TEMA 12.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS

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1 TEMA.- CÁLCULO DE PRIMITIVAS.-.- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición de Función Primitiva Una función F() se dice que es primitiva de otra función f() cuando F'() f() Ejemplos: F() es primitiva de f() porque ( ) F() sen es primitiva de f() cos porque ( sen ) cos F() Ln es primitiva de f() porque ( Ln ) para > 0 Funciones primitivas de una misma función f() El problema de obtener una función primitiva de f() admite infinitas soluciones porque: F () 4 también es primitiva de f() porque ( 4) F () sen es primitiva de f() cos porque ( sen - ) cos F() Ln k es primitiva de f() porque ( Ln k ) para > 0 Podemos decir que el conjunto de todas las funciones primitivas de f() son de la forma G() F() Porque si F() es una primitiva de f() también lo será G() ya que G () [ F() ] F () f() Definición de integral indefinida Una función f() tiene infinitas primitivas, al conjunto de todas ellas le denomina integral indefinida y se representa por f( ) d f( ) d F() F'() f() siendo C una constante cualquiera - -

2 .-.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA La integral indefinida, al igual que la derivación, es una aplicación de tipo lineal porque verifica que: ª Para la suma: f( ) g( ) d f( ) d gd ( ) Ejemplos cos d d cos d sen ( ).d.d.d Ln ª Para el el producto por un número real k f( ) d k f( ) d Ejemplos. cos. d cos. d. sen -..d -. d - Ln * C..- INTEGRALES INDEFINIDAS a) Función potencial n n n n f( ) d paran f f d n ( ) '( ) n.- (4 5 7 ).d 5.- sen. cos. d d d ( 4) sen.- ( ).d cos.d 4.-.d 8.-. Ln. d - -

3 b) Función logarítmica d Ln f'( ) d Lnf C f ( ) ( ) log ed f log '( ) C log ed log f( ) C f( ) a a a a d d d d 6 c) Función eponencial f( ) f( ) a Lna d a a f'( ) Lna d a f( ) f( ) e d e e f'( ) d e.- ( e.e ).d.- e 9.d.- ( ). d 4.-..d d) Raíz cuadrada d C f'( ) f d f ( ) ( ) C sen.- cos.d.-.d e) Funciones trigonométricas sen d cos sen f( ) f'( ) d cos f( ) cosd sen cos f( ) f'( ) d sen f( ) cos '( ) tg tg ( ) d f cos f( ) d f - -

4 '( ) cot cot ( ) sen d g C f d gf C sen f( ).- ( sen e ).d 4.- cos. d.-. sen.d 5.- tg. d sen(/ ).-.d f) funciones recíprocas de las trigonométricas d C f'( ) arcsen f( ) d C f'( ) arccos f( ) d arcsen f( ) d arccos f ( ) d C f'( ) arctg f( ) d arctg f( ) d arc g C f'( ) cot d arc cot gf ( ) C f( ) f arc C arc f C '( ) sec f f sec ( ) ( ) ( ) f'( ) arccosec arccos ecf ( ) f( ) f( ).-. d 4.- (ln ). d e.-. d e.-. d 4.d - 4 -

5 .-4.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN En la mayoría de los casos se hace necesario el uso de procedimientos matemáticos para conseguir que, la integral dada, se convierta en otra, u otras, que puedan resolverse de manera más o menos inmediata. Entre los procedimientos que tenemos para lograrlo están los siguientes: A).-Integración por cambio de variable o sustitución Sea f( ) d donde a su vez g(t) siendo su diferencial: d g (t). dt por lo que : f( ) d fgt ( ( )) g'( tdt ) Ejemplos º.- I d Cambio de variable - t t Sustituyendo en la integral dada diferenciando d t dt d t t t dt dt arctg t t tdt ( t ) t ( ) Deshaciendo el cambio, como t resulta finalmente I arctg º.- I..d Cambio de variable t t - diferenciando d t dt Sustituyendo en la integral dada I d I ( t ) t.t. dt.. dt ( t ) Hemos obtenido otra integral de las denominadas racionales con raíces reales sencillas que resolveremos más adelante. º.- I e e d cambio de variable e t diferenciando Ln t d t dt - 5 -

6 sustituyendo en la integral dada: I e e d t t t dt t dt arctg t arctg e c º.- d e e º.- e. d º.- d 4º.- 9.d (cambio sen t) B) Integración por partes : Sean u y v dos funciones respecto de la misma variable. Teniendo en cuenta que la diferencial de un producto de funciones es: d(u v) v du u dv Si despejamos uno de los dos sumandos del segundo miembro resulta u dv d(u v) - v du y si integramos los dos miembros de esta epresión resulta finalmente u dv d( u v) v du u.v - v. du De esta epresión deducimos que si separamos, de manera adecuada, los elementos de la integral dada, esta, puede resolverse a través de v. du Evidentemente esto sólo es práctico si v. du es más sencilla que la integral propuesta. Ejemplos.- I.e. d > sustituyendo u > du d dv e. d > v e. d e I. e - e. d. e - e d.-.ln. d u ln > du > dv. d > v. d - 6 -

