Fracciones Algebraicas

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1 Fracciones Algebraicas 1 Conceptos básicos Definición 1 Una fracción algebraica en la indeterminada x (o cualquier otra letra) es una expresión de la forma, donde tanto P como Q son polinomios con coeficientes reales en la indeterminada x. Al igual que en el caso de los polinomios, este tipo de expresiones simbolizan para un determinado valor de la indeterminada x un número real, siempre que el polinomio no sea el polinomio nulo, es decir, 0. Al polinomio se le denomina polinomio numerador, mientras que al polinomio se le llama polinomio denominador. Una fracción algebraica se dirá que es propia si gr(p) gr(q). En caso contrario, se dirá que es impropia. Ejemplo 1 Son ejemplos de fracciones algebraicas las siguientes: (a) 3x 5 4x 2 + 2x 3 (b) 4x5 1 3 x + 7 2x 2 + 3x La fracción algebraica del apartado (a) se corresponde con una fracción propia, mientras que la del apartado (b) sería impropia. Definición 2 Al conjunto de todas las fracciones algebraicas en la indeterminada x con coeficientes reales lo simbolizaremos por R(x). Observemos que R(x) es distinto de R[x], que es el anillo de los polinomios con coeficientes reales en la indeterminada x. Estudiaremos aquí también la estructura algebraica de este conjunto, y veremos que R(x) tiene estructura de cuerpo conmutativo, llamado el cuerpo de fracciones de R[x]. Definición 3 Dos fracciones algebraicas, R(x) R(x) se dice que son equivalentes, y lo representaremos escribiendo que R(x) si se verifica la siguiente condición: R(x) R(x) Comentario 1 Nótese cómo la definición de equivalencia de fracciones algebraicas es completamente análoga a la equivalencia establecida para fracciones con números enteros, de manera que podremos decir aquí también que dos fracciones (algebraicas) son equivalentes cuando los productos en cruz son iguales. En adelante, para nosotros dos fracciones algebraicas equivalentes son iguales: R(x) R(x) Ejemplo 2 Las fracciones algebraicas x + 1 y x2 + 2x + 1 son equivalentes. En efecto: 2 2x + 2 (x + 1)(2x + 2) 2x 2 + 4x + 2 2(x 2 + 2x + 1) 1

2 Ejemplo 3 Las fracciones algebraicas x 2 x 3 y x2 4x + 4 x 2 son equivalentes igualmente: 5x + 6 (x 2) (x 2 5x + 6) x 3 7x x 12 (x 3) (x 2 4x + 4) 2 Obtención de fracciones equivalentes a una dada Podemos obtener fracciones algebraicas equivalentes a una dada de dos formas: 1. Amplificando la fracción. Si R(x) R(x), y R(x) R[x], entonces la fracción es equivalente R(x) a. Esto es obvio pues los productos en cruz son claramente iguales (téngase presente que el producto de polinomios es conmutativo). 2. Reduciendo la fracción. Si R(x) y R(x) R[x] cumple ser un divisor común de los polinomios y, entonces la fracción C 1 (x) : R(x) C 2 (x) : R(x) es equivalente a. En efecto, si el polinomio R es un divisor de P y de Q, entonces existen polinomios C 1 (x) y C 2 (x) tales que R(x) C 1 (x) y R(x) C 2 (x). Es evidente de esta manera que Ejemplo 4 C 1 (x) C 2 (x) C 1(x) R(x) C 2 (x) R(x). x 1 (x2 2x + 1) : (x 1) x {{ 2 (x2 3x + 2) : (x 1) x2 2x + 1 x 2 (x2 2x + 1) (x + 1) {{ 3x + 2 (x 2 3x + 2) (x + 1) x3 x 2 x + 1 x 3 2x {{ 2 x + 2 Fracción Reducida Fracción Original Fracción Amplificada 2.1 Fracción irreducible o canónica de una fracción algebraica Ejemplo 5 Obtener la fracción irreducible de la fracción x3 + 3x 2 + 3x + 1 x x + 2 Para obtener su fracción irreducible deberemos previamente factorizar los polinomios numerador y denominador: Se puede comprobar fácilmente que sus descomposiciones son las siguientes: Por tanto: x 3 + 3x 2 + 3x + 1 x 2 + 3x + 2 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 (x + 1) 3 x 2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) siendo esta última fracción la fracción irreducible buscada. Ejemplo 6 Obtener la fracción irreducible de la fracción x2 5x + 6 x 2 4x + 4. (x + 1)3 (x + 1)2 (x + 1)(x + 2) x + 2 x2 + 2x + 1 x + 2 x 2 5x + 6 (x 2)(x 3) x 2 4x + 4 (x 2) 2 x 3 x 2 2

