Lección 1 Números Reales

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1 Lección Números Reales

2 4º ESO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS El número real 2 LECCIÓN. NÚMERO REAL.- CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturales. Son los números más intuitivos y simples. Sirven, básicamente, para contar: N = {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,.} Aunque el cero fue un invento bastante posterior, para simplificar lo consideramos también un número natural. El conjunto de los números naturales se representa con la letra N Números Enteros. Para hablar de una deuda o una temperatura bajo cero se utilizan los números negativos. Ampliamos el conjunto de los números naturales añadiendo los enteros negativos: Z={.. -3,-2, -, 0,, 2, 3, }. Números Racionales. Los griegos pitagóricos que sabían mucha geometría, para designar proporciones ya utilizaban las fracciones a las que llamaban proporciones conmensurables. En su concepción del mundo, cualquier fenómeno se tenía que explicar con los números enteros o sus proporciones. Así, llegamos al conjunto de los números racionales, formado por todas las fracciones con numerador y denominador enteros. Se representan con la letra Q. a Q ; a y b números enteros b Hemos ampliado el conjunto de los números enteros, ya que todo número entero se puede expresar en forma de fracción 2 = 2 Observamos que distintas fracciones pueden dar lugar al mismo número: 2 = 2 4 = 9 8 La fracción más simplificada posible (en el ejemplo, ½) se llama fracción irreducible

3 4º ESO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS El número real 3 Decimales Todos los números racionales tienen una expresión decimal: 2 = 0,5 2 = 0, = 4,25 Cuando dividimos dos números enteros, el resultado puede ser: Una división exacta (sin decimales). Número entero 6 2 = 8 Las cifras decimales se acaban, es decir, hacemos la división y llega un momento que el resto es 0. Decimal exacto 7 4 = 4,25 Las cifras decimales no se acaban pero tiene que llegar un momento que el resto se repita y por tanto los números decimales volverán a aparecer en el mismo orden. Decimal Periódico, que puede ser: Decimal periódico puro si todos los decimales se repiten 2 = 0, 6 3 Decimal periódico mixto si hay una parte decimal no periódica =0,6 6 Expresión de una fracción en forma decimal: Para expresar una fracción en forma decimal, hacemos la división. Ejemplo , Se repite el resto, volverán a repetirse los números del cociente 25 7 = 3, Podríamos hacerlo con la calculadora pero hay que tener en cuenta que la calculadora tiene un número finito de dígitos y la última cifra puede ser una aproximación Expresión de un decimal en forma de fracción: ) Decimal exacto: Buscamos una fracción que nos dé el decimal con la idea de que el numerador sea 0, 00, ,35 = = ,3 = 23 0

4 4º ESO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS El número real 4 2) Decimal periódico puro Veamos un ejemplo:,8 Primero llamamos x a la fracción buscada: x=, Después lo multiplicamos por 0: 0x=8, Ahora, restamos ambas expresiones: 0x= 8, x=, x= 7 7 x= 9 Si la fracción no fuera irreducible, habría que simplificar. Hay que multiplicar siempre por 0? Para que desaparezcan los decimales, habrá que multiplicar por 00, 000, 0000 dependiendo de las cifras que tenga el período Ejemplo: x = 3, 25 = 3, x= 325, x= 3, x= 322 x= ) Decimal periódico mixto. En este caso hay una parte decimal que no se repite. Por ejemplo, el número 7,452 Para convertirlo en un decimal periódico puro, lo multiplicamos por 00 00x = 745, 2 = 745, Y ahora, con el número 00x, procedemos como en el caso anterior: 000x= 7452, x= 745, x= 6707 x=

5 4º ESO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS El número real 5 ) Es 8 un número entero? 3 2) Es el número -25 un número racional? 3) Expresa el número 3 de cinco formas distintas 2 4) Encuentra un número entero que no sea racional 5) Encuentra un número racional que no sea entero 6) Expresa en forma decimal las siguientes fracciones y dí de qué tipo de decimal se trata en cada caso:- 7 ;, 3, - 2 ; ) Expresa en forma de fracción irreducible: Números Reales. Existen números con infinitos decimales que no se repiten formando período. Estos números se llaman números irracionales. Se suelen representar con la letra I 3 Ejemplos: π; 2; 5; ; φ (número áureo) Los números irracionales no se pueden expresar como fracción de números enteros. Al conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se le llama conjunto de los Número Reales y se designa con la letra R R =Q U I ) Coloca los siguientes números en el lugar que les corresponda: 8/2; -3; 9 ; /3; 3 ; 2,3 ; 24 Q I Z N 2) Cuáles de estos números se pueden expresar como una fracción de números enteros: 3 ; 2,3 ; 24; π+3:,352? 3) Di el conjunto numérico más pequeño en el que las siguientes ecuaciones tienen solución: a) x+=3 b) 2x=5 c) x+8=2 d) x 2 =25 e) x 2 =2 f) x 2 =-9

