PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Transcripción

1 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Prof. Yuitza T. Humarán Martínez Adaptado por Prof. Caroline Rodriguez

2 Naturales N={1, 2, 3, 4, } {0} {-1, -2, -3, } Enteros, Z = {, -2, -1, 0, 1, 2, } Fracciones de naturales Opuestos de fracciones de naturales Racionales, Q = {p/q p, q son enteros y q 0} Irracionales Reales, R

3 Otro diagrama, R REALES Racionales Enteros Naturales 7 Irracionales 2 π 3 4 e

4 Propiedades de los reales Clausura Conmutativa Asociativa Distributiva Identidad Inversos

5 Clausura Propiedad de clausura de la suma Sean a y b números reales, entonces a + b es un número real. Si sumas dos números reales, el total es también un número real. Ejemplos: = 39 ½ + ¾ = = = 4 2

6 Clausura Propiedad de clausura de la multiplicación Sean a y b números reales, entonces ab es un número real. Si multiplicas dos números reales, el producto es también un número real. Ejemplos: (-10)( 49) = -490 (½) ( ¾) = 3 8 (-5)(-100) = = = 5 4 = 20

7 Conjunto cerrado Decimos que el conjunto de los reales está cerrado para las operaciones de suma y multiplicación.

8 Propiedad conmutativa de la suma Ejemplo: (2 + 5) = 7. (5 + 2) = 7. Como ambos enunciados son equivalentes a 7 escribimos = Propiedad conmutativa de la suma: Sean a y b números reales entonces a + b = b + a. (si cambias el orden de dos sumandos, el total no cambia.)

9 Propiedad conmutativa de la multiplicación Ejemplo: (2)(5) =10. (5)(2) = 10. Como ambos enunciados son equivalentes a 10, escribimos (2)(5) = (5)(2). Propiedad conmutativa de la multiplicación Sean a y b números reales entonces ab = ba. (si cambias el orden de dos multiplicandos, el producto no cambia.)

10 Nota: Son la resta y la división conmutativas? Ejemplo Determine: a. 5 4 b. 4 5 = 1 = 1 Como los valores son diferentes, las expresiones no son equivalentes, por lo tanto la resta NO es conmutativa.

11 Nota: Ejemplo Determine: a b = 3 = 4 12 ó 1 3 Como los valores son diferentes, las expresiones NO son equivalentes, por lo tanto la división no es conmutativa.

12 Asociativa Ejemplo: Par a determinar el total de sin utilizar la propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas: Sumando primero el 3 y el (3 + 4) = = 9 Sumando primero el 2 y el 3 (2 + 3) + 4 = = 9 Como ambos enunciados son equivalentes a 9 podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

13 Propiedad asociativa de la suma Sean a, b y c números reales entonces a + (b + c) = (a + b) + c. Como a + (b + c) es equivalente a (a + b) + c puedes intercambiar las expresiones.

14 Asociativa Ejemplo: Par a determinar el producto de 2(3)(4) sin utilizar la propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas: Multiplicando primero el 3 y el 4 2 [(3)(4)] = 2(12) = 24 Multiplicando primero el 2 y el 3 [(2)(3)]4 = 6(4) = 24 Como ambos enunciados son equivalentes a 24 podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos 2 [(3)(4)] = [(2)(3)]4

15 Propiedad asociativa de la multiplicación Sean a, b y c números reales entonces a(bc) = (ab)c. Como a(bc) es equivalente a (ab)c, puedes intercambiar las expresiones.

16 Distributiva Ejemplo: Determine el valor de las expresiones: a. 5 ( 2 + 3) Recuerde que los paréntesis agrupan e indican lo que se quiere hacer primero. 5 ( 2 + 3) = 5 (5) = 25 b. 5 (2) + 5 (3) 5 (2) + 5 (3) = = 25 Como ambos enunciados son equivalentes a 25 podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos, 5(2+ 3)= 5(2)+5(3)

17 Propiedad distributiva En general, para a, b y c números reales, a(b + c)= a(b)+ a(c) ( b + c) a = (b)a + (c)a = a(b) + a(c)

18 Identidad aditiva Sea a un número real entonces a + 0 = 0 + a = a. Decimos que cero es la identidad aditiva o la identidad de suma porque cuando se suma no ocurre nada. Es decir, el número real al cual se le suma cero, no cambia, no se altera.

19 Identidad multiplicativa Sea a un número real entonces a(1) = (1)a = a Decimos que uno es la identidad multiplicativa o la identidad de multiplicación porque cuando se multiplica no ocurre nada. Es decir, el número real que se multiplica por uno, no cambia, no se altera.

20 Inversos aditivos Sea a un número real entonces a + (-a) = -a + a = 0 Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarse el total es cero.

21 Inversos multiplicativos Sea a un número real y a 0 entonces 1 1 a a 1 a = a = Dos números son inversos multiplicativos o recíprocos si al multiplicarlos el producto es uno. Ejemplo: El recíproco de 2 es ½ por que = = 1 1 = 1.

22 Ejemplos Indique la propiedad de los reales que justifica el enunciado. (a) 0 + (-5) = -5 (b) -2 ( x + y) = -2x + -2y (c) (a + b) c = c (a + b) (d) 5x + 5y = (x + y)5

23 Recta numérica Los números reales se representan geométricamente mediante una recta llamada, recta numérica o recta de los números reales. Se asocia a cada punto en la recta, un número real. Al número asociado a cada punto de la recta se le llama coordenada del punto π π 0.65

24 Orden Los números representados en la recta numérica aumentan de izquierda a derecha. Si el número real a está a la izquierda del número real b sobre la recta numérica, a b entonces decimos que a es menor que b y escribimos a < b. Esta relación también puede describirse diciendo que b es mayor que a o escribiendo b > a.

25 Ejemplos La raíz de dos es menor que π. El opuesto de la raíz de dos es mayor que -π. π 2 π 2

26 Orden La relación a b significa que a es menor o igual a b. La relación b a significa que b es mayor o igual que a. Los símbolos <, >,, se llaman símbolos de desigualdad.

27 Distancia Si a y b son dos números reales tales que a b, entonces la distancia entre a y b es b a. Ejemplo: Determine la distancia entre: (a) 20 y 5 (b) -4 y 6 (c) -10 y -6

28 Valor absoluto El valor absoluto de un real es la distancia entre el número y cero en la recta numérica. El valor absoluto de un número a se escribe a.

29 Ejemplo Determine el valor de los siguientes números reales. a. 3 = 3 b. 8 = 8 c. 0 = 0 d. 103 = 103 e. 5 = 5

30 Valor absoluto En general, sea a un número real. Si a es no negativo, entonces a = a. Es decir, el valor absoluto de un número no negativo es igual a él mismo. Si a es negativo, entonces a = a. Esto es, el valor absoluto de un número negativo es igual a su opuesto.

31 Ejemplo Determine el valor de las siguientes expresiones numéricas. a. π = π b. 2 = c. = 1 2