4º ESO POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa POLINOMIOS
|
|
- Carmen Araya Giménez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 POLINOMIOS 1.- POLINOMIOS Una epresión algebraica está formada por números y letras asociados por medio de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y potenciación). 1 t Ejemplo: 16a + y z + 1 Un monomio es una epresión algebraica en la que únicamente utilizamos la multiplicación y la potencia de eponente natural. Ejemplo: y z, yz, y tz Habitualmente trabajaremos con monomios en una sola variable. Ejemplo: 7, 6,, En un monomio se denomina coeficiente al número que ponemos delante de las letras, y se denomina parte literal a la formada por las letras con sus eponentes. Ejemplo: y z, el coeficiente es y la parte literal es y z Llamamos grado de un monomio a la suma de los eponentes de las letras que forman la parte literal. Ejemplo: y z, este monomio tiene grado 7 (++7), mientras que este yz tendrá grado (+1+1) Un polinomio es la suma o resta de varios monomios. Si el polinomio está formado por dos monomios se llama binomio, si está formado por tres monomios se llama trinomio, si está formado por cuatro o más monomios se le dice polinomio. Ejemplo: P(,y,z,t) y z + yz y tz, y en una sola variable (será lo habitual): Q() + Llamamos grado de un polinomio al mayor de los grados de todos sus monomios. Ejemplo: P(,y,z,t) y z + yz y tz, tiene grado 7 (el mayor de ++, +1+1, ) Q() +, tiene grado Cada monomio que forma parte de un polinomio se llama término del polinomio. Ejemplo: Q() +, tenemos, es el término de grado dos, es el término de grado uno, y es el término independiente, pues no depende de la variable. Llamamos valor numérico de un polinomio al valor que se obtiene al sustituir la variable (letra) por un número que nos deben indicar. Ejemplo: Dado P(,y) y + y y, calcular el valor numérico para 1 e y. Se escribe P(1,) , luego 1 es el valor numérico para 1 e y de ese polinomio. Como normalmente trabajaremos en una sola variables lo más habitual será encontrarnos con algo como lo siguiente: Calcula el valor numérico de Q() +, para, que se denota Q() y se calcula: Q() OPERACIONES CON POLINOMIOS.1 Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes (igual parte literal, mismas letras con mismos eponentes). EJEMPLO_ Calcula P() + Q() y P() Q(), siendo P() y Q() + 6. a) P() + Q() ( ) + ( + 6) b) P() Q() ( ) ( + 6) EJEMPLO_ Calcula P(,y) + Q(,y), siendo P(,y) y y 7y + y Q(,y) y y + y 6. P(,y) + Q(,y) y y 7y + + y y + y 6 6 y y y y + 6 1
2 . Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, esto es, todos por todos, o cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo polinomio y luego se suman los términos semejantes. EJEMPLO_ Calcula P() Q(), siendo P() y Q() + 6. P() Q() ( ) ( + 6) Potencias de polinomios Para elevar un polinomio a una potencia se procede a multiplicar el polinomio por sí mismo las veces que indique el eponente. EJEMPLO_ Calcula: a) ( + ) ( + ) ( + ) b) ( + ) , en este caso hemos utilizado una epresión notable. c) ( ) , también con epresión notable. d) ( + ) , por epresión notables (Binomio de Newton). ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) , como producto de dos potencias cuadradas. ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) , como producto de un cubo y el propio binomio.. División de polinomios..1 División de un monomio entre otro monomio Para dividir un monomio entre otro monomio se divide o simplifican los coeficientes y se dividen aplicando las propiedades de potencias las partes literales. EJEMPLO_ Divide los siguientes monomios: a) y z 6 y z z 7 b) 1.. División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada monomio del polinomio entre el monomio como hemos indicado en el apartado anterior. EJEMPLO_ Divide los siguientes polinomios entre los monomios: a) 6 y z + y z 8 y z 16 y z 6 y z 8 y z + y z 8 y z 16 y z 8 y z 9yz z + y b) División de un polinomio entre otro polinomio Para dividir un polinomio entre otro polinomio se procede como en el ejemplo siguiente: EJEMPLO_ Divide el polinomio P() , entre el polinomio Q() + 1 1) Ordenamos ambos polinomios y los disponemos en forma de división en caja, reservando el espacio de aquel término que no aparezca ( en este caso, ponemos 0 ), no es obligatorio pero sí aconsejable ) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:
3 ) A continuación, se multiplica este cociente 0 por cada término del divisor y se colocan, cambiados de signo, debajo de sus correspondientes términos del dividendo: ) Ahora sumamos y con el polinomio resultante (si todo va bien, el primer término de debe anular y así disminuye el grado del polinomio resultante) se procede igual que en el punto ), se finaliza el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. En este ejemplo, el hecho de guardar sitio al término, facilita el cálculo posterior cuando en el paso ) aparece sumando dicho término entre da de cociente por el divisor y se pasa cambiado de signo, debajo del dividendo resultante Se suman ambas epresiones y se obtiene otro dividendo entre da de cociente por el divisor y se pasa cambiado de signo, debajo del dividendo resultante C() Por último se suman ambas epresiones y se obtiene otro dividendo que por tener menor grado que el del 1 + divisor, marca el final del proceso y por tanto el resto R() de la división y su cociente.
