LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 LÍMITES Y CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dada una función f(), diremos que el ite de f() cuando tiende a a es el número real L y lo escribiremos f() = L, si al tomar cada vez valores más próimos a a, a los valores de la función se aproiman a L. Ejemplo.- ( ) = =. En el cálculo de ites, cuando tiende a un número real, sustituiremos por dicho valor y, si es posible, realizaremos las operaciones indicadas. Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: ( ) e) 5 8 f) ( ) 5 g) ( ) Soluciones: -9,,, -/, e) 5/5, f) 7, g). LÍMITES LATERALES El ite por la derecha de la función f() cuando tiende a a es el número real L, si al aproimarse a a mediante valores mayores, los valores de la función se aproiman a L. Lo escribiremos: f() = L. a De igual forma se puede definir el ite por la izquierda, donde se aproima a a mediante valores más pequeños. Se escribirá f() = L a Una función tiene ite en un punto si y solo si eisten los ites laterales y son iguales, además el valor del ite coincidirá con los ites laterales: f() = f() = f() a a a Observación: Para calcular los ites laterales sustituiremos el valor de la variable por el valor al cual tiende. Estos ites será obligado calcularlos cuando la función esté definida de forma diferente a la izquierda y derecha del valor en el que estamos calculando el ite. Ejemplo.- ( ) = =. IES ALFONSO ESCÁMEZ Página

2 si < Consideramos la siguiente función definida a trozos: f() =. si Queremos calcular f(). Al estar definida de forma diferente a izquierda y derecha de, tenemos que calcular los ites laterales. Por tanto: f() = = No eiste el ite cuando tiende a, ya que los ites f() = = ( ) laterales son distintos. Ejercicio.- Para las siguientes funciones calcula los ites que se piden: f() = si - < < si si g() = si - < < 0 si 0 Calcula: si si h() = si - < < si 5 si i() = si < < si < < 5 e) f() f() 0 f() f() g() f) g) h) i) j) g() g() 0 g() h() h() 0 k) l) m) n) h() h() i() i() Soluciones: 0,,,, e), f), g), h) 5, i), j) 0, k), l) -7/, m), n) y Ejercicio.- En la siguiente gráfica de la función f(), determina f(), f() y f() IES ALFONSO ESCÁMEZ Página

3 . LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO El ite de una función f(), cuando tiende a, es un número real L, f() = L, si para valores muy grandes de los valores de la función se aproiman al número real L. El ite de una función f(), cuando tiende a, es un número real L, f() = L, si para valores muy pequeños de los valores de la función se aproiman al número real L. Ejemplo.- y f() = f() = y 5 f() = f() = Dada una función f(): f() =, si para valores muy grandes de, los valores correspondientes de f() son mayores que cualquier número prefijado. f() =, si para valores muy grandes de, los valores correspondientes de f() son menores que cualquier número prefijado. f() =, si para valores muy pequeños de, los valores correspondientes de f() son mayores que cualquier número prefijado. f() =, si para valores muy pequeños de, los valores correspondientes de f() son menores que cualquier número prefijado. Ejemplos.- IES ALFONSO ESCÁMEZ Página

4 y f() = f() = f() = f() = f() = f() = OPERACIONES CON LÍMITES Si f() y g() son dos funciones y eisten sus ites, se cumple que: [ ] f() ± g() = f() ± g() [ f() g() ] = f() g() f() f() =, siempre y cuando g() g() g() 0 n f() = n f() En el cálculo de ites es habitual operar con epresiones en las que aparece infinito. Las siguientes tablas nos ayudarán para operar con infinito: SUMA Y RESTA ( ) k = ( ) k = ( ) k = ( ) k = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = PRODUCTO si k > 0 k ( ) = si k < 0 si k > 0 k ( ) = si k < 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = IES ALFONSO ESCÁMEZ Página

5 COCIENTE k k = = = = 0 k si k > 0 = 0 si k < 0 - = = 0 0 POTENCIA si k k = > 0 si 0 k < k 0 si k = si 0 k < > ( ) k si k > 0 = 0 si k < 0 ( ) = ( ) = 0 5. CÁLCULO DE LÍMITES 5..LÍMITE DE LA FUNCIÓN POTENCIAL Si n es un número natural, se tiene que: n = n = = 0 n n =, si n es par. n =, si n es impar. n = = 0 n Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: e) f) Soluciones:,, 0, -, e), f) LÍMITE DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 5

