NÚMEROS NÚMEROS REALES

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1 NÚMEROS NÚMEROS REALES A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números. N = {,,,,,... } Si a, b N entonces a + b N y a. b N. No es cierto en general que si a, b N entonces a b N. Esto ocurre si y sólo si b < a. Ejemplo: = 0 N = N = N Indicamos con N = { a / a N } o sea N = {,,,,,...} N 0 = N {0} Observamos que: a N si y sólo si a N N N = Definimos al conjunto de los números enteros como Z = N {0} N Los naturales se identifican con los enteros positivos, es decir N Z Ejercicio : Existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás?, y mayor o igual que todos los demás?. Ejercicio : Cuántos enteros existen entre los números consecutivos y?; y entre y 6?; y entre n y n +?. Página

2 Curso de Apoyo en Matemática Ejercicio : Cuántos enteros existen entre y 0?; y entre y 7?. Ejercicio : Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen entre dos enteros dados?. Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?. Observemos que: b Z implica b Z a, b Z implica a + b Z a, b Z implica a b Z pues: a b = a + ( b) ; como b Z ; por lo anterior resulta a + ( b) Z. a, b Z implica a. b Z Sean a, b Z, a 0. Existen enteros únicos q, r tales que b = a. q + r con 0 r < a Ejemplo: a) Para b = 8, a = resulta q =, r = 9 pues 8 =. + 9 b) Para b = 8, a = resulta q =, r = 9 pues 8 = ( ). ( ) + 9 c) Para b = 8, a = resulta q =, r = 6 pues 8 =. ( ) + 6 d) Para b = 8, a = resulta q =, r = 6 pues 8 = ( ). + 6 Si r = 0, resulta b = a. q y se dice que a divide a b (o que b es múltiplo de a, o que b es divisible por a, o que a es divisor de b ). Ejemplo: divide a 6 pues 6 =. no divide a pues no existe ningún entero que multiplicado por dé. Si se descomponen dos enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo común divisor entre a y b, es el producto de los factores comunes, con el menor exponente. Se denota mcd (a, b). Recordemos que un número entero positivo a es primo si tiene exactamente cuatro divisores:,, a y a. Ejemplo: Algunos números primos son,, 6 Página

3 Números Ejemplo: Si a = 7 y b = 8 resulta =. 8 =.. 7 mcd (7, 8) =. = o sea es el mayor de los divisores comunes entre 7 y 8. Si se descomponen dos enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo común múltiplo entre a y b es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Se denota mcm (a, b) Ejemplo: Tomando los números del ejemplo anterior resulta mcm (7, 8) =.. 7 = 0 o sea 0 es el menor de los múltiplos comunes entre 7 y 8. No es cierto en general que si a, b Z entonces a : b Z. Por ejemplo : = Z. Llamamos número racional a todo número que se puede expresar como fracción m son enteros y m 0. Con Q denotamos la totalidad de los números racionales. n m donde n y Observemos que: Todo número entero es racional, pues si m Z escribimos m = m Q. Es decir Z Q La recíproca es falsa, por ejemplo, Q pero Z Página

4 Curso de Apoyo en Matemática Si u, v Q entonces: u + v Q u v Q u. v Q Si u 0 entonces Q u Ejercicio : Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?; y mayor o igual que todos los demás?. Ejercicio 6 : Hallar un número racional entre y 7. Hallar un número racional entre 7 y 8. Puede hallarse más de un número racional con esta propiedad?; Qué se concluye?. Veamos ahora la expresión decimal de los números racionales. Ejemplo: El número racional tres cuartos puede expresarse como: = = = = = 0,7 = 0,70 = El mismo está escrito en forma fraccionaria en las cinco primeras expresiones y en forma decimal en las dos últimas. Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico. Ejemplo: = 0, es decimal exacto = 0,... = 0, período 86 = 7, = 7, 8 período 8 9 =,8... =,8 6 período A continuación se indica cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria mediante ejemplos: Página 6

5 Números FORMA DECIMAL Exactas 7 0,7 = 00 0,0 = 000, = 00 0,... = 0, = 9 EJEMPLO Puras 0,... = 0, = 99 Periódicas Mixtas 8 7, =, 8 = + = ,8... = 0, = = 90 90,7... =,7 = +,... =, = = + = = + = A los números reales que no se los puede expresar en forma de fracción, se los denomina números irracionales. Es decir, expresado en forma decimal no es exacto ni periódico. Ejemplos: a) 0, La parte decimal de este número irracional es la sucesión de los números naturales. b) π,96 Representa una aproximación del número irracional π. Notemos que también existen otras aproximaciones para este número; por ejemplo:, ;, ;,9 ;,6 ;... etc. c),6 d) e,7 e) +, f), La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto de los números irracionales es el conjunto R de los números reales. Página 7

