2.1. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable x)

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1 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función.. LÍMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO (Valores grandes de la variable ) La forma de comportarse una función para valores muy grandes de puede resumirse en los siguientes gráficos En la primera gráfica diremos que la función tiene límite para tendiendo a infinito y en las demás que no tiene límite (aunque por abuso de lenguaje, en las gráficas y solemos decir que el límite vale infinito) Haz tu las gráficas correspondientes si tiende a menos infinito, de manera similar a la epuesta arriba, es decir, gráfica, teto y lenguaje simbólico. /7

2 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y continuidad de una función Qué ocurre si ahora tenemos la epresión de la función en lugar de su gráfica? Caso : Funciones elementales conocidas Esbozamos la gráfica (puede ser mentalmente) y a partir de ella calculamos el límite sen( ) 5 y y y ( ) y y y Caso : Operaciones entre funciones conocidas Realizaremos las operaciones con los resultados de los límites 5 cos() Es muy importante que recuerdes, sobre todo estos últimos límites y su eplicación. /7

3 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función. INDETERMINACIONES En algunas ocasiones, aparecen epresiones que no podemos decidir el resultado de la operación y hay que hacer una investigación más profunda. Es lo que se denominan INDETERMINACIONES Las más frecuentes son: Tipo: CUIDADO! Si en lugar de tender a infinito, la tendencia es a menos infinito, lo más cómo es cambiar todas las por (-) (también cambiaría el límite) Qué hacer si no son polinomios? Por ejemplo funciones radicales o eponenciales, X En el caso de las eponenciales y logarítmicas seguimos lo que se denomina, criterio del orden, que dice que las funciones que tienen mayor orden son las que determinan el límite, teniendo en /7

4 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y continuidad de una función cuenta que el orden para las polinómicas y radicales es el eponente de mayor grado y además, las eponenciales son las que mayor orden tienen y las logarítmicas son las de menos orden Así entonces: 5 Porque la de mayor orden está en el numerador 5 Porque la de mayor orden está en el denominador Tipo: Caso : Tienen el mismo orden. Aplicamos el criterio del orden 5 Porque la de mayor orden es la segunda función 7 5 Porque la de mayor orden es la primera Orden / Orden Caso : Tienen el mismo orden pero son fracciones En este caso, podemos hacer la suma o resta de fracciones y después ver si todavía sigue la indeterminación Orden Orden Caso : Tienen el mismo orden pero aparecen radicales Orden Orden 4/7

5 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función Tipo: En muchos casos, las potencias se pueden calcular como hemos visto en la página Porque es del tipo que no es indeterminación Porque es del tipo que no es indeterminación Vamos a centrarnos en los del tipo Para resolverlo vamos a utilizar la siguiente regla: f() g() e f() g() Si consideramos solo la base:, entonces el límite entero es del tipo Utilizamos la fórmula anterior. () e claro: Entonces el resultado final es: e Vamos a calcular aparte el eponente para que se vea más 4 8 5/7

6 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y continuidad de una función. LÍMITE CUANDO X TIENDE A UN NÚMERO La forma de comportarse una función para valores de cercanos a un valor dado pude resumirse en los siguientes gráficos Ahora bien, al elegir valores cercanos a un número c podemos hacerlo de dos maneras 6/7

7 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función Ejemplos: Qué ocurre si ahora tenemos la epresión de la función en lugar de su gráfica? Como norma general, sustituimos el valor de en la epresión algebraica correspondiente. Ahora bien, eso no siempre es lo más indicado ya que nos podemos presentar con alguna de estas situaciones: Caso : la función es a trozos y el punto a es de la frontera f() En este caso debemos siempre calcular los límites laterales para averiguar si los trozos de la función pegan bien Tanto a la derecha como a la izquierda del cero, el límite vale lo mismo, por lo que la función tiene límite y vale f() 7/7

8 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y continuidad de una función Es decir: f() si hubieran salido diferentes tanto a la izquierda como a la derecha diríamos que no eiste el límite Caso : Después de sustituir nos da una epresión indeterminada: Cada epresión requiere una técnica diferente y las analizaremos a continuación k Tipo: k Siempre es infinito (positivo o negativo depende de los signos que nos salgan) SIEMPRE analizamos los límites laterales X Tipo: Caso : Fracciones algebraicas Esto quiere decir que tanto el numerador como el denominador se pueden simplificar por (-). Utilizaremos la regla de Ruffini o cualquier otro método para factorizar los polinomios - Entonces el numerados puede epresar como ( ) El denominador es una igualdad notable: 8/7

9 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función ( ) ( ) ( ) ( ) Caso : Epresiones radicales Entonces multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por el conjugado, en este caso del denominador 6 Tipo: k k Sumamos las fracciones algebraicas y quedaría en la forma: ( ) ( ) ( ) Tipo: Como norma general se transforma en una del tipo al realizar las operaciones ( ) 4 9/7

