MODULO DE LOGARITMO. 1 log log N x b N N se llama antilogaritmo, b > 0 y b 1. Definición de Logaritmo. Liceo n 1 Javiera Carrera 2011

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1 MODULO DE LOGARITMO Nombre:.. Curso : Medio Los aritmos están creados para facilitar los cálculos numéricos. Por aritmo podemos convertir los productos en sumas, los cocientes en restas, las potencias en multiplicación y raíces en división Los aritmos son una operación inversa de las potencias, consiste en calcular el exponente de una potencia cuando se conocen la base b y la potencia N. Definición de Logaritmo El aritmo de un número positivo N en una base b positiva y diferente de, es el exponente x al cual debe elevarse la base para obtener el número N x N x b N N se llama antiaritmo, b > 0 y b b b N se lee aritmo de N en base b : 6, se lee aritmo de 6 en base 8 8, se lee , ,......, Liceo n Javiera Carrera 0

2 Los aritmos se expresan de dos formas: a) Forma exponencial b) Forma Logarítmica : ) La expresión escrita en forma exponencial queda ) La expresión 6 ) Calcula el valor de x a) x Liceo n Javiera Carrera 0 6, escrita en forma Logarítmica queda 6 6, aplicando la forma exponencial x, aplicando la siguiente propiedad Dos potencias son iguales, si las bases son iguales entonces los exponentes también lo son x a x a y x y x, 6 x, aplicando la forma exponencial x b) potencia queda x= 6 c) 6 resolviendo la x, aplicando la forma exponencial x x Por lo tanto x= Guía de Ejercicios: I) Dé la forma exponencial a) 8 II) b) 8 6 c) 6 d) 0 0,0000 e) 0, 0,008 Dé la forma Logarítmica a) 0 b)

3 c) 7 x d) a y b e) 6 6 III) Calcula el valor de x a) x x 8 x b) x 0 c) x d) 0, x 8 6 e) x f) x g) x h) x i) 0, 0 0, x 8 j) x Observaciones importantes: Se denomina Sistema arítmico al conjunto de todos los aritmos que tienen la misma base.. El sistema de aritmos de base de son aquellos que tienen aritmos que tienen base dos 8 ; 6 ; 8; etc. El Sistema de aritmos vulgares o decimales, Son aquellos aritmos que tienen base 0, la base 0 no se escribe son los más comunes Se representan por (x), Liceo n Javiera Carrera 0

4 ,,, 0, 000, los únicos números cuyos aritmos son números enteros son las potencias de 0, ejemplo 00, 000, 0,0 0,0000 El sistema de aritmos naturales o neperianos son aquellos que tienen base el número irracional e,788. Se representan por ln (x) La base de un sistema arítmico solo puede ser un real positivo (no puede ser negativa) El real no puede ser considerado como base de un sistema arítmico El antiaritmo puede ser un numero real positivo y puede ser El antiaritmo no puede ser cero El antiaritmo no puede ser un real negativo Identidad fundamental de los Logaritmos Si el aritmo de un número es exponente de su propia base, entonces N es igual al número b b N : ) ) 0 0 ) b b Propiedades ) El aritmo de, en cualquier base(positiva y distinta de cero), es igual a 0 : a) 0, b) 0, 8 ) El aritmo de la base es igual a la unidad : a), b), Liceo n Javiera Carrera 0

5 ) El aritmo de un producto es igual a la suma de los aritmos de los factores : a) ( 7) 7 7 b) ( ) ) El aritmo de un cociente igual al aritmo del dividendo menos el aritmo del divisor. : (6 ) a) ( ) b) 6 6 ) El aritmo de una potencia es igual al exponente por el aritmo de la base a) 7 b) 6 () c) a b se aplica aritmo de un producto a b a b, aplicando aritmo de una potencia Liceo n Javiera Carrera 0

6 m d) n, aplicando aritmo de un cociente queda m n m n m ( ) n m, aplicando aritmo de un producto queda n, aplicando aritmo de una potencia, resolviendo 6) El aritmo de una potencia con igual base del aritmo es igual al exponente a) = b) 6 = 6 c) 6 7) El aritmo de una raíz es igual al aritmo del radicando dividido por el índice a) b b b) 6 aplicando la propiedad 6 ( ) Aplicando aritmo de un producto Liceo n Javiera Carrera 0 6