6 Recordamos que la función eponencial es una función de la forma es un número real positivo. f() = a, donde a a si a > = 0 si 0 < a < a 0 si a > = si 0 < a < Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: 5 Soluciones:, 0, 0, 5. LÍMITE DE FUNCIONES RACIONALES Una función racional es una función de la forma polinomios. P() f() =, donde P() y Q() son Q() Para calcular el ite en infinito de un polinomio, tan solo tendremos en cuenta el término que determina el grado. Así: ( ) ( ) 5 = = 8 = = Para calcular el ite de las funciones racionales en el infinito, nos fijaremos en los grados de los polinomios: P() Si grado P() > grado Q(), = ±. Para determinar el signo del ± Q() resultado estudiamos el signo de los coeficientes que determinan el grado. P() Si grado P() = grado Q(), es el cociente de los coeficientes de los ± Q() términos que determinan el grado. P() Si grado P() < grado Q(), = 0. ± Q() Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: e) f) 8 IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 6

7 g) h) i) ( ) ( )( ) 6 Soluciones: 0, 0, /7,, e) -, f) - g) - h) 8, i) /8 6. INDETERMINACIONES En el cálculo de ites surgen epresiones que, a priori, no podemos determinar su valor. Son las llamadas INDETERMINACIONES. 6.. INDETERMINACIÓN Estas indeterminaciones suelen aparecer al calcular ites de cocientes de polinomios o cocientes donde pueden aparecer radicales. Se suelen resolver teniendo en cuenta los grados. Ejemplo.- = = 0 Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: e) f) g) h) Soluciones: /,,,, e), f) 7/, g), h) / 6.. INDETERMINACIÓN Estas indeterminaciones suelen aparecer al calcular los ites de funciones con diferencia de radicales o diferencia de cocientes de polinomios. En el primer caso multiplicaremos y dividiremos por el conjugado y, en el segundo caso, tenemos que realizar la operación. IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 7

8 Ejemplo.- INDETERMINACIÓN - 5 Realizamos la operación: 5 5 = = Por lo que: ( 5)( ) 5 ( ) 5 = = INDETERMINACIÓN -. Multiplicamos numerador y denominador por la epresión conjugada: ( ) ( ) ( ) = = = Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: ( ) ( ) ( 9 ) 6.. INDETERMINACIÓN 0 0 En estas indeterminaciones factorizamos numerador y denominador y einamos factores comunes. Ejemplos.- 0 INDETERMINACIÓN ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) = = = INDETERMINACIÓN 0 ( )( ) = = = 0 ( ) Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: ( ) ( ) 8

9 0 7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Una función es continua en un punto = a, si se verifican las siguientes condiciones: º. Eiste f(. º. Eiste f() º. a f( = f() a Si una función no es continua en = a, diremos que es discontinua en = a. Una función es continua en un intervalo si lo es en todos los puntos del intervalo. Para las funciones elementales tenemos que: Las funciones polinómicas son continuas en todo R. Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan el denominador. Las funciones eponenciales son continuas en todo R Las funciones seno y coseno son continuas en R. La función tangente no es continua en los puntos en los que se anula el coseno. TIPOS DE DISCONTINUIDAD. Discontinuidad evitable Una función presenta una discontinuidad evitable en = a Cuando f() pero no eiste f( o si eiste es distinto del ite. Se llama así porque definiendo de nuevo la función en dicho punto, dándole el valor del ite, la función sería continua. Ejemplos.- a. Discontinuidad inevitable de salto finito 9

