CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García

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1 INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica Superior Departamento de Matemáticas 1

2 1. Polinomios y fracciones algebraicas 1.1. Definiciones y resultados previos Definición 1.1. Un polinomio (con coeficientes reales) en la variable x es cualquier expresión (con un número finito de sumandos) de la forma = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, donde a 0, a 1,..., a n R. El coeficiente a 0 es el término independiente del polinomio, mientras que a n se llama el coeficiente principal o director de. Si a n 0, el número n se denomina el grado del polinomio y se dice que tiene grado n. Finalmente cada sumando a j x j recibe el nombre de término o monomio de grado j. Observación. De acuerdo con el número de términos no nulos suelen también distinguirse binomios y trinomios como aquellos polinomios que tienen, respectivamente, sólo dos o tres términos no nulos. Definición 1.2. Sean los polinomios = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, (1) Q(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0. (2) Se dice que ambos polinomios son iguales si ambos son del mismo grado (n = m, a n 0, b m 0) y son iguales los coeficientes de los términos de igual grado: a i = b i, para todo i = 0, 1,..., n. Operaciones con polinomios. La suma de los polinomios = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, Q(x) = b n x n + b n 1 x n b 1 x + b 0, donde estamos suponiendo que ambos polinomios tienen el mismo grado puesto que en caso contrario bastaría añadir a uno de ellos términos nulos, se define como el polinomio + Q(x) = (a n + b n )x n + (a n 1 + b n 1 )x n (a 1 + b 1 )x + a 0 + b 0. El opuesto del polinomio se escribe y verifica que + ( ) = 0. Es claro que sus coeficientes son los opuestos de los coeficientes de. La resta o diferencia entre y Q(x) se obtiene sumando a el opuesto de Q(x). El producto de los monomios a i x i, b j x j es el monomio a i b j x i+j. Dados los polinomios (1) y (2), su producto es el polinomio obtenido sumando todos los productos de cada monomio de por cada monomio de Q(x), es decir Q(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) x + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 1 b 0 ) x 2 + Ejemplo. ()(x 2 + x + 1) = x 5 + x 4 + x 3 x 2 x 1. Observación. En particular, puesto que los números reales pueden considerarse como polinomios de grado cero, el producto de un número real λ por un polinomio se obtiene multiplicando por λ cada coeficiente de, λ = λa 0 + λa 1 x + + λa n x n. Es conveniente recordar las siguientes propiedades de la potenciación: ( Q(x)) n = () n (Q(x)) n, () n () m = () n+m, [( n ] m = () nm. 3

3 1.2. Potencias y productos notables La lista siguiente reúne algunos resultados que suelen ser usados frecuentemente y que son válidos no solo para el producto de números, sino también para el de polinomios: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, (a + b)(a b) = a 2 b 2, (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b Binomio de Newton La siguientes fórmulas, que se conocen como Binomio de Newton, permiten calcular las potencias naturales de a + b y a b, ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) n n = a n n + a n 1 n b + + ab n 1 n + b n, (3) 0 1 n 1 n ( ) ( ) ( ) ( ) (a b) n n = a n n a n 1 b + + ( 1) n 1 n ab n 1 + ( 1) n n b n, (4) 0 1 n 1 n donde el coeficiente que ocupa el lugar j + 1 es el número combinatorio definido como ( ) n n! =, m! = m(m 1) (5) j j!(n j)! Es conveniente recalcar que los signos de los coeficientes en el desarrollo de (a b) n son alternativamente + y, y que el término (j + 1)-ésimo es ( 1) j( n j) a n j b j Divisibilidad de polinomios Si y Q(x) son dos polinomios, se dice que Q(x) divide a o que es divisible por Q(x), si existe un tercer polinomio C(x) tal que = C(x) Q(x). Evidentemente, para que esto sea posible es necesario que el grado del polinomio sea mayor o igual que el grado de Q(x). En general, no siempre un polinomio es divisible por otro Q(x), pero siempre existen dos únicos polinomios C(x) y R(x) (el cociente y el resto de la división) tales que = C(x) Q(x) + R(x), grado R(x) grado Q(x). Por tanto, si R(x) = 0 la división es exacta y el polinomio es divisible por Q(x). El procedimiento para calcular los polinomios cociente y resto es el mismo que empleamos para la división de números: comenzamos dividiendo el término de mayor grado de por el de mayor grado de Q(x) para obtener el término de mayor grado del cociente C(x). A continuación, multiplicamos el término así obtenido por todo el divisor Q(x) y el resultado se resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo parcial. El proceso se repite hasta que el grado del dividendo parcial sea menor que el de Q(x). Ejemplo. Para dividir el polinomio = 6x 4 +4x 2 +x 5 entre el polinomio Q(x) = 2x 2 1, el algoritmo es como sigue: 6x 4 + 4x 2 + x 5 2x 2 1 6x 4 3x 2 3x 2 + 7/2 7x 2 + x 5 7x 2 7/2 x 3/2 Por tanto, el cociente es C(x) = 3x 2 + 7/2 y el resto es R(x) = x 3/2. Un caso muy importante de la división es aquel en que el divisor es un polinomio de primer grado: Q(x) = x a. En esta situación, el polinomio cociente es de un grado una unidad inferior al grado del polinomio divisor, y el resto es un polinomio de grado cero, es decir, un número. Existe un procedimiento rápido, conocido como regla de Ruffini, que permite calcular fácilmente el resto y los coeficientes del polinomio cociente: 1) El coeficiente director del polinomio cociente es igual al coeficiente director del dividendo. 4