6 4º ESO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS El número real 6 2. LA RECTA REAL. INTERVALOS Representación de números en la recta Cada número real se puede representar en una recta que llamaremos la Recta Real. En esta recta, cada nº representa un punto y cada punto representa un número real (o sea, está totalmente llena de números) La representación en la recta real la haremos de forma aproximada, hallando una aproximación decimal del número y tomando la escala adecuada. También se puede representar cualquier número (racional o irracional) de forma exacta. Para ordenar un conjunto de números, podemos representarlos en una recta y el número que está a la izquierda siempre es menor que el número de la derecha Valor absoluto o módulo de un número El valor absoluto (o módulo) de un número a es el valor del número, sin el signo. Es decir, si el número es positivo lo dejamos igual y si es negativo, le cambiamos el signo Ejemplos: -4 =4 3 =3 0 =0 π =π En general: a si a < 0 a = { a si a 0 ) Representa en la recta y ordena de menor a mayor: -3; /3; 3 ; 2,3 ; 5/3; 9/4 2) Calcula el valor absoluto de los siguientes números: a b. 8-3 c. 3-8 d e ) Halla los números que cumplan: x =5 4) Halla los números que cumplan x-2 =6

7 4º ESO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS El número real 7 Intervalos Si consideramos un trozo de la recta real, tendremos un conjunto que llamamos intervalo. Hay varios tipos de intervalos: abiertos, cerrados, semiabiertos y semirrectas INTERVALO CONJUNTO REP. GRÁFICA DEFINICIÓN abierto de extremos a y b cerrado de extremos a y b semiabierto izquierda (a,b) { x / a < x < b } n os comprendidos entre a y b (no incluidos ni a ni b) [a,b] { x /a x b} n os comprendidos entre a y b ambos incluidos (a,b] { x / a< x b } n os comprendidos entre a y b (no incluido a; b sí). (-,b] { x / x b } n os menores que b. (b incluido) semirrectas (-,b) { x / x < b } n os menores que b. (b no incluido) [a,+ ) { x / a x } n os mayores que a. (a incluido) (a,+ ) { x / a < x } n os mayores que a. (a no incluido) ) Dados los números: 0 25; ; 2; 2 0; -2, 9 00 a. Cuáles pertenecen al intervalo [0,2 ]? b. Cuáles pertenecen al intervalo (-0 0, 2)? 2) Expresa en forma de desigualdad y en forma de intervalo: a. Números menores que 3 b. Números mayores o iguales que 2 y menores que 0 c. x tales que x>5 3) Escribe en forma de intervalo y representa: a) x / x 3 b) x / x 3 c) x / x 5 d) x / 2 x 4) Escribe en forma de desigualdad y representa: a. (-,6] b., c. (, 4 d. [-2,5]

8 4º ESO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS El número real 8 Unión e intersección de intervalos * Unión: La unión de dos intervalos, A y B, es un intervalo formado por todos los elementos de A más todos los elementos de B. Se representa: A B * Intersección: La intersección de dos intervalos A y B es un nuevo intervalo formado por los elementos comunes, o sea, por los elementos que pertenecen simultáneamente al intervalo A y al intervalo B. Se representa: A B Ejemplo: Sean A = -3, 0) y B = (-, 2. Halla A B y A B. Completa la tabla: Solución: A B = -3, 2 A B = (-, 0) Notación de Intervalo Notación de conjunto Gráfica sobre la recta real [ -2, 6) { x x < 3 } (-, 0] { x -2 x < 6 } { x -2 < x < 6 } 2. Si A, B y C los siguientes intervalos: A = {x R x < 5} B = {x R -5 x 6} C = {x R -2<x < 6} Representa cada operación sobre la recta numérica y calcula en notación de conjuntos y de intervalos la solución: a. A B b. B C c. A C d. A B e. B C 3. Escribe en forma de intervalos la solución de: a. (-6, 8) (-2, 9) c. [-3, 2] (3, 8) b. (-4, 4] (-, ) d. [-3, 7) (-2, 8]