1º Bachillerato Capítulo 4: Límites y continuidad

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1 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I º Bachillerato Capítulo 4: Límites y continuidad file:///c:/users/cuenta~/appdata/local/temp/b006%0limitesycontinuida D%0Adela.

2 55 Índice. LÍMITES.. CONCEPTO DE LÍMITE. IDEA INTUITIVA. DEFINICIÓN.. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.. LÍMITES LATERALES.4. TIPOS DE LÍMITES.5. CÁLCULO DE LÍMITES OPERACIONES CON Y 0 INDETERMINACIONES. ASÍNTOTAS.. ASÍNTOTAS VERTICALES.. COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS HOROZONTALES. CONTINUIDAD DE FUNCIONES.. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.. TIPOS DE DISCONTINUIDAD Resumen El concepto de ite es necesario para comprender todo el Análisis. En él se van a basar los conceptos que vamos a estudiar a continuación como continuidad y derivada de una función o como el concepto de integral. Nos ayudará a mejorar el estudio de la gráfica de una función determinando sus asíntotas y sus ramas infinitas. Ya sabes que la recta real puede ampliarse añadiendo el y el +. Estudiaremos el comportamiento de las funciones cuando tiende a + y cuando tiende a, es decir, cuando la variable independiente toma valores muy grandes, o muy pequeños (muy grandes en valor absoluto), y estudiaremos aquellos casos en los que la variable dependiente tiende a infinito. Con el concepto de infinito debemos tener cuidado pues propiedades que siempre se verificaban, ahora dejarán de cumplirse. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

3 56. LÍMITES.. Concepto de ite Idea intuitiva Qué es un ite? Límite: lo podemos definir como aquel lugar al que, si no llegamos, seremos capaces de acercarnos todo lo que queramos. En sentido matemático, el ite de una función en un punto, tiene sentido de lugar hacia el que se dirige el valor de la función f() cuando la variable independiente () se aproima a un valor determinado. Si tomamos la función del gráfico adjunto, cuando () se aproima al valor 4, el valor de la función (f()) se aproima al valor. Además, en este caso, no solo podremos acercarnos todo cuanto queramos, sino que llegamos a ese valor, puesto que el valor de la función para = 4 es f() =. Ampliando la gráfica de la función, en el entorno del punto (4, ), hemos dibujado los valores de f() en el entorno de = 4 y, como primera observación, vemos que nos podemos acercar al valor de = 4 desde valores mayores a 4 (rojo) o menores a él (verde). En el primer caso diremos que nos aproimamos al valor de = 4 por la derecha y, en el segundo caso, por la izquierda. En ambos casos, podemos ver que el valor de f() se aproima a, tanto como queramos, por la derecha desde valores menores a (rojo), pero también lo podremos hacer, desde la izquierda, desde valores mayores a (verde). Por lo tanto, podemos intuir que, el ite de la función f() es, cuando el valor de la variable independiente se acerca a 4 y se epresa de la siguiente forma: f ( ) 4 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

4 57 Actividades resueltas Estima el valor de ) ( Damos valores a la variable para valores próimos al punto = f() f() Observa cómo, al aproimarnos los valores de la variable a, siendo mayor que :, 5,, los valores de la función se aproiman a : 6, 5,,4, 05, 040, 00400, siendo siempre mayores que, mientras que al aproimarnos a, siendo menores que :, 5, 99, 999, 9999 los valores de la función también se aproiman a, tanto como queramos, siendo ahora menores que :, 0,, 0 6,, , Pretendemos escribir con rigor matemático la idea de aproimarse y estar cerca, tanto como queramos. Definición Dada una función f(): X, X un intervalo de, y un punto = a, se dice que el ite de f(), cuando se aproima a a es L, y se epresa: f ( ) L Para todo > 0, eiste un > 0 tal que, a siempre que 0 < a <, X, se cumple f() L<. Actividades resueltas Del gráfico anterior, se desprende que, cualquier punto que pertenezca al intervalo (a, a + ), salvo quizás el propio punto a (por ese motivo aparece en la definición es signo <, 0 < a, para eliminar del entorno al punto a), su imagen siempre estará contenida en el intervalo (L, L + ). Y como lo podemos hacer para cualquier, entonces, podremos afirmar que L es el ite de f(), cuando se aproima a a. Es una definición rigurosa, con un alto nivel de abstracción, pero no te preocupes, no es la vamos a utilizar en el cálculo de ites. Aunque sí la vamos a usar una vez: Utiliza la definición de ite para comprobar que ( ) 4 La definición dice: para todo, por lo que elegimos un cualquiera, e imponemos: f() L< ( ) 4 < 4 = ( )( +) < < <. Basta tomar 0 < < para que se verifique si 0 < < entonces ( ) 4 <. Actividades propuestas. Utiliza la definición de ite para probar que. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