6 Curso de Apoyo en Matemática El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real le corresponde un único punto de la recta y cada punto de la recta representa un único número real. A esta recta la llamamos recta real. Representemos: ; ; 0, ; ; No es posible representar la totalidad de los números irracionales por métodos geométricos. Sí podremos representar una aproximación de los mismos. Si en R definimos la relación de orden que indicamos (a b se lee: a es menor o igual que b) observamos que dados dos números reales a y b, se tiene una y sólo una de las siguientes situaciones: a < b ; b < a ; a = b Esto nos permite representar ordenadamente los números reales en la recta numérica. Además se satisfacen las siguientes propiedades: a < b a + c < b + c a < b y c > 0 a. c < b. c a < b y c < 0 a. c > b. c Ejemplos: a) < + < + b) < y > 0. <. c) < y < 0. ( ) >. () Página 8

7 Números Ejercicio 7 : Completar con > ó < según corresponda: a) < 0 y > b) > y < 0. ( ).... ( ) c), <, + 0, ,0 d) 7 < 6 y < ( 6). POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN R Definimos a n = a. a. a... a donde a es un número real al que denominaremos base y n es n veces un número natural que llamaremos exponente. Ejemplo: 6 =... = 8 Extendemos la definición para exponentes enteros. Por convención se tiene: a 0 = ; a n = n a (a 0) Ejemplo: = = Definimos n a = b si b n = a donde: n es un número natural. n a se lee raíz nésima de a. Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando. Observemos que para que la definición tenga sentido, si n es par, a debe ser un número real positivo, si n es impar, a puede ser cualquier número real. Página 9

8 Curso de Apoyo en Matemática Ejemplos: a) 7 = pues () = 7 b) 8 = pues = 8 La raíz nésima de un número suele también denotarse como potencia n a = a n. Además n p p a = a n si a 0. Observación: Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido, ya que pueden presentarse casos como el siguiente: () / = ( ) pero () / = (( ) / ) = ( ) no tiene sentido en el conjunto R. También se satisfacen las siguientes propiedades: a > 0, b > 0 y a < b a > b a < 0, b < 0 y a < b a > b Ejemplos: a) < > b) < > El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de suma, producto, potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste. Tener en cuenta que la propiedad no se cumple en el conjunto numérico correspondiente a la celda sombreada. OPERACIONES PROPIEDADES N Z Q R Suma. Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c. Conmutativa a + b = b + a. Elemento neutro 0. Elemento opuesto de a a Producto. Asociativa (a. b). c = a. (b. c) 6. Conmutativa a. b = b. a 7. Elemento neutro 8. Elemento inverso de a (a 0) SumaProducto 9. Distributiva a. (b + c) = a. b + a. c a Página 0

9 Números Potencias. Producto de potencias con la misma base a m. a n = a m+n. Cociente de potencias con la misma base a m : a n = a mn. Potencia de una potencia (a m ) n = a m.m. Potencia de un producto (a. b) n = a n. b n. Potencia de un cociente (a : b) n = a n : b n Raíces. Producto de radicales con el mismo índice. Cociente de radicales con el mismo índice n a. n n b = a. b n a : n n b = a : b. Raíz de una raíz m n n. m a = a. Potencia de un radical ( ) m n a = n m a Observación: Las propiedades de las raíces son válidas en el conjunto de los números reales, siempre que las expresiones involucradas tengan sentido. En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que R es un cuerpo, y por la relación de orden,definida anteriormente, es ordenado. EJERCICIOS DE APLICACIÓN Ejercicio 8 : Efectuar las siguientes operaciones: a) () + (8) : () b) 7 () (8) : (8) + () : () c) 6 : () + (7). () : () d) : 8 + e) : 8 : f) : : g). 0 + Ejercicio 9 : Calcular las siguientes expresiones: a) x. x b) ( x). x c) ( x). ( x) d) x : x e) x : x f) ( x) : x Página

