. Pasa el numero binario natural ,0011 a base diez. Utiliza los dos métodos 5. Pasa 7412 (10) a binario natural 6. Pasa 0,016 (10) a binario natural 7. Escribe los tres números siguientes, expresados en hexadecimal, a los que se muestran a continuación: a) D, E, F..b) FF7, FF8, FF9.c) F67FFF. 8. Pasa sistema hexadecimal el número binario , Pasa a sistema binario natural el número hexadecimal C0C0,FE0 10. Pasa a sistema hexadecimal el número decimal 256, Pasa a sistema decimal el número hexadecimal DEFE,CA2 12. Pasa a sistema BCD natural el número decimal 123, Pasa a sistema decimal el número , expresado en BCD natural 14. Pasa a Aiken el número decimal 156 A. Murga (10-11) 14

15 15. Pasa a decimal el número expresado en Aiken 16. Pasa a Exceso 3 el número decimal Pasa a decimal el número expresado en Exceso Pasa a código Gray el número binario Pasa a binario los números Gray : a) 1000 b) 1001 A. Murga (10-11) 15