4 2) Los restantes coeficientes del polinomio cociente se obtienen multiplicando por a el coeficiente del término de grado una unidad superior y sumando a continuación el coeficiente del término del mismo grado del dividendo: c k = ac k+1 + d k+1. 3) El resto se obtiene de forma similar: R = ac 0 + d 0. Los cálculos se suelen disponer de la siguiente forma: por ejemplo, para dividir 3x 3 5x 2 + 2x 7 entre x 2, disponemos los coeficientes en una tabla de la forma: 2 El primer paso es bajar el primer coeficiente, 3, multiplicarlo por 2 y sumárselo a 5: entonces resulta = 1, para, a continuación multiplicar nuevamente por 2 el resultado obtenido, 1, y después sumarlo a 2: resulta = 4, y finalmente, multiplicamos por 2 el último resultado, 4, y lo sumamos con el último coeficiente, 7: resulta = 1, Esto nos dice que el polinomio cociente es el que tiene por coeficientes (3, 1, 4), es decir, 3x 2 +x+4, mientras que el resto es 1, el último número de la última fila. Observación. Si hubiéramos querido dividir el polinomio 5x 3 x + 2, la primera fila de este procedimiento hubiera estado formada por sus coeficientes (5, 0, 1, 2), puesto que si no aparece x 2 en el polinomio es porque su coeficiente es cero Valores numéricos y raíces de polinomios Definición 1.3. Dado el polinomio = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 y un número real arbitrario α, se llama valor o valor numérico de en el punto x = α al número real que se obtiene sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por el valor α: P (α) = a 0 + a 1 α + + a n α n. Definición 1.4. El número real r es una raíz del polinomio si el valor numérico de en r es nulo, es decir si P (r) = 0. El famoso teorema fundamental del Algebra dice que todo polinomio con coeficientes números complejos tiene tantas raíces complejas como su grado. En particular, todo polinomio de grado n con coeficientes reales tiene como máximo n raíces reales. El resultado siguiente se conoce como teorema del resto y se utiliza con mucha frecuencia. Teorema 1.1. (Teorema del resto.) El resto de la división del polinomio por x α coincide con P (α), el valor numérico de en x = α. Teorema 1.2. El polinomio es divisible por x α si y sólo si P (α) = Cálculo práctico de las raíces de un polinomio Dada la ecuación polinómica con coeficientes enteros a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, sus raíces enteras deben ser divisores del término independiente a 0 y sus raíces fraccionarias p/q deben verificar que p es divisor de a 0 y q de a n. 5

