UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.

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1 IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento de una función cuando... Comportamiento de una función cuando. 3. Cálculo de ites. 4. Asíntotas. 4.. Asíntotas verticales. 4.. Asíntotas horizontales Asíntotas oblicuas. 5. Continuidad de una función. 5.. Continuidad de una función en un punto. 5.. Continuidad de una función en un intervalo Tipos de discontinuidades. Departamento de Matemáticas Bloque IV: Análisis de Funciones

2 IES Padre Poveda (Guadi) Conceptos previos: Decimos que: a y se lee tiende a a, si toma valores cada vez más próimos a a. Ejemplo: La secuencia de números 0 ; ; 0 5; 9; 0 8; 4; 0 9; ; 0 99; 0; 0 999; 00;... se aproima a. Escribimos. Podemos distinguir dos modos de acercarnos a a, por la izquierda o por la derecha: - a se lee tiende a a por la izquierda, si toma valores cada vez más próimos a a pero menores que a, es decir < a. Ejemplo: La secuencia de números 0 ; 0 5; 0 8; 0 9; 0 99; 0 999;... se aproima a pero con valores menores que. Escribimos. a se lee tiende a a por la derecha, si toma valores cada vez más próimos a a pero mayores que a, es decir > a. Ejemplo: La secuencia de números ; 9; 4; ; 0; se aproima a pero con valores mayores que. Escribimos. Decimos que: y se lee tiende a, si toma valores cada vez más grandes (mayores que cualquier número real prefijado k ). Ejemplo: La secuencia de números 0 ;;0;00;.000;0.000;00.000; ;... toma valores cada vez más grandes. Escribimos. Decimos que: y se lee tiende a, si toma valores cada vez más pequeños (menores que cualquier número real prefijado k ). Ejemplo: La secuencia de números 0; ; 0; 00;.000; 0.000; ; ;... toma valores cada vez más pequeños. Escribimos. Observación: Se va a tratar el concepto de ite desde un punto de vista gráfico e intuitivo. El próimo curso se definirá de modo riguroso. Departamento de Matemáticas Bloque IV: Análisis de Funciones

3 IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO... LÍMITES LATERALES. Cómo se comporta f () cuando a? Pueden presentarse tres casos: º) Que f () crezca cada vez más sin ninguna cota. f () º) Que los valores de f () se hagan cada vez más pequeños y negativos. f () Nota: Hay un cuarto caso algo más raro : Que los valores de f() no presenten tendencia alguna, En ese caso: / f () 3º) Que los valores de f () se aproimen a un número real l. l Cómo se comporta f () cuando a? De nuevo se presentan tres casos: f () f () l Se definen: f () f () Límite lateral por la izquierda de la función f en a. Límite lateral por la derecha de la función f en a. A ambos se les llama ites laterales de la función f en a. Observa: Para obtener el ite lateral de una función f en a, no es necesario que esté definida la función en a. Departamento de Matemáticas 3 Bloque IV: Análisis de Funciones

4 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo : Observa la función definida a trozos dada por su gráfica: Si se aproima a por la izquierda, ( ) Si se aproima a por la derecha, ( ) 3 Observa que Ejemplo : Calcula y también a) b) f() f() ( ) f() f() f se aproima a. f se aproima a 3. en los siguientes casos e indica si coinciden. No coinciden. ( ) ( ) c) f() Sí coinciden. ( 5) f() ( 5) 6 Sí coinciden... LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Si (alguna de las tres posibilidades), entonces se dice que l eiste el ite cuando a ( tiende a a ) y se escribe así: respectivamente. l Es decir: Una función f tiene ite en un punto a si eisten los ites laterales en dicho punto y además coinciden, y recíprocamente. En caso contrario, NO eiste el ite en ese punto (pero podrán eistir los ites laterales). El ite, si eiste, es único. Si los ites laterales no toman el mismo valor, es decir, si alguno de ellos, se dice que NO eiste el ite cuando a y se escribe: / Departamento de Matemáticas 4 Bloque IV: Análisis de Funciones, o bien no eiste