10 Curso de Apoyo en Matemática g) ( x) : ( x) h) x : x 6 Ejercicio 0 : El número es menor que. a) Es () menor que? b) Es () menor que? Ejercicio : El número es menor que. a) Es ( ). 6 menor que (). 6? b) Es ( ). (6) menor que (). (6)? Ejercicio : Verdadero o falso. (Justificar) a) Si z Z entonces z Z. b) Si z Z entonces z Z. c) Si z Z entonces z Z. d) Si z = entonces z Z. Ejercicio : Si el cubo de un número es 8, cuál es el cubo del doble de ese número?. Resolver sin calcular el valor de dicho número. Ejercicio : El cociente de dos números es 9, cuál es el cociente de sus cuadrados? Ejercicio : El cociente de dos números es 9, cuál es el cociente de sus cubos? Ejercicio 6 : Se lanzan tres monedas diferentes. Cuántos resultados distintos pueden aparecer?. Ejercicio 7 : Sabemos de dos números enteros x e y que su producto x. y = 6 y que x es positivo. a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes: x. y. x. y () x. y x. x. y ( x )( y )( x ) b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes: Página

11 Números ( ) ( x ) y = x y : ( ) = x y = x y : = x y = Ejercicio 8 : p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p q. Completar con o según corresponda: a) p... q b) p... q c) p... q d) p. a... q. a Ejercicio 9 : a) Sean a y b enteros, b 0. Si a b = 7 y la división de a por b tiene cociente y resto 7, hallar a y b. b) Si se divide un número natural a por se obtiene como cociente entero un número que llamamos b y el resto 0. Al dividir b por obtenemos como cociente entero en número c y el resto. Luego dividimos c por y en este caso el cociente es y el resto 0. Cuál es el número a? Ejercicio 0 : a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y. b) Hallar el máximo común divisor entre y 9. Ejercicio : Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda uno suelto. Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los coloco de a dos. Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno. a) Si tengo menos de 0 botones, cuántos tengo? b) Si tengo más de 0 botones y menos de 00, cuántos tengo? Ejercicio : En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores son cada años y las de senadores cada 8 años. En 97 coincidieron las elecciones para presidente, gobernadores y senadores. Cuándo volverán a coincidir?. Ejercicio : Tres hombres recorren 8, y 0 kilómetros por día respectivamente. a) A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres simultáneamente, en un número entero de días?. b) Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?. Página

12 Curso de Apoyo en Matemática Página Ejercicio : Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda: a) x Z, x > b) b Z / b + 0 = 0 c) a Z, a d) t Z / t e) a Z, a + 0 = a Ejercicio : Se sabe que =. Tiene la potenciación la propiedad conmutativa a m = m a Ejercicio 6 : Indicar el error cometido: 0 = = =.. + = = = Ejercicio 7 : Calcular a) 8 b) c) 7 : : + d) : 6 7 e) 6 : Ejercicio 8 : Calcular a)

13 Números b) c) d) e) 7 : : : Ejercicio 9 : Calcular las siguientes potencias: a) 0 b) c) d) ( ) e) ( ) f) 0 g) h) 0 i) j) ( ) k) (0,) l) Ejercicio 0 : Expresar en forma fraccionaria y resolver: a) b) (, + 8, ), 6 (, 0, ) 0, 0, , 7 0, 7 0, Página

14 Curso de Apoyo en Matemática c) 0, 09:0, 0, :0, 0, ,., 0, + 0,, :( 0, 0, ) d) 09, 0, ( ) Ejercicio : Escribir en forma decimal y fraccionaria: a) décimos b) centésimos c) centésimos d) 8 milésimos Ejercicio : a) De qué número es 00 la quinta parte?. b) De qué número es 80 el %?. Ejercicio : Cuál es mayor ó? Ejercicio : Cuál de las siguientes expresiones es negativa cuando x = /?. a) ( x )( x ) b) ( x)( x ) c) ( x)( x) d) ( x )( x) e) ( x)( x ) Ejercicio : Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda: a b a...b 8 8 > a b... 8 > a()...b() 8 () < () Página 6

15 Números Ejercicio 6 : Expresar en unidades fraccionarias cada una de las piezas del TANGRAN. El lado del cuadrado a partir del cual se obtienen las piezas mide. Ejercicio 7 : En un colegio, de los alumnos estudian inglés y el % francés. Cuál es la lengua más elegida? Ejercicio 8 : Un auto recorre 0 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 6 km. en 7 minutos. Cuál es el más rápido? Ejercicio 9 : Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., cuánto pesarán después? Ejercicio 0 : El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. Qué volumen ocuparán 00 litros de agua después de helarse?. Ejercicio : Una aleación está compuesta por de cobre, de estaño y de cinc. Cuántos kilogramos de cada metal habrá en 8 kg. de aleación?. Ejercicio : Si al numerador de una fracción le aumentamos, la fracción queda aumentada en. Cuál es el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta. Ejercicio : Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que queda, María toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma. Al final quedan 0 cm. Cuál era la longitud del cordel?. Ejercicio : a) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los 9 0 de la edad de su padre y Carlos los. Cuál es el mayor?. Página 7

