GUIA DE MATEMATICAS I, CAPITULO III

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA VICE-RECTORADO ACADEMICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA AREA DE MATEMATICAS GUIA DE MATEMATICAS I, CAPITULO III Prof. Orlando Baisdem Pérez Puerto Ordaz, Mayo del 2010.

2 Capítulo 3 Limites y Continuidad 3.1 Limites Definición 3.1 Formal de Limite. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente en c) y L un número real. La afirmación c f() = L significa que para todo ε > 0 eiste un δ > 0 tal que sí 0 < c < δ, entonces f() L < ε Ejemplo 1 Dado el límite = 1 encontrar δ tal que (2 5) 1 < 0.01, siempre que 0 < 3 < δ Solución En este problema trabajaremos con un ε = 0.01 para encontrar un δ apropiado, se observa que: (2 5) 1 = 2 6 =

3 Como la desigualdad (2 5) 1 < 0.01 es equivalente a 2 3 < 0.01, se puede escoger δ = 1 (0.01) = Esta opción funciona porque 2 lo que implica que 0 < 3 < (2 5) 1 = 2 3 < 2(0.005) = 0.01 Ejemplo 2 Utilizar la definición ε δ de ite para demostrar que Solución 2 (3 2) = 4 Probar que para todo ε > 0, eiste un δ > 0 tal que (3 2) 4 < ε siempre que 0 < 2 < δ. Puesto que la elección de δ depende de ε, es necesario establecer una relación entre los valores absolutos (3 2) 4 y 2. (3 2) 4 = 3 6 = 3 2 De tal manera, para cada ε > 0 dado, se puede tomar δ = ε. Esta opción funciona porque 3 implica que 0 < 2 < δ = ε 3 (3 2) 4 = 3 2 < 3( ε 3 ) = ε Definición 3.2 Intuitiva de Limite. Decir que c f() = L significa que cuando está cerca, pero difiere de c, f() está cerca de L. Ejemplo 3 Encuentre el 3 (4 5) = 63

4 Solución Cuando está cerca de 3, 4 5 estará cerca de = 7 y escribimos Ejemplo 4 Encuentre el (4 5) = 7 Solución = 3 ( 3)( + 2) 3 = 3 ( + 2) = = 5 Teorema 1 Teorema principal sobre límites. Sea n un entero positivo, k una constante, y f y g funciones con límites en c. Entonces, 1. c k = k 2. c = c 3. c f() = f(c) 4. c kf() = k c f() 5. c [f() ± g()] = c f() ± c g() 6. c [f() g()] = c f() c g() f() 7. c f() c, dado que g() c g() cg() 0 8. c [f()] n = [ c [f()]] n 9. c n f(), dado que c f() > 0 cuando n es par. Ejemplo 5 Encuentre

5 Solución Ejemplo 6 Encuentre = 7(2)5 10(2) 4 13(2) + 6 3(2) 2 6(2) 8 = 11 2 Solución = = 5 8 Teorema 2 Teorema del Encaje. Supongamos que f() g() h() para todo en algún intervalo (c, d), ecepto posiblemente en el punto a (c, d) y que para algún número L. Entonces, también a f() = a h() = L a g() = L Ejemplo 7 Hallar el valor de 0 [ 2 cos( 1 )] Solución: Relacionamos la función parte de ella con un desigualdad sencilla 1 cos( 1 ) 1 Multiplicamos todo por cos( 1 ) 2 65