5 58.. Propiedades de los ites Habrás observamos que calcular ites utilizando la definición puede ser muy complicado. Por eso nos interesa obtener propiedades y encontrar procedimientos que nos permitan calcularlos con mayor soltura. Si eiste, es único: Si eiste f (), es único. a Si hubiera dos ites distintos bastaría tomar como un tercio de la distancia entre ambos ites para llegar a contradicción. Operaciones con los ites Para estudiar las operaciones con los ites vamos a suponer que f y g son dos funciones definidas sobre un mismo intervalo X y con valores en. Cuando indicamos f ( ) L deben ser a y L números reales. a Respecto de la suma de funciones: El ite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los ites de las funciones (siempre que la operación entre los ites esté definida y dichos ites eistan), y se epresa así: ( f ( ) g ( )) f ( ) g ( ) a Análogo es para la resta de funciones. a a Respecto del producto de funciones: El ite del producto de dos funciones, es igual al producto de los ites de las funciones (siempre que dichos ites eistan y la operación entre los ites esté definida), y se epresa así: ( f ( ) g ( )) f ( ) g ( ) a a Un caso particular se presenta cuando una de las funciones es una constante, en ese caso, la epresión queda: a ( K f ( )) K f ( ) a a Respecto del cociente de funciones: El ite del cociente de dos funciones, es igual al cociente de los ites de las funciones, siempre que los ites eistan, la operación entre los ites esté definida y que g ( ) M 0, y se epresa así: a Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

6 59 f ( ) f ( ) a ( ) si g ( ) M 0 a g ( ) g ( ) a a Respecto de la potencia de funciones: El ite de una potencia de funciones, es igual, en general, a la potencia de los ites de las funciones, y se epresa así: ( f ( ) a g( ) ) f ( ) a g( ) Analizaremos casos particulares en el cálculo de ites, como cuando el ite de la base sea, y el eponente tienda a infinito. Un caso particular se presenta cuando una de las funciones es constante, en ese caso, la epresión es: a K a a ( f ( ) ) ( f ( )) K Respecto de la composición de funciones: El ite de la composición de funciones, es igual a la composición de los ites de las funciones, siempre que g sea continua en f(), y se epresa así: ( g ( f ( ))) g ( f ( )) si g es continua en f(). a a Como vimos antes, podemos acercarnos a a por la derecha o por la izquierda y, de ahí, obtenemos los ites laterales. Actividades resueltas Calcula el valor de ) ( Aplicando las propiedades sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ). Aplicando la definición comprobamos que ( ) y que el ite de (), por lo que usar las propiedades nos permite calcular un buen número de ites sustituyendo. Calcula los ites siguientes: Así, por ejemplo, podemos calcular los siguientes ites simplemente sustituyendo: 4 5 (4) 5(4) 6 0 (4) 7 (7) 7 7 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

7 60.. Límites laterales Límite lateral por la derecha El ite lateral, por la derecha de un punto, de la función f(), se epresa como: f ( ) L a y se define como el valor de f() cuando tiende a a, siempre que se cumpla la condición > a. Es decir, para todo > 0, eiste un > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f() L <. Límite lateral por la izquierda. El ite lateral, por la izquierda de un punto, de la función f(), se epresa como: f ( ) L a y se define como el valor de f() cuando tiende a a, siempre que se cumpla la condición < a. Es decir, para todo > 0, eiste un > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f() L <. Eistencia de Límite Para que una función f() tenga ite en un punto = a, es necesario y suficiente que eistan los ites laterales y coincidan, es decir: Dada una función f() y un punto = a, se dice que el ite de f(), cuando se aproima a a es L si se verifica que: ) Eisten f () y f () a a ) Son iguales: f () a Entonces decimos que: f ( ) L. a f a () = f () a f ( ) L. a Actividades resueltas Estima el valor del ite a la derecha y el valor del ite a la izquierda de = en la función: f ( ) si si Damos valores a la variable para valores próimos al punto =. Para estimar el ite a la derecha nos aproimamos a, tanto como queramos, con valores mayores que, utilizando la rama de la función definida para valores mayores que, es decir: : Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

8 f() Observa cómo al aproimarnos a, siendo mayor que :, 5,, 00, 000, los valores de la función se aproiman a, el valor del ite lateral por la derecha: 4, 5,, 00, 000. Para estimar el ite a la izquierda nos aproimamos a, tanto como queramos, con valores menores que, utilizando la rama de la función definida para valores menores que, es decir: : f() Observa cómo al aproimarnos a, siendo menor que : 0, 0 5,, 0 999, , los valores de la función se aproiman a, el valor del ite lateral por la izquierda: 0, 0 5,, , En este caso ambos ites laterales coinciden. Observa la gráfica de la función: Sin embargo, el valor de la función no está definido en =. Calcula el valor del ite a la derecha y el valor del ite a la izquierda de = en la función: f ( ) si si Para calcular el ite por la izquierda de la función en = nos aproimamos a, siendo menores que, por lo que tomamos la rama de la función: +. ( ) () Para calcular el ite por la derecha de la función en = nos aproimamos a, siendo mayores que, por lo que tomamos la rama de la función:. ( ) () Los dos ites laterales son distintos, luego no eiste el ite. Actividades propuestas. Calcula los ites laterales y determina si eiste el ite en las funciones siguientes definidas a trozos, en los puntos en los que se unen dos ramas: a) si b) c) f ( ) si si f ( ) 5 5 si 7 si f ( ) 4 si Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