7 sustituyendo I.ln - d..ln - 4 Ejercicios propuestos.- e. cos.d (sugerencia: es una integral cíclica).-. sen. d ( sugerencia: reducir el grado de en dos etapas) arctg. d cos ( ln ). d P ( ) C) Integración de funciones racionales I.d Q ( ) Si grado P() grado ) es necesario realizar la división Si C() y R() son, respectivamente, cociente y resto de esa división podemos poner que: P( ) R( ) C( ) ) ) P ( ) R( ) R( ) con lo que: ( ( ) ) Q ( ) C. d ) C ().d.d ) donde C ().d es la integral polinómica cuya resolución es inmediata Ejemplo : 6. d 5 ( 4 ). d º.- 4. d 4Ln( ) R( ) Frecuentemente, la integral.d, no es inmediata pudiéndose presentar alguno de los casos ) siguientes: C-.- Que el denominador tenga raíces reales simples : En este caso descomponemos la fracción algebraica de la manera siguiente: P( ) A B A ( b) B ( a) ) ( a) ( b) ( a) ( b) e identificando los numeradores, porque los denominadores son iguales, tenemos: P() A ( b) B ( a) () - 7 -

8 Los coeficientes A y B se obtienen, a partir de ( ), resolviendo el sistema que se obtiene al dar a, sucesivamente, los valores a y b. Una vez hallados estos la resolución es como sigue: P ( ) A B ALn a BLn b C Q ( ) a ( ) ( ) ( ) ( b) Ejemplo 4 6 I.d Realizamos la división del numerador entre el denominador por ser aquel de mayor grado. Resulta: C() - R() Tendremos pues I [ ]. d. d -. d El denominador de la integeral 6 A 6. d tiene como raíces 0,, - B C 6 > A( )( ) B( ) ( ) ( )( ) Igualando numeradores 6 A( ) ( ) B ( ) ( ) Para 0 resulta la ecuación A de donde A Para resulta la ecuación - B de donde B - Para - resulta la ecuación 6 6 C de donde C Sustituyendo los valores hallados 6. d La solución final es: Ejercicios propuestos.-. d. d -. d.( ) I - ln. d ln ln ( - ) ln ( ) - 8 -

9 .-. d ( )( ).-. d 4 º Que el denominador tenga raíces reales múltiples : Por cada raíz a, cuyo grado de multiplicidad es n, la fracción dada admite una descomposición de la forma P( ) P( ) )...( a) n A B... ( a) ( a) N... ( a) n Reduciendo, como en el caso anterior, a común denominador, igualando numeradores y obteniendo un sistema de ecuaciones como resultado de dar a el mismo valore numérico en ambos miembros para así obtener los coeficientes A, B,... Para cada raíz múltiple obtendríamos una serie de integrales de la forma: A B N. d d... d cuyas solucioneas son: n ( a) ( a) ( a) ( a) Aln( a) B Ejemplo ( )( ). d n ( a)... D n A B C ( )( ) A ( ) B ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) A B ( A B ) ( ABC ) ( )( ) ( A B) ( A B) ( ABC) A, B- y C- ( )( ) C Ejercicios propuestos.-. d ( ) d d d ( ) d Ln(-) - Ln() - ( ) - 9 -

10 7.-. d 4.-. d ( ) ( ) º Que el denominador tenga raíces reales complejas sencillas : Si al buscar las raíces del denominador obtenemos un radicando negativo esto significa que ) tiene raíces complejas conjugadas, es decir, de la forma a b.i y a b.i Cada par de raíces complejas corresponde a un polinomio de º grado que debemos convertirlo en la forma: (-a) b A cada polinomio de º grado, con raíces complejas conjugadas, le corresponde en la descomposición, una fracción de la forma: M N que, al resolverla, nos dará un arctg ln ( a) b Ejemplo.-.d d d ln ( ) arct.- I d 4 Las raíces del polinomio - 4 son i y i por lo que: - 4 ( - ) I d arctg ( ) ( ) d 4 d 4 d d 4 d 4 d 4 ( ) d ln ( - 4 ) arc tg ( ) - 0 -

11 4.- Como puedes observar, en los dos ejemplos anteriores, hemos mantenido el mismo denominador y hemos variado únicamente el numerador. Esto se ha hecho para simplificar el ejemplo porque así obteníamos la misma fracción que desembocaba en un arc tg. Ahora proponemos un ejemplo más general, aunque mantenemos - 4 como uno de los factores del denominador. I d ( )( 4 ) ( )( 4 ) A ( ) M N 4 A( 4 ) ( )( M N) ( )( 4 ) Igualando numeradores A ( 4 ) ( ) ( M N ) Para A de donde A Para A - N como A > N 5 Para A M N de donde M - Sustituyendo estos valores en la descomposición fraccionaria: ( )( 4 ) d ln ( ) 4 d d d 4 4 d (como en ejemplo ) 5 d d 5 d d 4 d d 4 d 4 d 4 d ( ) - ln ( - 4 ) 9.arctg ( ) 5.- I d 4 4 tiene como raíces - i y - - i de donde 4 ( ) ( ) 4 I d d ( ) d 4 d ( ) - -

12 4 ln ( 4) d ( ) Esta última integral se resuelve como una arctg : ( ) ( ) arctg La solución final es ln ( 4) arctg d ( ) Ejercicios propuestos º.- Resuelve sen d º.- ( ej. 7 pág 5 ) Encuentra la primitiva de f() que se anula para 0 º.-(ej 8 pág 5) Halla la función F para la que F () y f() 4º.- ( eje. 0 pag 5 ) Halla f() sabiendo que f () 6, f (0) y f() 5 5º.- PAU-004. De todas las primitivas de la función f() tg () sec (), hállese la que pasa por el punto P ( π,) 4 ( ) 6º.- PAU - 004Calcúlese. d 7º.- Dada la función f:[,e] R definida por f() ln calcúlese una función primitiva de f() que pase por el punto P( e, ). - -