TEMA 1: NÚMEROS REALES

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1 TEMA 1: NÚMEROS REALES 3º ESO Matemáticas Apuntes para trabajo del alumnos en el aula.

2 1. Fracciones. Números racionales Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente. simplificar amplificar : 3 : 4 2 7

3 1. Fracciones. Números racionales Todas las fracciones equivalentes a una dada determinan un mismo número que se llama número racional 1 3 = 3 9 = = = El conjunto de los números racionales se designa con la letra Q

4 1. Fracciones. Números racionales EJERCICIO 1 *Página 8. Ejercicio 3 Expresa estas fracciones con el mismo denominador

5 Triángulos Semejantes: Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si Teorema de Tales: Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

6 2. Representación de números racionales EJEMPLO 1 Representar 3 4

7 2. Representación de números racionales

8 2. Representación de números racionales

9 2. Representación de números racionales

10 2. Representación de números racionales AE AC = AD AB AC es a AE como AB lo es a AD 1 unidad en la línea verde es a una unidad 3 en la línea negra como en la línea verde 4 lo son a en la línea negra 3 4 1u 1u* = AD 3 4 u * AD = 3 4 u* 1u 1u * AD = 3 4 u

11 2. Representación de números racionales 3 4 Observa que es una fracción propia. Cómo podemos representar las impropias? 5 5 EJEMPLO =1+ 2 Representar 3

12 2. Representación de números racionales EJERCICIO 2 *Página 9. Ejercicio 10 Utiliza el teorema de tales para representar en la recta real los siguientes números:

13 2. Representación de números racionales EJERCICIO 3 *Página 9. Ejercicio 13 Calcula los valores de las abcisas de los puntos de cada figura

14 3. Operaciones con números racionales Suma y diferencia Se reducen primero a común denominador y se suman o restan los numeradores = = 12

15 3. Operaciones con números racionales Producto Producto, inversa y cociente a b c d = a b c d = 6 30 Inversa Cociente a b b a = a b b a =1 a b : c d = a b d c = a d b c = =1 3 5 : 2 6 = = 18 10

16 4. Expresiones fraccional y decimal de un número racional De la expresión fraccionaria a la decimal La expresión decimal de una fracción es el número que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador EJEMPLOS 5 1 = =1, = 2, =1,3 7 Entera Decimal exacta o finita Decimal periódica pura Decimal periódica mixta anteperíodo 1,3ˆ 7 Parte entera período

17 4. Expresiones fraccional y decimal de un número racional De la expresión decimal a la fraccionaria Todo decimal exacto o periódico puede escribirse en forma de fracción de acuerdo con la siguiente fórmula Número entero formado por las cifras de la parte entera, el anteperíodo y el período. Número entero formado por las cifras de la parte entera y el anteperíodo. x = Tantos nueves como cifras tenga el período. Tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

18 4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. Cómo podemos saber si un número racional tiene representación decimal exacta, periódica pura o periódica mixta? Atendiendo al denominador de la fracción irreducible: Si tiene sólo como factores doses y cincos: su desarrollo decimal es finito En otro caso será periódico. Si tiene doses, cincos y otros: será periódico mixto Si no tiene doses ni cincos será periódico puro

19 4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. EJERCICIO 4 *Página 12. Ejercicio 27 Sin hacer la división, di que tipo de expresión decimal corresponde a cada fracción

20 4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. Cómo podemos pasar de decimal a fracción? Decimal exacto Caso 1 Pasar 3,25 de decimal a fracción Como es un decimal exacto, multiplicamos por 100 (dos decimales) y construimos la fracción con el número obtenido como numerador y el 100 como denominador

21 4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. Caso 2 Multiplicamos por 100 Pasar de decimal a fracción Decimal periódico Puro x =1, x =123, Restamos Despejamos x 100 x x =123, , x =122 x =

22 4. Expresión fraccional y decimal de un número racional. Caso 3 Pasar 1,4ˆ 6 de decimal a fracción Multiplicamos por 100 Multiplicamos por 10 Restamos Despejamos x x =1, Decimal periódico Mixto 100 x =146, x =14, x 10x =146, , x =132 x =

