S2: Polinomios complejos

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1 S: Polinomios complejos Un polinomio complejo de grado n es un polinomio de la forma: p x = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n Donde los a i C se llaman coeficientes y a n 0. Observa que como R C los coeficientes pueden ser reales. Ejemplos de polinomios complejos de grado dos serían: p x = i i x + 8 i x p x = 1 + 4i x + 7x Nos interesa encontrar los valores de x 0 C tales que p x 0 existen los llamaremos ceros o raíces del polinomio p x : = 0, a tales números x 0 si p x 0 = a 0 + a 1 x 0 + a x a n x 0 n = 0 Teorema Fundamental del Álgebra Todo polinomio complejo de grado mayor ó igual que 1 tiene, al menos, un cero complejo. Teorema x 0 C es un cero de p x p x = x x 0 q(x), donde q(x) es un polinomio complejo.

2 Estos dos teoremas nos llevan a una conclusión muy importante. Si p(x) es un polinomio complejo y x 0 es un cero de p(x) entonces por el teorema anterior podemos escribir: p x = x x 0 q(x), Como q(x) es un polinomio complejo, por el teorema fundamental del algebra tiene al menos un cero complejo, por ejemplo, x 1, entonces: q x = x x 1 r(x) Donde r x es un polinomio complejo. Por lo que: p x = x x 0 q x = x x 0 x x 1 r(x) Si repetimos este razonamiento podemos escribir el polinomio p(x) como producto de factores lineales: p x = C x x 0 x x 1 x x n C C Esto significa que todo polinomio complejo de grado n 1, tiene exactamente n ceros complejos. Por ejemplo el polinomio complejo: p x = x i x i x i Se puede escribir como p x = x i x 4 + 5i x 3, con p i = p 4 5i = p 3 = 0

3 Otro ejemplo sería: p x = x i x i x i x i x i Que se puede factorizar como: p x = x i x i + 3 x 5i Donde las primeras dos raíces tienen multiplicidad dos. Podemos generalizar nuestra definición para que incluya la multiplicidad de las raíces: Si un polinomio complejo p(x) de grado n 1 tiene k ceros complejos distintos cada uno de multiplicidad m k entonces: p x = C x x 1 m 1 x x m x x 3 m 3 x x k m k, C C Donde: m 1 + m + m m k = n Y si los coeficientes son números reales y el polinomio tiene raíces complejas? Por ejemplo: p x = x 3 5x + x 5. Que se puede escribir como p x = x + i x i x 5. Para estos polinomios, que llamaremos polinomios reales, tenemos el siguiente resultado.

4 Teorema Sea p x un polinomio complejo con coeficientes reales. Si x 0 = a + ib es un cero de p x, es decir, p x 0 = 0, entonces su conjugado x 0 = a ib es también un cero de p x, es decir, p x 0 =0. Sea p x = a 0 + a 1 x + + a n x n, donde los a i R, y sea x 0 = a + ib un cero de p x, es decir p x 0 = 0. p x 0 = 0 p x 0 = 0 a 0 + a 1 x a n x 0 n = 0 a 0 + a 1 x a n x 0 n = 0 Como los coeficientes a i son números reales a i = a i y por las propiedades del conjugado: En consecuencia x 0 también es cero de p x. p x 0 = a 0 + a 1 x a n x 0 n = p x 0. Propiedades del conjugado de un número complejo x = a + bi, con a, b R: 1) x = x ) x = x b = 0 3) x 1 + x = x 1 + x 4) x 1 x = x 1 x 5) x x = a + b Teorema Si multiplicamos x x 0 x x 0 obtenemos un polinomio real de grado. Sea x 0 = a + ib y x 0 = a ib. Entonces: x x 0 x x 0 = x a ib x a + ib = x a ib x a + ib = x a i b = x ax + a + b. Como a, a y b son reales, entonces p x = x ax + a + b es un polinomio real.

5 Como consecuencia del teorema anterior y para un polinomio real de la forma: p x = C x x 1 m 1 x x m x x 3 m 3 x x k m k, C R Podemos agrupar cada cero complejo con su conjugado, por lo que un polinomio real de grado n 1 puede descomponerse como producto de polinomios de grado correspondientes a parejas de ceros complejos conjugados y de grado 1, correspondiente a ceros reales. Es decir como: p x = C x x 1 m 1 x x m x x 3 m 3 x x k m k x + a 1 x + b 1 n 1 x + a j x + b j n j Con todos los x i números reales distintos, todos los polinomios x + a j x + b j reales y con: m 1 + m + m m k + n n j = n n j sin ceros El siguiente problema consiste en calcular los ceros de un polinomio real. Para calcular los ceros de un polinomio de grado usaremos la fórmula conocida: p x = ax + bx + c x 1 = b + b 4ac a, x = b b 4ac a Para polinomios de grado mayor usaremos cuando sea posible la regla de Ruffini (para ceros reales enteros o fraccionarios).

