4º ESO ACADÉMICAS POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa POLINOMIOS
|
|
- María Soledad Fuentes Aguilera
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 POLINOMIOS 1.- POLINOMIOS Una epresión algebraica está formada por números y letras asociados por medio de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y potenciación). 1 t Ejemplo: 1a y z 1 Un monomio es una epresión algebraica en la que únicamente utilizamos la multiplicación y la potencia de eponente natural. Ejemplo: y z, yz, y tz Habitualmente trabajaremos con monomios en una sola variable. Ejemplo: 7,,, En un monomio se denomina coeficiente al número que ponemos delante de las letras, y se denomina parte literal a la formada por las letras con sus eponentes. Ejemplo: y z, el coeficiente es y la parte literal es y z Llamamos grado de un monomio a la suma de los eponentes de las letras que forman la parte literal. Ejemplo: y z, este monomio tiene grado 7 (++=7), mientras que este yz tendrá grado (+1+1)= Un polinomio es la suma o resta de varios monomios. Si el polinomio está formado por dos monomios se llama binomio, si está formado por tres monomios se llama trinomio, si está formado por cuatro o más monomios se le dice polinomio. Ejemplo: P(,y,z,t) = y z + yz y tz, y en una sola variable (será lo habitual): Q() = + 10 Llamamos grado de un polinomio al mayor de los grados de todos sus monomios. Ejemplo: P(,y,z,t) = y z + yz y tz, tiene grado 7 (el mayor de ++, +1+1, ) Q() = + 10, tiene grado Cada monomio que forma parte de un polinomio se llama término del polinomio. Ejemplo: Q() = Q() = + 10, tenemos, es el término de grado tres, es el término de grado uno, y es el término independiente, pues no depende de la variable, en este caso no hay término de grado dos. Llamamos valor numérico de un polinomio al valor que se obtiene al sustituir la variable (letra) por un número que nos deben indicar. Ejemplo: Dado P(,y) = y + y y, calcular el valor numérico para =1 e y=. Se escribe P(1,) = = = 1, luego 1 es el valor numérico para =1 e y= de ese polinomio. Como normalmente trabajaremos en una sola variables lo más habitual será encontrarnos con algo como lo siguiente: Calcula el valor numérico de Q() = + 10, para =, que se denota Q() y se calcula: Q() = + 10 = =.- OPERACIONES CON POLINOMIOS.1 Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes (igual parte literal, mismas letras con mismos eponentes). EJEMPLO_ Calcula P() + Q() y P() Q(), siendo P() = y Q() = +. a) P() + Q() = ( ) + ( + ) = = + + b) P() Q() = ( ) ( + ) = = EJEMPLO_ Calcula P(,y) + Q(,y), siendo P(,y) = y y 7y + y Q(,y) = y y + y. P(,y) + Q(,y) = y y 7y + + y y + y = y y y y + 1
2 . Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, esto es, todos por todos, o cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo polinomio y luego se suman los términos semejantes. EJEMPLO_ Calcula P() Q(), siendo P() = y Q() = +. P() Q() = ( ) ( + ) = = Potencias de polinomios Para elevar un polinomio a una potencia se procede a multiplicar el polinomio por sí mismo las veces que indique el eponente. EJEMPLO_ Calcula: a) ( + ) = ( + ) ( + ) = = b) ( + ) = , en este caso hemos utilizado una epresión notable. c) ( ) = , también con epresión notable. d) ( + ) = , por epresión notables (Binomio de Newton). ( + ) = ( + ) ( + ) = ( ) ( ) = = = = , como producto de dos potencias cuadradas. ( + ) = ( + ) ( + ) = ( ) ( + ) = = = = , como producto de un cubo y el propio binomio.. División de polinomios..1 División de un monomio entre otro monomio Para dividir un monomio entre otro monomio se divide o simplifican los coeficientes y se dividen aplicando las propiedades de potencias las partes literales. EJEMPLO_ Divide los siguientes monomios: a) y z y z z 7 b) 1.. División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada monomio del polinomio entre el monomio como hemos indicado en el apartado anterior. EJEMPLO_ Divide los siguientes polinomios entre los monomios: a) y z y z 8 y z 1 y z y z 8 y z y z 8 y z 1 y z 9yz 8 y z z y b) División de un polinomio entre otro polinomio Para dividir un polinomio entre otro polinomio se procede como en el ejemplo siguiente: EJEMPLO_ Divide el polinomio P() = , entre el polinomio Q() = 1) Ordenamos ambos polinomios y los disponemos en forma de división en caja, reservando el espacio de aquel término que no aparezca ( en este caso, ponemos 0 ), no es obligatorio pero sí aconsejable ) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor (1 entre ):
3 ) A continuación, se multiplica este cociente 8 por cada término del divisor y se colocan, cambiados de signo, debajo de sus correspondientes términos del dividendo: ) Ahora sumamos y con el polinomio resultante (si todo va bien, el primer término de debe anular y así disminuye el grado del polinomio resultante) se procede igual que en el punto ), se finaliza el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. En este ejemplo, el hecho de guardar sitio al término, facilita el cálculo posterior cuando en el paso ) aparece sumando dicho término entre da de cociente por el divisor y se pasa cambiado de signo, debajo del dividendo resultante Sumamos ambas epresiones y se obtiene otro dividendo: entre da de cociente por el divisor y se pasa cambiado de signo, debajo del dividendo resultante Se suman ambas epresiones y se obtiene:
4 entre da de cociente por el divisor y se pasa cambiado de signo, debajo del dividendo resultante = C() Por último se suman ambas epresiones y se obtiene otro dividendo que por tener menor grado que el del divisor, marca el final del proceso y por tanto el resto de la división y su cociente = R() ) Como en toda división se cumple la igualdad: D() = d() C() + R(), que es la comprobación de la división. Si nos la piden por escrito debemos hacerla obligatoriamente, en cualquier otro caso sería aconsejable hacerla, pues nos permite practicar las operaciones con polinomios. En este caso la hacemos: D() = d() C() + R() = ( ) ( ) + ( + ) La multiplicación de polinomios también se puede hacer en vertical: Sumamos el resto R() D() = División de un polinomio entre otro polinomio del tipo ( a). Regla de Ruffini. Para dividir un polinomio entre otro polinomio del tipo ( a), se puede hacer por el método general epuesto en.. o aplicando la Regla de Ruffini. Esta regla sirve para divisiones en las que el divisor es algo como: ( ), ( + ), pero no sirve para casos en los que el divisor sea algo como: ( + ), ( +1), y se puede utilizar con modificaciones en casos donde el divisor sea del tipo ( + ) (si apareciera algún caso de este tipo, veríamos cómo proceder).