9 6.4. Tipos de ites Límites infinitos Dada una función f(): X, X = [a, +), se dice que el ite de f(), cuando tiende a + es L, y se epresa: f ( ) L, cuando para todo > 0, eiste un k > 0 tal que, siempre que > k, X, se cumple f() L <.. De forma análoga podemos definir cuando el punto se aproima a. O más general: f ( ) L > 0, k > 0 tal que, siempre que > k, X, se cumple f() L <. La definición es la misma que en el caso finito, sustituyendo el entorno del punto = a por un entorno del infinito. Dada una función f(): X, X un intervalo de, y un punto = a, se dice que el ite de f(), cuando se aproima a +, y se epresa: f () a Cuando para todo k > 0, eiste un > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f() > k. De forma análoga podemos definir cuando la función tiende a. Y también cuando el punto se aproima a + y la función tiende a +, cuando a En ocasiones, para un determinado valor de la variable independiente, = a, el valor de la función crece tanto como se quiera en valor absoluto: f () k > 0, > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f()> k. a Observa que no nos estamos fijando en el signo de infinito. Actividades resueltas Observa la gráfica de la función y estima el valor del ite a la derecha de = 0 y el ite cuando tiende a +. El ite a la derecha de = 0 es +, f ( ) 0, y el ite cuando tiende a + observamos que es 0, que f ( ) 0 Los tipos de ites que nos podremos encontrar dependerán de los valores que tomen, tanto la variable independiente (), como la función. Así, tendremos: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

10 6 Finito - Valor del Límite Infinito Finito - Valor al que tiende la variable independiente Infinito Haciendo las combinaciones de ambos elementos, tendremos cuatro posibilidades: VALOR VARIABLE INDEPENDIENTE FINITO INFINITO FINITO VALOR DEL LÍMITE INFINITO f ( ) L f ( ) L a f () a f () Actividades resueltas Veamos algunos ejemplos de tipos de ites. Límite finito en punto finito En este caso el valor del ite es finito cuando la variable independiente tiende a un valor finito. En la función: función es : f ( ) cuando el ite de la Límite finito en punto infinito En la función anterior, Limite infinito en punto finito En la misma función de la gráfica, f ( ) cuando, el ite es 0: 0 f ( ), cuando 0, el ite tomará el valor : 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

11 64 Límite infinito en punto infinito En el caso de valor de ite infinito cuando la variable independiente tiende a infinito, deberemos tomar otra función cualquiera que sea siempre creciente a partir de un valor. Sea la función, f ( ). El ite de la función, cuando tiende a, toma el valor :. Es más, tanto cuando tiende a como cuando tiende a +, la función f ( ) tiende a +. Actividades propuestas. Clasifica los siguientes ites en finitos o infinitos, y calcúlalos: a) b) c) d) 4. Calcula los siguientes ites, indicando el signo: a) b) c) d) e) 5. Calcula los siguientes ites, indicando el signo: a) b) c) d) Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

12 65.5. Cálculo de ites Operaciones con y 0 Para poder calcular ites, debemos conocer previamente ciertas operaciones con y 0, y ciertas propiedades que tienen los ites respecto de algunas operaciones matemáticas como son la sumaresta, multiplicación división, potencias, composición, etc. Si sumamos, restamos, multiplicamos dos números reales, no tenemos ningún problema para saber el resultado, pero y si es el? Observa la tabla siguiente y comprueba que en ocasiones sí sabemos el resultado, pero en otras, decimos indeterminado pues no lo sabemos de forma inmediata, debemos trabajar más para saberlo. SUMA PRODUCTO COCIENTE 0 K = K = 0 K + = = K 0 = Indeterminado 0 = Indeterminado Indeterminado K 0 K 0 0 Indeterminado POTENCIAS K 0 = 0 = 0 = 0 0 si K 0 K 0 0 = Indeterminado 0 si K 0 si 0 K K 0 = Indeterminado si K = Indeterminado Nota: Indeterminado no significa que no pueda eistir el ite, sino que será necesario realizar algunas operaciones previas para poder determinar si eiste, y su valor. Actividades resueltas El ite de 0 pues según vimos en las operaciones con, al dividir un número por algo que tendía a se obtenía 0. Como infinito no es un número real, cuando el ite tiende a infinito, decimos que no eiste. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

