Tema 1 Conjuntos numéricos

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1 Tema 1 Conjuntos numéricos En este tema: 1.1 Números naturales. Divisibilidad 1.2 Números enteros 1.3 Números racionales 1.4 Números reales 1.5 Potencias y radicales 1.7 Logaritmos decimales

2 1.1 NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD Los números naturales son los que utilizamos para contar. El conjunto de los números naturales se representa con la letra N: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6...} Múltiplos y divisores Dados dos números naturales, a y b, decimos que a es múltiplo de b si a = n b, donde n es otro número natural. 1) 12 es múltiplo de 3, ya que 12 = ) 40 es múltiplo de 8, ya que 40 = 5 8. De este modo, para encontrar los múltiplos de un número vamos multiplicando dicho número por los números naturales. 1) Múltiplos de 2 2, 4, 6, 8, ) Múltiplos de 5 5, 10, 15, 20, Ejercicio: Calcula cinco múltiplos de 4 y de 7 a) Múltiplos de 4 b) Múltiplos de 7 Dados dos números naturales, a y b, decimos que b es divisor de a si a = n b, donde n es otro número natural. 1) 3 es divisor de 12, ya que 12 = 4 3 2) 8 es divisor de 40, ya que 40 = 5 8 Si la división a : b es exacta, a es múltiplo de b y b es divisor de aab. a es múltiplo de b b es divisor de a a es divisible por b Ejemplo: 15 es múltiplo de 3 3 es divisor de es divisible por 3! Nota: 1) Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6, 12. 2) Divisores de 15 1, 3, 5, 15. Ejercicio: Calcula los divisores de 8 y de 20. a) Divisores de 8 b) Divisores de Criterios de divisibilidad los más utilizados. Un número natural es: 2 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de si la suma de sus cifras es múltiplo de

3 Ejemplo: Calcula todos los divisores de y 60 son divisores de y 30 son divisores de y 20 son divisores de y 15 son divisores de y 12 son divisores de y 10 son divisores de 60. Divisores de 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60. Ejercicio: Calcula todos los divisores de Números primos y compuestos sidera número primo). Números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, Ejercicio: Encuentra todos los número primos menores de 100. Un número natural es compuesto si tiene otros divisores además de él mismo y el número Factorización de un número compuesto Factorizar un número es descomponerlo en potencias de factores primos, es decir, expresarlo como un producto de potencias de números primos. Ejemplo: Factoriza los múmeros 60 y 72. Ejercicio: Factoriza los múmeros 84 y 450. Sol.: 84 = ; 450 = Máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.) El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. Ejemplo: Calcula el máximo común divisor de 12 y 28. Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divisores de 28 1, 2, 4, 7, 14, 28. De los divisores comunes, el más grande es el 4: m.c.d. El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes. 2

4 Ejemplo: Calcula el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Múltiplos de 4 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, Múltiplos de 6 6, 12, 18, 24, 30, 36, De los múltiplos comunes, el menor es el 12: m.c.m Para calcular el m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números, se puede utilizar la siguiente regla práctica: m.c.d Factorizamos los números. Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y los multiplicamos. m.c.m Factorizamos los números. Elegimos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente y los multiplicamos. 1) Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de 60 y 72. 2) Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de 6 y 4. 3) Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de 12 y 56. 4) Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de 12, 20 y 50. Ejercicio: Calcula el m.c.d y el m.c.m de: a) 84 i 14. d) 90, 12 i 10. b) 75 i 45. e) 5, 15 i 13. c) 9 i 70. f) 150, 90 i 70. Sol.: a) m.c.d. = 14; m.c.m. = 84 c) m.c.d. = 1*; m.c.m. = 630 e) m.c.d. = 1*; m.c.m. = 195 b) m.c.d. = 15; m.c.m. = 225 d) m.c.d. = 2; m.c.m. = 180 f) m.c.d. = 10; m.c.m. = 3.150! * Nota: Si no hay ningún divisor común, el m.c.d. es 1. 3

5 Ejercicios 1. Calcula cinco múltiplos de los números siguientes: Calcula todos los divisores de los números siguientes: , 32, 20, 153, 25, 48, 91, 92, , 93, 352, 318, 225, 491, 5411, , 36, 20, 350, 355, 32, 35, 81, 89, , 200, 350, 8001, 8005, 70, 425, 53, , 585, 95, 504, 9756, 321, 921, 594, , 28, 335, 333, 336, 422, 84, 1352, , 424, 586, 1.200, 1.336, 4.252, Marca con un círculo los números primos: 35, 41, 39, 12, 25, 96, 97, 51, 2, 63, 5, 81, 7, Calcula el m.c.d. y el m.c.m de los números siguientes: a) 54 y 72. c) 10, 4 y 6. e) 14, 35 y 49. b) 70 y 245. d) 20, 120 y 240. f) 120, 700 y cada 15 minutos; el de la línea 2, cada 25 minutos; y el de la línea 3, cada 10 minutos. Si todos paran a las ocho de la mañana y cumplen puntualmente el horario, cada cuántos minutos volverán a coincidir los 8. 4