10 Esta discontinuidad se da cuando eisten los ites laterales pero son distintos. En este caso se dice discontinuidad inevitable de salto f() f() a a si < Ejemplo.- Estudiemos la continuidad de la función: f() = - si Se trata de una función definida a trozos mediante funciones continuas. Por tanto, es continua en su dominio (R ), salvo en =, punto en el que debemos estudiar su continuidad.. f() =.. Por estar definida de forma diferente a izquierda y derecha de, estudiamos los ites laterales: f() = ( ) = Por tanto la función presenta una discontinuidad inevitable f() = ( ) = de salto en =.. Discontinuidad inevitable de salto infinito. Esta discontinuidad se presenta cuando uno o los dos ites laterales son infinito. Ejemplo.- = = 0 = = = ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Una rama infinita de una función es cualquier porción continua de su gráfica que tenga longitud infinita. Las ramas infinitas aparecen cuando o bien la variable independiente,, o bien la dependiente, y, o bien ambas tienden a o a -. Una asíntota es una recta hacia la que se aproima una rama infinita de una función.. ASÍNTOTAS VERTICALES Sea a un número real. La recta = a es una asíntota vertical de la función y = f() si se verifica: f() = o f() = o f() = o f() = a a a a 0

11 Hay que tener en cuenta que para que en un punto = a una función tenga asíntota vertical basta con que uno de los ites laterales de la función en ese punto tienda a.. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Sea b un número real. La recta horizontal y = b es una asíntota horizontal de la función y = f() si se verifica que: f() = b o f() = b. ASÍNTOTAS OBLÍCUAS En muchas ocasiones en las que la función no presenta asíntota horizontal, se observa que su gráfica tiende a aproimarse a una recta oblicua cuando o. La recta no horizontal y = m n, con m 0, es una asíntota oblicua de y = f() si: ( ) ( ) f() (m n) = 0 o si f() (m n) = 0 Si una función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntota oblicua. Ejemplo.- Estudia si la función g() = tiene asíntotas oblicuas.

12 Al realizar la división indicada, se obtiene que: g() = =. La recta y = es asíntota oblicua de la función. Observación.- Si P() f() =, entonces: Q() - Si grado P() grado Q() = f() tiene una asíntota oblicua - Si grado P() grado Q() f() tiene asíntota horizontal

13 EJERCICIOS DE REFUERZO. La siguiente gráfica corresponde a la función f(). Halla el valor de los siguientes ites: e) f() f() 0 f() f() f() - Solución: 0,,,, e) y La siguiente gráfica corresponde a la función g(). Halla el valor de los siguientes ites: e) f) g) g() - g() g() 0 g() - g() g() - - g() - y Solución: -,, 0,, e), f), g). Calcula los siguientes ites de la siguiente función definida a trozos: g() - - g() - - g() e) f) g() g() - g()

14 y Solución:,,,, e), f). Calcula los siguientes ites: 5 ( ) e) ( 5 ) - f) g) - h) - 5 i) 5 6 j) k) l) 5 - m) n) o) p) q) r) s) t) u) v)

15 Solución: /, /,,,e), f), g), h), i) /, j) /5, k), l), m), n), o) -/, p) -, q), r), s) -/5, t) /, u) /5, v) /6 5. Calcula los siguientes ites: ( ) 5 - ( ) - e) ( )( ) f) g) h) i) : - j) ( - ) k) Solución:, 0,,, e), f), g) 0, h) -/0, i), j), k) / 6. Calcula los siguientes ites: ( ) ( 6 )( ) e) 7 f) 6 g) h) 6 i) j) ( ) k) ( ) l) ( 9 ) Solución: 8, /8, /,, e), f)7/, g), h) ½, i) -/, j) - k), l) / 7. Los beneficios, en millones de euros, generados por el funcionamiento de una industria vienen dados en función del tiempo, en años, por: t b( t) = t Qué ocurre cuando pasan muchos años? Solución: No habrá beneficios 8. El número de individuos, en millones de una población, viene dado por la función: 5

16 8 t f ( t) = ( t ) Donde t es el tiempo medio en años desde t = 0. Calcula la población inicial y el tamaño de la población a largo plazo, cuando el tiempo tiende a. Solución: La población inicial es de millones y a largo plazo habrá millón 9. El número de fleiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza su entrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función: 6 8 f ( ) = Siendo días de entrenamiento y f() número de fleiones. Hacia qué valor se aproima el número de fleiones cuando crece el número de días de entrenamiento? Solución: Cuando crecen el número de días de entrenamiento, el número de fleiones se aproima a Una empresa de transporte estima que sus ganancias, en miles de euros, durante los próimos años seguirán la fórmula: t g( t) = 5t 5 Donde la variable t =,,,, 5,. Representa el tiempo en años medido a partir del presente. Se estabilizan las ganancias cuando t crece? Hacia qué valor? Solución: Se estabilizan a un millón de euros. Para las siguientes funciones calcula los ites que se piden: si < f() = si < < si f ( ) f ( ) f ( ) si < f() = si -< f ( ) f ( ) 0 f ( ) 6