6 Por ejemplo considera el siguiente polinomio real: p x = x 5 5x 4 + 6x 3 x + 5x 6 Aplicamos Ruffini para calcular sus ceros: x 1 x 4 4x 3 + x + x x x 3 x x x 3 x + x Luego x 5 5x 4 + 6x 3 x + 5z 6 = x 1 x x 3 x + x + 1 Entonces los ceros de x + x + 1 son: x 1 = Finalmente: = 1+ 3i ; x = = 1 3i x 5 5x 4 + 6x 3 x + 5z 6 = x 1 x x 3 x + 1 3i ; x i

7 P) Sin efectuar la división, comprueba que p x = 13x x es divisible por x + 1 p x = 13x x p 1 = = = 0 P3) Sabiendo que x 4 + x 3 7x 8x + 1 tiene a 1 y a como ceros, halla el polinomio de segundo grado cuyos ceros son los dos ceros restantes del polinomio original y calcúlalos. Aplicamos Ruffini para calcular sus ceros: x 1 x 3 + 3x 4x x x + x Los ceros de x + x 6 son: x 1 = = = ; x = = 1 5 = 3

8 Si x 0 C es un cero doble de un polinomio p x, entonces el polinomio p x se puede expresar como el siguiente producto: Si derivamos la expresión anterior: p x = x x 0 q(x), donde q(x) es un polinomio complejo. p x = x x 0 q x + x x 0 q x Si ahora sustituimos x 0 en p x, resulta que x 0 también es cero de p x : p x 0 = x 0 x 0 q x 0 + x 0 x 0 q x 0 = 0 Si x 0 C es un cero triple de p x, x 0 es también un cero doble de p (x) y un cero de p x.

9 P4) Aplica los dos resultados anteriores para resolver los siguientes ejercicios i) Busca los ceros dobles de p x = x 3 7x + 15x 9. ii) Busca los ceros dobles de g x = x 4 8x iii) Busca los ceros triples de h x = x 4 6x 8x 3. i) Si x 1 es cero doble de p x, por el resultado anterior x 1 también es cero de p (x). Así que derivamos el polinomio x 3 7x + 15x 9 y calculamos sus ceros: p x = 3x 14x + 15 = 0, como es un polinomio de grado : x 1 = = = = 18 = 3; x 6 = = 10 6 = 5 3 Obtenemos que 3, 5 3 son ceros de p (x). Comprobemos que 3 es cero de p x : p 3 = = = 0, luego 3 es cero doble de p x. No es necesario verificar que 5 3 es cero doble porque p x es de grado tres. Cuál es el otro cero de p x = x 3 7x + 15x 9? Respuesta: 1

10 ii) Los ceros simples de g (x) son ceros dobles de g x = x 4 8x Entonces primero calculamos los ceros de g (x): g x = 4x 3 16x = 4x x 4 = 4x x + x ; tenemos que 0,, son ceros de g (x). Como: g = = 0 g = = 0 g 0 = 16 0 Luego y son ceros simples de g (x) y son ceros de g(x), por lo tanto son ceros dobles de g x : g x = x x + iii) Los ceros triples de h x = x 4 6x 8x 3 los obtenemos derivando h(x) dos veces: h x = 4x 3 1x 8; h x = 1x 1 Calculamos el cero de h x que sea también cero de h x : 1x 1 = 0 1x =1 x = 1 x = ±1 Los ceros de h x son 1 y 1. Como: h 1 0, h 1 = 0, h 1 = 0, 1 es cero triple de h x. Cuál es el otro cero de h x = x 4 6x 8x 3? Respuesta: 3

11 P5) Dado el polinomio p x = x 3 x 4x 6, comprueba que x = 3 es un cero de p x y halla un polinomio de segundo grado q(x) que tenga como ceros los otros dos ceros de p x. Para comprobar que x = 3 es un cero sustituimos: p 3 = = = 0 Para hallar los otros ceros aplicamos Ruffini: P6) Sabiendo que p x = x 4 1x x 6x + 9 tiene a otros ceros del polinomio Entonces x 3 x 4x 6 = x 3 x + x +. Si ahora calculamos los ceros de polinomio de grado : x 1 = i = = 1 + i; x = 1 i. i como cero, hallar los Sabiendo que p(x) es un polinomio de coeficientes reales i es también solución de p(x). Entonces el polinomio x i calculamos p(x) x + 1 x + i = x i = x + 1 divide a p(x). Así que