6 para todo 0. Además 0 2 = 0 = 0 2 Por tanto, por el teorema del encaje asegura que 0 2 cos( 1 ) = Limites Laterales (Limites por la derecha y por la izquierda) Definición 3.3 Decir que c +f() = L significa que cuando está cerca, pero a la derecha de c, entonces f() está cerca de L. En forma semejante, decir que c f() = L significa que cuando está cerca, pero a la izquierda de cf() está cerca de L. Teorema 3 Eistencia de un límite. Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f() cuando se aproima a c es L si y sólo sí c f() = L y c +f() = L Ejemplo 8 Calcular 0 f() para la función Solución: f() = { 2 +2cos+1,para<0 e 4,para 0 Como f está dada por epresiones distintas para < 0 y 0, debemos investigar los límites laterales. por otra parte 0 f() = 0 ( 2 + 2cos + 1) = 2cos0 + 1 = 3 0 +f() = 0 +(e 4) = e 0 4 = 1 4 = 3 66

7 Como los ites laterales no coinciden, concluimos que 0 +f() no eiste. Ejemplo 9 Determinar si eiste el siguiente ite: 2 Solución: En primer lugar verificamos si eiste el límite por la derecha: = 2 Ahora verificamos si eiste el ite por la izquierda 2 21 = Este límite no eiste ya que cualquier valor que tome la menor que 2 no genera ningún valor real para la raíz cuadrada. De hecho, los valores menores que 2 no pertenecen al dominio de la función definida por el cociente. En conclusión el límite buscado no eiste. 3.3 Limites Infinitos Definición 3.4 Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en el propio c). La epresión: c f() = significa que para toda M > 0 eiste una δ > 0 tal que f() > M, siempre que 0 < c < δ. Del mismo modo, la epresión: c f() = significa que para todo N > 0 eiste un δ > 0 tal que f() < N, siempre que 0 < c < δ. Para definir el ite infinito por la izquierda, sustituir 0 < c < δ por c δ < < c Y para definir el límite infinito por la derecha, basta sustituir 0 < c < δ por c < < c + δ. 67

8 Ejemplo 10 Analizar 0 1 El comportamiento de f() es muy distinto en > 0 y en < 0. Concretamente, cuando 0 +, 1 crece sin tope, mientras que cuando 0, decrece sin tope Es claro que el Limite no eiste, sin embargos utilizaremos ites laterales para analizar el problema = 1 0 = Esto significa que la gráfica de y = 1 se acerca a la recta vertical = 0 cuando 0. Cuando esto ocurre decimos que la recta = 0 es una asintota vertical Asintotas Verticales Definición 3.5 Si f() tienede a infinito (o menos infinito) cuando tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta = c es una asintota vertical de la gráfica 68

9 Figura 3.1: El ite no eiste de f. Teorema 4 Asintotas Verticales. Sean f y g funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) 0, g(c) = 0, y eiste un intervalo abierto que contiene a c tal que g() c, entonces la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en = c. h() = f() g() Ejemplo 11 Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de Solución Simplificamos la epresión f() = f() = f() = ( + 4)( 2) ( + 2)( 2) 69

10 2 f() = ( + 4) ( + 2) En consecuencia eiste una asintota vertical en = 2. Figura 3.2: El ite no eiste A partir de la gráfica se ve que y = = Ejemplo 12 Evaluar

11 3.4 Limites al Infinito Definición 3.6 Si los valores de la función f() tieneden al número L cuando aumenta sin ites, se escribe De manera similar se escribe f() = L + f() = M cuando los valores de la función f() tienden al número M cuando disminuye sin ites. 3.5 Algunas indeterminaciones Limites Cunado la epresión dada es una fracción y al sutituir la varianble por su valor ( ), el ites es. Para einar la indeterminación se suele dividir tanto el numerador como el denominador por la variable de mayor grado. 1. Si la variable de mayor grado esta en el numerador el resultado es infinito. 2. Si la variable de mayor grado esta en el denominador el resultado es cero. 3. Si la variable de mayor grado esta en el numerador y en el denominador el resultado es el cociente de los coeficientes. Ejemplo 13 Hallar = = 5 3 =