13 66 Indeterminaciones El proceso de cálculo de un ite consiste, como ya hemos visto, en sustituir la variable por el valor al que tiende y operar, obteniendo el resultado del ite que podrá ser un valor finito, infinito o indeterminado. Si el resultado es indeterminado debemos trabajar más. Como hemos visto en el apartado anterior, en algunas operaciones con y 0, no podíamos llegar a determinar el valor, puesto que resultaba una indeterminación. Eisten algunos tipos de indeterminaciones que son resolubles haciendo operaciones y/o simplificaciones previas que estudiamos a continuación. Analizaremos como resolver cada caso de indeterminación. Indeterminación Este tipo de indeterminaciones se pueden resolver haciendo operaciones con ambas funciones, ya que suelen ser del tipo f() g(). Actividad resuelta Indeterminado Pero si hacemos operaciones y las sumamos previamente: ( ) Calculamos el ite de la función, y nos resulta pues el denominador tiende a 0. 4 Actividades propuestas 6. Calcula el ite: 9 7. Calcula el ite: 8. Calcula el ite: 4 9. Calcula el ite: 4 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

14 67 Indeterminación 0 Normalmente suelen darse en productos de funciones f() g(), donde f() = 0 y g() = Suelen resolverse operando y simplificando. Actividad resuelta ( 6 9) 0 Indeterminado Si calculamos las raíces del polinomio , obtenemos que = es una raíz doble, por lo que los factores del polinomio son ( + ) y sustituyéndolo en la ecuación nos queda ( ) ( 6 9) ( ) Calculamos, ahora, el ite de la función simplificada, y obtenemos: ( 6 9) ( ) ( ) 0 Actividad resuelta El ite siguiente también es indeterminado (es decir, todavía no lo hemos determinado). ( ) Indeterminado Si calculamos las raíces del polinomio, obtenemos que son = y =, por lo que los factores del polinomio son: = ( + )( ) y, sustituyéndolo en el ite, nos queda: ( ) ( ) ( ) ( ) Calculamos, ahora, el ite de la función simplificada, y obtenemos: Actividades propuestas ( ) Calcula el ite: 9 4. Calcula el ite: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

15 68 Indeterminación 0/0 Este tipo de indeterminaciones se producen porque eisten algunos factores en el numerador y denominador que lo hacen cero y que será conveniente eliminar por algún método matemático. Para ello, debemos factorizar polinomios, multiplicar y dividir por el conjugado o cualquier otro procedimiento que nos permita eliminar la indeterminación. Actividad resuelta Si sustituimos valores en el siguiente ite, también es indeterminado, por lo que calculamos los factores de los polinomios del numerador y denominador, y simplificando lo posible, obtenemos:: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Actividad resuelta Si sustituimos valores en el siguiente ite, también es indeterminado. Uno de los sumandos es una raíz, por lo que para quitar la indeterminación vamos a probar multiplicando por el conjugado: ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( 5 ) ) ( ) ( 5 ) ( 5 ) 4 4 Actividades propuestas 6. Calcula el ite: 9. Calcula el ite: 4. Calcula el ite: 0 5. Calcula el ite: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

16 69 Indeterminación / Aunque pueden presentarse muchos casos, el más frecuente es el de cocientes de polinomios cuando la variable independiente tiende a. Así tendremos que Luego P() Q() P( ) es una indeterminación del tipo /. Q( ) Para resolver este tipo de indeterminaciones, es necesario comparar el grado del polinomio del numerador con el grado del polinomio del denominador, pudiéndose presentar los siguientes casos: Si grado(p()) > grado (Q()) entonces Si grado(p()) = grado (Q()) entonces P( ) Q( ) P( ) K Q( ) P( ) Si grado(p()) < grado (Q()) entonces 0 Q( ) Para resolver este tipo de ites observamos que cuando la variable se hace muy grande el ite vendrá dado por los términos de mayor grado. Nos quedamos con ellos, y simplificamos. Actividades resueltas grado(p()) = grado (Q()): Observa lo que ocurre si damos valores: f() , Se aproima, a 8 tanto a la derecha como a la izquierda. grado(p()) > grado (Q()): Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

17 70 grado(p()) < grado (Q()): En el caso de ites infinitos de cociente de polinomios podemos simplificar los cálculos pues hemos visto que: an b m n m... a... b 0 0 an b m n m an bm 0 si si si n m n m n m Actividades propuestas 6. Escribe, sin hacer cálculos, el valor de los ites siguientes: a) 5 5 b) c) d) Calcula los ites siguientes: a) b) c) d) 8. Calcula los ites siguientes: a) 4 b) sen 4 c) d) e d) ln( ) 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