12 x 4 1x x 6x + 9 x + 1 x 4 x x 1x + 18 Por lo tanto podemos descomponer p(x) como p x = x + 1 x 1x Además el polinomio x 1x + 18 se puede poner como x 6x + 9 = x 3 por lo que 3 es un cero doble. P7) El polinomio p x = x i x i x 1 1i tiene la raíz 1 + i. Significa esto que también tiene la raíz 1 i? Como p(x) no es un polinomio con coeficientes reales no podemos asegurar que el conjugado de 1 + i es también raíz de p(x). Para comprobar si 1 i es cero de p(x) calculamos p(1 i)* : *Porque p(x) x a = q x + resto x a 1x x 6x + 9 1x 3 + 6x 18x x 9 p 1 i = (1 i) i 1 i i 1 i 1 1i = 10 10i Por lo tanto como p 1 i 0 0, 1 i no es raíz de p x. Podemos verificar con Ruffini: p x = x a q x + resto p a = a a q a + resto = resto, si el resto es cero a es raíz de p x.

13 Aplicamos Ruffini: 1 8 i i 1 1i 1 i 1 i 9 + 5i + i 1 7 i i 10 10i Como el resto es 10 10i, entonces p 1 i = 10 10i 0, por lo tanto 1 i no es cero de p x.

14 P8) Descomponer en fracciones simples x4 x 3 x 1 x 3 x. Como se trata de una fracción impropia primero dividimos: x 4 x 3 x 1 x 3 x x 4 + x 3 x Obtenemos que x 4 x 3 x 1 x 3 x fracciones simples a la fracción x 1 = x x+1, por lo que tenemos que descomponer en x 3 x x+1 x 3 x : x + 1 x 3 x = x + 1 x (x 1) = A x + B x + C x 1 x + 1 x 3 x = Ax A + Bx Bx + Cx x (x 1) = A x 1 + Bx x 1 + Cx x (x 1) = B + C x + A B x A x x 1 Comparando los numeradores x + 1 = B + C x + A B x A nos queda que: B + C = 0 A B = 1 A = 1 A = 1; B = A 1 = ; C = B = ; x+1 x 3 x = 1 x x + x 1 Finalmente la descomposición queda como x 4 x 3 x 1 x 3 x = x + 1 x + x x 1

15 P9) Descomponer en fracciones simples 3x 4 +5 x +1 x Como el grado del denominador es mayor que el numerador se trata de una fracción propia. Además el polinomio del denominador está expresado en factores irreducibles en R, esta fracción admite la descomposición tipo: 3x x + 1 x = A x + Bx + C x Dx + E x + 1 = x + 1 A + x + 1 x Bx + C + x Dx + E x + 1 x 3x 4 +5 = x4 +x +1 A+ x 3 +x Bx+ x 3 +x C+Dx +Ex x +1 x x +1 x Comparando los numeradores: = A+B x4 + C x 3 + A+B+D x + C+E x+ A x +1 x A + B = 3 C = 0 A + B + D = 0 A = 5; B = 3 A = ; C = 0; D = B A = 10 C + E = 0 A = 5 = 8; E = 0 Sustituyendo estos valores para A, B, C, D, E obtenemos la descomposición: 3x x + 1 x = 5 x x x + 1 8x x + 1

16 P10) Descomponer en fracciones simples x5 x 4 +4x 3 4x +8x 4 x + 3. Esta fracción admite la descomposición tipo: x 5 x 4 + 4x 3 4x + 8x 4 x + 3 = Ax + B x + + Cx + D x + + Ex + F x + 3 Hacemos denominador común en el miembro de la derecha: Ax + B x + + Cx + D x + + Ex + F x + 3 El numerador de la expresión anterior queda como: Ax 5 + Bx 4 + 4A + C x 3 + 4B + D x + 4A + C + E x + 4B + D + F Si el numerador anterior lo comparamos con el otro numerador obtenemos el sistema de ecuaciones: A=1; B = 1; 4A + C = 4 C = 0; 4B + D = 4 D = 0; 4A + C + E = 8 E = 4; 4B + D + F = 4 F = 0 x5 x 4 + 4x 3 4x + 8x 4 x + 3 = x 1 x + + 4x x + 3

17 Extra) Calcula los ceros de p(x) = x C y factoriza p x como producto de polinomios irreducibles en C. A continuación factoriza p x como producto de polinomios irreducibles en R. Vamos a necesitar valorar i. Para calcularlo hacemos: i = a + ib i = a b + abi a = b, a = b ab = 1 a = 1 = (NOTA a = b conduce a la misma solución) i = + i i = + i x = x 4i x + 4i x 4i = x i x + i x + 4i = x i i x + i i = x i i x + i + i = x i x + + i = x + i x + i Descomposición en C: x = x i x + + i x + i x + i Para la descomposición en R reagrupamos el primer término con el cuarto y el segundo con el tercero: x = x i x + i x + + i x + i x i x + i = x x + 4 x + x + 4