9 Expresiones racionales

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1 Programa Inmersión, Verano 2016 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 3001 y MATE 3023 Clase #9: viernes, 10 de junio de Epresiones racionales 9.1 Fracciones equivalentes, divisor común mayor, múltiplo común menor Recuerde que en capítulos anteriores habíamos trabajado con fracciones de enteros. Más aún, en esos capítulos demostramos que dada un fracción a/b, b 0, eisten una cantidad infinita de fracciones que son equivalentes a a/b, i.e. a b a k b k, con k 0. De la misma manera, decimos que una epresión racional, P ()/Q() con P (), Q() polinomios es equivalente a una epresión racional de la forma con k() 0. Ejemplo Algunos ejemplos. P ()k() Q()k(), k(), con k() 0. 2 k() k(), con k() 0. 2 k() 3. Halle una fracción con denominador equivalente a la fracción ( 2)( 3). Por lo tanto, ( + 3)( 3 ( 2)( 3) Antes de continuar con el tema de epresiones racionales, es una buena idea repsar los conceptos de múltiplo común menor (MCM) y divisor común mayor (DCM) de dos o más epresiones. 1

2 Definición El múltiplo común menor de dos naturales a y b es el número natural c 0 tal que 1. a y b dividen a c, 2. c es el número positivo menor divisible por ambos números. Ejemplo Note que MCM(24, 80) 240. De manera similar, podemos definir el MCM de dos polinomios. Definición El múltiplo común menor de dos polinomios P () y Q() es el polinomio M() tal que 1. P () y Q() son factores de M() (lo dividen), 2. M() es el polinomio con grado menor divisible por ambos polinomios. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Halle MCM( 2 1, 2 ). Respuesta: De forma análoga a los enteros, escribimos 2 1 y 2 como producto de factores irreducibles (primos): 2 1 ( + 1)( 1) 2 ( 1). Escogemos los factores primos diferentes que aparecen en ambas factorizaciones y elegimos la potencia mayor que aparece en una o otra factorización. Por lo tanto, MCM( 2 1, 2 ) ( 1)( + 1). Observe que MCM( 2 1, 2 ) ( 1)( + 1) ( 2 1), por lo tanto 2 1 divide a ( 1)(+1). También, MCM( 2 1, 2 ) ( 1)(+1) ( 2 )( + 1), por lo tanto 2 divide a ( 1)( + 1). 2. Halle MCM(6 3, 9 2 ) Escogemos los factores primos diferentes que aparecen en ambas factorizaciones y elegimos la potencia mayor que aparece en una o otra factorización. Por lo tanto, MCM(6 3, 9 2 )

3 3. Halle MCM(24 2, 16y) y 2 4 y. Por lo tanto, MCM(24 2, 16y) y 48 2 y. 4. Halle MCM( , 2 9, ). Resumen: Por lo tanto, ( 3) ( 3)( + 3) ( 3)( 1). MCM( , 2 9, ) ( 3) 2 ( + 3)( 1) Para hallar el múltiplo común menor de dos polinomios, haga lo siguiente: 1. Escriba cada epresión como un producto de potencias de factores irreducibles. 2. Selecciona los factores diferentes que aparecen en las factorizaciones de las epresiones. 3. Toma la máima potencia de cada factor diferente. 4. El múltiplo común menor es el producto de las potencias mayores de los factores diferentes. Ahora trabajaremos con el divisor común de mayor de polinomios. Primero refrescaremos la definición que tenemos para enteros. Definición El divisor común mayor (DCM) de a, b Z (al menos uno de ellos distinto de cero) es el entero positivo d tal que 1. d divide a a y b, 2. d es el entero positivo mayor que divide a ambos. Ejemplo Note que DCM(144, 120) 24. De manera similar, podemos definir el DCM de dos polinomios. 3

4 Definición El divisor común mayor de dos polinomios P () y Q() es el polinomio D() tal que 1. D() es factor de (divide a) P () y Q() 2. D() es el polinomio con grado mayor que divide a ambos polinomios. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Halle el divisor común de 2 1 y 2. Respuesta: De forma análoga a los enteros, escribimos 2 1 y 2 como producto de factores irreducibles (primos): 2 1 ( + 1)( 1) 2 ( 1). Escogemos los factores comunes en ambas factorizaciones y elegimos la potencia menor que aparece en una o otra factorización. Por lo tanto, DCM( 2 1, 2 ) Halle DCM(18 4 y 5, 30 2 y 7 ) y y y y 7. Por lo tanto, DCM(18 4 y 5, 30 2 y 7 ) y y Halle DCM( , 2 9, ) ( 3) ( 3)( + 3) ( 3)( 1). Por lo tanto, DCM( , 2 9, ) 3. Resumen: Para hallar el divisor común mayor de dos polinomios, haga lo siguiente: 4

5 1. Escriba cada epresión como un producto de potencias de factores irreducibles. 2. Selecciona los factores que tienen en común ambas factorizaciones. 3. Toma la menor potencia de cada uno de los factores comunes. 4. El múltiplo común menor es el producto de estas potencias. Simplificación de epresiones racionales En el capítulo 2 (lectura del 1 de junio) dijimos que una fracción de números enteros se encuentra en su forma más simple cuando el numerador y el denominador son relativamente primos, esto es, cuando el DCM de ambos es 1. De forma análoga, decimos que una epresión racional de la forma P ()/Q() con P () y Q() polinomios (Q() 0) está en su forma más simple cuando P () y Q() son relativamentes primos, esto es, cuando DCM(P (), Q()) 1. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Simplifica la epresión 6a2 b 3ab 2. 6a 2 b 3ab 2 3 a a b 2 3 a b b 2a b. 2. Simplifica la epresión 123 y 4y y 4y 22 3 y 4 y Simplifica la epresión ( 2) Simplifica la epresión ( 3)( 1) ( 3)( + 3)