5 1.7. Descomposición de un polinomio en factores Hemos visto que si el polinomio (de grado n) tiene la raíz r 1, forzosamente tiene que ser divisible por x r 1, con lo que = (x r 1 ) C 1 (x) para un cierto polinomio C 1 (x) de grado n 1. Si tiene otra raíz r 2, ésta también debe ser raíz de C 1 (x) y, por tanto, debemos tener que C 1 (x) = (x r 2 ) C 2 (x), es decir, = (x r 1 )(x r 2 ) C 2 (x). Repitiendo este argumento las veces que sea necesario, vemos que: Si el polinomio de grado n tiene las raíces r 1,..., r m, entonces puede descomponerse en la forma = (x r 1 )(x r 2 ) (x r m )C m (x), donde C m (x) es un polinomio de grado n m. En particular, si n = m, es decir, si tiene tantas raíces como su grado, y a n es su coeficiente principal, = a n (x r 1 ) (x r n ). Definición 1.5. Un polinomio se dice irreducible si no puede descomponerse en producto de dos o más polinomios de grado mayor o igual que uno. En consecuencia, todos los polinomios de grado cero (los constantes) y de grado uno son irreducibles. Por otro lado, es fácil convencerse de que los polinomios irreducibles de grado mayor o igual que dos no admiten ninguna raíz real, ya que si r fuera una tal raíz, ya sabemos que se podría descomponer como = (x r) C(x), con lo que sería reducible. De hecho, se verifica que no hay polinomios irreducibles de grado mayor o igual que tres, y por tanto, los polinomios irreducibles de grado mayor que uno son los polinomios de grado dos sin raíces reales, como por ejemplo = x Así pues, podemos concluir que todo polinomio puede descomponerse en producto de factores irreducibles, es decir, de polinomios, o bien de grado uno, o bien de grado dos sin raíces reales Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios La definición y el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es similar al caso de los números enteros. Definición 1.6. Se llama máximo común divisor de los polinomios P 1 (x),..., P n (x) a un polinomio de grado máximo que sea divisor de todos ellos. El mínimo común múltiplo es un polinomio de grado mínimo del cual todos ellos sean divisores. Ambos están determinados salvo por la multiplicación por un polinomio de grado cero, es decir, una constante. Un método, que es útil en muchos casos, para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo consiste en lo siguiente: 1) En primer lugar descomponemos los polinomios en factores irreducibles. Para ello, buscamos todas las raíces reales de los polinomios y/o usamos igualdades conocidas como por ejemplo las vistas en la Sección ) Ahora el máximo común divisor de los polinomios es el producto de los factores irreducibles comunes (a todos los polinomios) elevados al menor de los exponentes con que aparezcan en dichos polinomios. Análogamente, el mínimo común múltiplo es el producto de los factores irreducibles (comunes y no comunes a todos los polinomios) elevados al mayor de los exponentes con que aparezcan en los polinomios Fracciones algebraicas La división de dos polinomios solamente es otro polinomio cuando es exacta. En otro caso, el resultado de la división de entre Q(x) (donde Q(x) 0) no es un polinomio, sino que es una fracción algebraica (también llamada función racional) que escribimos /Q(x). Decimos que dos fracciones algebraicas son iguales (o que son equivalentes) si Q(x) = R(x) S(x) S(x) = R(x) Q(x). Esta definición de igualdad permite dividir el conjunto de todos los polinomios en clases (de equivalencia). En el subconjunto (la clase de equivalencia) formado por todas aquellas fracciones algebraicas que son iguales a 6

6 una dada, /Q(x), podemos elegir una que sea lo mas sencilla posible en un cierto sentido. Esta fracción canónica se obtiene descomponiendo los polinomios y Q(x) en factores irreducibles y eliminando a continuación en y Q(x) los factores comunes. Este procedimiento recibe el nombre de simplificación. Ejemplo. Las fracciones algebraicas son iguales, puesto que x 2 1 y x + 1 x 2 + x + 1 x 2 1 = (x 1)(x + 1) y = (x 1)(x 2 + x + 1), con lo que la segunda es una forma simplificada de la primera y, de hecho, es la forma canónica, ya que tanto su numerador como su denominador son polinomios irreducibles Reducción de fracciones algebraicas a común denominador Dadas dos fracciones algebraicas siempre podemos encontrar otras dos fracciones iguales a las de partida que tengan el mismo denominador. De hecho, podemos conseguir que el denominador común sea el polinomio mínimo común múltiplo de los dos denominadores iniciales. Ejemplo. Podemos reducir las fracciones algebraicas 1/(x 1) y 1/(x + 1) a común denominador haciendo que éste sea el mínimo común múltiplo de x 1 y x + 1 que, en este caso, es (x 1)(x + 1) = x 2 1, del siguiente modo: 1 x 1 = x + 1 (x + 1)(x 1) = x + 1 x 2 1, 1 x + 1 = x 1 (x 1)(x + 1) = x 1 x Suma de fracciones algebraicas Las fracciones algebraicas se suman (o se restan) exactamente igual que las fracciones numéricas ordinarias: Q(x) ± R(x) S(x) ± Q(x)R(x) =. S(x) Q(x)S(x) Sin embargo, con frecuencia es mas sencillo usar el siguiente procedimiento para sumar dos o mas fracciones algebraicas: en primer lugar las reducimos a común denominador. La fracción algebraica suma es, entonces, aquella cuyo numerador es la suma de los numeradores obtenidos tras la reducción y cuyo denominador es el común denominador de los denominadores iniciales. Ejemplo. Para sumar las fracciones x, 1 x 2 + x + 1 y x 2 x 1 observemos que podemos reducirlas primero al denominador común = (x 1)(x 2 + x + 1), por lo que x + 1 x 2 + x x2 x 1 = Producto de fracciones algebraicas x + x 1 + x2 (x 2 + x + 1) = x + (x 1) + x2 (x 2 + x + 1) = x4 + x 3 + x 2 + 2x 1 Como en el caso de la suma, las fracciones algebraicas se multiplican (o dividen) exactamente igual que las fracciones numéricas ordinarias: Q(x) R(x) S(x) = R(x) Q(x)S(x), Q(x) : R(x) S(x) = Q(x). S(x) R(x) = S(x) Q(x)R(x). 7