18 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4: 7 Indeterminación Para poder resolver este tipo de indeterminaciones, es necesario conocer el número e, que se define como: 788 ' n n n e Si () f entonces 788 ' ) ( ) ( f f e Las soluciones de este tipo de indeterminaciones pasan, irremediablemente, por llegar a una epresión del tipo de la definición del número e. Observamos que es el ite de una potencia en la que la base tiende a, y el eponente tiende a infinito. Así, cuando al calcular un ite estemos en esa situación decimos que es un ite tipo e. Veamos algunos ejemplos. Actividad resuelta En el ite siguiente La base tiende a, y el eponente a luego es un ite tipo e. Para resolverlo, primero completamos el primer de la definición, y luego el segundo: Luego hacemos el eponente igual al denominador para lo que multiplicamos y dividimos el eponente por el denominador del sumando de la base. Así, tendremos El ite de la base es e y el ite del nuevo eponente en este caso es, por lo que: e e Este tipo de indeterminaciones, también se pueden resolver mediante la epresión:

19 7 Indeterminación, 0 0, 0. Este tipo de indeterminaciones eponenciales se resuelven mediante la aplicación de logaritmos neperianos (ln). Suponemos que el ite de estas indeterminaciones es a g ( ) L f ( ) e Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad, tendremos g( ) L f ( ) ln( e ) ln a Y por propiedades de los ites y de los logaritmos se tiene: Por tanto: a Actividades propuestas g ( ) L lnf ( ) g( ) (ln( f ( )) ln( e ) L ln( e) L a a L L g( ) (ln( f ( )) y f ( ) e a 9. Determina los ites siguientes: a a g ( ) a) b) c) d) Determina los ites siguientes (observa que no son tipo e: a) 5 5 b) 4 5 c) d) Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

20 7. ASÍNTOTAS Las asíntotas de una función (caso de eistir) son rectas del plano a las que la función se aproima tanto como queramos. Puesto que las asíntotas son rectas del plano, pueden ser horizontales, verticales y oblicuas... Asíntotas verticales Para que una recta vertical pueda ser asíntota de una función, se debe cumplir: a f () o a f () Entonces decimos que = a es una asíntota de y = f(). La recta = a es vertical. Las posibles asíntotas verticales de una función, estarán en los puntos de la función que no pertenezcan a su dominio y se debe verificar que el ite de la función, cuando el valor de tiende a ese punto, se hace muy grande en valor absoluto, es decir, tome el valor. Actividades resueltas ( 4) Asíntotas verticales de la función: f ( ). ( ) ( 5) ( 4) La función f ( ) tiene una asíntota vertical en =, pues para = la función no ( ) ( 5) está definida, no pertenece a su dominio de definición, y el ite a la derecha y la izquierda, tiende a infinito. También tiene una asíntota vertical en = 5, pues para = 5 la función no está definida, no pertenece a su dominio de definición, y el ite tiende a infinito. Por tanto las asíntotas verticales de Actividades propuestas. Determina las asíntotas verticales de las funciones siguientes: a) b) ( 4) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( 4) f ( ) ( ) ( ) ( 4) f ( ) son las rectas verticales: = y = 5. ( ) ( 5) c) d) f ( ) ( 4) ( ) ( 4) ( 4) f ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

21 74.. Comportamiento en el infinito Asíntotas horizontales Para que una recta horizontal sea asíntota de una función se debe cumplir la siguiente condición: f ( ) K o f ( ) K Entonces decimos que y = K es una asíntota horizontal de y = f(). Actividades resueltas La función: f ( ) tiene una asíntota horizontal, y = 0 y una asíntota vertical = 0. Ya lo hemos visto en actividades anteriores. ( 4) Determina la asíntota horizontal de la función: f ( ). ( ) Al analizar el comportamiento de la función cuando la variable independiente tiende a infinito, tanto a +, como a, se observa que la función se acerca a, luego tiene una asíntota horizontal, y = 0. Asíntotas oblicuas Para que una recta oblicua (y = m + n) pueda ser asíntota de una función, deben eistir, y ser finitos, los ites siguientes: Actividades resueltas f ( ) m y n ( f ( ) m) ( 4) ( ) Determina la asíntota oblicua, si eiste, de la función: f ( ). ( ) f ( ) ( 4) ( ) Calculamos el ite m Por tanto eiste una asíntota oblicua de ( ) pendiente m =. Calculamos la ordenada en el origen con el ite: ( 4) ( ) ( 4) ( ) ( ) n ( f ( ) m) ( ) ( ) ( 4 ) ( ( ) ) Por tanto la recta y = + es una asíntota oblicua de la función.. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