7 c) aplicando la propiedad IV) 8 Liceo n Javiera Carrera 0 8 Aplicando la propiedad n 6 Desarrolla los siguientes aritmos utilizando sus propiedades. 6 0, a) b) c) 000 c d) a e) f) g) (6ab ) h) ab a i ) 7 j) ( a b ) k) 6 l) 7 7 m) a n) ab o) c c a CAMBIO DE BASE Cuando un aritmo no es posible calcularlo, su valor se puede obtener mediante un cambio de base cuya definición esta por 7

8 Esta base se puede buscar y resultar conocida o también de no tener base común se elige la base 0 que es la base de los aritmos decimales a) 8 en este caso hay una base común que es, ya que son potencias de base y según la propiedad del cambio de base queda 8 Según la propiedad aritmo de potencia de igual base (n 6) También se puede calcular usando la base 0 8 b) 8, según la propiedad aritmo de una potencia (n ) Liceo n Javiera Carrera 0 V) Resuelva aplicando cambio de base ) ) ) 6 ) ) 6 0 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Ecuación Exponencial: Es aquella en la cual la incógnita aparece como exponente. Para su solución, al no poder igualar las bases de la potencia, se debe aplicar aritmo en ambos miembros de la ecuación en base apropiada (generalmente se usa base 0). ) x+ = / ( ) se aplica decimal(base 0) ( x+ ) =, aplicando de una potencia (x+) =, se distribuye x + =, se despeja x 8

9 x = - ) 0 x+ = / ( ), se aplica decimal(base 0) (0 x+ )=, aplicando de una potencia (x+) 0 =, se distribuye x =, se despeja x, pero 0= x + = x= Ecuación Logarítmica: Es aquella en la cual la variable esta en el argumento. Resolver una ecuación arítmica es determinar el o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad. Para determinar el valor de la variable, se sigue el siguiente método. Resolver la ecuación: Para ello se debe obtener una igualdad de aritmos de bases iguales. En seguida, se igualan los antiaritmos. Es decir, se aplica la siguiente propiedad de los aritmos: a A a B A B con a, A, B ; a 0 Resolvamos las siguientes ecuaciones arítmicas. ) x + 0 =, expresando como un solo aritmo, queda aritmo de un producto. 0x =, no se puede aplicar la propiedad mientras no tengamos aritmos a ambos lados, pero el proviene de.000 =, luego la ecuación queda así 0x =.000, aplicando la propiedad anterior se tiene 0x =.000 y resolviendo la ecuación tenemos x =.000/0 x = 0 ) x = 6 + x, aplicando de una potencia x = 6 + x, aislando la incógnita x - x = 6 x = 6 aplicando la propiedad anterior x=6 ) x+ (x+) =(x+) expresando como un solo aritmo, queda aritmo de un producto y de una potencia. x(x+)=(x+) aplicando la propiedad Liceo n Javiera Carrera 0 9

10 x(x+)= (x+) x +x=x +x+ x-x= x= ) x= +( x/0), aplicando de un cociente x=+ x 0, pero 0 = x - x= aislando la incógnita x =, pero no se puede aplicar mientras no tengamos aritmos ambos lados, el proviene de 00=, la ecuación queda x = 00, aplicando la propiedad x = 00 VI) Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones exponenciales. ) x- = ) x- x+ = ) x- = x+ ) x- = -x ) 7 x+ = x+ 6) ( x- )=0 ( x+ ) VII) Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones arítmicas ) x ) ( x ) ) ( x ) ) ( x ) x ( x 9) ) ( x ) ( x ) 6) x ) ( x ) x ( Soluciones: III) b) c) 9/6 d) 00/9 e) ½ f) g) - h)- i) ½ j)7/ IV)a) b) 0 c) c d) a e) 0 f) g) a b h) a b i) a j) a b k) 6 l) m) a n) a b o) c c a Liceo n Javiera Carrera 0 0