5 EJEMPLO_ Divide el polinomio P() = + 10, entre el polinomio Q() = ( + ). a) Aplicando el método general, tenemos: = C() X + 7 R() = 7 b) Aplicando la regla de Ruffini, tenemos: b 1) Colocamos los coeficientes de los monomios que forman el polinomio, si falta alguno se debe poner un 0 obligatoriamente. P () = b ) Se toma el valor de a y se coloca delante de la tabla. Tener en cuenta que en la epresión ( ), a=, mientras que en la epresión ( + ) [( ( )], a=, por tanto en nuestro caso: ( + ) a = 0 +8 b ) Ahora se baja el primer coeficiente,, y a continuación se multiplica por a (que es ) para obtener, que se pone debajo del, se suman ambos y se obtiene 1, este 1 se vuelve a multiplicar por, se obtiene ahora, que se pone debajo del 0, se suman ambos y se obtiene, este se vuelve a multiplicar por, se obtiene ahora 9, que se pone debajo del +8, se suman ambos y se obtiene 1, este 1 se vuelve a multiplicar por, se obtiene ahora, que se pone debajo del +, se suman ambos y se obtiene +7, que es el resto de la división. Los números que aparecen delante del resto, 1 1, son los coeficientes del cociente C(), pero comenzando con un grado menos que el dividendo D(), esto es debido a que el divisor d() tiene grado uno Resto: R() = 7 Cociente: C() = FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS La factorización de polinomios consiste en epresar un polinomio como producto de varios polinomios de menor grado e irreducibles. (Son irreducibles los polinomios de grado uno y algunos de grado par, grado o como mucho grado, normalmente para nosotros). Los polinomios que vamos a factorizar serán en una sola variable como regla general, salvo en algunos casos en los que se puedan aplicar las herramientas mencionadas de factor común y epresiones notables. Para factorizar polinomios se utilizan varias herramientas posibles, el factor común, las epresiones notables y la división de polinomios.
6 .1 Herramientas para la factorización.1.1 El factor común En ocasiones el uso del factor común es suficiente para factorizar un polinomio, pero lo normal es que sea una herramienta que se aplique en un primer momento y facilite el trabajo posterior. EJEMPLO_ Factoriza o inicia la factorización del polinomio utilizando el factor común si es posible. a) P() = + = ( + ), solo permite dar el primer paso de la factorización, así el polinomio ( + ), se factorizará por otros mecanismos que veremos en los próimos apartados. b) P() = +, en este caso como un término no tiene es imposible sacar factor común y deberemos recurrir a otros mecanismos de factorización (suele ser lo normal). c) P(,y) = 1 y + y 8 y = y (y + y ), en polinomios en dos variables como este, la herramienta habitual es el factor común, el polinomio (y + y ), se deja así, salvo que fuera una epresión notable fácil de reconocer..1. Las epresiones notables Hay polinomios que se pueden factorizar fácilmente mediante epresiones notables, lo cual nos ahorrará trabajo y tiempo, pero que también se podrán factorizar por otros mecanismos. Sin embargo hay algún polinomio (rebuscadillo ciertamente) que la mejor forma de ser factorizado es utilizar las epresiones notables (ejemplo e). EJEMPLO_ Factoriza los siguientes polinomios utilizando epresiones notables: a) P() = = ( + ) ( + ) b) P() = = ( + 1) ( 1) c) P(,y) = y 1 = (y + ) (y ), sin la epresión notable no podríamos factorizarlo. d) P() = 9 = ( + ) ( ) (d1), este ejercicio se puede hacer sacando previamente factor común P() = 9 = 9 ( ) = 9 ( + ) ( ) (d), se puede observar que el resultado no es igual en su escritura en (d 1) y en (d ), pero para transformar (d 1) en (d ) basta con sacar factor común en los dos factores: ( + ) ( ) = 9 ( + ) ( ). Mención especial requiere la transformación de (d ) en (d 1), se trata de meter el 9 en los paréntesis, pero debe entrar en el primero o en el segundo pero no en los dos, o repartirse entre ambos como y, así la epresión: 9 ( + ) ( ) = (9 + 18) (9 18) sería un error grave, mientras que: 9 ( + ) ( ) = (9 + 18) ( ) = ( + ) (9 18) = ( + ) ( ), serían las tres correctas. e) P() = = ( + 1) = ( + 1) ( + 1) ( + 1), que por otros mecanismos (Ruffini) resulta muy complicado, pues el valor que se debe tomar como a es el número que anula la epresión ( + 1), que 1 se obtiene de resolver la ecuación de primer grado: +1 = 0 = 1 =.1. La división de polinomios Al igual que al descomponer un número en sus factores primos (factorizarlo), se debe utilizar la división sucesivas veces, en la factorización de polinomios este proceso es similar. Ahora bien, debemos buscar factores del polinomio, igual que al factorizar el número 91, no se nos ocurre probar con el, ni el, ni el, pues las reglas de divisibilidad nos dicen que 91 no es divisible por, ni por, ni por, en polinomios hay un par de teoremas que se asimilan a dichas reglas de divisibilidad, y que son los que nos indicarán si un polinomio irreducible de primer grado del tipo ( a), es o no es factor del polinomio P(), objeto de la factorización Teorema del Resto Dice lo siguiente: El resto de la división de un polinomio P() entre un binomio del tipo ( a), es igual al valor numérico del polinomio en =a, P(a), en cristiano sería, Si dividimos un polinomio P() entre un binomio del tipo ( a), el resto de esa división es igual al valor numérico del polinomio en a, P(a), que es valor que se obtiene al poner a en lugar de la del polinomio y hacer el cálculo. De una forma gráfica: P() a R() = P(a) C()
