Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos

Transcripción

1 Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O D E P A R T A M E N T O DE M A T E M Á T I C A S P R O F A. Y U I T Z A T. H U M A R Á N M A R T Í N E Z A D A P T A D A P O R P R O F A. C A R O L I N E R O D R Í G U E Z M A R T Í N E Z

2 Qué es un conjunto? Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Bien definida se refiere a que para cualquier elemento que consideramos, podemos determinar si está o no, en el conjunto. Debemos evitar definir conjuntos que dependan de opiniones o preferencias.

3 Ejemplos Conjuntos bien definido El conjunto de las vocales en el idioma español. El conjunto de los profesores de matemáticas de la UPRA durante el primer semestre del Conjunto que NO está bien definido El conjunto de los mejores sabores de mantecado El conjunto de los actores más guapos de Hollywood

4 Elementos Los objetos que forman un conjunto se llaman los elementos del conjunto. Se dice que un elemento pertenece al conjunto o que es miembro del conjunto usando el símbolo Por ejemplo, a es elemento del conjunto de vocales. azul es elemento del conjunto de los colores primarios.

5 Notación de lista para conjuntos Un conjunto se puede representar enumerando sus elementos separados por comas y entre llaves. Esta notación se conoce como forma de listado o lista. Por ejemplo: 1. El conjunto de las vocales se denota {a, e, i, o, u}. 2. El conjunto de los colores primarios se denota {azul, rojo, amarillo}.

6 Notación de conjuntos Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, C,, para denotar o representar conjuntos. Por ejemplo: El conjunto de las vocales se puede denotar, V = {a, e, i, o, u} El conjunto de los colores primarios se puede denotar, C = {azul, rojo, amarillo}.

7 Notación de elementos Los elementos del conjunto se denotan o representan con letras minúsculas. Para un conjunto A, escribimos a A si a es elemento de A (a pertenece al conjunto A). Si b NO es elemento de A, escribimos b A. Por ejemplo: Sea B = {,,, } entonces, B

8 Conjunto vacío El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que no contiene elementos. Se denota como {} o Ø. Por ejemplo: El conjunto de los estudiantes de este salón que han ido al satélite de la Tierra, la luna.

9 Notación constructiva para conjuntos Otra representación para un conjunto es la forma constructiva o generadora de conjuntos. Cuando se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos. Al igual que en forma de listado se utilizan llaves. Ejemplo: El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5,, 10} en notación descriptiva se puede escribir, A = { a a es un natural menor que 11} ó A = { a a es un natural menor o igual a 10} A = {a N a < 11} A = {a N a 10}

10 Notación constructiva Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, 100} en notación constructiva. C = {x N x < 101} C = {x N y x < 101} C = {x N x 100} C = {x x N y x 100} Observación: D = {x x 100}, es un conjunto distinto, ya que D contiene TODOS los números menores o iguales a 100. Por ejemplo, 0 D pero 0 C; -50 D pero -50 C; ½ D pero ½ C 2 D pero 2 C D pero C

11 De notación constructiva a lista Ejemplo: Escriba el conjunto los naturales entre 5 y 10 en notación constructiva usando notación de conjuntos y en forma de lista: Solución: {x x es un número natural entre 5 y 10} {x N 5 < x < 10} {6, 7, 8, 9}

12 Conjuntos numéricos

13 Naturales Números de conteo {1, 2, 3, 4, 5, 6, } A este conjunto se le asigna la letra N. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }

14 Cero Identidad de suma =1 y = =2 y = =3 y =3 En general, si a es cualquier número real entonces, a + 0 = 0 + a = a

15 Opuestos de naturales Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarlos el total es cero. Por ejemplo: En general, para n un número real, n + ( n ) = n + n = 0.

16 Cardinales Los Cardinales son una generalización de los números naturales. Son utilizados para medir el tamaño de los conjuntos, o sea, el número de elementos en el conjunto. Números naturales + cero {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, }

17 Enteros La unión de los naturales, cero y los opuestos de los naturales {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } es el conjunto de los enteros. A este conjunto se le asigna la letra Z. Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }

18 Enteros El conjunto de los naturales es subconjunto del conjunto de los enteros, N Z, pues todos los elementos de N están en Z.

19 Enteros Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, } se le llama el conjunto de los enteros no negativos pues no contiene enteros negativos. Al conjunto {, 4, 3, 2, 1, 0} se le llama el conjunto de los enteros no positivos pues no contiene enteros positivos.

20 Practicas disponibles en Moodle para Mate 0008

21 Naturales N={1, 2, 3, 4, } {0} {-1, -2, -3, } Enteros, Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, }

22 Racionales Este conjunto está dado por el conjunto p q p y q son enteros 0 A este conjunto se le asigna la letra Q. Este conjunto está compuesto por los enteros, las fracciones de naturales y los opuestos de las fracciones de naturales. y q

23 Racionales Ejemplos: Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales Enteros

24 Racionales Cualquier número racional puede representarse con uno de dos tipos de números decimales: Exacto Ejemplo: Periódico Ejemplo:

25 Naturales N={1, 2, 3, 4, } {0} {-1, -2, -3, } Enteros, Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, } Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales Racionales

26 Irracionales Es un número que NO se puede representar como el cociente de dos enteros, es irracional (I). La representación decimal de los números irracionales a) nunca termina (no es exacta) b) nunca se repite (no es periódica).

27 Ejemplos Irracionales

28 Comparación de un número racional y uno irracional =

29 Reales Es la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales. Básicamente, es el conjunto que contiene todos los números que usamos en nuestro diario vivir para hacer cómputos. Se denota con R.

30 Naturales N={1, 2, 3, 4, } {0} {-1, -2, -3, } Enteros, Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, } Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales Racionales, Q = {p/q p, q son enteros y q 0} Irracionales Reales, R

31 Visualización del conjunto de los Reales

32 Cuál miembro de A pertenece a cada conjunto? A = 0, π, 4 3, 2 3, 1.414, 2 7 NATURALES: 7, 12. 3, 7, 23 ENTEROS: RACIONALES: IRRACIONALES: REALES: π π

33 Los Reales Los números reales se pueden localizar en una recta numérica, colocando un punto en la localización correcta del número.

34 Práctica Localice los números reales que se muestran en la recta numérica. 15 4, 5 3, 5. 25, 7 6, 2 3 Solución: = =

35 Los Reales Algunos conjuntos de números reales se pueden representar con notación de intervalo Un intervalo abierto representa el conjunto de reales entre los extremos del intervalo, pero sin incluir ese valor Ejemplo: (3, 6) se lee Todos los números entre 3 y 6. Como intervalo: 3 < x < 6

36 Los Reales Un intervalo cerrado representa el conjunto de reales entre e incluyendo los extremos del intervalo. Ejemplo: [-2, 7] se lee Todos los números entre -2 y 7, incluyéndolos. Se escribe como intervalo: -2 x 7

37 Los Reales Un intervalo infinito representa un conjunto de reales mayores (o menores) que un número dado.

38 Exprese cada intervalo en notacion constructiva o generadora y construya su gráfica forma generadora gráfica