16 Curso de Apoyo en Matemática b) Un curso tiene alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a concurrir hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la mitad. Tomando como unidad el curso, cómo expresaría la parte del curso que asistió? Ejercicio : Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional. a) b) 0, c),7 d) 0,... e),... f) 0, g) 0, h) 7 Ejercicio 6 : Escribir: a) Tres números racionales entre 0, y 0,. b) Tres números periódicos entre 0, y 0,. c) Dos números irracionales entre 0, y 0. Ejercicio 7 : Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no: a),... b) 0, c) d) 0,... Ejercicio 8 : Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla: Número 7 0,08,...,... Natural? Entero? Racional? Irracional? Real? Página 8

17 Números Ejercicio 9 : Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar. a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. c) Todo número entero es racional. d) Todo número real es irracional. Ejercicio 0 : Indicar cuáles de las siguientes igualdades son V (Verdaderas) y cuáles son F (Falsas). En este último caso justificar: a) 7 = 7 8 b) = 8 c) = d) ( ) 7 = 9 e) ( ) = f) ( ) = g) + = h) 7 = i). = 6 j) = k) = 9 Ejercicio : El valor de ( ) + ( + ) es: a) negativo b) menor que c) igual a d) mayor que e) no puede responderse si no se conoce un valor aproximado de Ejercicio : Sean a, b, c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso, justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo que la pruebe. Página 9

18 Curso de Apoyo en Matemática a) a.0 = 0 b) (a)(b) = (ab) c) a + (b + c) = a b + c a a a d) = +, siendo b + c 0, b 0, c 0 b+ c b c e) a (b + c) = a b + c b+ c b c f) = +, siendo a 0 a a a g) el cociente entre un número y su opuesto es igual a () h) a R, a. a = i) a R, (a ) = a j) a (b) = ab k) a (b c) = ab ac l) (a) = a Ejercicio : Si a y b son reales positivos y además a < b y b >, cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) a b > 0 b) b > a c) 0 a b > d) 0 b+ a > e) b + a > Ejercicio : Simplificar, si es posible: a) b) 8 c) 9 7 d) 0 Ejercicio : Calcular usando propiedades: a) 0, b) 8 c) 9 d) Página 0

19 Números e) : f) 8 : g) : h) : i) : j) : k) 8 : l) 6 9 : Ejercicio 6 : Extraer factores del radicando: a) 8 b) 8 c) d) 0 Ejercicio 7 : Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones: a) b) c) d) e) Ejercicio 8 : Escribir como radicales los siguientes números: /, 7 /, 0,, 0,, 7 /, 9 /, 0/, 8 / Ejercicio 9 : Expresar como potencia fraccionaria a) x b) x : x c) x x x Página

20 Curso de Apoyo en Matemática d) x Ejercicio 60 : Simplificar las siguientes expresiones: a) b). :. c) ( ) d) 6 : : 0, 00 e) ( ) ( ) 0 Ejercicio 6 : Eliminar las raíces del denominador y simplificar: a) b) c) d) x x + + y y Ejercicio 6 : Indicar el valor de x: a) x = 9 x = 8 9 / / ( a) 0 Página

21 Números 8 b) x = c) x = 8 d) x = 8 8 e) x = f) ninguno de los anteriores Ejercicio 6 : Indicar el resultado correcto a) 6 7 / / / = i. ii. 6 iii. 9 iv. v. vi. ninguna de las anteriores b) / / 6 7 = i. 6 ii. iii. iv. 6 v. vi. ninguna de las anteriores [ ] / c) ( a+ b) ( a b) = Página

22 Curso de Apoyo en Matemática i. a b ii. a b iii. a b iv. a b v. (a b) / vi. ninguna de las anteriores d) ( a) a = i. ii. a a iii. 0 a iv. 0 v. 0 vi. ninguna de las anteriores e) a a = i. 6 a a ii. 7 / 6 a iii. a iv. 6 a v. a 6/7 vi. ninguna de las anteriores Ejercicio 6 : Escribir un número comprendido entre los siguientes: a) y b), y, c) y d) π y Ejercicio 6 : Representar en la recta real los siguientes números: a) b) Página

23 Números c) d) 7 e) f) 0 g), Ejercicio 66 : Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 0 cm. y cm. Expresar el resultado con dos decimales. Ejercicio 67 : Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 0 cm. Expresar el resultado con tres decimales. Ejercicio 68 : El área de un cuadrado mide 0 cm. Cuál es el área del cuadrado construido sobre su diagonal?. Ejercicio 69 : Calcular el área de un círculo de 00 cm. de radio y expresar el resultado con tres decimales exactos. Ejercicio 70 : Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 7, 0, 0, 0. Página