3 3 Operaciones con fracciones algebraicas En el conjunto de las fracciones algebraicas con coeficientes reales en la indeterminada x tenemos establecidas las siguientes operaciones que, como se podrá comprobar, están bien definidas y son cerradas en R(x). 3.1 Suma o Adición Dadas dos fracciones algebraicas, R(x) R(x), se define su suma como una nueva fracción algebraica + R(x) dada por: + R(x) + R(x) Comentario 2 La fracción algebraica suma se obtiene análogamente a como se hacía con números racionales. De igual forma se reduce a común denominador, de manera que, aunque no se haya establecido previamente, la suma de fracciones con igual denominador arroja una fracción con denominador idéntico y con numerador la suma de los numeradores de los sumandos, es decir, + R(x) + R(x). También se puede aquí reducir a común denominador determinando el mínimo común múltiplo de los denominadores, tal y como se obtenía en el apartado de factorización de polinomios. Ejemplos x 2 3x 2 + x x 2 x2 + 5x + 2 3x 2 x 5 2x x 1 (x 5)x + (2x + 1)(3x 1) x2 5x + 6x 2 + x 1 x x(2x + 1) 2x 2 7x2 4x 1 + x 2x 2 + x 3x 2 x(x 1) 2 + x + 1 (3x 2)x + (x + 1)(x 1) x 2 (x 1) x 2 (x 1) 2 4x2 2x 1 x 4 2x 3 + x 2 {{ mcm(x(x 1) 2,x 2 (x 1)) Propiedades algebraicas de la suma En el conjunto de las fracciones algebraicas en la indeterminada x con coeficientes reales provisto de la operación suma definida anteriormente se cumplen las siguientes propiedades: Interna La suma es una buena operación: La suma de fracciones algebraicas es, según la definición, otra fracción algebraica. La suma de fracciones algebraicas es, en sentido estricto, una operación. Asociativa P ( R Q + S + T ) ( P U Q + R ) + T S U, P Q, R S, T U R(x) Conmutativa P Q + R S R S + P Q, P Q, R S R(x) Existencia de Elemento Neutro P Q R(x), E E R(x), tal que P Q + E E E E + P Q P. Evidentemente, la Q fracción E E es la fracción nula, es decir, la fracción

4 Existencia de elemento simétrico (opuesto) P P R(x), Q Q R(x), tal que P Q + P Q P Q + P Q probar que la fracción 0. Es fácil y se la llama la fracción opuesta de la fracción. 3.2 Resta o Diferencia (Sustracción) P (x) Q (x), Dadas dos fracciones algebraicas, R(x) R(x), se define su diferencia como una nueva fracción algebraica R(x) dada por: R(x) R(x) La diferencia está bien definida como operación, aunque no posee propiedades notables. Otra manera de definir la diferencia entre fracciones algebraicas es la siguiente: La diferencia entre las fracciones algebraicas, R(x) R(x) es otra fracción algebraica R(x) dada por: R(x) ( + R(x) ) donde es la fracción opuesta de la fracción. De igual forma que en el caso de la suma, cuando las fracciones algebraicas que deseamos restar poseen idéntico denominador, la diferencia se realizará restando directamente los numeradores manteniendo el mismo denominador, o sea: R(x) R(x) y por supuesto también podremos reducir a común denominador obteniendo el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ejemplos x 6 2x 2 5x + 6 6x2 + 4x 2x 2 5x + 6 6x2 + 4x 6 2x 2 5x + 6 x 5 2x + 1 3x 1 (x 5)x (2x + 1)(3x 1) x2 5x ( 6x 2 + x 1 ) x x(2x + 1) 2x 2 5x2 6x x 2x 2 + x 3.3 Producto o Multiplicación Dadas dos fracciones algebraicas, R(x) R(x), se define su fracción algebraica producto como una nueva fracción algebraica R(x) R(x) dada por: R(x) R(x) 4