5 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo anterior: / 3 f ( ) ya que Ejemplo anterior: a) / b) c) ( 5) 6 ( ) Por tanto, el concepto de ite de una función en un punto da respuesta a la pregunta: Cómo se comporta f () cuando a? f () f () l / f () Fíjate: Si eiste, entonces f() se aproima al mismo valor cuando a nos aproimamos a a por la izquierda como por la derecha. Ejemplo: Fíjate en la gráfica y en el cálculo de los siguientes ites: Dom ( f ) R Rec ( f ) R, tanto si 4 4 / Observa que, sin embargo, f ( ) Ejemplo: Observa ahora, con atención, estos otros ejemplos: a) Dom ( f ) R \{ 0 } Rec ( f ) R \{ 0 } Sin embargo, qué valor toma 0? Estudiamos los ites laterales: Como 0 / (No eiste el ite) 0 0 Departamento de Matemáticas 5 Bloque IV: Análisis de Funciones

6 IES Padre Poveda (Guadi) b) ( f ) R Dom \{ 0 } Rec ( f ) ( 0, ) Eiste en este caso? c) f ) ( Dom ( f ) [ 0, ) Rec ( f ) [ 0, ) En este caso / (Fíjate: Dom( f ) 4 4 ) Tampoco eiste el ite en 0 ya que no eiste el ite lateral por la izquierda en 0 : 0 0 / / 0 0 No obstante 4. LÍMITES EN EL INFINITO... COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN CUANDO. Cómo se comporta f () cuando? Pueden presentarse cuatro casos: º) Que f () crezca cada vez más sin ninguna cota. f () º) Que los valores de f () se hagan cada vez más pequeños y negativos. f () 3º) Que los valores de f () se aproimen a un número l. l 4º) Que f () no presente tendencia alguna. En este caso / f () como sen Departamento de Matemáticas 6 Bloque IV: Análisis de Funciones

7 IES Padre Poveda (Guadi).. COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN CUANDO. Cómo se comporta f () cuando? De nuevo pueden presentarse cuatro casos: f () f () l / f () Ejemplo: Calcula a) y en los siguientes casos f() f() b) f() f() c) f ) ( ( ) ( ) f() f() d) sen / sen Departamento de Matemáticas 7 Bloque IV: Análisis de Funciones

8 IES Padre Poveda (Guadi) 3. CÁLCULO DE LÍMITES. El cálculo de un ite a partir de la gráfica de una función es una tarea fácil, basta con observar con atención dicha gráfica. Sin embargo no siempre se dispondrá de ella por lo que habrá que recurrir a su epresión algebraica. No obstante, el cálculo analítico del ite de una función puede ser fácil de obtener, o bien dar lugar a una indeterminación que se debe resolver del modo adecuado. Propiedades: Si L Entonces: a f a y g( ) M a ) [ ( ) ± g( ) ] L ± M b) [ g( ) ] L M a ( ) ( ) f L c) 0 a g M ( Si M ) a g ( ) ( ) M L ( L ) d) f > 0 a NOTA: En algunos casos como cuando L y/o M son ites infinitos ó M0, pueden aparecer indeterminaciones en las epresiones anteriores. Se resolverán de un modo específico. Casos de indeterminación: k a ) 0 b ) 0 c ) d ) [ ] e ) [ 0 ] f ) [ ] g ) [ ] h ) [ 0 ] Veamos en la pizarra, de un modo práctico, el cálculo de ites con diversos ejemplos. 4. ASÍNTOTAS. 4.. ASÍNTOTAS VERTICALES. Si f ó ( ) y/o ó entonces la función tiene una rama infinita por la derecha o por la izquierda (o por las dos), y la recta a es una asíntota vertical.. Posibles situaciones: f () f () a a Observaciónes: P Si ( ) ( ) f racional, los candidatos a asíntotas verticales son los valores de que Q( ) anulan el denominador. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. Ejemplo: Calcula las asíntotas verticales de las siguientes funciones: a ) b ) g( ) ) h( ) 4 c d i( ) ) Departamento de Matemáticas 8 Bloque IV: Análisis de Funciones