12 3.5.2 Limites 0 0 Cuando la epresión dada es una fracción por su valor (número real) el ite es (0/0) para einar la indeterminación se procede de la siguiente forma: 1. Factorizar el numerador y el denominador y simplifique la epresión dada hasta donde sea posible. 2. Si aparecen radicales en el denominador se multiplica por la epresión conjugada, hasta einar la indeterminación. Ejemplo 14 Hallar ( 1) 2 Solución = = 0 0 ( 2)( + 2) ( 2)( 1) = = = 0 0 Multiplicamos y dividimos por la conjugada del numerador (2 3)(2 + 3) 7 ( 2 49)(2 + 3) 72 = 7 4 ( 3) ( 2 49)(2 + 3)

13 7 (7 ) ( 7)( + 7)(2 + 3) = 7 (7 + ) ( 7)( + 7)(2 + 3) = 7 1 ( + 7)(2 + 3) = 1 56 Solución 1 Se hace un cambio de variable = y 3 y Limites 1. Hallar = 0 ( 1) (y 3 ) (y 3 ) + 1 y 1 ((y 3 ) 1) 2 = y 1 y 2 2y + 1 (y 3 1) 2 (y 1)(y 1) (y 1) 2 (y 2 + y + 1) 2 = 1 9 ( ) = Multiplicamos y dividimos por la epresión conjugada ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) = Como seguimos encontrando una indeterminación dividimos toda la epresión por la variable de mayor potencia = = =

14 3.6 Limites de Funciones Trigonométricas Limites Básicos sin 0 = 0 Hallar los siguientes límites: 1 cos 0 = cos 2. 0 cot 3. 0 T g3 T g5 Solución 1 cos 1. 0 = 0 Para romper la indeterminación multiplicamos y dividimos por la 0 conjugada del numerador 0 1 cos 1 + cos 1 + cos = 0 1 cos 2 (1 + cos) = 0 sen 2 (1 + cos) = (sen sen cos ) = 1 0 = cot Al aplicar el ite encontramos una indeterminación, en consecuencia, obtamos por la siguiente estrategia: 0 cos cot = ( 0 sen ) = 0 ( sen cos cos) = 0 sen = 1 1 = 1 74

15 3. 0 T g3 T g5 = 0 0 Para romper la inderminación transformamos las tangentes en senos y cosenos, recordando que: T g3 0 T g5 = o T ag = sen cos sen3 cos3 sen5 cos5 = 0 Sen3Cos5 Sen5Cos3 Ahora es importante obtener las epresiones: Sen3 3 Para ello incorporamos 3 y 5 al ite sin alterarlo: sen3 3 cos5 3 cos3 5 sen5 5 y Sen5 5 Sale del ite y las se cancelan; aplicando las propiedades de los límites de un cociente y de un producto, se obtiene finalmente = = Limites de Funciones Eponenciales y Logaritmicas Limites Básicos 1. k e = 0 2. e k = 3. 0 e 1 = 1 75

16 4. (1 + k ) = e k 5. 0 (1 + k) 1 = e k 6. a ( g() h() )h() = e a h()( f() h() 1) 7. ln = ln(1+k) = k Hallar los siguientes Límites 1. 0 e ( ) ( ) 4. 1 ln 2 1 Solución 1. 0 e 2 1 = 0 0 A continuación factorizamos e = 0 (e 1)(e + 1) 76

17 Aplicando propiedades de los ites 2. 1 ( ) 1 1 (e 1)(e + 1) 0 = 1 ( ) = e 1 1 ( ) = e 1 3. ( ) Solución (e 1) = e + 1 = 1 2 = ( ) = e ( 1 +2 ) = e = e 1 3 ( ) = 1 = Ahora bien, trataremos de romper la icon el siguiente procedimiento: Aplico una de polinomios ( ) = ( )+3 1 Aplicamos un cambio de variable + 3 = y y = 4z 4. 1 ln 2 1 Solución (1 4 z 4z ) 4z 1 = (1 + 1 z z ) 4z 1 = e 4 1 = e 4 1 ln 2 1 = 0 0 Einamos la indeterminación haciendo el siguiente cambio de variable = 1 + y y = 1 77