23 5. Números irracionales Los números con expresión decimal ni exacta ni periódica pura se llaman números irracionales. No pueden expresarse como una fracción de términos enteros Observa: 8,

24 5. Números irracionales Otro ejemplo: 7,

25 5. Números irracionales Las raíces no exactas dan lugar a expresiones decimales no periódicas, es decir a números irracionales. La diagonal de un cuadrado lado 4 es un número irracional. Aplicando pitágoras: d 2 = d 2 = 32 d = 32

26 El número π Es ilimitado y no periódico. Es decir es irracional. Es el cociente entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia. El número π con 1000 cifras decimales 3,

27 6. Números reales. Valor absoluto REALES" Racionales (Q)" Enteros (Z)" Naturales" (N)" Irracionales (I)"

28 6. Números reales. Valor absoluto. El valor absoluto de un número real x es el número en positivo, y se denota por x Geométricamente representa la distancia de x al punto cero (0) en la recta numérica. 5 = 5 +2 = 2

29 7. Aproximación decimal de los números reales APROXIMAR Aproximar un número es sustituirlo por otro cercano a él POR DEFECTO: el número es menor que el sustituido POR EXCESO: el número es mayor que el sustituido POR REDONDEO: elegir la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es menor que 5, y la aproximación por exceso si es mayor o igual que 5

30 7. Aproximación decimal de los números reales Para redondear un número a un orden dado: Se observa la primera cifra eliminada SI <5 Mejor aproximación por defecto SI 5 Mejor aproximación por exceso EJEMPLO 55 = 7, Orden Unidad Décima Centésima Milésima Diezmilésima Truncamiento 7 7,4 7,41 7,416 7,4161 Redondeo 7 7,4 7,42 7,416 7,4162

31 8. Errores de una aproximación El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el número y la aproximación escogida. EJEMPLO 2 =1, Si se elige 1,5 como valor de Si se elige 1,4 como valor de 2 2 1,5-1, =0,0857 1,4-1, =0,0142

32 8. Errores de una aproximación El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número. El error relativo no sólo contempla el error cometido sino que establece una relación entre el error cometido y la medida original que permite hacer comparaciones

33 8. Errores de una aproximación

34

35 8. Errores de una aproximación

36 8. Errores de aproximación Error absoluto: 2m en todos los casos. Es la misma clase de error? Es igual de grave? E r1 = 2 60 E r2 = E r3 = 2 4,5 El error relativo establece una relación entre el error cometido y la medida original que permite hacer comparaciones

37 8. Errores de una aproximación EJERCICIO 5 *Ejercicio 53 EJERCICIO 6 *Ejercicio 54

38 9. Representación gráfica de números reales A cada número real se le asocia un punto de la recta, llamada recta real. Recíprocamente a cada punto de la recta se le asocia un número real.

39 Representación gráfica de números reales (por aproximación) EJEMPLO π = 3, Para representar pi usando aproximaciones seguimos el siguiente proceso: π

40 9. Representación gráfica de números reales (teorema de pitágoras) EJEMPLO 2 =1, Usaremos el teorema de Pitágoras 2 =

41 9. Representación gráfica de números reales EJEMPLO

42 9. Representación gráfica de números reales EJEMPLO 2

43 9. Representación gráfica de números reales EJERCICIO 7 Representa 2 2 =

44 EJERCICIO 8 Representa 3 3 = ( 2) 2

45 EJERCICIO 9 Representa 6 6 = ( 3) 2 + ( 3) 2

46 10. Intervalos y semirrectas Un intervalo es un segmento de la recta que contiene todos los números comprendidos entre estos dos números llamados extremos Dependiendo de si los extremos están incluidos o no existen hasta cuatro tipos de intervalos

47 10. Intervalos y semirrectas Tipos de intervalos

48 10.Intervalos y semirrectas Los intervalos y semirrectas se usan para describir conjuntos de números en la recta real TIPOS DE SEMIRRECTAS (,a] (,a) [a,+ ) (a,+ ) (, 2] (,5) [7,+ ) ( 4,+ )

49 10. Intervalos y semirrectas EJERCICIO 10 Dibuja en la recta real cada uno de estos intervalos

50 10. Intervalos y semirrectas EJERCICIO 11 Dibuja en la recta real estas semirrectas

51 10. Intervalos y semirrectas EJERCICIO 12 Indica el intervalo que representa cada dibujo.