9 IES Padre Poveda (Guadi) 4.. ASÍNTOTAS HORIZONTALES: Si f ( ) b ( b R) entonces la función f tiene una rama infinita cuando y la recta y b es una asíntota horizontal en. Posibles situaciones: b > 0 b < 0 Análogamente si. Observaciones: Una función tendrá, a lo sumo, dos asíntotas horizontales, una en y otra en. P Si ( ) ( ) f es un cociente de polinomios, la función tendrá la misma asíntota Q( ) horizontal en y en. Será necesario que Grado P( ) GradoQ( ) Ejemplo: Calcula las asíntotas horizontales de: a) b ) g( ) 4.3. ASÍNTOTAS OBLICUAS: Si [ ( m n) ] 0 entonces la función f tiene una rama infinita cuando y la recta y m n es una asíntota oblicua en. Para calcularla: m n [ m] Posibles situaciones: ( m n) > 0 ( m n) < 0 Análogamente si. Observaciones: P Si ( ) ( ) f es un cociente de polinomios, la función tendrá asíntota oblicua si Q( ) Grado P( ) Grado Q( ). La asíntota oblicua será el cociente obtenido al efectuar la división de polinomios anterior. Una función tendrá, a lo sumo, dos asíntotas oblicuas, una en y otra en. Si hay asíntota horizontal No hay asíntota oblicua y viceversa. 5 7 Ejemplo : Calcula las asíntotas oblicuas de: a ) b g( ) Departamento de Matemáticas 9 Bloque IV: Análisis de Funciones ) a b Ejemplo : Determina los valores de a, b R, sabiendo que la función pasa a por el punto (,) y que tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es 6.

10 IES Padre Poveda (Guadi) 5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 5.. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Una función f es continua en a si f ( a) Departamento de Matemáticas 0 Bloque IV: Análisis de Funciones Esta definición implica que se cumplan tres condiciones: Si no se cumple alguna de estas tres condiciones, diremos que la función es discontinua en a. 5.. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO. f es continua en (a, b) si lo es en todo punto de ese intervalo. f es continua en [a, b] si es continua en (a, b) y, además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Nota: f f a. f es continua por la derecha en a si ( ) ( ) f es continua por la izquierda en b si f ( b) 5.3. TIPOS DE DISCONTINUIDADES. a) Discontinuidad inevitable de salto finito: Presenta un salto en ese punto. Eisten los ites laterales y son finitos, pero distintos. b Ejemplo:. si Dom ( f ) R si > f () ( ) / f Discontinuidad inevitable de salto finito en. b) Discontinuidad inevitable de salto infinito: Tiene ramas infinitas en ese punto. Uno o los dos ites laterales son infinitos. c) Discontinuidad evitable: ) Eiste ( a) ) Eiste 3) f ( a) Ejemplo: En este caso eiste desplazado ), o bien no eiste ( a) f (Es decir, a Dom( f ).) y es finito. (Es decir, ) y ) coinciden). ( f ) R / f () ( ) Dom \{ } / f Discontinuidad inevitable de salto infinito en., pero no coincide con f ( a) (tiene ese punto f (Le falta ese punto). Ejemplo: (Tiene ese punto desplazado ) si si Dom ( f ) R En este caso: ( ) f f y también ( ) Sin embargo, f () Esta función tiene una discontinuidad evitable en y se evita redefiniendo f ( )..

11 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo: (Le falta ese punto) Dom ( f ) R \{ } Fíjate que: / f () (La función no está definida en ) f ya que: ( ) ( ) Esta función tiene una discontinuidad evitable en y se evita definiendo f ( ). d) Discontinuidad esencial: Alguno de los ites laterales no eiste. Ejemplo: sen Dom ( f ) R \{ 0 } Observa que: / f (0) (La función no está definida en 0 ) / 0 / ya que: 0 / 0 f tiene una discontinuidad esencial en 0 Propiedad: Si f y g son funciones continuas en a, las siguientes funciones también son continuas en a : a ) f ± g b) f g c) k f k R d ) f / g si g( a) 0 e) f o g Las funciones polinómicas, racionales, irracionales, eponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus compuestas, son continuas en su dominio de definición. Ejemplo : Estudiar la continuidad de cada función y clasificar sus posibles discontinuidades: si < 0 si 0 a ) b ) Representarlas gráficamente. 3 si si si ] 4, [ [,[ [,4[ Ejemplo : Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua: a e si 0 b) a si > 0 Ejemplo 3: Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua en : f ( ) a a si si > f no está definida en. Indica si es posible definir f () de modo que f sea continua en. Qué tipo de discontinuidad presenta? Ejemplo 4: La función ( ) Departamento de Matemáticas Bloque IV: Análisis de Funciones

12 IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo 5: Obtén el valor de a y b para que e a b 3 Ln si si si < < sea continua. Ejemplo 6: Halla el valor de k para que ( ) 3 8 f si sea continua en. k si Ejemplo 7: Estudia la continuidad de la función Departamento de Matemáticas Bloque IV: Análisis de Funciones