2.4. Números complejos

Transcripción

1 2.4 Números complejos Relaciones temperatura-latitud a tabla siguiente contiene promedios de temperaturas anuales para los hemisferios norte y sur a varias latitudes. atitud Hemisf. N. Hemisf. S F 5 F F 10 F F 27 F F 42 F F 53 F F 65 F F 73 F F 78 F 5 79 F 79 F Cuál de las siguientes ecuaciones predice en forma más precisa el promedio de temperatura anual en el Hemisferio Sur a una latitud? (1) (2) T T Aproxime el promedio de temperatura anual en el Hemisferio Sur a 50 grados de latitud. 2.4 Números complejos Se requiere de números complejos para hallar soluciones de ecuaciones que no se pueden resolver usando sólo el conjunto de números reales. a tabla siguiente ilustra varias ecuaciones cuadráticas sencillas y los tipos de números necesarios para soluciones. Ecuación Soluciones Tipo de números requeridos x 2 9 x x 2 5 x 2 9 3, 3 Enteros 3 2, , 25 Números racionales Números irracionales? Números complejos as soluciones de las primeras tres ecuaciones de la tabla están en, pero, como los cuadrados de números reales nunca son negativos, no contiene las soluciones de x 2 9. Para resolver esta ecuación, necesitamos el sistema de números complejos, que contiene tanto a como números cuyos cuadrados sean negativos. Empecemos por introducir la unidad imaginaria, denotada por i, que tiene las siguientes propiedades. Propiedades de i i 21, i 2 1

2 96 CAPÍTUO 2 ECUACIONES Y DESIGUADADES Debido a que su cuadrado es negativo, la letra i no representa un número real. Es una nueva entidad matemática que hará posible que obtengamos. Puesto que i, junto con, debe estar contenida en, debemos considerar productos de la forma bi para un número real b y también expresiones de la forma a bi para números reales a y b. a tabla siguiente da definiciones que usaremos. Terminología Definición Ejemplo(s) Número complejo a bi, donde a y b son números reales e i 2 1 3, 2 i, 2i Número imaginario Número imaginario puro a bi con b 0 bi con b 0 Igualdad a bi c di si y sólo si a c y b d Suma Producto a bi c di a c b di a bic di ac bd ad bci Nótese que los números imaginarios puros son un subconjunto de los números imaginarios y los números imaginarios son un subconjunto de los números complejos. Usamos la frase número complejo no real indistintamente con número imaginario. No es necesario aprender de memoria las definiciones de adición y multiplicación de números complejos dadas en la tabla precedente. En lugar de eso, podemos tratar todos los símbolos como que tienen propiedades de números reales, con exactamente una excepción: Sustituimos i 2 por 1. Así, para el producto a bic di simplemente usamos las leyes distributivas y el hecho de que EJEMPO 1 Adición y multiplicación de números complejos Exprese en la forma a bi, donde a y b son números reales: SOUCIÓN 3 4i 2 5i bidi bdi 2 bd1 bd. 3 4i 2 5i i 5 9i 3 4i2 5i 3 4i2 3 4i5i 6 8i 15i 20i i i 3 4i2 5i 3 2i, 4i 4i, 23 i, i x yi 3 4i si y sólo si x 3 y y 4 vea ejemplo 1 vea ejemplo 1 El conjunto de números reales puede identificarse con el conjunto de números complejos de la forma a 0i. También es cómodo para denotar el número complejo 0 i por bi. Así, a 0i 0 bi a 0 0 bi a bi. En consecuencia, podemos considerar a bi como la suma de dos números complejos a y bi (es decir, a 0i y 0 bi). Para el número complejo a bi, decimos que a es la parte real y b es la parte imaginaria.

3 2.4 Números complejos 97 EJEMPO 2 Igualdad de números complejos Encuentre los valores de x y y, donde x y y son números reales: 2x 4 9i 8 3yi SOUCIÓN Empezamos por igualar las partes reales y las partes imaginarias de cada lado de la ecuación: 2x 4 8 y 9 3y Como 2x 4 8, 2x 12 y x 6. Como 9 3y, y 3. os valores de x y y que hacen iguales los números complejos son x 6 y y 3. Con números complejos, ahora podemos resolver una ecuación como x 2 9. Específicamente, como 3i3i 3 2 i , vemos que una solución es 3i y otra es 3i. En la tabla siguiente definimos la diferencia de números complejos y multiplicación de un número complejo por un número real. Diferencia Terminología Multiplicación por un número real k Definición a bi c di a c b d i ka bi ka kbi i3 2i 2 Si nos piden escribir una expresión de la forma a bi, la forma a di es aceptable, porque a di a di. EJEMPO 3 Operaciones con números complejos Exprese en la forma a bi, donde a y b son números reales: 42 5i 3 4i 4 3i2 i (c) (d) i 51 (e) i 13 SOUCIÓN (c) 42 5i 3 4i 8 20i 3 4i 5 24i 4 3i2 i 8 6i 4i 3i i i3 2i 2 i9 12i 4i 2 i5 12i 5i 12i i (d) Tomando potencias sucesivas de i, obtenemos i 1 i, i 2 1, i 3 i, i 4 1, y entonces el ciclo se inicia otra vez i 5 i, i 6 i 2 1, y así sucesivamente. En particular, i 51 i 48 i 3 i 4 12 i i 3 1i i. (continúa)

