Notas teóricas. a) Suma y resta Se agrupan los monomios del mismo grado y se opera.

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1 MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS POLINOMIOS A. Introducción Teoría B. Ejercicios resueltos B.. Sumas y restas B.. Multiplicación B.3. División B.4. Sacar factor común B.5. Simplificar fracciones algebraicas B.6. Operaciones con fracciones algebraicas B.7. Relación entre dividendo, divisor, resto y cociente - Operaciones con polinomios: Notas teóricas a) Suma y resta Se agrupan los monomios del mismo grado y se opera. b) Multiplicación Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo y luego se agrupan y se operan los términos del mismo grado. c) División Suelen utilizarse dos métodos: i. Método estándar: Se procede de forma análoga a la división entre números. dividendo divisor resto cociente Se cumple que: Dividendo divisor cociente resto ii. Método de Ruffini: Sólo se puede aplicar para dividir polinomios de grado igual o mayor que dos entre un binomio de grado uno - Teorema del resto: /3

2 Polinomios resueltos El resto de la división de un polinomio entre - a coincide con el valor del polinomio en a, es decir: resto P( a) - Factorización de polinomios: Los polinomios compuestos pueden descomponerse como producto de dos o más polinomios de grado menor. A esta tarea se le llama factorizar polinomios. B.. Sumas y restas Ejercicios resueltos ( ) ( ) B.. Multiplica ( ) (3 + ) (6 5) ( 7) 6+ /3

3 Polinomios resueltos 4. 5 ( ) (3 9) (6 5) ( ) 8. (3 9) (6 5) ( + ) (3 7 ) ( 4) ( ) ( ) (3 + )(5 + ) 3 (5 + )+ (5 + ) ( + 7)( + ) ( + )+7 ( + ) ( )(5 + 6) (5 + 6) (5 + 6) (3 )( 7 + ) 3 ( 7 + ) ( 7 + ) (3 + 7)( + ) (3 + 7)( + ) 3 ( + ) + 7 ( + ) ( + )( + ) ( + )+( + ) ( + ) ( ) ( ) æ öæ ö çè øèç ø 3 3/3

4 Polinomios resueltos 33. ( - ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 - ( ) ( ) ( 4 ) 3 ( 4 ) 5 3 ( 4 ) ( 5) ( 5) ( ) TEMA RELACIONADO: Binomio de Newton B.3. División 36. ( ):( - ) a) Método de Ruffini Resto: 0 Cociente: 3 b) Método general o estándar Cociente Resto 4/3

5 Polinomios resueltos 37. ( ) :( + ) a) Método de Ruffini Resto Cociente: 3 5 b) Método general Cociente Resto 38. ( ):( + ) 5/3

6 Polinomios resueltos a) Método estándar: Resto: 9 +9 Cociente: b) Método de Ruffini Resto: Cociente: ( ):( + - ) En este caso no podemos aplicar el método de Ruffini, ya que aparece un divisor que no es de la forma ( a) - Método estándar: 6/3

7 Polinomios resueltos Resto: Cociente: - B.4. Saca factor común ( + 3) ( + ) ( + 5) ( + 3) 44. ab 3 - ab 3 ab ( a- b) 45. ab ac a c a(b c ac) ( 3) ( ) a b 3 5 a 3 b 5a b (b 5a) 48. 4abc 6ac 0b c 4bc(a 4a 5bc) y y 5 y y (5y 30 y 3 ) ( ) B.5. Simplifica ( + ) /3

8 Polinomios resueltos ( + ) ( + ) ( + 3) Puede que te estés preguntando por qué el resultado no es 0. La razón por la que en el numerador queda un es que +3 se puede escribir también como: (+3). Así que: + 3 ( + 3) ( + 3) ( + 3) ( -) ( -3) 3 ( -3) 4. También habría podido proceder del siguiente modo: ( 3-9) ( 3-9) ( -) ( -) ( 5-5) ( 5-5 ) ( 3-5 ) ( -) - ( ) ( 5+ 5) ( 5 + 5) ( + ) + ( + )( -) - 8/3

9 Polinomios resueltos ( - ) ( -3) -3 - ( + )( -) y -y 9y -3y y( - 3) 3y( -3) 3 ab-ab ab( a-b) ab 3 3 a b -a b ab( a-b) ab ab B.6. Opera con las siguientes fracciones polinómicas ( -) ( -) ( - )( + ) ( -) ( - )( + ) ( - )( + ) ( -) ( - )( + ) ( - )( + ) ( - ) ( -) ( - ) ( -) ( -) ( - )( + ) ( -) + - ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) + + ( - )( + ) -( -) ( - ) ( + ) 9/3

10 Polinomios resueltos ( ) ( ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) - + ( - ) ( + ) æ ö æ ö ç è ø çè- -ø æ ö - æ + - ö ( - ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ç çè ø ç - - çè ø æ ö æ+ ö ç è( + )( - ) ( + )( - ) ( + )( -) ø çè- ø æ - ö æ+ - + ö + ç è( + )( - ) ( + )( -) ø çè - ø æ -( -) ( -) ö æ ö + ç è( + )( -)( - ) ( + )( -)( -) ø çè- ø æ ö æ ö - èç ( + )( -)( -) ø çè- ø ( + )( -)( -) B.7. Relación entre dividendo, divisor, resto y cociente 74. Determina el valor de m para que el polinomio 3 P( ) - - m+ ( m- 5) al dividirlo por ( - 5) tenga un resto de -4 Por el teorema del resto se tiene que cumplir que P5 ( ) -0, es decir: 3 P( 5) m + ( m - 5) -0 m Calcula el valor de m para que el polinomio 3 p( ) 3m -7-7m + 4m sea divisible por ( - ) Para que el polinomio sea divisible por ( - ) se tienen que cumplir la condición P ( ) 0, es decir: 3 P ( ) 3m -7-7m + 4m 0 m 0/3

11 Polinomios resueltos Así que el polinomio buscado es: 3 P ( ) Calcula el valor de m y n para que el polinomio P ( ) -- m+ n sea divisible simultáneamente por ( - 5) y ( + ) Para que el polinomio sea divisible por ( - 5) y ( + ) se tienen que cumplir las condiciones P5 ( ) 0y P( - ) 0. Es decir: 3 P5 ( ) m+ n 0 3 P( - ) (-) -(-) -(- ) m+ n 0 Tenemos entonces un sistema de ecuaciones, cuyas incógnitas son m y n. resolviendo: - 5m + n -75ü ï m 3;n - 0 m + n 6 ï Conclusión: 3 El polinomio buscado es P ( ) Factoriza los siguiente polinomios 77. P ( ) -- 6 Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los divisores de 6. Probaremos con el - y con el /3

12 Polinomios resueltos Conclusión: P ( ) ( + )( - 3) 78. P ( ) Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los divisores de 6. Probaremos con el 4 y con el Conclusión: P ( ) ( -4)( - 5) P ( ) Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los divisores de 3. Probaremos con el -, y con el Conclusión: P ( ) ( + )( -)( - 3) P ( ) /3

13 Polinomios resueltos Utilizamos Ruffini. Las raíces enteras de P() van están entre los siguientes números, todos divisores de, es decir: y Conclusión: P( ) ( -)( -)( -)( - ) ( -) ( - ) *** 3/3