4 ) Como en toda división se cumple la igualdad: D() d() C() + R(), que es la comprobación de la división. Si nos la piden por escrito debemos hacerla obligatoriamente, en cualquier otro caso sería aconsejable hacerla, pues nos permite practicar las operaciones con polinomios. En este caso la hacemos: D() d() C() + R() ( + 1) (0 + ) + ( ) La multiplicación de polinomios también se puede hacer en vertical: Sumamos el resto R() D() División de un polinomio entre otro polinomio del tipo ( a). Regla de Ruffini. Para dividir un polinomio entre otro polinomio del tipo ( a), se puede hacer por el método general epuesto en.. o aplicando la Regla de Ruffini. Esta regla sirve para divisiones en las que el divisor es algo como: ( ), ( + ), pero no sirve para casos en los que el divisor sea algo como: ( + ), ( +1), y se puede utilizar con modificaciones en casos donde el divisor sea del tipo ( + ) (si apareciera algún caso de este tipo, veríamos cómo proceder). EJEMPLO_ Divide el polinomio P() , entre el polinomio Q() ( + ). a) Aplicando el método general, tenemos: C() R() 7 b) Aplicando la regla de Ruffini, tenemos: b 1) Colocamos los coeficientes de los monomios que forman el polinomio, si falta alguno se debe poner un 0 obligatoriamente. P () b ) Se toma el valor de a y se coloca delante de la tabla. Tener en cuenta que en la epresión ( ), a, mientras que en la epresión ( + ) [( ( )], a, por tanto en nuestro caso: ( + ) a b ) Ahora se baja el primer coeficiente,, y a continuación se multiplica por a (que es ) para obtener, que se pone debajo del, se suman ambos y se obtiene 1, este 1 se vuelve a multiplicar por, se obtiene ahora, que se pone debajo del 0, se suman ambos y se obtiene, este se vuelve a multiplicar por, se obtiene ahora +, que se pone debajo del 7, se suman ambos y se obtiene, este se vuelve a multiplicar por, se obtiene
5 ahora +6, que se pone debajo del 1, se suman ambos y se obtiene +7, que es el resto de la división. Los números que aparecen delante del resto, 1, son los coeficientes del cociente C(), pero comenzando con un grado menos que el dividendo D(), esto es debido a que el divisor d() tiene grado uno Resto: R() 7 Cociente: C() +.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS La factorización de polinomios consiste en epresar un polinomio como producto de varios polinomios de menor grado e irreducibles. (Son irreducibles los polinomios de grado uno y algunos de grado par, grado o como mucho grado, normalmente para nosotros). Los polinomios que vamos a factorizar serán en una sola variable como regla general, salvo en algunos casos en los que se puedan aplicar las herramientas mencionadas de factor común y epresiones notables. Para factorizar polinomios se utilizan varias herramientas posibles, el factor común, las epresiones notables y la división de polinomios..1 Herramientas para la factorización.1.1 El factor común En ocasiones el uso del factor común es suficiente para factorizar un polinomio, pero lo normal es que sea una herramienta que se aplique en un primer momento y facilite el trabajo posterior. EJEMPLO_ Factoriza o inicia la factorización del polinomio utilizando el factor común si es posible. a) P() + ( + ), solo permite dar el primer paso de la factorización, así el polinomio ( + ), se factorizará por otros mecanismos que veremos en los próimos apartados. b) P() +, en este caso como un término no tiene es imposible sacar factor común y deberemos recurrir a otros mecanismos de factorización (suele ser lo normal). c) P(,y) 1 y + y 8 y y (y + y ), en polinomios en dos variables como este, la herramienta habitual es el factor común, el polinomio (y + y ), se deja así, salvo que fuera una epresión notable fácil de reconocer..1. Las epresiones notables Hay polinomios que se pueden factorizar fácilmente mediante epresiones notables, lo cual nos ahorrará trabajo y tiempo, pero que también se podrán factorizar por otros mecanismos. Sin embargo hay algún polinomio (rebuscadillo ciertamente) que la mejor forma de ser factorizado es utilizar las epresiones notables (ejemplo e). EJEMPLO_ Factoriza los siguientes polinomios utilizando epresiones notables: a) P() ( + ) ( + ) b) P() ( + 1) ( 1) c) P(,y) y 16 (y + ) (y ), sin la epresión notable no podríamos factorizarlo. d) P() 9 6 ( + 6) ( 6) (d1), este ejercicio se puede hacer sacando previamente factor común P() ( ) 9 ( + ) ( ) (d), se puede observar que el resultado no es igual en su escritura en (d 1) y en (d ), pero para transformar (d 1) en (d ) basta con sacar factor común en los dos factores: ( + ) ( ) 9 ( + ) ( ). Mención especial requiere la transformación de (d ) en (d 1), se trata de meter el 9 en los paréntesis, pero debe entrar en el primero o en el segundo pero no en los dos, o repartirse entre ambos como y, así la epresión: 9 ( + ) ( ) (9 + 18) (9 18) sería un error grave, mientras que: 9 ( + ) ( ) (9 + 18) ( ) ( + ) (9 18) ( + 6) ( 6), serían las tres correctas. e) P() ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1), que por otros mecanismos (Ruffini) resulta muy complicado, pues el valor que se debe tomar como a es el número que anula la epresión ( + 1), que 1 se obtiene de resolver la ecuación de primer grado:
6 .1. La división de polinomios Al igual que al descomponer un número en sus factores primos (factorizarlo), se debe utilizar la división sucesivas veces, en la factorización de polinomios este proceso es similar. Ahora bien, debemos buscar factores del polinomio, igual que al factorizar el número 91, no se nos ocurre probar con el, ni el, ni el, pues las reglas de divisibilidad nos dicen que 91 no es divisible por, ni por, ni por, en polinomios hay un par de teoremas que se asimilan a dichas reglas de divisibilidad, y que son los que nos indicarán si un polinomio irreducible de primer grado del tipo ( a), es o no es factor del polinomio P(), objeto de la factorización Teorema del Resto Dice lo siguiente: El resto de la división de un polinomio P() entre un binomio del tipo ( a), es igual al valor numérico del polinomio en a, P(a), en cristiano sería, Si dividimos un polinomio P() entre un binomio del tipo ( a), el resto de esa división es igual al valor numérico del polinomio en a, P(a), que es valor que se obtiene al poner a en lugar de la del polinomio y hacer el cálculo. De una forma gráfica: P() a R() P(a) C() EJEMPLO_ Calcula el resto de la división del polinomio P() + entre el binomio ( ), de tres formas diferentes: a) Aplicando el método general, tenemos: C() R() 8 b) Aplicando la regla de Ruffini, tenemos: Resto: R() 8 Cociente: C() c) Aplicando el teorema del resto, tenemos: + R() P() C() Luego el resto será: R() P() R() 8 Se puede observar que el teorema del resto es la forma más rápida de obtener el resto, pero tiene el inconveniente de que no nos proporciona el cociente, lo que sí hacen la división y Ruffini. Por tanto, este teorema se utilizará únicamente cuando nos soliciten alguna información que tenga que ver con obtener el resto de la división..1.. Teorema del Factor Dice lo siguiente: Un polinomio P() tiene como factor al binomio ( a), si el valor numérico del polinomio en a es cero, P(a)0, en cristiano sería, Si el binomio ( a) tiene que ser un factor del polinomio P(), esto es debido a que el resto de la división será cero, puesto que, por el teorema del resto se tiene que R() P(a), se debe cumplir que P(a)0. De una forma gráfica: P() a R() P(a) 0 C() Cuando el resto de la división anterior es cero se puede decir que la división es eacta y además:.- a es una raíz del polinomio, hace que el polinomio valga cero al sustituir la por a, P(a)0..- P() es múltiplo de ( a) y de C()..- ( a) y C() son factores de P() y por tanto se cumple que: P() ( a) C().- ( a) y C() son divisores de P(). 6
7 EJEMPLO_ Calcula el valor de m para que ( ) sea factor del polinomio P() + m. a) La mejor forma de calcular m es utilizar el teorema del resto, si R()0 entonces la división es eacta y por tanto ( ) es un factor de P(). También lo es C(), pero no lo podemos calcular por esta vía. Aplicando el teorema del resto (el teorema del factor es el teorema del resto cuando este es 0) tenemos: + m R() P() 0 C() ( ) FACTOR División EXACTA RESTO0 P()0 + m m 0 m6 b) Aplicando Ruffini tenemos: 1 m 6 1 m 6 Resto: R() m 6 0 m6 Cociente: C() Por tanto ( ) es factor de P() si m6. Además el cociente C(), también es factor de P() c) Aplicando el método general, tenemos: + m + C() + m 6 m 6 R() m m6 Por tanto ( ) es factor de P() si m6. Además el cociente C(), también es factor de P(). Factorización Para factorizar un polinomio debemos tener en cuenta los siguientes resultados: - Teorema Fundamental del Álgebra: Un polinomio de grado n tiene como máimo n raíces reales. (Raíz de un polinomio es el numerito que puesto en lugar de la hace que valga cero. También recibe el nombre de solución de un polinomio, pues es la solución de la ecuación que se consigue al igualar el polinomio a cero). - Las raíces enteras de un polinomio se obtienen de entre los divisores del término independiente, si lo tiene. Si no lo tiene, la raíz será cero y se puede sacar factor común a. - Cada raíz r i de P(), (por el Tª del resto, el valor numérico de P() en r i es cero P(r i)0), origina un factor de P(). Así, si P() tiene raíces: r 1, r,,r n se podrá epresar: P() t ( r 1) ( r ) ( r n), siendo t el coeficiente del término de mayor grado del polinomio (coeficiente principal). - Con lo anterior deducimos que, un polinomio de grado dos tendrá dos raíces a lo sumo y por lo tanto dos factores como máimo (puede ser que tenga menos), un polinomio de grado tres tendrá tres raíces reales a lo sumo y por lo tanto tres factores como máimo (puede ser que tenga menos), y así sucesivamente. - Las herramientas usadas para factorizar son: como regla general, la división sucesiva de polinomios, pero en ocasiones se debe utilizar la factorización o la aplicación de epresiones notables. EJEMPLO_ Factoriza el siguiente polinomio: P() 1. 1) Buscamos las raíces enteras del polinomio (cada raíz origina un factor, y en este ejemplo como máimo debemos buscar cuatro raíces), de entre los divisores del término independiente (cuando no las hay, difícilmente se pueda factorizar el polinomio por la división sucesiva). En este caso no hay término independiente, esto supone que 0 es una raíz del polinomio y que es un factor del polinomio. Se cumple: Resto 0 Por tanto tenemos: P() 1 ( 1 ). ) Encontrada la primera raíz, repetimos el proceso ahora con el polinomio que ha quedado en el cociente P 1() 1, el término independiente es, debemos calcular el valor numérico del polinomio en cada uno se sus divisores {±1, ±, ±, ±9, ±1, ±} hasta encontrar uno que sea cero: 7
8 P 1(+1) (1) (1) 1 (1) , supone que 1 no es raíz de P 1() P 1( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) + 1 0, supone que 1 sí es raíz de P 1(), por tanto ( + 1) es factor del polinomio, y el cociente de la división será: Se cumple: Resto: R() 0 Cociente: C() Por tanto tenemos: Resto Resto 0 P() 1 ( 1 ) ( + 1) ( 6 ). ) Encontrada la segunda raíz, nos queda ahora un polinomio de grado dos, tenemos dos opciones, seguir con el proceso de la misma forma y aplicar Ruffini para calcular el nuevo cociente, o bien aplicar la ecuación de segundo grado que nos dará directamente las dos raíces (si eisten) que nos faltan..1) Ruffini. Repetimos el proceso ahora con el polinomio P () 6, el término independiente es, debemos probar con cuál de sus divisores {±1, ±, ±, ±9, ±1, ±} el valor numérico del polinomio es cero: P (+1) (1) 6 (1) 6 8 0, supone que 1 no es raíz de P () P ( 1) ( 1) 6 ( 1) , supone que 1 no es raíz de P () P (+) () 6 () , supone que no es raíz de P () P ( ) ( ) 6 ( ) , supone que sí es raíz de P (), por tanto ( + ) es factor del polinomio, y el cociente de la división será: Se cumple: Resto: R() 0 Cociente: C() 1 ( ) Por tanto tenemos: Resto Resto Resto 0 P() 1 ( 1 ) ( + 1) ( 6 ) ( + 1) ( + ) ( 1) ( + 1) ( + ) ( ) Esta es la epresión del polinomio factorizado, el factor numérico viene originado por el coeficiente principal que era (se ha sacado factor común a en el último paréntesis). De esta manera, la epresión nos indica las raíces y los factores del polinomio que debemos dejar reflejados claramente en una tabla como la siguiente: RAÍCES FACTORES 0 ( 0) 1 ( + 1) ( + ) ( ) Cuando la raíz es 0, el factor por similitud es ( 0), pero se escribe. 8
9 .) Ecuación de segundo grado. Una vez hemos llegado a un polinomio de grado dos, lo más aconsejable es aplicar la ecuación de segundo grado para obtener las raíces que nos faltan (en la práctica es la opción que vamos a utilizar, es más fiable que Ruffini pues en los casos en los que las soluciones no sean enteras (fracciones) Ruffini difícilmente nos dará la solución). En nuestro caso tenemos que factorizar el polinomio P () 6, por lo que debemos hacer: 0 6 ( 6) ± ( 6) ( ) 6 ± ± 76 6 ± Las raíces son y, que originan dos factores ( ) y ( + ). Estos dos factores multiplicados originan el polinomio Q() ( ) ( + ) 1, que no es el polinomio que nosotros buscamos, esto se debe a que todos los polinomios que se obtienen al multiplicar Q() por un número real tienen las mismas raíces y, (Q 1() Q() ( ) ( + ) o Q () Q() 0 ( ) ( + ) o Q () Q() 6 ( ) ( + ), tienen todos las mismas raíces, variando únicamente el coeficiente principal), en nuestro caso falta multiplicar por, que es el coeficiente principal de P (), es muy importante tenerlo en cuenta, la factorización correcta sería: P () ( ) ( + ). Este problema se podía haber solucionado si con anterioridad se hubiera sacado factor común a, bien en el polinomio original, bien en el polinomio de tercer grado o de segundo grado que aparece por el camino y factorizar así un polinomio con un 1 como coeficiente principal: P() 1 ( 17 1) (Ver ejercicio en archivo aneo II) P 1() 1 ( 17 1) P () 6 ( 1) Se cumple: Resto Resto Resto 0 Por tanto tenemos: P() 1 ( 1 ) ( + 1) ( 6 ) ( + 1) ( + ) ( 1) ( + 1) ( + ) ( ) Esta es la epresión del polinomio factorizado, el factor numérico viene originado por el coeficiente principal que era (se ha sacado factor común a en el último paréntesis). De esta manera, la epresión nos indica las raíces y los factores del polinomio que debemos dejar reflejados claramente en una tabla como la siguiente: RAÍCES FACTORES 0 ( 0) 1 ( + 1) ( + ) ( ) Cuando la raíz es 0, el factor por similitud es ( 0), pero se escribe. 9
10 *NOTA: Este proceso de factorización es similar al utilizado con números naturales. Ejemplo: Factoriza , además no influye el orden en el resultado de la factorización: FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es una fracción con un polinomio en el numerador y otro en el denominador. Ejemplo: 1 + 1, + 1, + 1,, y +. y + y Al igual que con las fracciones numéricas, las fracciones algebraicas se pueden simplificar, sumar, restar, multiplicar o dividir, y debemos respetar la jerarquía de operaciones al actuar con ellas. Como cualquier epresión algebraica, se puede calcular el valor numérico de la fracción para a, con la salvedad de que cuando el valor numérico para a en el denominador sea nulo, diremos que la fracción algebraica no tiene valor numérico para a. Ejemplo: Calcula el valor numérico de la fracción algebraica para 1, 0, y : , no tiene sentido numérico, no hay valor numérico para : + ( ) ( ) ( ) + ( ) , no se puede dividir por cero, no hay valor 0 numérico para : 0, sí se puede dividir por cero, el valor numérico para 0 es : + +, el valor numérico para es..1 Simplificación de fracciones algebraicas Para simplificar fracciones algebraicas se factorizan el numerador y el denominador y se simplifican los factores comunes. Ejemplo: Simplifica la fracción algebraica.- Factorizamos el numerador:. + - Sacando factor común (ecuación de segundo grado incompleta): ( 1). - También se puede hacer como ecuación de segundo grado, por el método general: ( 1) ± 0 ( 1) ± ± 1 1 ± 1 11 y Factorizamos el denominador utilizando la ecuación de segundo grado: + ( 1) ( + ) + 0 ± 1 ( ) 1 ± + 1 ± 16 ± 11 y 10
11 . Jerarquía de operaciones con fracciones algebraicas La jerarquía de operaciones con fracciones algebraicas es la misma que con operaciones con números reales. Ejemplo_ Realiza las siguientes operaciones aplicando las propiedades del cálculo con fracciones y la jerarquía de operaciones: : ) Resolvemos la resta calculando el mínimo común múltiplo (M.C.M) de los denominadores, que en este caso es el producto de ambos, y transformando los numeradores. Finalmente dejamos indicado el resultado: ( ) 1 ( + 1) ( + 1) ( ) 1 ( + 1) ( ) ( ) ( + 1) ( ) ) Factorizamos la segunda fracción utilizando epresiones notables: + ( ) ( ) ( + ) ( ) ) Aplicamos la potencia y factorizamos la tercera fracción utilizando la ecuación de segundo grado y las epresiones notables: ( ) ( + 1) ( + ) ± ± ± 16 6 ± 1 1 y ) Colocamos todo junto y realizamos las multiplicaciones y divisiones aplicando lo que conocemos de fracciones con números reales, simplificando la fracción resultante: : ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + 1) 1 ( + 1) ( ) ( + ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) : ( ) ( + 1) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + 1) 11
12 NOTAS_ POLINOMIOS * SÍMBOLOS: _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de izquierda a derecha. _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de derecha a izquierda. _ Doble implica, la relación es cierta en ambos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproimado _ Pertenece _ No pertenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Eiste _ No eiste α _ Alfa β _ Beta γ _ Gamma * PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES SUMA Y PRODUCTO (RESTA Y COCIENTE NO LAS CUMPLEN) SUMA PRODUCTO CONMUTATIVA A + B B + A A B B A ASOCIATIVA (A + B) + C A + (B + C) (A B) C A (B C) ELEMENTO NEUTRO Es aquel valor que operado con A origina A. A + 0 A ELEMENTO NEUTRO ES 0 A 1 A ELEMENTO NEUTRO ES 1 ELEMENTO INVERSO Es aquel valor que operado con A origina el elemento neutro de esa operación. A + ( A) 0 En la suma al elemento inverso se le llama opuesto. A 1 1 En el producto a la epresión llama inverso de A. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA A 1 se le A A (B + C) A B + A C * EXPRESIONES NOTABLES: a) (a+b) a + ab + b b) (a b) a ab + b c) (a+b) (a b) a b d) (a+b) a + a b + ab + b e) (a b) a a b + ab b * ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Dada la ecuación: a + b + c 0 se tiene: b ± b a ac * OPERACIONES CON FRACCIONES:.- Suma y resta _ Hacer el m.c.m. de los denominadores y transformar los numeradores: Producto-Multiplicación_ Numerador-numerador y denominador-denominador: Cociente-División_ Producto cruzado: :
4º ESO ACADÉMICAS POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa POLINOMIOS
POLINOMIOS 1.- POLINOMIOS Una epresión algebraica está formada por números y letras asociados por medio de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y potenciación). 1 t Ejemplo:
Más detalles3º ESO POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa POLINOMIOS
º ESO POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. POLINOMIOS 1.- POLINOMIOS Una expresión algebraica está formada por números y letras asociados por medio de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación,
Más detalles3º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa POLINOMIOS
º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. POLINOMIOS 1.- POLINOMIOS Una expresión algebraica está formada por números y letras asociados por medio de las operaciones aritméticas (suma, resta,
Más detallesPOLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Definición de monomio. Expresión algebraica formada por el producto de un número finito de constantes y variables con exponente natural. Al producto de las constantes
Más detallesExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las
Más detallesEjercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)
Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:
Más detallesCuando p(a) = 0 decimos que el valor a, que hemos sustituido, es una raíz del polinomio.
Regla de Ruffini Teorema del resto Polinomios y fracciones algebraicas Dividir un polinomio por -a Regla de Ruffini Factorización de polinomios Divisibilidad de polinomios Fracciones algebraicas Operaciones
Más detallesPolinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +...
Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... + a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n -1... a 1, a o números,
Más detalles83 ESO. 6x 4. «La clave de todo es la paciencia. Un pollo se obtiene empollando el huevo, no rompiéndolo.»
83 ESO «La clave de todo es la paciencia. Un pollo se obtiene empollando el huevo, no rompiéndolo.» 6 4 10 ÍNDICE: 1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS. DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS 3. REGLA DE RUFFINI
Más detalles1. Expresiones polinómicas con una indeterminada
C/ Francisco García Pavón, 16 Tomelloso 1700 (C. Real) Teléfono Fa: 96 51 9 9 Polinomios 1. Epresiones polinómicas con una indeterminada 1.1. Los monomios Un monomio es una epresión algebraica con una
Más detallesDESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
6. 1 UNIDAD 6 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques la factorización de polinomios cuyos términos tienen coeficientes
Más detallesTema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones
Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones 1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias
Más detallesTEMA 2: POLINOMIOS IDENTIDADES NOTABLES. Ejercicios: 1. Desarrolla las siguientes identidades: 2. Expresa como producto de factores:
IDENTIDADES NOTABLES TEMA : POLINOMIOS a b a b ab a b a b ab a ba b a b Ejercicios:. Desarrolla las siguientes identidades: a y 5 b 5 4y c 5 5. Epresa como producto de factores: 4 a 9 0 0 b 9 6 c 5 9y
Más detalleslasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas
º ESO 1. Expresiones algebraicas En matemáticas es muy común utilizar letras para expresar un resultado general. Por ejemplo, el área de un b h triángulo es base por altura dividido por dos y se expresa
Más detalles3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI
TEMA 3 ÁLGEBRA MATEMÁTICAS CCSSI 1º BACH 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es
Más detallesMatemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1. x 5x 2 6 5
Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio entre otro monomio de grado igual
Más detalles3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES
3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI Un polinomio con indeterminada x es una expresión de la forma: Los números
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Epresiones Algebraicas Racionales EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Llamaremos epresiones algebraicas racionales a las de la forma A() donde A() y B() son B() polinomios de variable, y B() 0. Por ejemplo,
Más detallesPOLINOMIOS. El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
POLINOMIOS Un POLINOMIO es una expresión algebraica de la forma: x 1 + a 0 P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... + a 1 Siendo a n, a n - 1... a 1, a o números, llamados coeficientes.