6 5. Simplifica la epresión ( + 3)( + 2) ( 3)( 5) Concluimos que Simplifica la epresión está en su forma más simple. 3 1 ( 1)( ) 1 2 (1 )(1 + ) ( 1)( ) ( 1)(1 + ) Suma y resta de epresiones racionales De manera similar al caso de fracciones de enteros, trabajamos primero el caso cuando tenemos dos epresiones racionales homogeneas. Sean a(), b(), c() polinomios con b() 0. Entonces, a() b() ± c() b() Ejemplo Algunos ejemplos , si 5. a() ± c(). d() Suma y resta de epresiones racionales no homogeneas Para sumar o restar dos epresiones racionales no homogéneas, podemos encontrar epresiones racionales homogéneas equivalentes a las epresiones a considerar y luego sumar o restar utilizando la regla anterior. 6

7 Ejemplo Algunos ejemplos MCM(2 2, 4) 4 2. Entonces, MCM( 2 +, 4 + 4) 4( + 1) (4 + 4). Entonces, ( + 1) 3 4( + 1) 4( + 1) 1 4( + 1) ( 2) También podemos utilizar la siguiente fórmula a() b() ± c() d() Ejemplo Algunos ejemplos a()d() ± b()c(). b()d() 7

8 (4) + 22 (1) (2 2 ) (6 + ) 2(4 2 ) (4 + 4) 3(2 + ) ( 2 + )(4 + 4) ( 2 + )(4 + 4) 2 + ( 2 + )(4 + 4) Multiplicación y división de epresiones racionales La multiplicación y la división de epresiones racionales se basan en el concepto de multiplicación y división de fracciones que analizamos anteriormente. En particular, si a(), b(), c(), d() son polinomios con, entonces a() b() a() b() a() b() a() b() a()c(), con b() 0, d() 0. b()d() a() b() d() c() a()d(), con b() 0, c() 0, d() 0. b()c() Ejemplo Algunos ejemplos y y y 53 y y 4 y ( + 2)( + 3) ( + 1)( + 4) y 5 3y 3 2y 3y 5 (3)(3y) (2y)5 9y 10y. 8

9 Ahora, note que Concluimos que ( ) ( + 6)( 3) ( ) ( + 6)( 3) ( 2)( 3) ( + 6)( 3) 5( 2) Ecuaciones racionales Se dice que una ecuación es racional si se puede escribir de la forma P () Q() 0, para P () y Q() polinomios. Resolver una ecuación racional sobre los números reales consiste en hallar el conjunto de estos números que hacen cierta la ecuación. Para resolver la ecuación P () Q() 0, debemos recordar que una fracción es cero si y solo si su numerador es cero y su denominador es diferente de cero. Para resolver la ecuación, tenemos que hallar los números reales tales que P () 0 y Q() 0. Ejemplo Algunos ejemplos. 1. Halle el conjunto solución de la ecuación Respuesta: Como el denominador nunca es cero, entonces el conjunto solución está dado por aqellos reales para los cuales el numerador sea cero. Por lo tanto, el conjunto solución está dado por {3}. 2. Halle el conjunto solución de la ecuación

10 Respuesta: Primero tenemos que escribir la ecuación en la forma Para esto, note que P () Q() ( + 2) Ahora, note que esta ecuación es cierta cuando y Resolvemos primero Note que El conjunto solución está dado por { 6}. 3. Halle el conjunto solución de la ecuación Respuesta: Primero tenemos que escribir la ecuación en la forma Para esto, note que P () Q()

11 Note que esta ecuación es cierta cuando 3 0 y Concluimos que el conjunto solución está dado por {3}. Otro método para resolver ecuaciones racionales Otro método para resolver ecuaciones racionales es lo que se conoce como el proceso de limpiar el denominador. Eplicaremos este proceso con un ejemplo. Suponga que quiere resolver la ecuación Note que si multiplicamos toda la ecuación por 2, el cual es el denominador común mayor de todas las epresiones racionales, entonce obtenemos , la cual es equivalente a Por lo tanto, obtenemos la ecuación Observe que ( 3)( + 1). Por lo tanto, nuestra ecuación se puede escribir como ( 3)( + 1) 0. Concluimos que el conjunto solución es { 1, 3}. Siempre es una buena idea verificar que en realidad no cometimos un error. Note que si 1, entonces, y si 3, entonces ( 1) Por lo tanto, es cierto que { 1, 3} es el conjunto solución a la ecuación Ejemplo Algunos ejemplos

12 1. Halle el conjunto solución de la ecuación Respuesta: Observe que el denominador mayor común de las epresiones racionales es 3( + 1). Multiplique toda la ecuación por 3( + 1) para obtener 3( + 1) 3 2 3( + 1) Concluimos que el conjunto solución está dado por {8/7}. 2. Halle el conjunto solución de la ecuación Respuesta: Observe que el denominador mayor común de las epresiones racionales es 2 1. Multiplique toda la ecuación por 2 1 para obtener ( 2 7 1) 1 6 (2 1) 2 1 (2 1) 5 7 ( + 1)( 1) El polinomio factoriza como (5 + 3)( 2), por lo tanto, tenemos la ecuación (5 + 3)( 2) 0. Concluimos que o 0 y por lo tanto, el conjunto solución está dado por { 3/5, 2}. 3. Halle el conjunto solución de la ecuación Respuesta: Multiplique toda la ecuación por 3 para obtener ( 3) ( 3) Esto ultimo es una contradicción, por lo tanto, no tenemos soluciones. En otras palabras, el conjunto solución está dado por. 12