Resolver ecuaciones cuadráticas. Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

Transcripción

1 Resolver ecuaciones cuadráticas Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

2 Ecuación cuadrática en forma general Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue ax + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales; y a 0 a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado ). b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.) c es la constante.

3 Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

4 Soluciones de una ecuación Una ecuación cuadrática puede tener Dos () soluciones reales Una (1) solución real Ninguna (0) solución real

5 Ejemplo: Determine las soluciones de 11x = 1x. Paso 1. Escribir la ecuación en forma general. 1x 11x + = 0 1. Escribir la ecuación de la forma general: ax + bx + c = 0. Factorizar el polinomio cuadrático ax + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución. Paso. Factorizar el polinomio cuadrático. Necesitamos factores de 4 que sumen 11, 1x 8x 3x + = 0 4x(3x ) 1(3x ) = 0 (4x 1)(3x ) = 0

6 Ejemplo (cont) (4x 1)(3x ) = 0 Paso 3. Se utiliza la propiedad del factor cero. 4x 1 = 0 ó 3x = 0 Paso 4. Resolver las ecuaciones lineales. 4x 1 = 0 ó 4x = 1 3x = 0 3x = x = 1/4 x = /3 El conjunto solución es 1, 4 1. Escribir la ecuación de la forma general: ax + bx + c = 0. Factorizar el polinomio cuadrático ax + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución. 3

7 Ejemplo Ejemplo: Determine el conjunto solución de 3x = 7x Solución: Para resolver una ecuación cuadrática, debe estar en su forma general, o sea igual a 0. 3x 7x = 0 Factorizamos mediante factor común:

8 Ejemplo continuación Solución: (continuación) 3x 7x = 0 x (3x 7) = 0 Por el principio del factor cero x = 0 3x 7 = 0 3x = 7 3x 3 = 7 3 El conjunto solución es: {0, 7 3 } x = 7 3

9 Ejemplo Resolver: 16x 9x 4 = 0 Solución: Factorizar la expresión por factor común. 16x 9x 4 = 0 x (16 9x ) = 0 Factorizar la diferencia de cuadrados x (4 3x)(4 + 3x) = 0 4 3x = 0 x= 4/ x = 0 x= - 4/3 x = 0 x = 0 El conjunto solución es 0, 4 3, 4 Aplicar el principio del factor cero 3

10 Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas método de la raíz cuadrada Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

11 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Cuando el coeficiente lineal, b, es igual a cero, empleamos el método de la raíz cuadrada para resolverlo. Ejemplos: x 7 = 0 36 = 9x Para una ecuación de la forma x = k las soluciones son x = ± k El conjunto solución es { k, k}. (3x - 5) = 5

12 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Ejemplo: Resolver 4x + = 10 Solución: 4x + = 10 4x = x = 8 4 x = x = ± Aislar el término cuadrático. Despejar coeficiente de x. Determinar la raiz positiva y negativa de la constante. Las soluciones son: x =, y x = El conjunto solución es: {, }

13 Ejemplo Resolver: (x 7) = 13 Solución: (x 7) = 13 (x 7) = ± 13 x 7 = ± 13 x = 7 ± 13 x = 7± 13 Propiedad: a = a, a > 0 El conjunto solución es 7+ 13, 7 13

14 Ecuaciones cuadráticas La fórmula cuadrática Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

15 Fórmula cuadrática Dada una ecuación cuadrática en su forma general: ax + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales y a 0, la fórmula cuadrática establece que sus soluciones están dadas por: x b b 4ac a

16 Resolver: x - 5x = 8 Primeramente debemos escribir la ecuación en forma general: x - 5x - 8 = 0 Identificar los coeficientes a, b y c: a = 1 b = -5 c = -8 Luego, aplicar la fórmula: x b b 4ac a

17 Aplicar la fórmula cuadrática Con a = 1, b = - 5, y c = - 8 aplicamos a la fórmula cuadrática. x b b 4ac a x ( 5) ( 5) ( 1) x 5 57 x 4( 1)( 8) El conjunto solución de la ecuación es: ,

18 Resolver: 3w + 4w - 3 = 0 Con a = 3, b = 4, y c = -3 aplicamos a la fórmula cuadrática. x b b 4ac a x x 4 4 4(3)( 3) (3) x 4 6 5

19 Ejemplo-continuación 4 5 x x x 6 ( 13) x 6 13 x 3 El conjunto solución de la ecuación es: 3 13, 3 13

20 El discriminante x b b 4ac a Llamamos discriminante al radicando de la fórmula cuadrática b - 4ac Podemos utilizar el discriminante para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática y si éstas son reales o no.

21 Discriminante b - 4ac Si b - 4ac > 0, la ecuación tiene soluciones reales. Si b - 4ac < 0, la ecuación NO tiene soluciones reales. Si b - 4ac = 0, la ecuación tiene 1 solución real.

22 Cuántas soluciones reales? Determine cuántas soluciones reales tienen las siguientes ecuaciones cuadráticas: x - 5x + 3 = 0 Identificar los coeficientes a, b y c: a=, b= -5, c= 3, b - 4ac = (-5) - 4()(3) = 5-4 = 1>0 ==> tiene soluciones reales

23 Cuántas soluciones reales? 3x + 4x + 5 = 0 a=3, b= 4, c= 5, b - 4ac = 4-4(3)(5) =16-60 = -44<0 --> tiene 0 soluciones reales x - x = 0 a= -1, b= 6, c= -9, b - 4ac = 6-4(-1)(-9) = = 0 --> tiene 1 solución real

24 Práctica 1:

25 Soluciones

26 Práctica Resuelva usando el método de la raiz cuadrada: 1) y = 7 ) 3w = 15 3) 5y = 4 4) (x+) = 10 5) 3(y-4) + 4 = 6

27 Soluciones de Práctica 1 1) ) 3) 4) 5) { 7, 7} { 5, 5} { 4 5, 4 5 } { 10, 10 } { 3 4, 3 4}

28 Práctica 3 Resuelva : 1) x - 5x + 4 = 0 ) y + 7y = 3 3) 4y + 5y = 4 4) (x+) = 10 5) 3(y - 4) + 4 = 6

29 Soluciones Práctica , ) 3 13, 3 13 ) 3 5 6, 5 6 ) 4 } 10, 10 { ) , 3 ) 6 4 1, ) 1