18 En consecuencia, cuando 1 entonces y 0 1 ln 2 1 = ln(1 + y) y 0 y(y + 2) = y 0 + y) 1 [ln(1 y y + 2 ] y 0 + y) [ln(1 y 1 ] y 0 y + 2 ] = = Continuidad en un Punto y en un intervalo abierto Definición 3.7 Una función f es continua en c su se satisfacen las tres condiciones: 1. f(c) esta definida 2. c f() eiste 3. c f() = f(c) Definición 3.8 Figura 3.3: Continuidad de funciones Continuidad en un intervalo abierto: Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros (, ) es continua en todas sus partes 78

19 3.9 Tipos de discontinuidades Si una función f esta definida en I (ecepto, posiblemente, en c) y no es continua en c, se dice que f tiene una discontinuidad en c. Las discontinuidades se clasifican en dos categorias: evitables o removibles e inevitables o no removibles. Se dice que una discontinuidad en c es evitable o removible si f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f(c). Teorema 5 Continuidad de un polinomio. número real. Una función polinómica es continua en todo Teorema 6 Una función racional es continua en todos los números reales de su dominio. Ejemplo 15 Discutir la continuidad de: f() = Solución: { 5 si si 2 < 3 Como 5 y 2 1 son funciones polinómicas, entonces son continuas en los intervalos [ 1, 2) y (2, 3] respectivamente. Podriamos deducir que g() es continua en [ 1, 3]; por lo que comprobaremos el comportamiento de g para = 2. Como ambos ites son iguales 2 (5 ) = 3 1) = 3 2 +(2 En consecuencia la función es continua. g(2) =

20 Ejemplo 16 Analizar la continuidad de : Solución: Observemos que: f() = f() = = ( 1)( + 3) 1 = + 3, para 1 Por lo tanto la gráfica de f es una recta con un agujero en = 1, f es discontinua en = 1 y continua en todos los demás puntos. Figura 3.4: Continuidad de una función racional Ejemplo 17 Redefina la función anterior en un único punto de modo tal que la nueva función sea continua en todas partes : Solución: La función del ejemplo anterior era discontinua en = 1 porque no estaba definida en ese valor de, ahora la definiremos 80

21 para algún número real a. g() = Por tanto, si elegimos a = 4, tenemos 1 g() = 4 = g(1) y, en consecuencia, g es continua en = 1 { si 1 a, si = 1. Figura 3.5: Una discontinuidad que se puede evitar Ejemplo 18 Ejercicios Hallar r 1 8r+1 r+3 81

22 3. Dada Encontrar (a) Gráfica 4 2 si 1 f() = si > 1 20, si = 1. (b) Limite bilateral para 1 4. n (1 + 1) 2n n ( n 2+n )n+2 6. Dado f() = Hallar (a) 3 (b) (c)

23 Dado f() = 5 ( 2) 2 Hallar (a) Gráfica (b) 0 (c) 2 + (d) ( 1) sen 1 sen 83

24 (1+) sin m 18. ( ) (+5) (+1)(+2) (+4)(+3) 24. π 2 cos 1+sen (1 + 3) e e e +e 84

25 28. ( ) (1 2) e e e +e ( ) ( ) θ 0 tan θ sin θ θ θ π 3 sin(θ π 3 ) 1 2cosθ sin cos t 0 t+tant sent Analizar la continuidad de las siguientes funciones: Dado f() = 5 ( 2) 3 Hallar 85

26 1. Gráfica Dada Encontrar f() = { 3 + si < 1 3 si Analizar la continuidad de: Dada Dada Dada Dada f() = f() = f() = f() = { 3 2si < 2 6 si 2. { 2 1si si > 2. { { e si < 1 lnsi 1. 1 si < 1 2 1si 1. 86