22 75 Ramas parabólicas Pero en muchas ocasiones no hay ni asíntotas horizontales ni asíntotas oblicuas. Ya conoces bien, por ejemplos, la parábola y =, que cuando tiende a +, o a la función crece sin aproimarse a ninguna recta. Por simplificación, se dice en todos estos casos que hay una rama parabólica. Actividades resueltas La funciones: f ( ), f ( ) ( ), en su comportamiento en el infinito. Observa que y, luego 4 f ( ), f ( ) f ( ) tiene una rama parabólica. 4, tienen ramas parabólicas ( ) y ( ), luego f ( ) ( ) tiene una rama parabólica. 4 y 4, luego 4 f ( ) tiene una rama parabólica. 4 y 4 Actividades propuestas, luego 4 f ( ) tiene una rama parabólica.. Determina la asíntota horizontal de cada una de las funciones siguientes: a) ( 4) ( ) f ( ) b) ( ) ( ) ( 4) f ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 4) c) f ( ) d) f ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) ( 5) ( ). Determina la asíntota oblicua, si eiste, de cada una de las funciones siguientes: a) ( 4) ( ) f ( ) b) ( ) ( 4) f ( ) ( ) ( ) c) 4 f ( ) d) ( ) f ( ) ( 4) ( ) 4. Analiza el comportamiento en el infinito de cada una de las funciones siguientes: a) f ( ) ( 4) b) f ( ) c) f ( ) 4 d) ( ) f ( ) 5 4 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

23 76. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Intuitivamente, podemos decir que una función es continua en un punto si somos capaces de pintarla, cerca de ese punto, sin levantar el lápiz del papel, o si somos capaces de recorrerla con el dedo sin encontrarnos ningún obstáculo (saltos, indefiniciones, etc.). Pero la continuidad de una función se puede estudiar en un punto, en un intervalo o en todo su dominio de forma más precisa... Continuidad de una función En lenguaje matemático, la anterior definición simple, se complica bastante y se epresa así: Dada una función f(): X, X un intervalo de, y un punto = a X, se dice que la función f() es continua en el punto = a, si: Para cualquier > 0, eiste un > 0 tal que siempre que a <, X se cumple quef() f(a) <. Esto lo podemos enunciar diciendo que, si nos acercamos al punto a, entonces las imágenes de la función se aproimarán a la imagen de a. Si esto no ocurre, entonces, la función no será continua en = a y diremos que la función tiene una discontinuidad en = a. Compara la definición de continuidad con la de ite, y observa que ahora el punto a debe pertenecer al intervalo X, mientras que en la de ite podía no ocurrir. Esta relación puede epresarse de la siguiente forma: Una función f() es continua en el punto = a sí, y solo sí, se cumplen estas tres condiciones: Que para el punto = a eista f(a). Que eista y sea finito el ite de la función para = a, lo que implica que eistan los ites laterales y coincidan. Que los dos valores anteriores coincidan: f ( ) f ( a) a Bajo estas tres condiciones, la función f() es continua en el punto = a. Continuidad de una función en un intervalo abierto Para que una función sea continua en un intervalo abierto, la función debe ser continua en todos los puntos del intervalo. Si lo fuera en todo el dominio, decimos que la función es continua. Actividad resuelta si Estudia la continuidad de la función f ( ) si Las funciones polinómicas son continuas en toda la recta real. El único punto dudoso es =. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

24 77 Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces los ites laterales de la función para =. Limite por la izquierda: 8 Limite por la derecha: 6 8 Los ites laterales, eisten, son finitos y coinciden. Veamos si coincide, el ite de la función con el valor de la función en =. f() = 8 = f ( ) Luego, como se cumplen las tres condiciones, la función es continua en =. Como ese era el único punto dudoso, se puede afirmar que la función es continua en toda la recta real... Propiedades de las funciones continuas Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas son siempre continuas en su dominio. Por lo tanto, presentarán discontinuidades en aquellos puntos en los que no esté definida y, por lo tanto, no pertenezcan a su dominio. Operaciones de funciones continuas Sean las funciones f() y g() continuas en el punto = a, entonces podemos afirmar que: f() + g() es continua en = a. Actividades resueltas f() g() es continua en = a. f ( ) es continua en = a, si g(a) 0. g ( ) f(g()) es continua en = a, si f es continua en g(a). Las funciones polinómicas son funciones continuas en todo. Basta comprobar que la función f() =, la función f() = a son funciones continuas para comprobar que cualquier función polinómica es suma y producto de estas funciones. Las funciones racionales son continuas en todo salvo para los valores que anulan al denominador. Estudia la continuidad de f ( ). 4 En efecto, las funciones racionales son cociente de funciones polinómicas, que son continuas en toda la recta real. La función f ( ) es continua en {, }, pues el denominador se anula en dichos valores. 4 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