17 < f() = - si - < 0 si 0 < 5 si 5 f ( ) 5 f ( ) f ( ) f ( ) 0 Solución: f() = ; f() = ; f(), f() = ; f() = 0 f() ; f() = ; f() = -; f() = Dada la función: si < h( ) = si < 9 si > Calcula los ites: h() - 5 h() h() 5 h() - h() e) f) h() Solución: h() = ; h() = 6; h() = 7; 5 h() ; e) h() = 5; f) h() = ; 5. Estudia la continuidad en = - y = de la función: si < f ( ) = si si > Clasifica los tipos de discontinuidades. Solución: Continuidad en = -. Presenta una discontinuidad inevitable de salto. Continuidad en =. Presenta una discontinuidad inevitable de salto.. Estudia la continuidad de la función en los puntos = 0 y =. 7

18 si < 0 - g( ) = si 0 < si > - Solución: Continuidad en = 0. Presenta una discontinuidad evitable. Continuidad en =. Presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. 5. Dada la función: si F( ) = - a si > Para qué valores de a la función F() es continua en =? Solución: a =. 6. Dada la función: b ( ) si f ( ) = a( - ) si > Halla a y b para que la función sea continua en =. Solución: a = - y b =. 7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: si f() = si < < si si < g() = 6 si = > - si < < h() = - si - si > si 8

19 si i() = < < si - e) si -< = < si > 0 j() - si - 0 f) k() = g) l() = i) j) n() = 5 7 ñ() = k) o() = cos 5 h) m() = Solución: Hay que estudiar la continuidad en = 0, =, =. No es continua en = 0, ni en =, ni en =. Es continua en todo su dominio R. No es continua ni en = - ni en =. Es continua en su dominio (, ) e) En el único punto que presenta discontinuidad es = -. f) Continua enr g) Continua en R - { ± 7} h) Continua en R - {,} i) Continua en R por ser polinómica j) Continua en R por ser una función eponencial. k) Continua en R. 8. Calcula a, b, c y d para que sea continua la función: 9

20 Solución: a = 5, b =, c = 9 y d =. 9. Se considera la función: si < a si < f ( ) = b si < 5 c si 5 < 7 d si 7 si < f ( ) = a si - < si Halla los valores de a para los que f() es continua. Solución: a =. 0. Los beneficios, en miles de euros, por la venta de un artículo en función de los gastos que se realizan en publicidad, en miles de euros, vienen dados por la función: 5 5 si 0 B() = - ( - ) 0 si < 8 Donde representa la cantidad, en miles de euros, que se gasta en publicidad, y B() los beneficios, en miles de euros, que la empresa productora recibe por la venta del artículo. Es continua esta función? Qué ocurre si el gasto de publicidad es superior a 8.000? Solución: La función es continua en (0,8). Como la función no está definida para valores reales mayores que 8, no se pueden determinar los beneficios a partir de 8000 euros. 5. Estudia la continuidad de la función f ( ) =, clasificando las 5 6 discontinuidades que se encuentren. Es posible definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? Solución: En = presenta un punto de discontinuidad evitable y en = presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. Por tanto la función es continua en R - {,}. Al ser la primera discontinuidad evitable, la función puede definirse de la siguiente forma para evitar la 5 si discontinuidad en = : f() = si =. Determina la ecuación de todas las asíntotas de las siguientes funciones: 0

21 f() = f() = ( ) f() = 5 f() = e) f() = f) f() = Solución: A.V.: = 0, = ; A.H.: y = 0. A.V.: =, = ; A.H.: y = 0. A.H.: y = ½. A.V.: = -, = ; A.O.: y =. e) A.V.: =, = ; A.H.: y = f) A.V.: =, = -; A.H.: y = cuando e y = - cuando