Semana 1: Números Reales y sus Operaciones
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- Rosa Lozano Gómez
- hace 6 años
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1 Semana 1: Números Reales y sus Operaciones Taller de Preparación para Prueba PLANEA Ing. Jonathan Quiroga Tinoco Conalep Tehuacán P.T.B. en ADMO, SOMA y EMEC
2 UNIDAD 04 Los números enteros y sus operaciones 1. Los números enteros. Representación y valor absoluto 2. Ordenación de los números enteros 3. Operaciones con números enteros 4. Propiedades de los números enteros 5. Operaciones combinadas 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
3 LOS NÚMEROS ENTEROS 1. Los números enteros. Representación y valor absoluto El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, N, el cero y los números negativos. Lo representamos con la letra Z. Z {, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, } Los utilizamos para expresar temperaturas bajo cero, fechas históricas, altitudes, latitudes, deudas, 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
4 LOS NÚMEROS ENTEROS 1. Los números enteros. Representación y valor absoluto El valor absoluto de un número entero es el mismo número con signo positivo. Se expresa escribiendo el número entre barras. + a a a Dos números enteros son opuestos o simétricos si tienen distinto signo y el mismo valor absoluto Þ op ( 7) 7 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
5 LOS NÚMEROS ENTEROS 2. Ordenación de los números enteros La forma más sencilla de ordenar los números enteros es mediante su representación en la recta numérica. Un número entero a es mayor que un número entero b, a > b, si a está a la derecha de b en la recta numérica, mientras que es menor si se encuentra a la izquierda. También podemos decir que : a > b Û a b > 0 a < b Û a b < 0 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
6 LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción Para sumar dos o más números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los sumandos y se deja el mismo signo. El resultado siempre es un número entero. (+8) + (+3) + (+5) (+16) ( 6) + ( 8) + ( 9) ( 23) 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
7 LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción Para sumar dos o más números enteros de distinto signo se suman por separado los del mismo signo y después se restan sus valores absolutos, el menor del mayor, y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. El resultado es un número entero. ( 5) + (+4) + ( 3) ( 5) + ( 3) + (+4) ( 8) + (+4) ( 4) 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
8 LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Adición y sustracción Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y se obtiene así otro número entero. ( 7) ( 3) ( 7) + (+3) ( 4) 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
9 LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división Para multiplicar dos o más números enteros se multiplican sus valores absolutos. El signo del producto se obtiene mediante la regla de los signos (+ 3) (+ 5) (+15) + (+ 4) ( 5) ( 20) + ( 7) (+ 2) ( 14) + ( 6) ( 3) (+18) 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
10 LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Multiplicación y división Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos. El signo de la división se obtiene mediante la regla de los signos. + : + + (+ 15) : (+ 5) (+3) + : (+ 18) : ( 2) ( 9) : + ( 12) : (+ 4) ( 3) : + ( 24) : ( 6) (+4) 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
11 LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces La potencia de un número entero es otro número entero que se halla multiplicando la base por sí misma tantas veces como indique el exponente. Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva. (+5) 2 25 Si la base es negativa, la potencia será positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar. ( 3) 2 (+9) ( 3) 3 ( 27) 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
12 LOS NÚMEROS ENTEROS 3. Operaciones con números enteros. Potencias y raíces Solo se puede realizar la raíz de un número entero positivo y de cero. a ± b Û (± b) 2 a Ö9 ± 3 Û (±3) 2 9 La raíz de un número entero negativo no existe. 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
13 LOS NÚMEROS ENTEROS 4. Propiedades de los números enteros La suma y la multiplicación de números enteros tienen las siguientes propiedades: Suma Multiplicación Conmutativa ( 3) + (+ 4) (+ 4) + ( 3) ( 3) (+ 4) (+ 4) ( 3) Asociativa [(+ 5) + (+ 7)] + ( 9) (+ 5) + [(+7) + ( 9)] [(+ 5) (+ 7)] ( 9) (+ 5) [(+7) ( 9)] Elemento neutro ( 6) + 0 ( 6) (+ 5) 1 (+ 5) Elemento opuesto o simétrico Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma (+3) + ( 3) 0 ( 2) [(+7) + ( 3)] ( 2) (+7) + ( 2) ( 3) 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