7 EJEMPLO_ Calcula el resto de la división del polinomio P() = + entre el binomio ( ), de tres formas diferentes: a) Aplicando el método general, tenemos: = C() R() = 8 b) Aplicando la regla de Ruffini, tenemos: Resto: R() = 8 Cociente: C() = c) Aplicando el teorema del resto, tenemos: + R() = P() C() Luego el resto será: R() = P() = + = = 8 R() = 8 Se puede observar que el teorema del resto es la forma más rápida de obtener el resto, pero tiene el inconveniente de que no nos proporciona el cociente, lo que sí hacen la división y Ruffini. Por tanto, este teorema se utilizará únicamente cuando nos soliciten alguna información que tenga que ver con obtener el resto de la división..1.. Teorema del Factor Dice lo siguiente: Un polinomio P() tiene como factor al binomio ( a), si el valor numérico del polinomio en =a es cero, P(a)=0, en cristiano sería, Si el binomio ( a) tiene que ser un factor del polinomio P(), esto es debido a que el resto de la división será cero, puesto que, por el teorema del resto se tiene que R() = P(a), se debe cumplir que P(a)=0. De una forma gráfica: P() a R() = P(a) = 0 C() Cuando el resto de la división anterior es cero se puede decir que la división es eacta y además:.- a es una raíz del polinomio, hace que el polinomio valga cero al sustituir la por a, P(a)=0..- P() es múltiplo de ( a) y de C()..- ( a) y C() son factores de P() y por tanto se cumple que: P() = ( a) C().- ( a) y C() son divisores de P(). EJEMPLO_ Calcula el valor de m para que ( ) sea factor del polinomio P() = + m. a) La mejor forma de calcular m es utilizar el teorema del resto, si R()=0 entonces la división es eacta y por tanto ( ) es un factor de P(). También lo es C(), pero no lo podemos calcular por esta vía. Aplicando el teorema del resto (el teorema del factor es el teorema del resto cuando este es 0) tenemos: + m R() = P() = 0 C() ( ) FACTOR División EXACTA RESTO=0 P()=0 + m = m = 0 m= b) Aplicando Ruffini tenemos: 1 m 1 m Resto: R() = m = 0 m= Cociente: C() = Por tanto ( ) es factor de P() si m=. Además el cociente C() =, también es factor de P() 7
8 c) Aplicando el método general, tenemos: + m + = C() + m m R() = m + = 0 m= Por tanto ( ) es factor de P() si m=. Además el cociente C() =, también es factor de P(). Factorización Para factorizar un polinomio debemos tener en cuenta los siguientes resultados: - Teorema Fundamental del Álgebra: Un polinomio de grado n tiene como máimo n raíces reales. (Raíz de un polinomio es el numerito que puesto en lugar de la hace que valga cero. También recibe el nombre de solución de un polinomio, pues es la solución de la ecuación que se consigue al igualar el polinomio a cero). - Las raíces enteras de un polinomio se obtienen de entre los divisores del término independiente, si lo tiene. Si no lo tiene, la raíz será cero y se puede sacar factor común a. - Cada raíz r i de P(), (por el Tª del resto, el valor numérico de P() en =r i es cero P(r i)=0), origina un factor de P(). Así, si P() tiene raíces: r 1, r,,r n se podrá epresar: P() = t ( r 1) ( r ) ( r n), siendo t el coeficiente del término de mayor grado del polinomio (coeficiente principal). - Con lo anterior deducimos que, un polinomio de grado dos tendrá dos raíces a lo sumo y por lo tanto dos factores como máimo (puede ser que tenga menos), un polinomio de grado tres tendrá tres raíces reales a lo sumo y por lo tanto tres factores como máimo (puede ser que tenga menos), y así sucesivamente. - Las herramientas usadas para factorizar son: como regla general, la división sucesiva de polinomios, pero en ocasiones se debe utilizar la factorización o la aplicación de epresiones notables. EJEMPLO_ Factoriza el siguiente polinomio: P() = 1. 1) Buscamos las raíces enteras del polinomio (cada raíz origina un factor, y en este ejemplo como máimo debemos buscar cuatro raíces), de entre los divisores del término independiente (cuando no las hay, difícilmente se pueda factorizar el polinomio por la división sucesiva). En este caso no hay término independiente, esto supone que =0 es una raíz del polinomio y que es un factor del polinomio. Se cumple: Resto = 0 Por tanto tenemos: P() = 1 = ( 1 ). ) Encontrada la primera raíz, repetimos el proceso ahora con el polinomio que ha quedado en el cociente P 1() = 1, el término independiente es, debemos calcular el valor numérico del polinomio en cada uno se sus divisores {1,,, 9, 1, } hasta encontrar uno que sea cero: P 1(+1) = (1) (1) 1 (1) = 1 = 9 0, supone que =1 no es raíz de P 1() P 1( 1) = ( 1) ( 1) 1 ( 1) = + 1 = 0, supone que = 1 sí es raíz de P 1(), por tanto ( + 1) es factor del polinomio, y el cociente de la división será: Resto: R() = 0 Cociente: C() = 8
9 Se cumple: Resto = Resto = 0 Por tanto tenemos: P() = 1 = ( 1 ) = ( + 1) ( ). ) Encontrada la segunda raíz, nos queda ahora un polinomio de grado dos, tenemos dos opciones, seguir con el proceso de la misma forma y aplicar Ruffini para calcular el nuevo cociente, o bien aplicar la ecuación de segundo grado que nos dará directamente las dos raíces (si eisten) que nos faltan..1) Ruffini. Repetimos el proceso ahora con el polinomio P () =, el término independiente es, debemos probar con cuál de sus divisores {1,,, 9, 1, } el valor numérico del polinomio es cero: P (+1) = (1) (1) = = 8 0, supone que =1 no es raíz de P () P ( 1) = ( 1) ( 1) = + = 0, supone que = 1 no es raíz de P () P (+) = () () = 7 18 = 0, supone que = no es raíz de P () P ( ) = ( ) ( ) = = 0, supone que = sí es raíz de P (), por tanto ( + ) es factor del polinomio, y el cociente de la división será: Resto: R() = 0 Cociente: C() = 1 = ( ) Se cumple: Resto = Resto = Resto = 0 Por tanto tenemos: P() = 1 = ( 1 ) = ( + 1) ( ) = = ( + 1) ( + ) ( 1) = ( + 1) ( + ) ( ) Esta es la epresión del polinomio factorizado, el factor numérico viene originado por el coeficiente principal que era (se ha sacado factor común a en el último paréntesis). De esta manera, la epresión nos indica las raíces y los factores del polinomio que debemos dejar reflejados claramente en una tabla como la siguiente: RAÍCES FACTORES = 0 ( 0) = = 1 ( + 1) = ( + ) = ( ) Cuando la raíz es =0, el factor por similitud es ( 0), pero se escribe. 9
