Ecuaciones de 2do grado

Transcripción

1 Ecuaciones de 2do grado Las ecuaciones de segundo grado o también llamadas cuadráticas de una variable es una ecuación donde tenemos un polinomio de segundo grado o cuadrático cuya grafica es una función cuadrática o parábola. La expresión canónica general de una ecuación de segundo grado es: ax 2 + bx + c = 0 con a 0 (1) En esta ecuación definimos los siguientes términos:.x: variable de la ecuación.a: coeficiente cuadrático (distinto de cero).b: coeficiente lineal.c: término independiente A continuación veremos cómo obtener las raíces o soluciones, propiedades y gráfico. I. Raíces de la ecuación de segundo grado Las raíces o soluciones de una ecuación de segunda grado pueden ser reales o complejas, dejando estas últimas excluidas de la presente ficha centrándonos en las soluciones reales. Las raíces de la ecuación canónica (1) tiene la siguiente expresión general: x = b ± b2 4ac 2a (2) Al emplear el símbolo E indicamos que tenemos dos soluciones, estas son: x 1 = b + b2 4ac 2a x 2 = b b2 4ac 2a (3) 1

2 La gráfica de la ecuación de segundo grado es una parábola que intersecta el eje de las abscisas (eje X) en las raíces y dependiendo del comportamiento del discriminante pueden ser en dos puntos (dos soluciones reales distintas), un punto (solución real doble) o no intersectar el eje (complejas). En las ecuaciones (2) y (3) el término dentro de la raíz se denomina discriminante y nos permite determinar el número y tipo de soluciones de la dos soluciones reales, una solución doble real y finalmente soluciones no reales (complejas), luego sea el discriminante: = b 2 4ac 1. Caso 1 > 0 b 2 4ac > 0 En este caso, donde el discriminante es positivo, tenemos dos soluciones reales y distintas intersectando la parábola en dos puntos el eje de las abscisas. 2. Caso 2 = 0 b 2 4ac = 0 En este caso, donde el discriminante es igual a cero, tenemos una solución real doble intersectando la parábola en un solo punto en el eje de las abscisas. 3. Caso 3 < 0 b 2 4ac < 0 En este caso, donde el discriminante es negativo, tenemos dos soluciones complejas (no reales) no intersectando la parábola el eje de las abscisas. Veamos lo anterior en la siguiente figura. 2

3 Fuente: Wikipedia II. Propiedades de las raíces Las raíces de la ecuación de segundo grado, si conocemos estas, podemos obtener la ecuación canónica general. - La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado x 1 + x 2 = b a - Producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado x 1 x 2 = c a Luego podemos construir la ecuación canónica como sigue: x x 1 x x 2 = 0 x 2 x 1 + x 2 x + x 1 x 2 = 0 / a ax 2 a(x 1 + x 2 )x + a(x 1 x 2 ) = 0 3

4 ax 2 a( b a )x + a(c a ) = 0 ax 2 + bx + c = 0 III. Casos especiales de ecuaciones de segundo grado Existen casos especiales de ecuaciones de segundo grado que veremos a continuación: 1. Ecuaciones Bicuadradas Estas ecuaciones se resuelven al efectuar un cambio de variables de forma tal de llevar la ecuación original a una de segundo grado normal, solo si son ecuaciones de cuarto grado sin términos impares, veamos un ejemplo: Sea la siguiente x 4 15x = 0 Como podrá notar, esta ecuación es de cuarto grado y además no tiene términos impares en sus grados, luego hacemos el siguiente cambio de variable y reemplazamos. Sea t = x 2 t 2 = x 4 t 2 15t + 36 = 0 Resolviendo la ecuación obtenemos las siguientes soluciones: t 1 = 12 t 2 = 3 Pero como habíamos efectuado cambio de variable tenemos: t 1 = 12 = x 2 x = ± 12 x 1 = 12 x 2 = 12 t 2 = 3 = x 2 x = ± 3 x 3 = 3 x 4 = 3 4

5 Finalmente, note que podemos emplear este procedimiento para resolver ecuaciones de la siguiente forma: ax 2n + bx n + c = 0 con el cambio de variable t = x n t 2 = x 2n 2. Ecuaciones Racionales Este tipo de ecuaciones las encontramos cuando tenemos dentro de uno de sus términos una raíz y su forma de solución es eliminar dicha raíz para luego resolver la ecuación resultante, veamos un ejemplo: Sea la siguiente ecuación 3x 3 x + 1 = 0 Para eliminar la raíz dejamos está a un lado de la ecuación y los otros términos al otro lado de la igualdad, luego tenemos 3x 3 = 1 x Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación (eliminamos la raíz) obtenemos 3x 3 = 1 2x + x 2 Reordenando obtenemos x 2 5x + 4 = 0 Resolviendo obtenemos x 1 = 1 x 2 = 4 En este punto siempre se debe verificar las soluciones, luego: 3x 3 x + 1 = = 3 3 = 0 3x 3 x + 1 = = = 9 3 = 3 3 = 0 5

6 3. Ecuaciones de grado superior a dos Este tipo de ecuaciones se resuelven mediante la combinación del método de Ruffini y el teorema del resto hasta llevar nuestro polinomio a una descomposición de factores donde uno de estos quede reducido a una ecuación de segundo grado 6

7 TEST 1.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación x 2 6x + 8 = Indique las soluciones de la siguiente x 4 5x = 0 a) -2 y 4 b) 2 y 4 c) 2 y -4 d) -2 y -4 a) 4, 1 y 1 b) -4, 1 y -1 c) 4, 1 y -1 d) 4 y Indique las soluciones de la siguiente ecuación 2x 3 162x = Indique las soluciones de la siguiente a) 0, -9 y -9 b) 0, 9 y 9 c) 0, 9 y -9 d) 9 y -9 a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 x 25 x 2 1 = Determine el valor de a para que la siguiente ecuación tenga una sola solución. x 2 + a x + 16 = Indique las soluciones de la siguiente x + 5x = 0 a) 8 b) -8 c) 8 y -8 d) 4 a) -4 b) 4 c) -3 d) 3 7

8 4.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación x + 1 x 1 = 2 x a) No tiene solución real b) -5 y 3 c) -5 y -3 d) 5 y Indique las soluciones de la siguiente 12x 2 3x = 0 a) 0 y -1/4 b) 0 y 1/4 c) 0 y -1/2 d) 0 y 1/2 5.- Indique las soluciones de la siguiente x 4 5x 2 36 = Indique las soluciones de la siguiente 6x x = 3 a) 9, 4, 3 y -3 b) 9, -4, 3 y -3 c) 9, -4, 3 y 3 d) 9, 4, 3 y -3 a) 4 y 1/2 b) 4 c) 1/2 d) 4 y -1/2 8