14 LOS NÚMEROS ENTEROS 4. Propiedades de los números enteros Las potencias de números enteros tienen las siguientes propiedades. Multiplicación a m a n a m + n ( 6) 3 ( 6) 2 ( 6) División a m : a n a m n ( 6) 3 : ( 6) 2 ( 6) 3-2 Potencia de una potencia Potencia de cero y de uno (a m ) n a m n [( 6) 2 ] 3 ( 6) 2 3 a 0 1 ( 6) 0 1 a 1 a ( 6) 1 ( 6) 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
15 LOS NÚMEROS ENTEROS 5. Operaciones combinadas Las operaciones entre paréntesis son las primeras que debes realizar. También puedes eliminarlas de la siguiente manera: Si delante del paréntesis hay un signo positivo, los signos de los números que hayan dentro del mismo no se modifican. 3 + ( 7 + 6) Si delante del paréntesis hay un signo negativo, cambiarán de signo todos los números que se encuentren dentro. 5 ( 3 + 8) º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
16 LOS NÚMEROS ENTEROS 5. Operaciones combinadas Cuando hay varias operaciones juntas debes seguir el siguiente orden: 1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis y corchetes. 2.º Calcular las potencias y las raíces. 3.º Realizar las multiplicaciones y divisiones en orden de aparición. 4.º Efectuar las sumas y restas de izquierda a derecha. [( 5) 3] ( 2) + ( 8) : 2 2 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
17 LOS NÚMEROS ENTEROS 5. Operaciones combinadas [( 5) 3] ( 2) + ( 8) : 2 2 ( 8) ( 2) + ( 8) : 2 2 ( 8) ( 2) + ( 8) : 4 (+16) + ( 2) (+14) 1º ESO UNIDAD 04 MATEMÁTICAS
18 UNIDAD 05 Números fraccionarios y sus operaciones 1. Fracciones 2. Simplificación y ampliación de fracciones 3. Comparación y ordenación 4. Operaciones con fracciones 5. Operaciones combinadas 1º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
19 NÚMEROS FRACCIONARIOS 1. Fracciones Una fracción b a es el cociente entre dos números enteros a y b tales que b 0. El denominador b indica las partes iguales en que se divide la unidad. El numerador a indica las partes que se toman de las que se ha dividido la unidad. Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
20 NÚMEROS FRACCIONARIOS 1. Fracciones Una fracción es impropia si el denominador es menor que el numerador. Por ejemplo 9. 6 Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de extremos es igual al producto de medios. a es equivalente a Û a d b c b d c 1º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
21 NÚMEROS FRACCIONARIOS 2. Simplificación y ampliación de fracciones Fracción ampliada Se multiplica el numerador y el denominador por un mismo número mayor que º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
22 NÚMEROS FRACCIONARIOS 2. Simplificación y ampliación de fracciones Fracción simplificada Se divide el numerador y el denominador entre un divisor común mayor que : :2 2 Fracción irreducible Es aquella en la que el máximo común divisor del numerador y denominador (m. c. d.) es 1, es decir, son primos entre sí º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
23 NÚMEROS FRACCIONARIOS 3. Comparación y ordenación Reducir fracciones a común denominador consiste en hallar otras con el mismo denominador que sean equivalentes a las originales. Este denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores y m.c.m.(5, 3) 15 ¾ ¾ ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ y Para comparar fracciones se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. Será mayor la que tenga mayor numerador > º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
24 NÚMEROS FRACCIONARIOS 3. Comparación y ordenación También se pueden comparar fracciones en la recta numérica. Dividimos la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y situamos la fracción en el punto que coincide con el número de partes que indica el numerador. La fracción mayor será la que quede situada a la derecha. 1º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
25 NÚMEROS FRACCIONARIOS 4. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción Si tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador común Si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman o restan los denominadores y se mantiene el denominador común º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
26 NÚMEROS FRACCIONARIOS 4. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción Las propiedades de la suma de fracciones son las siguientes: Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto æ 3 2 ö æ ö æ ö º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
27 NÚMEROS FRACCIONARIOS 4. Operaciones con fracciones. Multiplicación y división Al multiplicar dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores. b a c d b a c d º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
28 NÚMEROS FRACCIONARIOS 4. Operaciones con fracciones. Multiplicación y división Las propiedades de la multiplicación de fracciones son las siguientes: Conmutativa Asociativa Elemento neutro Elemento opuesto Distributiva respecto a la suma o la resta æ 3 2 ö æ 2 1 ö æ ö ± ± º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
29 NÚMEROS FRACCIONARIOS 4. Operaciones con fracciones. Multiplicación y división Al dividir dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. b a : c d b a c d : º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