10 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y continuidad de una función Tipo: f() Se procede igual que cuando lo vimos g() para tendiendo a infinito /(6) /(6) 4 e e Hacemos ahora el eponente aparte para que se vea mejor ( ) ( 6) ( 4) ( 6 6 ) ( ) 6 ( 4) 7 Luego el resultado del límite es /(6) e 7.4 LÍMITE CON FUNCIONES TRASCENDENTES Hasta ahora hemos trabajado con funciones polinómica, racionales o irracionales, pero qué ocurre si la indeterminación viene dada por la función sen o una logarítmica? No podemos aplicar las reglas dadas anteriormente. Surge la idea de infinitésimo equivalente Una función se llama infinitésimo, cuando tiene a un valor a, si f(). Así por ejemplo, serían infinitésimos las funciones: f() si porque f() ln() si porque ln f() Además dos infinitésimos se dicen equivalentes si a g() a /7

11 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función ACTIVIDAD DE CLASE: El profesor planteará una actividad en clase para hacer por parejas, escribe aquí los resultados /7

12 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y continuidad de una función.5 IDEA DE FUNCIÓN CONTINUA Diremos que una función es continua en el punto de abscisa = c cuando se verifica que: f() f(c) c Esto lleva implícitas condiciones: º Hay imagen en c (está en el dominio) f(c) º Hay límite en c (y es finito) º Ambas cosas coinciden f() c f() f(c) c Por tanto una función la llamaremos discontinua, si no se cumple alguna de las condiciones citadas Ejemplo: Es continua la función siguiente para =? f() Vamos a ver si se cumplen las tres condiciones anteriores: f() 5 5 Ejemplo: Es continua la función siguiente para =? Vamos a ver si se cumplen las tres condiciones anteriores: Además coinciden, entonces la función es continua en = f() f() f() Además coinciden, entonces la función es continua en = /7

13 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función Cuáles son las causas para que una función sea discontinua? Lo veremos en los siguientes ejemplos: En ambos gráficos, eiste el límite para tendiendo a, pero, sin embargo, o bien no hay función (dibujo ) o bien la función no coincide con el límite (dibujo ). Este tipo de discontinuidad se llama EVITABLE Los límites por la derecha y por la izquierda de =, son diferentes. Este tipo de discontinuidad de llama SALTO (También se conoce como Salto Finito) /7

14 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y continuidad de una función En todos los dibujos o bien ambos límites laterales o uno de ellos vale infinito (o menos infinito) es por lo que no hay límite. Este tipo de discontinuidad se llama INFINITA (también suele llamarse de Salto Infinito) Para esta función no eisten los límites laterales porque la función no se acerca a ningún valor concreto sino que oscila entre + y -. Este tipo de discontinuidad se conoce como el nombre de ESENCIAL 4/7

15 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función EJEMPLO: Estudiar la continuidad de la función f() Al tratarse de una función eplícita, (no a trozos) solo será discontinua en aquellos valores que no pertenezcan al dominio y, como es racional, solo tendremos que analizar qué ocurre en los valores que anulen el denominador: 8 Entonces ya sabemos que la función no está definida en estos valores y, por lo tanto es discontinua. Falta ver de qué tipo de cada discontinuidad. Para eso determinaremos los límites 6 Analizaremos los límites laterales (vamos a usar la factorización del denominador par que el cálculo sea más cómodo) Análisis para = - f() ( ) ( ) ( ) ( ) Se trata de una DISCONTINUIDAD INFINITA Vamos qué ocurre ahora para = Tendremos que factorizar los polinomios, el numerador, al ser de grado, lo haremos por la regla de Ruffini y el denominador, en realidad no hace falta porque al hacer el dominio ya tenemos la factorización 5/7

16 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y continuidad de una función - - ( ) 5 ( ) ( ) Tenemos entonces una discontinuidad EVITABLE (ya que ha y límite, pero no hay función) La particularidad que tienen las discontinuidades de tipo evitable es que podemos redefinir la función de manera que sólo se diferencien en un punto, pero ahora si saldría continua. Así, la función anterior puede epresarse como f() 5 La discontinuidad esencial sigue eistiendo, pero ahora no ha discontinuidad evitable debido a que el límite sí coincide con la imagen. EJEMPLO: Calcula a y b para que la siguiente función sea continua. Hacer una representación gráfica a f() b 4 Esta función está formada por tres trozos, cada una de ellos es un polinomio, entonces los únicos posibles puntos de discontinuidad son los puntos frontera ( = -, = ) Análisis en = -: a a b b Para que sea continua tiene que ser a b Análisis en = b b 4 Para que sea continua tiene que ser b 6/7

17 Bloque : Cálculo Diferencial Tema : Límite y Continuidad de una función Si tomamos ambos resultados juntos, obtendremos un sistema fácil de resolver a b a b 9 b Por tanto la función es continua para a = y b = -9 9 f() 4 La representación gráfica de la función es: y /7