FRACCIONES PARCIALES. 2011

Transcripción

1 DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES El método de descomposición en fracciones parciales fue introducido por John Bernoulli, matemático suizo cuyas investigaciones fueron fundamentales en el desarrollo del cálculo. John Bernoulli fue profesor en la Universidad de Basilea donde conto con ilustres discípulos, entre ellos Leonhard Euler. Fracción racional: es una expresión de la forma polinomios en. Las fracciones pueden ser propias o impropias. donde y son Fracción propia: es una fracción racional en la que el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Fracción impropia: es una fracción racional en la que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Fracción parcial: si una fracción propia puede escribirse como la suma de fracciones cuyos denominadores son de grado menor que el grado del denominador de la fracción dada, cada una de sus fracciones sumandos se llama fracción parcial de la fracción dada. Ejemplos. a., aquí, y parciales de son las fracciones b. son las fracciones parciales de, entonces Teorema. Cualquier fracción parcial puede descomponerse en una suma de fracciones parciales, además, por cada factor lineal en el denominador corresponde una fracción de la forma Por cada factor de la forma corresponden dos fracciones parciales y Por cada factor de la forma corresponden tres fracciones parciales, y y asi sucesivamente. Ahora, por cada factor cuadrático irreducible (no factoriza en los reales) en el denominador hay una fracción parcial de la forma I.T.M. Página 1

2 Por cada factor cuadrático irreducible de la forma hay dos fracciones parciales y así sucesivamente. Nota: las cantidades A,B,C,D, son constantes reales. Estudiaremos entonces dos casos para descomponer una fracción racional en fracciones parciales i) la fracción dada es una fracción propia ii) la fracción dada es una fracción impropia i). El denominador está formado por factores distintos, de la forma Ejemplo 1. Descomponer en fracciones parciales la fracción propia Observemos que el denominador es cuadrático, pero no irreducible, por lo que se puede factorizar y descomponemos la expresión racional en su suma de fracciones parciales Determinaremos los valores de A y B. Como los denominadores son iguales entonces igualamos los numeradores Si, entonces al reemplazar en obtenemos Si, entonces al reemplazar en obtenemos Por lo tanto. I.T.M. Página 2

3 Ejemplo 2. Descomponer en fracciones parciales Factoricemos posibles ceros Por lo tanto Si, entonces obtenemos Si, entonces obtenemos Si, entonces obtenemos Con los valores de las constantes, la descomposición en fracciones parciales queda Ejemplo 3. Encontrar las fracciones parciales de I.T.M. Página 3

4 Igualando numeradores Como dos polinomios son iguales, si y solo si sus coeficientes son iguales componente a componente. Igualando coeficientes de términos semejantes Por lo tanto Ejemplo 4 Descomponer en fracciones parciales Solución Observemos que el factor es cuadrático irreducible, además el denominador esta factorizado, asi, la descomposición en fracciones parciales es Luego. Hallemos los valores de las constantes igualando polinomios Y la descomposición queda Ejemplo 5 Expresar en fracciones parciales I.T.M. Página 4

5 Solución Aquí, Observemos que el factor es cuadrático irreducible, de multiplicidad 2, la descomposición en fracciones parciales es: Efectuando las operaciones indicadas Igualando polinomios Y obtenemos Con lo que la descomposición en fracciones parciales es. Bibliografía. STEWART, James y otros. PRECÁLCULO Matemáticas para el cálculo. Quinta edición. Ed. THOMSOM GOODMAN: ALGEBRA y TRIGONOMETRIA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, 1ª Edición. Prentice Hall Inc LARSON, Ron. CÁLCULO. Novena edición. Ed. Mc Graw Hill I.T.M. Página 5