La descomposición de una expresión algebraica en otra más sencilla se llama factorización.

Transcripción

1 Investiga en el texto básico, la web u otras fuentes bibliográficas acerca de los casos de factorización y redacta un informe escrito donde expliques el procedimiento para factorizar cada caso y plantea al menos un ejemplo de cada uno. La descomposición de una expresión algebraica en otra más sencilla se llama factorización. Factorizar es la operación matemática mediante la cual conociendo el producto o resultado de una multiplicación, se puede encontrar los factores de dicho producto. La factorización es expresar un objeto como el producto de otros objetos más pequeños y sencillos llamados factores que al multiplicarlos resultan el objeto original. Para comenzar con la factorización es necesario comprender otros conceptos algebraicos como son: 1. Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un sólo término y se compone de un coeficiente, un literal y un exponente. 2. Polinomio: Es una Expresión algebraica que se compone de la suma de dos o más monomios. Los factores divisores de una expresión algebraica son los términos de los productos de los cuales obtenemos las expresiones algebraicas. El número 6. Los factores de 6 = 2 x 3 El número 20. Los factores de 20 = 2 x 2 x 5 Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

2 Factorización Multiplicación Factorización o descomponer en factores es descomponer un número en factores más pequeños de modo que al multiplicarlos obtengo el número. Ejemplo: El número 21 lo escribo con valores más pequeños cuyo producto me da 21: 21 = 3 x 7. Los valores más pequeños son el 3 y el 7 y su producto es 21. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. 1. Factorización por factor común. Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una cantidad o término se encuentra en todos los términos de un polinomio; para factorizar este tipo de polinomios se procede a utilizar la propiedad distributiva de la mult iplicación. a(x+b)=ax+bx. Para factorizar por factor común se procede a lo siguiente: 1. Identificamos el coeficiente, el literal y el exponente común en el polinomio y se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación. Ejemplo: Sea, 3x²+6x³+9x El coeficiente 3 es común en todos los términos y x también es común; por lo tanto el factor común es 3x. Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación y se obtiene la factorización 3x(x+2x+3)

3 2. Factor común monomio. Procedimiento para factori zar. 1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor. 2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor. 3) El coeficiente de la división se multiplica por el factor común (FC). W 2 + 3w= w 2 + 3w = w +3 W w w W (w + 3) = w 2 + 3w = w(w+3) 3. Factor común polinomio Cuando los términos de un polinomio tienen en común un binomio, a este se le saca el factor común para así factorizar dicho polinomio. Para su factorización se escribe el binomio como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis, se escribe el cociente que resulta de dividir los términos del polinomio dado entre el factor común del binomio. Descomponer en factores 2 x (a - 1) y (a 1) a) Fc binomio = (a-1) b) Dividir los términos de la expresión dada entre el Fc. 2x (a-1) y(a-1) = 2x (a-1) y (a-1) = 2x -y (a-1) (a-1) (a-1) c) El cociente de la división la multiplicamos por el Fc. (a-1) (2x-y) = 2x (a-1) y (a-1) = (a-1) (2x y) 4. Factorización por agrupación de términos. Para factorizar por agrupación de términos se debe conocer la propiedad asociativa que nos permite encontrar un factor común para lograr la factorización completa. Ejemplo: Sea 2x+2y+3zx+3zx; Aplicamos propiedad asociativa y obtenemos (2x+2y)+(3zx+3zy) 1. Obtenemos factor común en cada factor.

4 2(x+y)+3z(x+y) 2. Obtenemos factor común de esta nueva expresión y aplicamos propiedad distributiva para completar la factorización. Factor común (x+y); por lo tanto aplicando propiedad distributiva obtenemos (2+3z)(x+y) 5. Trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto se caracteriza porque el primer término y el tercero tienen RAICES CUADRADAS EXACTAS y además el segundo término es el doble del producto de las raíces del primer término por el tercero del trinomio. x²+2xy+y² 1. La raíz cuadrada del primer término es x y el del tercero y (ambas son raíces exactas). 2. El doble producto de las raíces es 2xy; es decir (xy)(2)=2xy En este ejemplo se cumple la regla anterior por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se siguen estos sencillos pasos. 1. Ordenamos el polinomio o trinomio dejando a los temimos con raíz cuadrada en el primer y tercer lugar. Ejemplo: Sea a²+b²+2ab; Ordenamos la expresión. a²+2ab+b² 2. Obtenemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y las escribimos dentro de un paréntesis separadas por el signo correspondiente del segundo término y elevamos la expresión al cuadrado. Ejemplo: Sea a²+2ab+b²; obtenemos las raíces del primer y tercer término y se

5 escriben dentro de un paréntesis separadas por el signo del segundo término en este caso (+) Así, a²+2ab+b²= (a+b)² 6. Factorización de un trinomio de la forma x²+bx+c 1. Este tipo de trinomio se resuelve por medio de dos factores. En cada factor que se pone ente paréntesis se coloca la raíz cuadrada del término que esta elevado al cuadrado, ejemplo: (x )(x ) 2. Se buscan dos números que multiplicados den el tercer término, el término independiente o "c"; y que sumados den el segundo término (en este caso se puede usar (-) 3. Se colocan estos números en cada paréntesis respectivamente Ejemplo: Sea x²+5x+6 1. En este caso se obtiene la raíz de x² y se coloca en los paréntesis (x )(x ) 2. Se buscan dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5; en este caso los números son 3 y 2 3. Se colocan en el paréntesis correspondiente (x+3)(x+2) 7. Factorización de cubo perfecto Un cubo perfecto es el resultado de elevar un binomio al cubo para factorizar este caso se hace lo siguiente: 1. Se obtiene la raíz cubica del primer y último término y se coloca en un paréntesis separadas por el signo del último termino 2. Se eleva al cubo la expresión. Ejemplo: x³+x²y+xy²+y³ 1. Obtenemos raíces cubicas del primer y último término y las colocamos en un paréntesis. (x+y) 2. Elevamos el factor al cubo para completar la factorización (x+y)³