30 NÚMEROS FRACCIONARIOS 4. Operaciones con fracciones. Potencias Para calcular la potencia de una fracción se multiplica la fracción por sí misma tantas veces como indique el exponente. æ $!!! n veces #!!! " n b a ö b a b a... b a También se puede calcular elevando numerador y denominador al exponente al que está elevada la fracción. n æ n b a ö b a n æ 3 4 ö º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
31 4. Operaciones con fracciones. Potencias NÚMEROS FRACCIONARIOS 1º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS Se pueden realizar las mismas operaciones con las potencias de fracciones que con las potencias de base entera: Multiplicación de potencias de la misma base División de potencias de la misma base Potencia de una potencia q p q p b a b a b a + ö æ ö æ ö æ q p q p b a b a : b a - ö æ ö æ ö æ p q q p b a b a ö æ ú ú û ù ê ê ë é ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ : 2 1 ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ú ú ú û ù ê ê ê ë é ö æ
32 NÚMEROS FRACCIONARIOS 5. Operaciones combinadas Cuando se realizan varias operaciones con fracciones se debe seguir el siguiente orden: 1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis del más interno al más externo. 2.º Calcular las potencias y las raíces. 3.º Realizar las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha según el orden de aparición. 4.º Hallar las sumas y las restas de izquierda a derecha según el orden de aparición. 1º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
33 NÚMEROS FRACCIONARIOS 5. Operaciones combinadas 2 2 æ : ö æ 3 1 ö 3 2 æ ö : æ ö : º ESO UNIDAD 05 MATEMÁTICAS
34 UNIDAD 02 Potencias y raíces 1. Potencias 2. Operaciones con potencias 3. Cuadrados perfectos 4. Raíces cuadradas 1º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
35 POTENCIAS Y RAÍCES 1. Potencias Una potencia es una multiplicación en la que todos los factores son iguales: n veces $!#!" n a a a... a a Las potencias están formadas por dos elementos: Base: es el factor que se repite. Exponente: es el número de veces que se repite la base. 1º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
36 POTENCIAS Y RAÍCES 1. Potencias. Potencias de base 10 Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente Las potencias de base 10 tiene la ventaja de facilitar la escritura de números muy grandes de forma abreviada º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
37 POTENCIAS Y RAÍCES 2. Operaciones con potencias El producto de potencias con la misma base es otra potencia con esa misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores. a m a n a m + n Þ Þ El cociente de potencias con la misma base es igual a otra potencia con la misma base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes del dividendo y del divisor. a m : a n a m n 3 4 : Þ 81 : Þ 9 9 1º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
38 POTENCIAS Y RAÍCES 2. Operaciones con potencias Las potencias de exponente 1 son iguales a la base, es decir, cualquier número elevado a la unidad es ese mismo número. a 1 a Cualquier número, distinto de cero, elevado a cero es siempre igual a la unidad. a º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
39 POTENCIAS Y RAÍCES 2. Operaciones con potencias La potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores. (a b) m a m b m (8 3) Þ Þ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias del dividendo y del divisor. (a : b) m a m : b m (15 : 3) : 3 2 Þ : 9 Þ º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
40 POTENCIAS Y RAÍCES 2. Operaciones con potencias La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (a m ) n a m n (7 2 ) º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
41 POTENCIAS Y RAÍCES 3. Cuadrados perfectos Un cuadrado perfecto es aquel número que se obtiene de elevar al cuadrado un número natural. Observando la siguiente figura es fácil deducir que: Luego los números 1, 4, 9, 16, 25 y 36 son cuadrados perfectos. 1º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
42 POTENCIAS Y RAÍCES 4. Raíces cuadradas La raíz cuadrada de un número natural a es otro número natural b tal que elevado al cuadrado sea igual al número dado a. a b Û (b) 2 a 1º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
43 POTENCIAS Y RAÍCES 4. Raíces cuadradas En toda raíz cuadrada distinguimos: Radical: es el signo de la radicalización. Radicando, a: es el número del que calculamos la raíz cuadrada. Índice: es el es exponente al que está elevada la potencia. Raíz, b: es el resultado de la operación. 1º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
44 POTENCIAS Y RAÍCES 4. Raíces cuadradas Cuando al hacer la operación raíz cuadrada de un número obtenemos un resultado exacto, estaremos antes una raíz cuadrada exacta Cuando el último resto es distinto de cero tenemos una raíz cuadrada entera ,30... No existen las raíces cuadradas de los números negativos. 1º ESO UNIDAD 02 MATEMÁTICAS
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