4 98 CAPÍTUO 2 ECUACIONES Y DESIGUADADES (e) En general, multiplique i a por i b, donde a b a 3 y b es un múltiplo de 4 (para que i b 1). Para i 13, escoja b 16. i 13 i 16 i 3 i El siguiente concepto tiene importantes usos al trabajar con números complejos. Definición del conjugado de un número complejo Si z a bi es un número complejo, entonces su conjugado, denotado por z, es a bi. Como a bi a bi, se deduce que el conjugado de a bi es a bi a bi. Por lo tanto, a bi y a bi son conjugados uno del otro. Algunas propiedades de conjugados se dan en los ejercicios IUSTRACIÓN Conjugados Número complejo Conjugado 5 7i 5 7i 5 7i 5 7i 4i 4i 3 3 Operaciones con números complejos TI-83/4 Plus Primero, cambie al modo complejo. MODE (6 veces) ENTER TI-86 Se introducen números complejos en la a i está en la tecla del punto decimal. forma (real, imaginaria). 4 ( 2 5 2nd i ) 4 ( 2, 5 ) ( 3, 4 ( 3 4 2nd i ) ENTER ) ENTER 2nd i 51 ENTER ( 0, 1 ) 51 ENTER MATH 1 2nd CPX conj(f1) 5 7 2nd i ) ENTER ( 5, 7 ) ENTER

5 2.4 Números complejos 99 0 i En la TI-83/4 Plus, nótese que la segunda respuesta es equivalente a 0 i. Sabemos esto del ejemplo 3(d), donde vimos que la parte real de una potencia de i debe ser 0, 1 o 1. El lector debe estar alerta de estas pequeñas inconsistencias. as siguientes dos propiedades son consecuencias de las definiciones de la suma y producto de números complejos. Propiedades de conjugados Ejemplos a bi a bi 2a 4 3i 4 3i a bia bi a 2 b 2 4 3i4 3i 4 2 3i i Nótese que la suma y el producto de un número complejo y su conjugado son números reales. os conjugados son útiles para hallar el inverso multiplicativo de a bi, 1a bi o para simplificar el cociente de dos números complejos. Como se ilustra en el ejemplo siguiente, podemos considerar estos tipos de simplificaciones simplemente como racionalizar el denominador, puesto que estamos multiplicando el cociente por el conjugado del denominador dividido por sí mismo. EJEMPO 4 Cocientes de números complejos Exprese en la forma a + bi, donde a y b son números reales: 1 9 2i 7 i 3 5i SOUCIÓN 1 9 2i 1 9 2i 9 2i 9 2i 9 2i i 7 i 3 5i 7 i 3 5i 3 5i 21 35i 3i 5i2 3 5i i i

6 100 CAPÍTUO 2 ECUACIONES Y DESIGUADADES Si p es un número real positivo, entonces la ecuación x 2 p tiene soluciones en. Una solución es 2p i, porque 2p i 2 2p 2 i 2 p1 p. Del mismo modo, 2p i también es una solución. a definición de 2r de la tabla siguiente está motivada por 2r i 2 r para r 0. Cuando use esta definición, tenga cuidado de no escribir2ri cuando2r i sea lo que se pretende. Terminología Definición Ejemplos Raíz cuadrada principal 2r por r 0 2r 2r i i 3i i i i Operaciones con números complejos TI-83/4 Plus TI-86 No olvide cambiar al modo complejo. ( 7 2nd i ) ( 7, 1 ) ( 3 5 2nd i ) ENTER ( 3, 5 ) ENTER MATH 1 ENTER 2nd MATH MISC(F5) 2nd 2 9 ) ENTER MORE Frac(F1) ENTER 2nd 2 9 ENTER El signo de radical debe usarse con precaución cuando el radicando sea negativo. Por ejemplo, la fórmula 2a 2b 2ab, que se cumple para números reales positivos, no es verdadera cuando a y b son negativos los dos, como se ve en seguida: Pero i23 i 23 2 i Por tanto,