Más detallesExpresiones algebraicas
Epresiones algebraicas Matemáticas I 1 Epresiones algebraicas Epresiones algebraicas. Monomios y polinomios. Monomios y polinomios. Una epresión algebraica es una combinación de letras, números y signos
Más detallesTEMA 2. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
TEMA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.. Repaso de polinomios - Epresión algebraica. Valor numérico - Polinomios. Operaciones con polinomios.. Identidades notables - Cuadrado de una suma de una diferencia
Más detallesUNIDAD IV CONTENIDO TEMÁTICO
UNIDAD IV CONTENIDO TEMÁTICO OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez 1 ESQUEMA-RESUMEN RESUMEN DE LA UNIDAD IV Conceptos Mínimo común múltiplo OPERACIONES CON FRACCIONES
Más detallesPRÁCTICO: : POLINOMIOS
Página: 1 APUNTE TEÓRICO-PRÁCTICO PRÁCTICO: : POLINOMIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Razonamiento y Resolución de Problemas Carreras: Lic. en Economía, Lic. en Administración, Lic. en
Más detallesUn monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras GRADO 4º
TEMA. POLINOMIOS OPERACIONES. MONOMIOS Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras GRADO º COEFICIENTE PARTE LITERAL. VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO Es el resultado que se obtiene
Más detallesTema 2: Polinomios. factorización de polinomios y algunas aplicaciones de dicha factorización.
Tema 2: Polinomios. En este tema trabajaremos el álgebra y estudiaremos las expresiones algebraicas que son combinaciones de letras y números junto a los signos de las distintas operaciones que conocemos.
Más detallesÁmbito Científico y Tecnológico. Repaso de números enteros y racionales
Ámbito Científico y Tecnológico. Repaso de números enteros y racionales 1 Prioridad de las operaciones Si en una operación aparecen sumas, o restas y multiplicaciones o divisiones, el resultado varía según
Más detallesPOTENCIAS. MÚLTIPLOS Y DIVISORES. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.
1. LOS NÚMEROS NATURALES POTENCIAS. MÚLTIPLOS Y DIVISORES. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. 2. LOS NÚMEROS ENTEROS. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. OPERACIONES.
Más detallesFracciones. 1. Concepto de fracción 1.a. Las fracciones en nuestra vida Lee el texto de pantalla. 1.b. Definición y elementos de una fracción
1. Concepto de fracción 1.a. Las fracciones en nuestra vida Lee el texto de pantalla. Fracciones Pon, al menos tres ejemplos de 1ª Forma: utilización de fracciones en el lenguaje habitual. Uno original
Más detallesPOLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS: 1.- Suma y resta de polinomios: Sumando o restando los monomios que sean semejantes.
Recordemos previamente algunos conceptos: POLINOMIOS MONOMIO: expresión algebraica de la forma a x n, siendo a un número real y n un número natural. ( a se llama coeficiente, x n es la parte literal y
Más detallesMATEMÁTICAS 2º ESO. TEMA 1
MATEMÁTICAS 2º ESO. TEMA 1 1. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 1. Los divisores son siempre menores o iguales que el número. 2. Los múltiplos siempre son mayores o iguales que el número. 3. Para saber si
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En
Más detallesUNIDAD 2.- Polinomios (tema 2 del libro)
UNIDAD.- Polinomios tema del libro). OPERACIONES CON POLINOMIOS n Un monomio en la indeterminada es toda epresión de la forma a donde a se llama coeficiente y n grado del monomio. Dos monomios se dicen
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE II UNIDAD DE APRENDIZAJE 2 ( 12 HORAS)
UNIDAD DE APRENDIZAJE II UNIDAD DE APRENDIZAJE HORAS) Saberes procedimentales Saberes declarativos Identifica y realiza operaciones básicas con expresiones aritméticas. Jerarquía de las operaciones aritméticas.
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS. El tripe de un número menos «cinco» en lenguaje algebraico se escribe
1 Álgebral EXPRESIONES ALGEBRAICAS El tripe de un número menos «cinco» en lenguaje algebraico se escribe 3x 5: 3x 5 es una expresión algebraica donde x es la incógnita. La letra x representa un número
Más detallesTema 2 Algebra. Expresiones algebraicas Índice
Tema 2 Algebra. Expresiones algebraicas Índice 1. Expresiones algebraicas comunes... 2 2. Valor numérico de una expresión algebraica... 2 3. Tipos de expresiones algebraicas... 2 4. Monomios... 2 4.1.
Más detallesPolinomios y Fracciones Algebraicas
Polinomios y Fracciones Algebraicas UNIDAD DIDÁCTICA 2 1 o de Bachillerato CCSS Diana Barredo Blanco 1 1 Profesora de Matemáticas 1 o Bachiller (CCSS) 1. POLINOMIOS 1. POLINOMIOS Polinomio: Un polinomio
Más detallesSe dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal
Expresiones algebraicas 1 MONOMIOS Conceptos Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Más detallesPOLINOMIOS. Un polinomio es una expresión algebraica (conjunto de. números y letras que representan números, conectados por las
POLINOMIOS Teoría 1.- Qué es un polinomio? Un polinomio es una expresión algebraica (conjunto de números y letras que representan números, conectados por las operaciones de suma, resta, multiplicación,
Más detalles5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 1
5 REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 RECONOCER EL GRADO, LOS TÉRMINOS Y EL TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO Nombre: Curso: echa: Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número,
Más detalles5. Producto de dos binomios de la forma: ( ax + c)( bx d )
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN. Productos Notables: Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares,
Más detallesTEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.- POLINOMIOS Recordemos que un monomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
Más detallesExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas
Más detallesRecordar las principales operaciones con expresiones algebraicas.
Capítulo 1 Álgebra Objetivos Recordar las principales operaciones con expresiones algebraicas. 1.1. Números Los números naturales se denotarán por N y están constituidos por 0, 1, 2, 3... Con estos números
Más detallesTEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ficha 0
Ficha 0 Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural o cero, llamadas parte literal. El grado es la suma
Más detallesTema 1 Conjuntos numéricos
Tema 1 Conjuntos numéricos En este tema: 1.1 Números naturales. Divisibilidad 1.2 Números enteros 1.3 Números racionales 1.4 Números reales 1.5 Potencias y radicales 1.7 Logaritmos decimales 1.1 NÚMEROS
Más detallesPolinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales
Más detallesUnidad 1 Números. Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto.