6 1.2 NÚMEROS ENTEROS Los números enteros surgieron por la necesidad de resolver operaciones matemáticas que no tienen solución en el pueden expresar con números naturales. El conjunto de los números enteros está formado por: El conjunto de los números enteros lo representamos con Z : =...6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... = ' U 0 U El conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros. Veamos ejemplos del uso de números enteros negativos en la vida cotidiana: 5 ºC Valor absoluto y opuesto El valor absolutoluto se representa con. Ejercicios: El opuesto Op(3 Op(10 Ejercicios: a) b) Op( Comparación de números enteros! Nota: <, >, i. a < b a es más pequeño que b. a b a es más pequeño o igual que b. a > b a es más grande que b. a b a es más grande o igual que b. Dados dos números enteros, el menor es el que está situado más a la izquierda en la recta numérica: 8 < 5 1 < 0 10 Ejercicio: < o > a) c) 5 e) b) d) f) 3 5

7 1.2.3 Operaciones con números enteros Suma y resta de dos números enteros Para sumar o restar dos números enteros, seguimos los pasos siguientes: 1) (3 5 2) 8 3) (1 4) ( ( 7. ( 8. Ejercicio: a) ( b) c) ( d) Sol.: 1; 11; 11; 1. Propiedades de la suma de números enteros Propiedad commutativa: Ejemplo: Propiedad associativa: a b c ab c Ejemplo: Elemento neutro0): a 0 0 a a Elemento simétrico Ejemplo: Suma y resta de más de dos números enteros Para sumar o restar más de dos números enteros, podemos proceder de la siguiente manera: y añadimos ese signo. números enteros de diferente signo. 1) (3 2) ( ) Ejercicio: a) ( ( b) ( c) d) Sol.: a) 18 b) c) 0 d) 6

8 Multiplicación y división exacta de dos números enteros Para multiplicar o dividir dos números enteros, seguimos los siguientes pasos: El resultado es positivo si los dos números tienen el mismo signo. El resultado es negativo si son números de signos diferentes. 1) (4)2 2) (30 5) ( 3) 6) ( Ejercicio: a) (d) ( b) (e) ( c) f)! Nota: Para multiplicar y dividir, aplicamos la regla del producto de signos. Compara los signos: Producto y división 35 5 Suma y resta 3 2 = 5 4 Propiedades de la multiplicación Commutativa: el orden de los factores no altera el producto: Exemple: Asociativa: la forma en que agrupemos los factores no altera el producto: Exemple: Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: Exemple: Elemento neutro Sacar factor común Cuando en una serie de sumandos hay un factor común a todos ellos, podemos sacar factor común aplicando la propi- 1) 2) Ejercicio: Saca factor común y haz las operaciones a) b) Todos los sumandos son múltiplos de 3. 7

9 Multiplicación de más de dos números enteros Para multiplicar más de dos números enteros: El resultado es positivo si hay un número par de factores negativos. El resultado es negativo si hay un número impar de factores negativos. 1) (180 2) ( 3) ( 4) (1 Ejercicio: a) ( b) ( c) ( d) ( Sol.: a) Operaciones combinadas Resolvemos los paréntesis y corchetes. Hacemos los productos y las divisiones en el orden en el que se presenten. Hacemos las sumas y restas. 1) (3) (2) + (5) (+6) + (+3) (4) = ) 5 [ (3) + (+2) (1) + (5) ] + 10 = ( 3 5 ( Ejercicio: a) Sol.: 0 2) (5) 4 [ 4 8:(+3 5) 5 ] = 8:( 5] ) 4 12: [(3) + (+2) ( :(2):(5) ) + (3)] + 10 = ( b) 8 5 [7) )] = Sol.: 117! Nota: Múltiplos y divisores en el conjunto de los números enteros los números enteros: Dados dos números enteros, a i b, decimos que a es múltiplo de b y b es divisor de a si a = n b, donde n es otro número entero. negativos: 1. Múltiples de Divisors de

10 Ejercicios Números enteros 1. 2, Ordena de menor a mayor los números siguientes: 4, 3, 8, Completa con < o >: a) b) c) d) e)12 f) g) h) Calcula: a) 2 b) c) d)12 e) f) g) h) Op( 6. a) x x b) x x c) x 5 x d) x x Suma y resta de números enteros Efectúa las siguientes sumas y restas: 9

11 Ejercicios Operaciones con números enteros 1. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 2. a) b) c) d) e) 3. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 4. a) b) d) e) c) 5. a) d) g) b) e) h) c) f) i) 6. 10

12 Ejercicios Refuerzo de operaciones con números enteros

13 1.3 NÚMEROS RACIONALES Fracciones Una fracción es una expresión del tipo a, en la que a y b son números enteros, con b 0, denominados numerador b y denominador respectivamente a = numerador y b = denominador). Concepto de fracción Una fracción puede representar: El cociente entre dos números enteros: a b expresa el cociente o división de a entre b a : b El resultado del cociente se conoce como expresión decimal de la fracción y puede ser un número entero o un número decimal. Si el numerador es menor que el denominador, el cociente es menor que 1 y la fracción se denomina propia. Si el numerador es mayor que el denominador, el cociente es mayor que 1 y la fracción se denomina impropia. Una parte de la unidad: a b puede representar una parte de la unidad. El denominador indica el número de partes iguales en que dividimos la unidad y el numerador indica el número de partes que queremos destacar. Fracción Parte de la unidad Expresión decimal Propia o impropia Ejercicio: Completa: 0,5 pròpia 0,75 pròpia 1,25 impròpia Fracción Parte de la unidad Expresión decimal Propia o impropia impròpia