52 10. Intervalos y semirrectas EJERCICIO 12 Dibuja en la recta real las semirrectas determinadas por las relaciones x > 3 x 3

53 EJERCICIO 13 *Ejercicio 88 Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales: A) B) 45, ,

54 EJERCICIO 13 (continuación) *Ejercicio 88 Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales: C) D) 3, ,

55 EJERCICIO 14 Escribe y representa los intervalos o semirrectas descritos a continuación. a) Al menos 20 euros. b) Como poco 13 años, pero no llega a 20 c) No menos de 5 ni más de 7 km. d) Entre 750 g y un kilo y medio. e) De 1 a 12, ambos inclusive.

56 EJERCICIO 15 Halla los valores que faltan en la tabla

57 EJERCICIO 16 *Ejercicio 93 Clasifica estos números en racionales o irracionales. Justifica la respuesta

58 EJERCICIO 17 Determina el valor de un denominador adecuado para convertir cada fracción en una expresión decimal del tipo que se indica.

59 EJERCICIO 18 *Ejercicio 82 Realiza las siguientes operaciones:

60 EJERCICIO 19 *Ejercicio 85 Encuentra una fracción que esté situada entre 4 7 y 5 3

61 EJERCICIO 20 *Ejercicio 86 Observa la siguiente operación: a) Qué prioridad no se ha tenido en cuenta en ella? b) Introduce los paréntesis que se necesitan para que la solución sea correcta

62 EJERCICIO 21 *Ejercicio 94 Se pueden encontrar dos números enteros cuyo cociente sea 7, ? Justifica la respuesta.

63 EJERCICIO 22 *Ejercicio 95 Explica si son ciertas o falsas estas afirmaciones. a) Todo número entero es racional. b) Todo número real es racional. c) Muchos números racionales son naturales. d) Un número racional tiene una sola expresión fraccionaria. e) Los números irracionales forman el conjunto de todos los números con infinitas cifras decimales.

64 EJERCICIO 23 *Ejercicio 97 Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.

65 EJERCICIO 24 *Ejercicio 98 Realiza estas aproximaciones del número 463,2673 a) Aproxima por defecto a la centésima. b) Aproxima por exceso a la milésima. c) Redondea a la parte entera. d) Redondea a la décima.

66 EJERCICIO 25 *Ejercicio 100 Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al elegir 5,67 como aproximación de 17 3

67 EJERCICIO 26 *Ejercicio 102 El resultado del cálculo de la diagonal del rectángulo de la figura es 5,831. Determina el error absoluto y el error relativo.

68 EJERCICIO 27 *Ejercicio 106 Representa en la recta real el número 7

69 EJERCICIO 28 *Ejercicio 118 En el triángulo equilátero de la figura: a) Determina la altura redondeando a la milésima b) Expresa la altura mediante un número racional de dos decimales.

70 EJERCICIO 29 *Ejercicio El radio de la Luna es de 1737 kilómetros. a) Calcula el perímetro de su ecuador, tomando para π el valor 3,14. Redondea el resultado a las unidades. b) Calcúlalo ahora con la aproximación que usaban los babilonios: π = 3. c) Compara los resultados obtenidos. Si el valor verdadero es el del apartado a, qué errores absoluto y relativo cometían los babilonios? d) Calcula el error relativo en %

71 EJERCICIO 30 *Ejercicio 110 Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos.

72 EJERCICIO 31 *Ejercicio 109 Representa cada uno de estos números irracionales en una recta.

73 EJERCICIO 32 *Ejercicio 80 Representa estas fracciones utilizando el teorema de Tales.

74 EJERCICIO 33 Calcula la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales: A) 5, B) 7,

75 EJERCICIO 34 Representa usando un gráfico y un intervalo, el conjunto de números que satisface la desigualdad: x [ 5,5] x 5

76 MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA Números reales