10 .) Ecuación de segundo grado. Una vez hemos llegado a un polinomio de grado dos, lo más aconsejable es aplicar la ecuación de segundo grado para obtener las raíces que nos faltan (en la práctica es la opción que vamos a utilizar, es más fiable que Ruffini pues en los casos en los que las soluciones no sean enteras (fracciones) Ruffini difícilmente nos dará la solución). En nuestro caso tenemos que factorizar el polinomio P () =, por lo que debemos hacer: 0 = 0 = ( ) ( ) ( ) Las raíces son = y =, que originan dos factores ( ) y ( + ). Estos dos factores multiplicados originan el polinomio Q() = ( ) ( + ) = 1, que no es el polinomio que nosotros buscamos, esto se debe a que todos los polinomios que se obtienen al multiplicar Q() por un número real tienen las mismas raíces = y =, (Q 1() = Q() = = ( ) ( + ) o Q () = Q() = 0 = ( ) ( + ) o Q () = Q() = = ( ) ( + ), tienen todos las mismas raíces, variando únicamente el coeficiente principal), en nuestro caso falta multiplicar por, que es el coeficiente principal de P (), es muy importante tenerlo en cuenta, la factorización correcta sería: P () = ( ) ( + ). Este problema se podía haber solucionado si con anterioridad se hubiera sacado factor común a, bien en el polinomio original, bien en el polinomio de tercer grado o de segundo grado que aparece por el camino y factorizar así un polinomio con un 1 como coeficiente principal: Se cumple: P() = 1 = ( 17 1) (Ver ejercicio en archivo aneo II) P 1() = 1 = ( 17 1) P () = = ( 1) Por tanto tenemos: Resto = Resto = Resto = 0 P() = 1 = ( 1 ) = ( + 1) ( ) = = ( + 1) ( + ) ( 1) = ( + 1) ( + ) ( ) Esta es la epresión del polinomio factorizado, el factor numérico viene originado por el coeficiente principal que era (se ha sacado factor común a en el último paréntesis). De esta manera, la epresión nos indica las raíces y los factores del polinomio que debemos dejar reflejados claramente en una tabla como la siguiente: RAÍCES FACTORES = 0 ( 0) = Cuando la raíz es = 1 ( + 1) =0, el factor por = ( + ) similitud es ( 0), pero se escribe. = ( ) *NOTA: Este proceso de factorización es similar al utilizado con números naturales. Ejemplo: Factoriza 8 8 = = 1 = 7 = 7, además no influye el orden en el resultado de la factorización: 8 = 8 = 1 = 7 =
11 .- FRACCIONES ALGEBRAICAS_- NO APLICADAS Una fracción algebraica es una fracción con un polinomio en el numerador y otro en el denominador. Ejemplo: 1 1, 1, 1,, y. y y Al igual que con las fracciones numéricas, las fracciones algebraicas se pueden simplificar, sumar, restar, multiplicar o dividir, y debemos respetar la jerarquía de operaciones al actuar con ellas. Como cualquier epresión algebraica, se puede calcular el valor numérico de la fracción para =a, con la salvedad de que cuando el valor numérico para =a en el denominador sea nulo, diremos que la fracción algebraica no tiene valor numérico para =a. Ejemplo: Calcula el valor numérico de la fracción algebraica para =1, =0, = y =..- =1:.- = : 1 1 0, no tiene sentido numérico, no hay valor numérico para = ( ) ( ) 9 1, no se puede dividir por cero, no hay valor ( ) ( ) 9 0 numérico para = =0: 0, sí se puede dividir por cero, el valor numérico para =0 es =:, el valor numérico para = es..1 Simplificación de fracciones algebraicas Para simplificar fracciones algebraicas se factorizan el numerador y el denominador y se simplifican los factores comunes. Ejemplo: Simplifica la fracción algebraica.- Factorizamos el numerador:. - Sacando factor común (ecuación de segundo grado incompleta): = ( 1). - También se puede hacer como ecuación de segundo grado, por el método general: ( 1) = 0 = ( 1) =1 y =0.- Factorizamos el denominador utilizando la ecuación de segundo grado: + = ( 1) ( + ) + = 0 = 1 ( ) Una vez factorizados el numerador y el denominador nos queda la epresión: 1=1 y = ( 1), esta es la solución que nos piden, tener en cuenta que aunque dan ganas ( 1) ( ) 1 de quitar la del numerador con la del denominador eso sería un error gravísimo, pues la epresión del denominador es una resta y por tanto no se puede simplificar de esa manera, a continuación epongo la simplificación ( 1) 1 errónea: 1 ( 1) ( )
12 . Jerarquía de operaciones con fracciones algebraicas La jerarquía de operaciones con fracciones algebraicas es la misma que con operaciones con números reales. Ejemplo_ Realiza las siguientes operaciones aplicando las propiedades del cálculo con fracciones y la jerarquía de operaciones: 1 1 : 1 1) Resolvemos la resta calculando el mínimo común múltiplo (M.C.M) de los denominadores, que en este caso es el producto de ambos, y transformando los numeradores. Finalmente dejamos indicado el resultado: 1 1 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ) Factorizamos la segunda fracción utilizando epresiones notables: ( ) ( ) ( ) ( ) ) Aplicamos la potencia y factorizamos la tercera fracción utilizando la ecuación de segundo grado y las epresiones notables: 1 ( ) ( 1) ( ) + + = 0 = = 1 y = ) Colocamos todo junto y realizamos las multiplicaciones y divisiones aplicando lo que conocemos de fracciones con números reales, simplificando la fracción resultante: 1 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) : ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1