7 2.4 Números complejos 101 Si sólo uno de a o b es negativo, entonces 2a 2b 2ab. En general, no aplicaremos leyes de radicales si los radicandos son negativos. En lugar de ello, cambiaremos la forma de radicales antes de efectuar alguna operación, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPO 5 Trabajo con raíces cuadradas de números negativos Exprese en la forma a bi, donde a y b son números reales: SOUCIÓN Primero usamos la definición 2r 2r i, y luego simplificamos: i1 24 i 5 3i1 2i 5 10i 3i 6i i i En la sección 2.3 indicamos que si el discriminante b 2 4ac de la ecuación cuadrática ax 2 bx c 0 es negativo, entonces no hay raíces reales de la ecuación. De hecho, las soluciones de la ecuación son dos números imaginarios. Además, las soluciones son conjugadas entre sí, como se ve en el ejemplo siguiente. EJEMPO 6 Una ecuación cuadrática con soluciones complejas Resuelva la ecuación 5x 2 2x 1 0. SOUCIÓN Si aplicamos la fórmula cuadrática con a 5, b 2, y c 1, vemos que x i 10 Por tanto, las soluciones de la ecuación son 1 y i 5 i. 1 2i i. Diferencia de dos cubos: a 3 b 3 a ba 2 ab b 2 EJEMPO 7 Una ecuación con soluciones complejas Resuelva la ecuación x SOUCIÓN Usando la fórmula de factorización de la diferencia de dos cubos con a x y b 1, escribimos x como x 1x 2 x 1 0. (continúa)

8 102 CAPÍTUO 2 ECUACIONES Y DESIGUADADES Igualando a cero cada factor y resolviendo las ecuaciones resultantes, obtenemos las soluciones 1, o bien, lo que es equivalente, , i, i. Como el número 1 se denomina número real unitario y la ecuación dada puede escribirse como x 3 1, a estas tres soluciones se les llama raíces cúbicas de la unidad. En la sección 1.3 mencionamos que x 2 1 es irreducible sobre los números reales pero, si factorizamos sobre los números complejos, entonces x 2 1 se puede factorizar como sigue: 1 23 i 2 x 2 1 x ix i 2.4 Ejercicios Ejer. 1-34: Escriba la expresión en la forma a bi, donde a y b son números reales i 3 6i 2 5 7i 4 9i 3 7 6i 11 3i 4 3 8i 2 3i 5 3 5i2 7i 6 2 6i8 i 7 1 3i2 5i 8 8 2i7 3i 9 5 2i i 2 11 i3 4i 2 12 i2 7i i3 4i i4 9i i i 73 i 20 i i i i 1 7i i 6 2i 3 i i 66 i 33 i i i 4 2i i i i Ejer : Encuentre los valores de x y y, donde x y y son números reales x 2yi x 2i 36 x y 3i 7 yi 37 2x y 16i 10 4yi x yi 2x 4i 3 2i 5 2i 2 6i 3i

9 2.5 Otros tipos de ecuaciones 103 Ejer : Encuentre las soluciones de la ecuación. 39 x 2 6x x 2 2x x 2 4x x 2 8x x 2 5x x 2 3x x 2 x x 2 x x 4 25x x 4 21x x 3 3x 2 4x 0 8x 3 12x 2 2x 3 0 Ejer : Verifique la propiedad. 57 z w z w 58 z w z w 47 x x z w z w 60 zw zw x 3 x x 4 x z z si y sólo si z es real. 62 z 2 z 2 51 x x Otros tipos de ecuaciones as ecuaciones consideradas en secciones previas son inadecuadas para muchos problemas. Por ejemplo, en aplicaciones a veces es necesario considerar potencias x k con k 2. Algunas ecuaciones comprenden valores absolutos o radicales. En esta sección damos ejemplos de ecuaciones de estos tipos que se pueden resolver usando métodos elementales. EJEMPO 1 Resolver una ecuación que contenga un valor absoluto Resuelva la ecuación x 5 3. SOUCIÓN Si a y b son números reales con b 0, entonces a b si y sólo si a b o a b. Por tanto, si x 5 3, entonces Despejar la x nos da x o bien x Entonces, la ecuación dada tiene dos soluciones, 8 y 2. Para una ecuación como x 5 3 o bien x x , primero aislamos la expresión de valor absoluto al restar 3 y dividir entre 2 para obtener x y luego continuamos como en el ejemplo 1. 4,