25 78.. Tipos de discontinuidad Eisten varios tipos de discontinuidades de las funciones, que se epresan en el cuadro siguiente: EVITABLES (Eisten los ites laterales y son finitos e iguales) INEVITABLES Los ites laterales no eisten, bien porque alguno es infinito o porque son distintos, o alguno de los ites laterales no eiste. No eiste imagen f(a) en el punto La imagen f(a) eiste pero no coincide con los ites laterales De primera especie De segunda especie De salto finito (Límites laterales finitos pero distintos) De salto infinito (Alguno (o los dos) ites laterales son infinitos) No eiste alguno de los ites laterales. Las discontinuidades evitables, se llaman así porque se pueden solventar mediante la redefinición de la función en el punto, bien porque no estuviera definida, bien porque no coincidiera la imagen con los ites laterales, que eisten, coinciden y son finitos. Las discontinuidades inevitables vienen dadas porque: los ites laterales eisten, son finitos y no coinciden (de primera especie de salto finito). Salto es igual a f () f () a a eisten pero alguno es infinito (de primera especie de salto infinito). Salto infinito. o no eiste alguno de los ites laterales o los dos (de segunda especie). Discontinuidad evitable Discontinuidad de primera especie salto finito f ( ) si si f ( ) si si Discontinuidad de primera especie salto infinito Discontinuidad de segunda especie f ( ) si 0 si 0 0 f ( ) sen si 0 si 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

26 79 Actividad resuelta Estudia la continuidad de los ejemplos anteriores. Observa que la función ( ) si si ( ) si si f no está definida en =. Bastaría definir f para que la función fuese continua. Por tanto la función tiene una discontinuidad evitable en =, siendo la función continua en {}. La función ( ) si si f tiene ambos ites laterales en = y son finitos, pero distintos, por lo que tiene una discontinuidad de primera especie en = de salto finito, con salto. Es una función continua en {}. La función f ( ) si 0 si 0 tiene el ite a la derecha de 0, infinito, por lo que tiene en = 0 una discontinuidad de primera especie de salto infinito. La función es continua en {0}. La función 0 f ( ) sen si 0 si 0 no tiene ite a la derecha de 0. La función seno tiene fluctuaciones cada vez más juntas por lo que dicho ite no eiste. Es una discontinuidad de segunda especie. La función es continua en {0}. Actividades propuestas 5. Estudia la continuidad de las funciones siguientes: a) f ( ) b) f ( ) 5 c) f ( ) log ( ) d) si 0 f ( ) e si 0 6. Determina el valor de k para que la función 7. Estudia la continuidad de las funciones siguientes: ( ) k si si f sea continua en toda la recta real. a) f ( ) si si si b) f ( ) c) f ( ) Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

27 80 CURIOSIDADES. REVISTA Refleiones sobre el infinito El infinito, como ningún otro problema, siempre ha conmovido profundamente el alma de los seres humanos. El infinito como ninguna otra idea, ha tenido una influencia estimulante y fértil en la mente. Pero el infinito necesita, más que ningún otro concepto, clarificarse David Hilbert El hotel infinito Para el dueño de un hotel es un disgusto tener que decir a un cliente que no le quedan habitaciones. Pero, qué ocurriría si el hotel tuviera infinitas habitaciones numeradas,,, 4,? Imagina que el hotel está completo y llega un nuevo cliente, cómo lo alojarías? Y si llegaran 00 clientes más? Y si mil? Y si llegaran tantos como hay? Un juego Davis Hilbert Un poco aburridos dos amigos, Daniel y Jorge, deciden jugar a un juego que consiste en que Daniel escriba números y Jorge los borre. El procedimiento propuesto por Daniel es: A las cinco menos un minuto yo escribo los números y, y tú borras el. A las cinco menos medio minuto yo escribo y 4, y tú borras el. La tabla de Caratheodory Tenemos la siguiente tabla infinita: 0 / /4 /8 /6 / 0 / /4 /8 /4 / 0 / /4 /8 /4 / 0 / /6 /8 /4 / 0. La suma / +/4 + /8 + /6 + = Suma la tabla primero por filas. Ahora suma la tabla por columnas Por último suma por diagonales. Te sorprende elresultado? A las cinco menos un tercio de de minuto yo escribo 5 y 6 y tú borras el Y así sucesivamente. Juegan con la imaginación. Daniel pregunta a Jorge: A las cinco menos una centésima de minuto, cuántos números te quedarán por borrar? Y a las cinco menos una millonésima de minuto? Hay algún número que no puedas borrar antes de las cinco? Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

28 8 Breve historia del concepto de ite de una función El concepto de ite es clave para dar rigor al Análisis Matemático. No sólo lo necesitamos para conocer el comportamiento de las funciones en el infinito, asíntotas y ramas asintóticas, y estudiar su continuidad, sino que es fundamental para el estudio del cálculo infinitesimal, de las derivadas y las integrales. D Alembert (767) estudia a Newton y en la Enciclopedia en el artículo sobre Límite escribe: Una cantidad es el ite de una segunda cantidad variable si la segunda puede aproimarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier cantidad dada. Jean le Rond D'Alembert Cauchy (89) en su Curso de Análisis, formula: Cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproiman indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se llama el ite de todos los demás. Augustin Louis Cuachy Heine (87), en sus Elementos, siguiendo las lecciones de Weierstrass, escribe: Si, dado cualquier, eiste un > 0, la diferencia f( 0 ) L es menor en valor absoluto que, entonces se dice que L es el ite de f() para = 0. Heinrich Heine Observa cómo se fue perfilando la definición y surgió el y el para formalizar las ideas de aproimarse hasta diferir menos que, aproimarse tanto como se quiera, diferir tan poco como queramos Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