13 NOTAS_ POLINOMIOS * SÍMBOLOS: _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de izquierda a derecha. _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de derecha a izquierda. _ Doble implica, la relación es cierta en ambos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproimado _ Pertenece _ No pertenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Eiste _ No eiste α _ Alfa β _ Beta _ Gamma * PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES SUMA Y PRODUCTO (RESTA Y COCIENTE NO LAS CUMPLEN) SUMA PRODUCTO CONMUTATIVA A + B = B + A A B = B A ASOCIATIVA (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C) ELEMENTO NEUTRO Es aquel valor que operado con A origina A. ELEMENTO INVERSO Es aquel valor que operado con A origina el elemento neutro de esa operación. A + 0 = A ELEMENTO NEUTRO ES 0 A + ( A) = 0 En la suma al elemento inverso se le llama opuesto. A 1 = A ELEMENTO NEUTRO ES 1 A A 1 = 1 En el producto a la epresión A 1 se le llama inverso de A. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA A (B + C) = A B + A C * EXPRESIONES NOTABLES: a) (a+b) = a + ab + b El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo b) (a b) = a ab + b El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo c) (a+b) (a b) = a b Suma por diferencia, diferencia de cuadrados d) (a+b) = a + a b + ab + b e) (a b) = a a b + ab b * ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Dada la ecuación: a + b + c = 0 se tiene: b b a ac * OPERACIONES CON FRACCIONES:.- Suma y resta _ Hacer el m.c.m. de los denominadores y transformar los numeradores: Producto-Multiplicación_ Numerador-numerador y denominador-denominador: Cociente-División_ Producto cruzado: 9 :
3º ESO POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa POLINOMIOS
º ESO POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. POLINOMIOS 1.- POLINOMIOS Una expresión algebraica está formada por números y letras asociados por medio de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación,
Más detalles4º ESO POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa POLINOMIOS
POLINOMIOS 1.- POLINOMIOS Una epresión algebraica está formada por números y letras asociados por medio de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y potenciación). 1 t Ejemplo:
Más detallesMatemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1. x 5x 2 6 5
Matemáticas B 4º E.S.O. Polinomios y fracciones algebraicas. 1 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio entre otro monomio de grado igual
Más detallesTEMA 2. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
TEMA. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.. Repaso de polinomios - Epresión algebraica. Valor numérico - Polinomios. Operaciones con polinomios.. Identidades notables - Cuadrado de una suma de una diferencia
Más detallesExpresiones algebraicas
Epresiones algebraicas Matemáticas I 1 Epresiones algebraicas Epresiones algebraicas. Monomios y polinomios. Monomios y polinomios. Una epresión algebraica es una combinación de letras, números y signos
Más detallesTEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.- POLINOMIOS Recordemos que un monomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
Más detallesExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas
Más detallesTema 3. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.
Más detallesTEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ficha 0
Ficha 0 Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número, llamado coeficiente, por una o más variables con exponente natural o cero, llamadas parte literal. El grado es la suma
Más detallesLECTURA Nº 12: MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Tenemos un cuadrado cuyos lados miden ( + + ) = + por lo que el área sería: Largo. ancho = ( + ).( + ) = ( + ) Pero ya se conoce el área total que es 9 unidades cuadradas Entonces: ( + ) = 9 donde despejando
Más detalles1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
TEMA 3: POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas
Más detallesLA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (008)
Más detallesTema 2. Polinomios y fracciones algebraicas
Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Polinomios.... Definiciones.... Operaciones con polinomios.... Factorización de un polinomio.... Teorema del resto. Criterio de divisibilidad por -a.... Propiedades
Más detallesUnidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.
Más detallesExpresiones algebraicas
Polinomios Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es cualquier combinación de números y letras relacionados por operaciones aritméticas: suma, resta, producto, división y potenciación. Ejemplos
Más detallesRECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO
OBJETIVO RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEICIENTES DE UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios, que son los términos del polinomio.
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una epresión algebraica es aquella en la que se operan números conocidos y números desconocidos representados por las letras a, b, c,, y, z,..., que se denominan
Más detallesPOLINOMIOS En esta unidad aprenderás a:
POLINOMIOS En esta unidad aprenderás a: Reconocer polinomios y calcular su valor numérico Realizar operaciones con polinomios. Manejar la regla de Ruffini y el teorema del resto para encontrar las raíces
Más detallesEl cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble producto del primero por el segundo.
IDENTIDADES NOTABLES Definición Qué es una identidad notable? Es una identidad algebraica que, por su relevancia y por la gran cantidad de veces que se usa en las operaciones matemáticas, recibe el nombre
Más detallesCURSO PROPEDEUTICO DEALGEBRA PARA BQFT QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 2013 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA
QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 201 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA 1 Operaciones entre Quebrados (Fracciones) Sumar quebrados o fracciones: se calcula el común denominador,
Más detallesPolinomios y fracciones algebraicas. Resolución de ecuaciones polinómicas y racionales.
Polinomios y fracciones algebraicas. Resolución de ecuaciones polinómicas y racionales. Índice de contenido Polinomios y fracciones algebraicas: nociones básicas...2 Qué es y qué no es un polinomio...2
Más detallesEJERCICIOS. 7.3 Valor de un polinomio para x = a. Por lo tanto: para determinar expresiones
or lo tanto: para determinar epresiones a que sean divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deben asignar valores al número a que dividan al término independiente. Apliquemos este resultado
Más detallesFICHAS REPASO 3º ESO. Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y después se aplican las reglas de la suma.
FICHAS REPASO º ESO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de es y el valor absoluto
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS
Más detallesLección 10: División de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 10: División de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 009 Objetivos de la lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Dividirán polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos
Más detallesx a que sean divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deben asignar valores al número a que dividan al término independiente.
or lo tanto: para determinar epresiones a que sean divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deben asignar valores al número a que dividan al término independiente. Apliquemos este resultado
Más detallesEl polinomio. es divisible por x + 1, y. Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio calcula con una división otro factor del polinomio.
1 P() 8 El polinomio es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los correspondientes a las raíces =1 = - Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de Ruffini el tercer factor Comprobar
Más detallesMATERIALES: Cuaderno de 100h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde
MATERIALES: Cuaderno de 00h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde FACTORIZACION - Casos de Factorización - Factor común - Factor común por agrupación
Más detallesDescomposición factorial. Suma o diferencia de cubos perfectos. P r o c e d i m i e n t o
103 Descomposición factorial Suma o diferencia de cubos perfectos P r o c e d i m i e n t o 1. Se abren dos paréntesis 2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
UNIDAD DIDÁCTICA V POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Temario: Definición de epresiones algebraicas y clasificación. Polinomio, grado. Operaciones. Regla de Ruffini. Factorización de Polinomios.
Más detallesBOLETÍN REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO - 2ª PARTE
BOLETÍN REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO - ª PARTE Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación,
Más detallesPOLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Definición de monomio. Expresión algebraica formada por el producto de un número finito de constantes y variables con exponente natural. Al producto de las constantes
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS BÁSICOS POLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO
Unidad : Polinomios y fracciones algebraicas SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS BÁSICOS POLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO. De las siguientes epresiones indicar las que son polinomios o pueden transformarse en polinomios
Más detallesFactorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1. Polinomios Un monomio es el producto de un número real por una o más letras que pueden estar elevadas a exponentes que sean números naturales. La suma de los exponentes de
Más detallesCociente. Resto Cómo procedimos? 3 x por 2
COLEGIO SECUNDARIO LA PLATA Colegio Secundario La Plata Educar para un mundo mejor DIVISIÓN DE POLINOMIOS Definición: Dados dos polinomios, P() y Q(), siempre eisten polinomios C() y R(), únicos, llamados
Más detallesTema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones
Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones 1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias
Más detallesECUACIONES.
. ECUACIONES... Introducción. Recordemos que el valor numérico de un polinomio (y, en general, de cualquier epresión algebraica) se calcula sustituyendo la/s variable/s por números (que, en principio,
Más detallesEcuaciones. Son igualdades algebraicas que se cumplen solo para algunos valores de la letra.
TEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para obtener las epresiones algebraicas hay que utilizar el lenguaje algebraico. Hay epresiones algebraicas de varios tipos: Monomios.
Más detallesCurso º ESO. UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de Morón
2º ESO UNIDADES 6 Y 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas de Morón OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Lenguaje algebraico. Normas y Traducción
Más detallesPolinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +...
Polinomios Primero que todo vamos a definirlos como aquella expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 +... + a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n -1... a 1, a o números,
Más detallesCURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
Más detalles+ 5x. Objetivos Simplificar expresiones algebraicas racionales. Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas racionales.
COLEGIO SECUNDARIO LA PLATA Colegio Secundario La Plata Educar para un mundo mejor Epresiones algebraicas racionales Objetivos Simplificar epresiones algebraicas racionales Sumar, restar, multiplicar y
Más detallesCASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS
CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD N : FACTORIZACION
Más detallesPOLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Monomio: Monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. 2x
Más detallesSemana 6. Factorización. Parte I. Semana Productos 7 notables. Parte II. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es...
Semana Productos 7 notables. Parte II Semana 6 Empecemos! El tema que estudiarás en esta sesión está muy relacionado con el de productos notables, la relación entre estos y la factorización, dado que son
Más detalles2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Tales como, 2X 2 3X + 4 ax + b Se obtienen a partir de variables como X, Y y Z, constantes como -2, 3, a, b, c, d y cobinadas utilizando la suma, resta, multiplicación, división
Más detallesEjercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)
Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:
Más detallesTema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1
Tema 3 Álgebra Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS LA DIVISIBILIDAD EN LOS POLINOMIOS Un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio Q(x) cuando el cociente
Más detallesTEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
TEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Segundo Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.E.S de Fuentesaúco. Manuel González de León. CURSO 2011-2012 Página 1 de 14 Profesor: Manuel González de León Curso
Más detallesECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
7. UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado
Más detallesCurs MAT CFGS-18
Curs 2015-16 MAT CFGS-18 Factorización de un polinomio Sacar factor común Consiste en aplicar la propiedad distributiva: a b + a c + a d = a (b + c + d) Descomponer en factores sacando factor común y hallar
Más detallesRESUMEN ALGEBRA BÁSICA
RESUMEN ALGEBRA BÁSICA TERMINO ALGEBRAICO: Es una expresión matemática que consta de un producto (o cociente) de un número con una variable elevado a un exponente (o con varias variables). TÉRMINO ALGEBRAICO
Más detallesUn monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras GRADO 4º
TEMA. POLINOMIOS OPERACIONES. MONOMIOS Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras GRADO º COEFICIENTE PARTE LITERAL. VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO Es el resultado que se obtiene
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE III
MATEMÁTICAS I ALGEBRA Unidad de Aprendizaje III UNIDAD DE APRENDIZAJE III Saberes procedimentales Saberes declarativos Expresa un polinomio en sus factores primos A Concepto de factores primos algebraicos
Más detallesExpresiones algebraicas
Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las
Más detallesTEMA 5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
TEMA 5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. 1. SACAR FACTOR COMÚN Cuando todos los términos de un polinomio, P(x), son múltiplos de un mismo monomio, M(x), podemos extraer M(x) como factor común. Por ejemplo:
Más detallesMONOMIOS Y POLINOMIOS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS. Calcula el valor numérico pedido para las siguientes expresiones algebraicas.
POLINOMIOS EJERCICIOS PROPUESTOS.1 Calcula el valor numérico pedido para las siguientes epresiones algebraicas. 3 a) f() ; b) g(a, b) 3a 5ab; a 1, b c) h(, y) (y 3) y ;, y 0 3 a) f () 3 1 3 8 b) g(1, )
Más detallesRESUMEN DE CONCEPTOS
RESUMEN DE CONCEPTOS 1º ESO MATEMÁTICAS NÚMEROS NATURALES (1) Múltiplo de un número: Un número es múltiplo de otro si el segundo está contenido en el primero un número exacto de veces. Ejemplo: 16 es múltiplo
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS TEMA 1. ÁLGEBRA Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. A
Más detalles1. Simplifica la escritura de los siguientes monomios y señala sus dos partes y el grado. d) 8xy 3... = 3 b) 5 x y... = h) 3 c) 7 x y y...
Tema 5 ALGEBRA º E.S.O. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Página nº 1 Los monomios 1. Simplifica la escritura de los siguientes monomios y señala sus dos partes y el grado.... = 8y... =...= y 5 y... =... =...= 7
Más detallesTEMA 2 FRACCIONES MATEMÁTICAS 2º ESO
TEMA 2 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,
Más detallesOBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender el concepto de polinomio y otros asociados
Más detallesLICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012 MATEMATICA Benjamín Rojas F. FACTORIZACIÓN
LICEO Nº1 JAVIERA CARRERA 2012 MATEMATICA Benjamín Rojas F. FACTORIZACIÓN Factorizar es transformar un número o una expresión algebraica en un producto. Ejemplos: Transformar en un producto el número 6
Más detallesVamos a ver por separado las operaciones básicas con expresiones algebraicas para monomios y polinomios.
L as operaciones con expresiones algebraicas son las mismas operaciones que se realizan con los números reales. Es decir, que con las expresiones algebraicas podemos realizar las cuatro operaciones básicas
Más detallesUNIDAD DOS FACTORIZACIÓN
UNIDAD DOS FACTORIZACIÓN Factorizar quiere decir descomponer en factores, los factores son divisores de una expresión que, multiplicados entre sí, dan como resultado la primera expresión. FACTOR COMÚN
Más detallesTema 2 Polinomios y fracciones algebraicas 1
Tema Polinomios y fracciones algebraicas 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 1 : Desarrolla y simplifica: b) 4 1 a) 1 5 5 4 c) 1 4 1 d) 1 6 1 1 5 4 4 5 4 a) 1 5 1 5 5 6 5 4 4 5 4 4 b)
Más detallesCuando p(a) = 0 decimos que el valor a, que hemos sustituido, es una raíz del polinomio.
Regla de Ruffini Teorema del resto Polinomios y fracciones algebraicas Dividir un polinomio por -a Regla de Ruffini Factorización de polinomios Divisibilidad de polinomios Fracciones algebraicas Operaciones
Más detalleslasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas
º ESO 1. Expresiones algebraicas En matemáticas es muy común utilizar letras para expresar un resultado general. Por ejemplo, el área de un b h triángulo es base por altura dividido por dos y se expresa
Más detallesGUÍA DE APRENDIZAJE. PROCESO: Prestación del Servicio / Educación Superior
GUÍA UNIDAD No. 04 Programa: Procesos Aduaneros Semestre: Primero 2012 Asignatura: Matemáticas Básicas Nombre Unidad: Factorización Subtemas: Casos de factorización Metodología de Formación: Presencial
Más detallesUNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263)
UNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263) LENGUAJE ALGEBRAICO Una expresión algebraica es aquella que combina: números, operaciones y letras. Ejemplos de expresiones algebraicas: 3 + x x 2 y x + y x 2 y LENGUAJE
Más detallesTRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte)
TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte) NÚMEROS RACIONALES REDUCCIÓN DE FRACCIONES AL MISMO DENOMINADOR Para reducir varias fracciones al mismo denominador se siguen los siguientes pasos:
Más detallesEjemplo 1 Resolver y factorizar la siguiente ecuación =0
Ejemplo 1 Resolver y factorizar la siguiente ecuación. + 4 4=0 Es una ecuación de tercer grado. Para resolver estas ecuaciones (que tienen un grado mayor de 2) tenemos que usar el método de Ruffini. El
Más detallesUNIDAD 5: ÁLGEBRA. Nacho Jiménez ANT ÍNDICE SIG
UNIDAD 5: ÁLGEBRA Nacho Jiménez 0. Conceptos previos ÍNDICE 1. Para qué sirve el álgebra? 2. Expresiones algebraicas 2.1 Monomios 2.2 Suma y resta de monomios 2.3 Multiplicación de monomios 2.4 División
Más detallesFactorización ecuación identidad condicional término coeficiente monomio binomio trinomio polinomio grado ax3
Factorización Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos: Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. Una
Más detallesPRÁCTICO: : POLINOMIOS
Página: 1 APUNTE TEÓRICO-PRÁCTICO PRÁCTICO: : POLINOMIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Razonamiento y Resolución de Problemas Carreras: Lic. en Economía, Lic. en Administración, Lic. en
Más detallesOPERACIONES CON POLINOMIOS
4. 1 UNIDAD 4 OPERACIONES CON POLINOMIOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios.
Más detallesUNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS
República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Ciudad Ojeda, Mayo 2016 ÁLGEBRA Es
Más detallesÁmbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 3 Las letras y los números: un cóctel perfecto
Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 3 Unidad 3 Las letras y los números: un cóctel perfecto En esta unidad vas a comenzar el estudio del álgebra, el lenguaje de las matemáticas. Vas a aprender
Más detallesExpresiones Algebraicas Racionales en los Números Reales
en los Números Reales Carlos A. Rivera-Morales Álgebra Tabla de Contenido Contenido cional nales Algebraica Racional ales : Contenido Discutiremos: qué es una expresión algebraica racional : Contenido
Más detalleslasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas Expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado
lasmatemáticaseu Pedro Castro Ortega Epresiones algebraicas Ecuaciones de primer grado 1 Epresiones algebraicas 11 Definición de epresión algebraica Una epresión algebraica es un conjunto de números letras
Más detallesSe dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal
Expresiones algebraicas 1 MONOMIOS Conceptos Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Más detalles3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI
TEMA 3 ÁLGEBRA MATEMÁTICAS CCSSI 1º BACH 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es
Más detallesAPUNTES DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
FACTORIZACION DE POLINOMIOS. CASO I: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común,
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
Unidad didáctica 5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones
Más detallesTema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Tema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Polinomios Ecuaciones Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones polinómicas de grado superior Ecuaciones racionales Ecuaciones
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS
Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N OBJETIVOS GENERALES Convertir las frases del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico viceversa Identificar a las epresiones algebraicas según sean racionales
Más detallesUnidad didáctica 1. Operaciones básicas con números enteros
Unidad didáctica 1 Operaciones básicas con números enteros 1.- Representación y ordenación de números enteros Para representar números enteros en una recta hay que seguir estos pasos: a) Se dibuja una
Más detallesMATEMÁTICAS TEMA 50. Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas
MATEMÁTICAS TEMA 50 Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas ÍNDICE. 1. Introducción. 2. El anillo de los polinomios. 3. Potencia de un polinomio.
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Epresiones Algebraicas Racionales EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Llamaremos epresiones algebraicas racionales a las de la forma A() donde A() y B() son B() polinomios de variable, y B() 0. Por ejemplo,
Más detallesMATEMÁTICAS GRADO NOVENO
MATEMÁTICAS GRADO NOVENO PRIMERA PARTE TEMA 1: PRODUCTOS NOTABLES CONCEPTO: DEFINICIONES BÁSICAS: Los productos notables son productos algebraicos que pueden ser resueltos por simple inspección, esto quiere
Más detallesRADICACIÓN EN LOS REALES
RADICACIÓN EN LOS REALES La raíz n ésima de un número real es otro número real tal que: n a b si y solo si b n Donde el signo se llama radical, n es el índice, a es el radicando y b es la raíz. En la radicación
Más detallesSuma, diferencia y producto de polinomios
I, Polinomios Suma, diferencia y producto de polinomios Un monomio es una expresión algebraica donde los números (coeficientes) y las letras (parte literal) están separados por el signo de la multiplicación.
Más detalles3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES
3. POLINOMIOS, ECUACIONES E INECUACIONES 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1.- POLINOMIOS FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI Un polinomio con indeterminada x es una expresión de la forma: Los números
Más detallesIdentificar dentro de una fracción algebraica los términos semejantes que se puedan simplificar.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Iniciación al Cálculo Operaciones con fracciones algebraicas Presentación Al realizar operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación
Más detallesI.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas TEMA 6. POLINOMIOS
TEMA 6. POLINOMIOS Una expresión algebraica es un conjunto de letras y números unidos por los signos matemáticos. Las expresiones algebraicas surgen de traducir al lenguaje matemático enunciados en los
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. Página 75 PRACTICA Operaciones con polinomios Efectúa las operaciones y simplifica las siguientes epresiones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6( ) 4( 4) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( ) 9 ( 4 ) 9 4 4 4 5 8 ( ) ( ) 6( ) 6
Más detallesCapítulo 1. Numeración 1 Variables... 2 Números naturales... 2 Números enteros... 3 Números reales Ejercicios Orden y valor absoluto...
ÍNDICE Capítulo 1. Numeración 1 Variables... 2 Números naturales... 2 Números enteros... 3 Números reales... 3 Ejercicios... 5 Orden y valor absoluto... 6 Ejercicios... 7 Suma de números reales... 9 Reglas
Más detalles9 Expresiones racionales
Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Clase #9: viernes, 10 de junio de 2016. 9 Epresiones racionales 9.1 Fracciones
Más detalles83 ESO. 6x 4. «La clave de todo es la paciencia. Un pollo se obtiene empollando el huevo, no rompiéndolo.»
83 ESO «La clave de todo es la paciencia. Un pollo se obtiene empollando el huevo, no rompiéndolo.» 6 4 10 ÍNDICE: 1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS. DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS 3. REGLA DE RUFFINI
Más detalles