5 El resultado de multiplicar dos fracciones algebraicas es una nueva fracción algebraica que está bien definida en tanto que como debe ser 0, 0, entonces es también 0. Comentario 3 El producto de fracciones algebraicas es análogo al producto de fracciones con números enteros. De la misma forma no es necesario en el producto reducir a común denominador las fracciones. Hacerlo suele llevar a realizar un producto mal efectuado. Ejemplos x 2 3x 2 x x 2 (5x 2)(x2 + 4) 3x 2 3x 2 5x3 2x x 8 9x 4 x 5 2x + 1 3x 1 (x 5)(3x 1) 3x2 16x + 5 x (2x + 1)x 2x 2 + x Propiedades algebraicas del producto En el conjunto de las fracciones algebraicas en la indeterminada x con coeficientes reales provisto del producto definido anteriormente se cumplen las siguientes propiedades: Interna El producto es una buena operación: el producto de fracciones algebraicas es, según la definición, otra fracción algebraica. El producto de fracciones algebraicas es, en sentido estricto, una operación. Asociativa P ( R Q S T ) ( P U Q R ) T S U, P Q, R S, T U R(x) Conmutativa P Q R S R S P Q, P Q, R S R(x) Existencia de elemento neutro P Q R(x), E E R(x) tal que P Q E E E E P Q P. Evidentemente, la Q fracción E E es la fracción unidad, es decir, la fracción Existencia de elemento simétrico (inverso) P Q R(x), P Q fácil probar que la fracción aludida es: P (x) Q (x) 1 y se la denomina fracción inversa de la fracción. Distributiva P ( R Q S + T ) P U Q R S + P Q T U, P Q, R S, T U R(x). P 0, Q R(x) tal que P Q P Q P Q P 1. Es Q Todas las propiedades estudiadas hasta ahora, confieren a R(x) de una estructura algebraica de gran importancia: es un cuerpo conmutativo. 5

6 3.4 División (Cociente) Dadas dos fracciones algebraicas, R(x) R(x), se define su cociente como una nueva fracción algebraica dada por: : R(x) R(x). Observemos que el cociente de fracciones algebraicas podría haberse definido por: : R(x) R(x), siendo R(x) R(x) la fracción inversa de la fracción. Por otra parte, recordemos que el cociente de fracciones algebraicas puede representarse, a su vez, en notación fraccionaria, en cuyo caso se define: : R(x) R(x) R(x), por lo que también podemos aplicar aquella regla mnemotécnica utilizada en las fracciones con números enteros: el cociente de fracciones algebraicas es una nueva fracción algebraica, en donde el numerador es el producto de los extremos, y el denominador es el producto de los medios. Por último, decir que la división de fracciones algebraicas no posee propiedades relevantes que merezcan un análisis detenido. 4 Valor verdadero de una fracción algebraica Definición 4 una fracción algebraica con coeficientes reales, y sea a R. Se define el valor verdadero de Sea cuando x a, al valor real, si existe, P(a) Q(a), teniendo en cuenta que si simultáneamente es P(a) Q(a) 0, entonces el valor verdadero es el número real, si existe, P(a), donde es la fracción irreducible (o canónica) Q(a) de la fracción. La definición anterior muestra la existencia de casos en los que a priori no es posible obtener valores numéricos (el valor en el que se evalúa la expresión es simultáneamente raíz de los polinomios y ). Veamos algunos ejemplos de cómo obtener el valor verdadero. Ejemplo 7 Dada la fracción F(x) x2 2x+1, obtener F(0), F(1) y F(2). x 2 3x+2 Observemos que F(0) Por otra parte, F(1) Como se ha visto en la definición, deberemos calcular el verdadero valor a partir de la fracción irreducible de F(x). Dejamos al lector los detalles de la descomposición factorial de los polinomios intervinientes. Es fácil comprobar que (x 1)2 F(x) (x 1)(x 2) x 1 x 2, de modo que el valor de F(1) será: Para finalizar, observemos que F(2) cuando x 2 no existe. F(1) , por lo que hemos de razonar que el verdadero valor de F 6