29 8 RESUMEN Ejemplos Definición de ite f ( ) L Para todo > 0, eiste un > 0 tal que, a siempre que a <, se cumple f() L <. Límite lateral a la derecha Límite lateral a la izquierda f ( ) L el valor de f() cuando tiende a a, a siempre que se cumpla la condición > a f ( ) L el valor de f() cuando tiende a a, a siempre que se cumpla la condición < a La función si f ( ) si tiene de ite lateral a la izquierda 8, y de ite lateral a la derecha también 8, pues 8 68 Eistencia de ite a f () f () a a f ( ) L La función tiene ite en = f ( ) si si Asíntotas Si f ( ) K hay una asíntota horizontal y = K. Si f () hay una asíntota vertical = a. a f ( ) asíntota horizontal, y = 0 y asíntota vertical = 0 Propiedades de los ites Continuidad de una función en un punto ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) a a a ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) a a ( K f ( )) K f ( ) a a a f ( ) f ( ) a ( ) si g(a) 0. a g ( ) g ( ) a Una función f() es continua en el punto = a, si para cualquier > 0, eiste un > 0 tal que siempre que a <, se cumple quef() f(a) <. La función continua en = f ( ) si si es Propiedades de las funciones continuas Tipos de discontinuidad La suma y el producto de funciones continuas es una función continua. El cociente de funciones continuas es una función continua si no se anual el denominador. Evitable. De primera especie de salto finito. De primera especie de salto infinito. De segunda especie Los polinomios son funciones continuas en f ( ) es continua en {0} f ( ) si evitable en = si f ( ) de primera especie con salto infinito en = 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

30 8 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Límites. Calcula los ites siguientes: a) b) c) d) e) f) g) Calcula los ites siguientes: a) b) c) d) 4 e) 4 f) g) h) Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

31 84. Determina las asíntotas de las funciones siguientes: a) f ( ) b) 5 f ( ) 4 c) 5 6 f ( ) 4 d) 5 f ( ) e) 5 f ( ) ( ) f) 5 5 f ( ) ( ) g) 5 f ( ) ln ( ) h) f ( ) 5 ( ) Continuidad 4. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. a) f ( ) 4 log 0 b) g ( ) 0 c) h( ) 5 5. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. a) ( ) f 5 b) g( ) c) h ( ) 6. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. a) 5 f ( ) b) 4 7 g( ) c) h ) ( 5 4 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

32 85 7. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. a) f ( ) 6 b) g ( ) c) 4 h( ) 8. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. 4 a) ( ) ln 5 f b) ( ) ln g c) h ( ) 9 ln 9. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. 9 7 d) f ( ) e 0. Dada la función f ( ) e a) Estudia su continuidad b) Representa su gráfica 5 g ( ) e h ( ) 0 0. Dada la función f ( ) k a) Determina el valor de k para que la función sea continua en toda la recta real b) Representa su gráfica. Dada la función f ( ) 5 a) Estudia su continuidad b) Representa su gráfica 4. Dada la función f ( ) 4 a) Estudia su continuidad b) Representa su gráfica 4. Esboza la gráfica de la función discontinuidad. 5. Esboza la gráfica de la función discontinuidad. f ( ) indicando sus asíntotas y sus puntos de 5 f ( ) indicando sus asíntotas y sus puntos de 5 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4:

33 86. El ite es igual a: AUTOEVALUACIÓN a) b) 0 c) d) /. El ite ( ) es igual a es igual a: a) b) 0 c) d) 4. El ite es igual a: a) b) 0 c) / d) 4. El ite es igual a: a) / b) 0 c) d) 5. El ite es igual a: a) b) 0 c) 5 d) 6. El ite es igual a: a) b) 0 c) 5 d) 7. El ite es igual a: a) b) 0 c) d) 8. Estudia la continuidad de f ( ) si 0 en = 0. si 0 a) Es continua b) Tiene una discontinuidad evitable c) Un salto finito d) Un salto infinito 9. Estudia la continuidad de ( ) si f en =. si a) Es continua b) Tiene una discontinuidad evitable c) Un salto finito d) Un salto infinito 0. Estudia la continuidad de ( ) si f en =. si a) Es continua b) Tiene una discontinuidad evitable c) Un salto finito d) Un salto infinito Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 4: