LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 LÍMITES Y CONTINUIDAD

2 Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites de funciones racionales... Límites de funciones irracionales..4. Funciones equivalentes en un punto..5. Comparación de infinitos. 4. Ramas infinitas. Asíntotas de una función. 4.. Asíntotas horizontales. 4.. Asíntotas verticales. 4.. Asíntotas oblicuas. 5. Continuidad. 5.. Concepto de función continúa en un punto. 5.. Continuidad en un intervalo. 5.. Propiedades de las funciones continuas 5.4. Discontinuidades

3 . LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATE- RALES. El concepto de límite es el más importante y quizás el más difícil de todos los que se presentan en el cálculo infinitesimal Observa la gráfica de la función : Qué valores toma f( cuando se aproima a? Podemos contestar a esta pregunta también a partir de la siguiente tabla:,5,, - - -,75 -,99 -,9999 A la vista de la tabla observamos que cuando se aproima a con valores mayores que (se aproima por la derecha, la función f( se acerca al valor -. Esta situación la representamos como: f ( Qué ocurre si la aproimación la hacemos con valores menores que?: - -,5 -, -, - - -,75 -,99 -,9999 También en este caso el valor de la función se aproima a -. Ahora lo representamos como: f ( Que son los límites laterales de f( en el punto = Como los dos límites laterales coinciden, podemos concluir que f (

4 No siempre los límites laterales coinciden. Estudiemos de forma similar la función f (, cuando se aproima a :,5,,, / - -,5 -, -, -, / Su representación gráfica es: En este caso tenemos que f ( y f (. Como los límites por la derecha y por la izquierda de la función no coinciden decimos que la función no tiene límite en =. Supongamos ahora la función: si g ( si En este caso g( g( y g(, tampoco eiste en este caso Esta idea intuitiva de límite lateral se puede formalizar de la siguiente forma;

5 El límite de f( cuando tiende a por la derecha es l, si para cada número real, eiste otro número real, tal que f ( l si, dónde debe ser elegido en función de. f ( l, / si El límite de f( cuando tiende a por la izquierda es l, si para cada número real, eiste otro número real, tal que f ( l si, dónde debe ser elegido en función de. f ( l f ( l, / si f ( l Estudiados los límites laterales, la idea de límite de una función en un punto es más sencilla. Una función tiene límite en un punto si eisten los límites laterales y ambos coinciden Una primera aproimación a la definición de límite de una función podría ser la siguiente: Una función f( tiene límite l en el punto, si para todo número real, eiste otro número real, tal que si, entonces f ( l f ( l, / si f ( l Como vemos en la definición, el valor del límite de una función en un punto se evalúa según el comportamiento de la función en las proimidades del punto, no siendo necesario que la función esté definida en. Este caso lo tenemos en el segundo de los ejemplos estudiados. Límites infinitos

6 En algunos casos al acercarse los valores de la variable independiente a un punto, por la izquierda o por la derecha, los valores de f( se hacen cada vez más grandes en valor absoluto. Cuando ocurre esto, el límite no es un número real, sino que es más infinito o menos infinito. En la gráfica vemos la representación de la función f ( que presenta este comportamiento cuando tiende a En este caso podemos generalizar de la siguiente manera: f ( k, / si f ( k, / si f ( k f ( k. LÍMITES EN EL INFINITO. Consideremos la función f ( e. En su representación gráfica podemos observar que cuando, la función va tomando valores cada vez más próimos a. En este caso tenemos que f ( De forma general:

7 El límite de una función f(, cuando tiende a, es un número l, si para valores muy grandes de, los valores de la función se aproiman al número l f ( l, k / si k f ( l El límite de una función f(, cuando tiende a, es un número l, si para valores muy pequeños de, los valores de la función se aproiman al número l f ( l, k / si k f ( l Hay funciones que no tienden a un límite cuando se acerca a. Tenemos dos posibilidades: o a a Los valores de la función son cada vez más grandes en valor absoluto cuando o En la gráfica de la derecha tenemos que: f ( f ( La definición de límite en el primer caso sería; f ( si K, M / si M f ( K b Los valores de la función oscilan sin acercarse a ningún número. Tenemos ejemplos claros de este caso en las funciones f ( sen y g( cos

8 Tanto si tiende a como si tiende a, los valores de f( no tienden a ningún valor, oscilan entre - y. CÁLCULO DE LÍMITES.. Propiedades de los límites. Consideremos las funciones f ( y g( 4. Como puede comprobarse tienen por límite 6 y 8, respectivamente, en el punto =. La función suma es f g( 7 y su límite cuando tiende a es 4. Este valor coincide con el de la suma de los límites de f( y g(, comportamiento éste, que se puede demostrar de forma general. Tenemos por tanto que: a f ( g( f ( g( También se dan las siguientes propiedades relacionadas con las operaciones con límites: b f ( g( f ( g( f ( f ( c si ( ( g g g( d f ( f ( e Si f(>, f ( g( g( f ( f Si n es par y f ( ó si n es impar n f ( n f ( g log ( log ( a f a f si f (

9 Otras propiedades de los límites no relacionadas con las operaciones aritméticas son: h Si una función tiene límite en un punto, éste es único.. i Si una función tiene límite distinto de cero en un punto, entonces eiste un entorno del mismo en el que los valores que toma la función tienen el mismo signo que el límite. j Si los límites laterales de una función en un punto son distintos, entonces la función no tiene límite en él. Estas propiedades son también válidas cuando es límites laterales. o, y para El primer paso para calcular f ( es sustituir por el valor a en la a función f(, esto es, calcular f(a y utilizar cuando sea posible las propiedades anteriores. Si el resultado que obtenemos es un número real, o, este valor será el límite buscado. Por ejemplo: En algunas ocasiones, cuando alguno de los límites es o, también se pueden aplicar estas propiedades. Debemos tener en cuenta las siguientes reglas en dónde k es un número real

10 Para la composición de funciones tenemos: Si g( c y c f ( l f g( l Ejemplo: e y e, entonces e Puede ocurrir que al sustituir la variable independiente y aplicar las propiedades se obtengan epresiones indeterminadas o indeterminaciones, para las cuales, en principio no podemos dar el valor del límite. Las principales indeterminaciones son: ; ; ; ; ; ; En los apartados siguientes veremos métodos para la resolución de algunas de estas indeterminaciones

11 .. Límites de funciones racionales. K a Indeterminación con K. Se calculan los límites laterales, si son iguales, la función tiene límite o, en caso contrario no eiste el límite. Ejemplo: Al sustituir = en f( obtenemos, tratándose de una indeterminación. Calculamos los límites laterales: Como son distintos concluimos que la función no tiene límite en = b Indeterminación. Desaparece descomponiendo en factores numerador y denominador. Ejemplo: Descomponiendo en factores: c Indeterminación. La indeterminación de funciones racionales desaparece dividiendo numerador y denominador por la potencia máima del cociente polinómico 4 4 Ejemplo: 4 De la aplicación de este procedimiento se puede llegar a la siguiente conclusión:

12 d Indeterminación En el caso de las funciones racionales, la indeterminación del tipo se resuelve efectuando la diferencia indicada en la función. Ejemplo: Si sustituimos obtenemos, epresión que carece de sentido. Efectuando la diferencia indicada y simplificando: e Indeterminación Si ( f y ( g, entonces : ( ( ( ( f g g e f Ejemplo: Si sustituimos obtenemos. En este caso ( f y ( g ( f Sea ( m m n n a a f, si: n>m, ( f n=m, m n a a f ( n<m, ( f

13 7 6 ( ( ( f g e e e Ejercicio :.. Límites de funciones irracionales a Indeterminación y Este tipo de indeterminación en funciones radicales se resuelve multiplicando y dividiendo la función por la epresión radical conjugada. Ejemplo: Ejemplo: b Indeterminación. Este tipo de indeterminación en funciones radicales desaparece dividiendo numerador y denominador por la potencia máima del cociente polinómico. Ejemplos: 5.4. Funciones equivalentes en un punto. Consideremos, por ejemplo, las funciones sen f ( y g (, si las estudiamos en las proimidades del punto, comprobaremos que toman valores muy próimos, por tanto podemos concluir que sen.

14 Las funciones cuyo cociente tiene por límite en un punto =a, toman valores prácticamente iguales en un entorno de ese punto. De estas funciones decimos que son funciones equivalentes. Esta propiedad de algunas funciones se puede aplicar en la resolución de algunos límites: Si en una epresión figura como factor o divisor una función, el límite de la epresión no varía al sustituir dicha función por otra equivalente en ese punto. sen8 8 Ejemplo: 8 sen Ejemplo: tag4 4 senf ( f ( Lf ( f ( tgf ( f ( sen( f ( f ( arcsenf ( f ( arctgf ( f ( cos f ( f ( f ( e f ( f ( a f ( La L f ( f ( a ( f ( af (.5. Comparación de infinitos. Si f ( y g(, entonces: f ( f( es un infinito de orden superior a g( si g ( g( f ( f ( f( y g( son infinitos del mismo orden si g( o

15 Se pueden dar los siguientes casos: a En el caso de las potencias de, la de mayor eponente es un infinito de orden superior. Ejemplo: ; 4 b Para las funciones eponenciales de base mayor que uno, la de mayor base es un infinito de orden superior. Ejemplo: 5 4 c Cualquier función eponencial de base mayor que uno, es un infinito de orden superior a cualquier potencia de. Ejemplo: d Tanto las funciones eponenciales de base mayor que uno como las potencias de, son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica. Ejemplo: 5 L 5 4. RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN. 4.. Asíntotas horizontales Estudiamos el comportamiento cuando de las funciones: a f ( b g ( c h (

16 La función f( tiene una asíntota horizontal en y La función g( tiene una asíntota horizontal en y La función h( tiene dos asíntotas horizontales, en y y en y La recta y=k es una asíntota horizontal de la función f( si eiste alguno de los siguientes límites f ( k f ( k Por tanto para calcular las asíntotas horizontales de una función, hallamos f ( y f ( Una función f( tiene como máimo dos asíntotas horizontales. La gráfica de una función puede cortar a una asíntota horizontal, aunque no es así en la mayoría de las funciones elementales. 4.. Asíntotas verticales. Observa las siguientes funciones: f ( g( h ( 9

17 La función f( tiene una asíntota vertical en La función g( tiene una asíntota vertical en La función h( tiene dos asíntotas verticales, en y en La recta =a es una asíntota vertical de la función y=f( si eiste alguno de los siguientes límites: f ( f ( a a a f ( Las asíntotas verticales, si eisten, se localizan en los valores finitos de la variable en cuyo entorno la variable y tiende a. En el caso de funciones racionales, se trata de aquellos valores de que anulan el denominador sin anular el numerador. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales, por ejemplo la función y=tag. 4.. Asíntotas oblicuas. Dada la función f (

18 La recta y= es una asíntota oblicua de la función y=f( La recta y=m+n es una asíntota oblicua de la función y=f( si eiste alguno de los límites siguientes: f ( m n f ( m n Si la recta y=m+n es una asíntota oblicua, se puede f ( demostrar que m, siendo m un número real distinto de cero Cuando eiste asíntota oblicua para calcular su ordenada en el origen, calculamos el límite: n f ( m Si una función tiene asíntota oblicua en, no puede tener asíntotas horizontales y recíprocamente. La gráfica de una función si puede cortar a una asíntota oblicua. Ejemplos: a b f ( tiene una asíntota oblicua en y en f ( tiene una asíntota oblicua en y en c f ( tiene una asíntota oblicua en y en ; y en 5. CONTINUIDAD.

19 5.. Concepto de función continua en un punto. De forma intuitiva podemos decir que una función es continua si podemos dibujarla sin levantar el bolígrafo del papel. Para formalizar esta idea desde el punto de vista de las Matemáticas utilizaremos el concepto de límite. Una función y f ( es continua en =a, si y sólo si a f ( f ( a Esta definición implica que: a Debe eistir f(a b Debe eistir f ( a c Ambos valores deben coincidir. Ejemplos: a f (. Como f ( o eiste, la función no es continua en =. b si f ( si En este ejemplo tenemos una función definida a trozos. En cada uno de los intervalos de definición la función es continua, por tanto, únicamente debemos es-

20 tudiar la continuidad en el valor de para el que cambia el valor de f(, en este caso =. f ( f ( Por no coincidir los límites laterales no eiste f (. Como consecuencia, aunque eiste f (, la función no es continua en =. c si f ( si Como en el ejemplo anterior tenemos una función definida a trozos. En este caso estudiaremos la continuidad en =. f ( f ( f ( En cambio f (. Por tanto como f ( f ( la función no es continua en =. 5.. Continuidad en un intervalo. Para definir continuidad en un intervalo necesitamos definir previamente continuidad lateral:

21 La función y f ( es continua por la derecha (por la izquierda en =a si f ( f ( a ( a f ( f ( a a Ejemplo: si f ( si es una función continua por la derecha en =, pero no es continua por la izquierda. Una función es continua en (a,b si lo es en cada uno de sus puntos. Una función es continua en [a,b] si lo es en todos los puntos de (a,b y además es continua por la derecha de a y por la izquierda de b. 5.. Propiedades de las funciones continuas. Dadas dos funciones f( y g( continuas en el punto, se cumplen las siguientes propiedades: a f ( g( es continua en. b f ( g( ( es continua en. f ( c es continua en, siempre que g ( g( Estas propiedades implican las siguientes consecuencias sobre la continuidad de las funciones elementales: a Todas las funciones polinómicas son continuas en todo R P( b f ( es continua en todo R, salvo donde se anula el denominador. Q( c Las funciones eponenciales f ( a son continuas en todo R d Las funciones logarítmicas f ( log son continuas en, a

22 e Las funciones irracionales de la forma f ( n p(,con n impar, son continuas en todo R f Las funciones irracionales de la forma f ( n p(,con n par, son continuas en su dominio de definición. Teoremas sobre funciones continuas. Teorema de Weierstrass: Si una función es continua en [a,b] tiene máimo y mínimo en [a,b]. ma min ma min a b a b Teorema de Bolzano: Si una función es continua en un intervalo [a,b] y f ( a f ( b entonces eiste al menos un c ( a, b tal que f(c=. a c b Ejemplo: Demostrar que la función f ( 7 tiene al menos una raíz en el intervalo [,] 5.5. Discontinuidades. Una función y=f( es discontinua en =a, si la función no es continua en dicho punto, esto es, si falla alguna de las tres condiciones que deben cumplir las funciones continuas. Las discontinuidades se pueden clasificar de la siguiente forma:

23 a Discontinuidad evitable: Consideremos la función: f ( En este caso tenemos que f (, sin embargo no eiste f( y por tanto la función es discontinua en =. a Este tipo de discontinuidad la llamaremos discontinuidad evitable. Se da cuando eiste el f ( pero no eiste f(a. Se llama evitable porque podemos hacerla continua dándole a la función en =a el valor del f ( (llamado verdadero valor de la función en =a. En el ejemplo a evitamos la discontinuidad definiendo f( como: f ( si si Otro ejemplo de discontinuidad evitable es la función: si f ( si estudiada en un apartado anterior. b Discontinuidad inevitable: Sean las funciones:

24 La gráfica de la izquierda corresponde a la función si f (, la de la derecha a g (. Se trata de dos si funciones que tienen una discontinuidad en = por no eistir f ( ni g(. En ambos casos tenemos una discontinuidad inevitable. Una función y=f( tiene una discontinuidad inevitable en =a si no eiste f ( a En la función f(, de los ejemplos anteriores, si eisten los límites laterales aunque estos no coinciden, decimos que f( tiene una discontinuidad de primera especie o de salto en =. La función y=f( tiene una discontinuidad de primera especie en =a si f ( f (,esto es, eisten los dos límites laterales pero no a a coinciden. Al valor: a f ( a f ( le llamamos salto de la función en ese punto y puede ser finito, si es un número real, o infinito. En el caso de la función y=g(, no eiste g(, decimos que g( tiene una discontinuidad de segunda especie en =. Una función y=f( tiene una discontinuidad de segunda especie en =a cuando no eiste alguno de los siguientes límites: a f ( a f (