Unidad 1 Números 1.- Números Naturales Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto. El conjunto de números naturales se representa por la letra N Operaciones
Más detallesPartes de un monomio
Monomios Un monomio es una epresión algebraica en la que la únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potencia de eponente natural. Son monomios: NO son monomios: 1 yz 1 abc
Más detallesOPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS. Suma de monomios
OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS Suma de monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de
Más detallesTEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO
TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO 1. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: x
Más detallesPolinomios. 1.- Funciones cuadráticas
Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial
Más detallesDefinición 3 (Polinomio) Se llama polinomio a la suma algebraica de varios monomios de distinto grado:
Polinomios Definición 1 (Expresión algebraica) Una expresión algebraica es una expresión con números y letras (que representan números) en la que aparecen las operaciones usuales: suma, resta, multiplicación,
Más detallesSe llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión.
FACTORIZACION Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión. Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir
Más detalles5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
EJERCICIOS PROPUESTOS 5.1 Divide los siguientes monomios. a) 54x 5 9x 2 b) 63x 12 3x 5 c) 35xy 6 7y 3 d) 121x 2 y 6 11yx 4 a) 54x 5 9x 2 5 5 4x 2 5 4 x 5 9x 9 x 2 6x 3 c) 35xy 6 7y 3 3 6 5xy 3 3 5 x y
Más detallesTema 3. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.
Más detallesEl coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. PARTE LITERAL
TEMA 0 ÁLGEBRA Y FRACCIONES ALGEBRAICAS - 1. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente
Más detalles1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
TEMA 3: POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas
Más detallesCEPA Rosalía de Castro. Fundamentos de Matemáticas Tema 4: Expresiones algebraicas
TEMA 4. Expresiones algebraicas: 1. Una expresión algebraica es una expresión formada por operadores algebraicos que combinan operandos que pueden ser letras o números. Las letras se llaman variables y
Más detallesTEMA 3: Polinomios. Tema 3: Polinomios 1
TEMA : olinomios Tema : olinomios ESQUEMA DE LA UNIDAD.- olinomios. Valor numérico...- olinomios...- Valor numérico de un polinomio..- Suma y resta de polinomios..- Multiplicación de polinomios...- roducto
Más detallesTema 3. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.
Más detallesTEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO
TEMA: 5 ÁLGEBRA º ESO 1. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: x
Más detallesPOLINOMIOS. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
RESUMEN Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas
Más detallesLECTURA Nº 12: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Tenemos un cuadrado cuyos lados miden ( + + ) = + por lo que el área sería: Largo. ancho = ( + ).( + ) = ( + ) Pero ya se conoce el área total que es 9 unidades cuadradas Entonces: ( + ) = 9 donde despejando
Más detallesmartilloatomico@gmail.com
Titulo: RADICACION Año escolar: 3er. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com
Más detalles5.- Potencia de 1 Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Y BASE RACIONAL 1.- 2.- 3.- PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE NÚMEROS RACIONALES Pulsa en las siguientes pestañas para analizar cada una de las propiedades de la multiplicación:
Más detallesLAS FRACCIONES. Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es menor que
LAS FRACCIONES 1. Las fracciones y sus términos.. Nº mixto.. La fracción de un número.. Cálculo de una cantidad, cuando sabemos la fracción de ella.. Fracciones equivalentes.. Fracción irreducible.. Reducción
Más detalles4 ESO. Mat B. Polinomios y fracciones algebraicas
«El que pregunta lo que no sabe es ignorante un día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida» 4 ESO Mat B Polinomios y fracciones algebraicas ÍNDICE: 0. EL LENGUAJE SIMBÓLICO O ALGEBRAICO 1.
Más detallesEcuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado º ESO - º ESO Definición, elementos y solución de la ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo a b donde a y b son números reales conocidos,
Más detallesExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas Elementos de una expresión algebraica Números de cualquier tipo Letras Signos de operación: sumas, restas, multiplicaciones y
Más detallesTema 5. Factorización de Polinomios y fracciones algebraicas.
Tema. Factorización de Polinomios y fracciones algebraicas.. Polinomio múltiplo y divisor. Factor de un polinomio. Ruffini. Valor numérico de un polinomio. Raíz del polinomio.. Factorización de un polinomio..
Más detallesApuntes de matemáticas 2º ESO Curso 2013-2014. Lenguaje algebraico.
Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas
Más detallesoperaciones inversas Para unificar ambas operaciones, se define la potencia de exponente fraccionario:
Potencias y raíces Potencias y raíces Potencia operaciones inversas Raíz exponente índice 7 = 7 7 7 = 4 4 = 7 base base Para unificar ambas operaciones, se define la potencia de exponente fraccionario:
Más detallesCurso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición
Curso de Matemática Unidad 2 Profesora: Sofía Fuhrman Operaciones Elementales II: Potenciación Definición a n = a. a.a a multiplicado por sí mismo n veces. a) Regla de los signos Exponente Par Exponente
Más detallesLección 6: Factorización de Casos Especiales. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 6: Factorización de Casos Especiales Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán polinomios que representan una Diferencia de
Más detallesIV NÚMEROS FRACCIONARIOS.
IV NÚMEROS FRACCIONARIOS.. Qué es una fracción?. Fracciones equivalentes. Definición. Reconocimiento. Obtención.. Simplificación de fracciones.. Comparación de fracciones.. Operaciones con fracciones.
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una epresión algebraica es aquella en la que se operan números conocidos y números desconocidos representados por las letras a, b, c,, y, z,..., que se denominan
Más detallesCURSOSO. Aritmética: Númerosnaturalesyenteros. Númerosracionalesyfraciones. MATEMÁTICAS. AntonioF.CostaGonzález
CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICAS Aritmética: Númerosnaturalesyenteros. Númerosracionalesyfraciones. AntonioF.CostaGonzález DepartamentodeMatemáticasFundamentales FacultaddeCiencias Índice 1 Introducción y objetivos
Más detalles5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
EJERCICIOS PARA ENTRENARSE División y regla de Ruffini 5.26 Realiza estas divisiones. a) (12x 2 yz 6xy 3 8xyz 2 ) (2xy) b) (15x 4 3x 3 9x 2 ) (3x 2 ) c) (5a 3 b 2 10ab 2 15a 3 b 4 ) (5ab 2 ) a) (12x 2
Más detalles3.1 Polinomios Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios.
Tema : Polinomios, Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones..1 Polinomios Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Ejemplo: P(x) = x 4 x + x + 5 Terminología: Ejemplo:
Más detallesI.E.S. ANTONIO DOMÍNGUEZ ORTIZ
I.E.S. ANTONIO DOMÍNGUEZ ORTIZ 3º DE E.S.O TEMA 5 LENGUAJE ALGEBRAICO 1 ÍNDICE 1 DEFINICIONES 1.1 Expresiones algebraicas 1.2 Incógnitas o variables. 1.3 Términos 1.4 Valor numérico de una expresión algebraica.
Más detallesCLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Las expresiones algebraicas se clasifican en: a) racionales; b) irracionales.
Capítulo 3.-EXPRESIONES ALGEBRAICAS OBJETIVOS INSTRUCTIVOS Que el alumno: Distinga la clasificación de las expresiones algebraicas. Aprenda las operaciones con monomios y polinomios y sus aplicaciones
Más detallesRECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO
OBJETIVO RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEICIENTES DE UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios, que son los términos del polinomio.
Más detallesx= 1± 1 24 = 1±5 = 6 0 = 6 18 18 = 1 3 x= 7± 49 60 = 7± 11 10
1.- Ecuaciones de segundo grado. Resolver las siguientes ecuaciones. a) 5x 2 45 = 0, despejando x 2 = 9, y despejando x (3 y 3 son los únicos números que al elevarlo al cuadrado dan 9) obtengo que x1 =
Más detallesUNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS
Matemática Unidad 3-1 UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebraicas Enteras...... 3 Polinomios..... 3 Actividades... 4 Valor Numérico del polinomio........
Más detallesTema 3: Expresiones algebraicas
Tema 3: Expresiones algebraicas Monomios y polinomios Un monomio es una expresión algebraica en las que las únicas operaciones que aparecen son la multiplicación y la potenciación de exponente natural.
Más detallesY LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO. Nombre: Curso: Fecha: F Cómo es el polinomio, completo o incompleto?
REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 3 RECONOCER EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE ORMAN UN POLINOMIO Nombre: Curso: echa: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, que son los
Más detallesTEMA 5: ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1 TEMA 5: ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos entre sí por las operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir y/o por paréntesis. Las
Más detallesExpresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra
Expresiones algebraicas y ecuaciones Melilla Qué es una expresión algebraica? Los padres de Iván le han encargado que vaya al mercado a comprar 4 kg de naranjas y 5 kg de manzanas. Pero no saben lo que
Más detallesNúmeros Naturales (N)
Teoría de Conjuntos Números Naturales (N) Recuerda que: Un conjunto es una colección o agrupación de personas, animales o cosas. Los conjuntos generalmente se simbolizan con letras mayúsculas y sus elementos
Más detallesNÚMEROS ENTEROS. En la recta numérica se pueden representar los números naturales, el cero y los números negativos.
NÚMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros está formado por: Los números positivos (1, 2, 3, 4, 5, ) Los números negativos ( El cero (no tiene signo) Recta numérica En la recta numérica se pueden
Más detallesDE FORMA ALGEBRAICA CIERTAS SITUACIONES
EXPRESAR OBJETIVO DE FORMA ALGEBRAICA CIERTAS SITUACIONES NOMBRE: CURSO: FECHA: LENGUAJE NUMÉRICO Y LENGUAJE ALGEBRAICO El lenguaje en el que intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje
Más detallesLos números naturales
Los números naturales Los números naturales Los números naturales son aquellos que sirven para contar. Se suelen representar utilizando las cifras del 0 al 9. signo suma o resultado Suma: 9 + 12 = 21 sumandos
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS NÚMEROS NATURALES: Son los que utilizamos para contar Ejemplo: Contar el número de alumnos de la clase, escribir el número de la matrícula de un coche Se representan N{0,1,2, } Ejercicio:
Más detallesINSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA Y LUIS LOPEZ TIPO DE GUIA: NIVELACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8 A/B Abril
Más detallesSESIÓN 1 PRE-ALGEBRA, CONCEPTOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS
SESIÓN 1 PRE-ALGEBRA, CONCEPTOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS I. CONTENIDOS: 1. Introducción: de la aritmética al álgebra. 2. Números reales y recta numérica. 3. Operaciones aritméticas básicas con
Más detallesGuía 4. FRACCIONARIOS: si al menos uno de sus términos contiene letras en su denominador
Guía 4 TIPOS DE POLINOMIOS NOTA: término independiente de un polinomio con relación a una letra es el término que no contiene dicha letra. ENTEROS: si cada término del polinomio es entero Ejemplo: mn +
Más detallesUNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS
Ingreso 019 Matemática Unidad 3-1 UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebraicas Enteras...... 3 Polinomios..... 3 Actividades... 4 Valor Numérico del
Más detalles1 of 18 10/25/2011 6:42 AM
Prof. Anneliesse SánchezDepartamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico en AreciboEn esta sección discutiremos Expresiones algebraicas y polinomios. Discutiremos los siguientes tópicos: Introducción
Más detalles53 ESO ÍNDICE: 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2. MONOMIOS 3. POLINOMIOS 4. IDENTIDADES 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS 6. FRACCIONES ALGEBRAICAS
53 ESO ÍNDICE: 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. MONOMIOS 3. POLINOMIOS 4. IDENTIDADES 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS 6. FRACCIONES ALGEBRAICAS El lenguaje algebraico 5. 1 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS LENGUAJE ALGEBRAICO
Más detalles