7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

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1 7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el elemento y n del conjunto B Se llama producto cartesiano de A por B, A B, al conjunto de todos los pares ordenados tales que el primer elemento pertenece al conjunto A, y el segundo elemento al conjunto B: A B = {(, y) A, y B } El producto cartesiano puede representares, con la ayuda de un sistema cartesiano, como los puntos de un plano. Ejemplo 1.- Dados los conjuntos A={a,b,c,d} y B={1,,3}, representa el conjunto A B en forma de conjunto y en forma gráfica En forma de conjunto: A B = { (a, 1), (a, ), (a, 3), (b, 1), (b, ), (b, 3), (c, 1), (c, ), (c, 3) } En forma gráfica: Ejemplo.-Dados los conjuntos A = { R, 4 } y B = {y y R, 3 4 }. escribe el conjunto producto cartesiano A B y represéntalo gráficamente. A B = { (, y) (, y) R, 4, 3 y 4 } 1 de 1

2 Cualquier subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos A por B se llama una relación entre esos conjuntos P(relación) = {(, y) A e y B} Si a A, b B y (a, b) P, se dice que a está relacionado con b según la relación P Si una relación cumple la siguientes propiedades: - todo elemento de A está relacionado con algún elemento de B -cada elemento de A no se relaciona con más de un elemento de B se dice que la relación es una aplicación entre los conjunto A y B Generalmente las aplicaciones se representas indicando la relación entre elementos de A y B de la siguiente forma: si Q es una aplicación entre A y B ; y (a, b) Q, representamos la aplicación Q en la forma: Q: A B a Q(a) = b y decimos que b es la imagen de a por la aplicación Q Al conjunto A le llamamos conjunto origen y al conjunto B conjunto imagen Cuando los conjuntos A y B son conjuntos numéricos, la aplicación recibe el nombre de función 7. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Por lo dicho en el apartado anterior, una función real de variable real es una aplicación en que el conjunto origen y el conjunto imagen es el conjunto de los números reales: f : R R y = f () ) Para eplicar una función podemos emplear cualquiera de los siguientes procedimientos: -escribir el producto el subconjunto del producto cartesiano de R R con los pares ordenados que se relacionan por la función ( normalmente lo escribimos en forma de tabla ) -representar gráficamente la función en un sistema cartesiano -escribir la fórmula, o la epresión analítica, que pone en relación los números del conjunto origen con los del conjunto imagen de 1

3 Ejemplo 3.- Eplica de distintas formas la función g : R R y = g () si la fórmula que relaciona los números de ambos conjuntos es y = + -1 En este caso la función g es g() = + -1 La tabla que indica la relación es: ,5... g () ,5... Y su epresión en forma gráfica : DOMINIO, o campo de eistencia,de una función f, Dom f, es el conjunto de números para el cual está definida función IMAGEN, o recorrido de una función f, Img f, es el subconjunto de R a los que les corresponde los elementos del conjunto imagen. FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS. Decimos que una función está definida a trozos si se eplica con epresiones analíticas distintas en distintos intervalos de su campo de eistencia,. f( ) = f1 ( ) f ( ) f n ( ) si ( si ( si ( a c ni,, b d, nj ) ) ) 3 de 1

4 Ejemplo 4.- Eplica en forma gráfica la función + 1 si < 6 f( ) = 5 si 6 < + 1 si En el intervalo (-, -6 ) representamos la recta +1 En el intervalo [-6, ), la gráfica es una recta al eje paralela al de abscisas Finalmente, para igual o superior la gráfica es una parábola Ejemplo 5.-Estudia el dominio y el recorrido de la función f () = Por tratarse de una función polinómica, el valor de f() puede calcularse para cualquier valor de, luego Dom f() = R Sabemos de cursos anteriores que la función cuadrática representa una parábola ; en esta caso por ser el coeficiente de positivo, las ramas de la parábola se dirigen hacia la parte positiva del eje de ordenadas (ver ejemplo 3 ), luego tendrá un mínimo en el vértice = -1, de donde Img f() = [f(-1), ) = [-, ) Ejemplo 6.- Estudia el dominio de la función f() = + 1 La raíz cuadrada no se puede calcular si el radicando es negativo, luego la función no eiste para los valores de que cumplan + 1 < 0 Por otra parte, el radicando es una división que no podemos calcular cuando el divisor es 0 - = 0 así pues, la función no eiste si: - =0 = +1>0 > 1 ( 1, ) -<0 < +1 < 0 o bien - +1<0 <-1 ->0 > De esta forma obtenemos que Dom f() = R - (-1, ] 4 de 1

5 PARIDAD Y PERIODICIDAD Una función f( ) se dice que es función par si se cumple que f( ) = f( - ) Como es fácil de ver una función par es simétrica respecto del eje de ordenadas Una función f( ) se dice que es función impar si se cumple que f( ) = - f( - ) Una función impar es simétrica respecto del origen de coordenadas. 5 Ejemplo 7.- Estudia la paridad de la función f( ) = f( - ) = = ( ) =f( ) Se trata de un función par Ejemplo 8.- Estudia la paridad de la función f( ) = + 3 ( ) f( - ) = = = - f( - ) ( ) Se trata de una función impar Una función puede no ser par ni impar, como puedes comprobar con la función f( ) = Una función f( ) se dice que es periódica de periodo P,( P >0 ) si cumple : f( ) = f( + kp ) para cualquier valor entero de k Ejemplo típico de una función periódica es la función f( ) = sen. Sabemos que sen =sen(+360 P) ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES Además de las funciones más usuales, estudiadas en cursos anteriores, (racionales, irracionales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas) nos aparecen en el presente curso nuevas funciones que debemos conocer: -función parte entera, que representamos por E[ ], asigna a cada número real su parte entera; por ejemplo E[ 5 ] = -función valor absoluto, que representamos por,asigna a cada número real su valor absoluto. Una función valor absoluto es equivalente a una función definida a trozos: si 0 f ( ) = = - si < 0 Ejemplo 9.- Define la función f( ) = 1 1 si f( ) = 1 = -(1 - ) si 1 - < 0 >1 1 si 1 es decir f( ) = 1 = -1 si >1 5 de 1

6 7.4 OPERACIONES CON FUNCIONES Dadas dos funciones f( ) y g( y ), se llama -función suma a la función s( ) = f( ) + g( ) -función diferencia a la función d( ) = f( ) - g( y ) -función producto a la función p( ) = f( ) g( y ) -función cociente a la función q( ) = f( ) g ( ) si g( ) 0 Ejemplo 10.- Dadas las funciones f( ) = y g( ) = - ; determina las funciones suma, diferencia, producto y cociente, f( ) + g( ) = ( ) + ( - ) = - f( ) - g( ) = ( ) - ( - ) = = ( - ) f( ) g( ) = ( ) ( - ) = f( ) g( ) = 3 + = 1 -función opuesta de la función f( ) a la función -f( ) ; la suma de una función y su opuesta es la función nula 1 -función recíproca de la función f( ) a la función f ( ) = 1 ; el producto de una f() función con su recíproca es la unidad. Ejemplo 11.- Las funciones f( ) = 1 + y g( ) = 1 son opuestas. + Fácilmente se ve que f( )+ g( ) =0 Ejemplo 1.- Las funciones f( ) = 1 + y h( ) = + 1 son recíprocas. Resulta fácil comprobar que f( ) g( ) = 1 -función compuesta, de la función g con la función f, a la función f 0 g( ) que se obtiene tomando como argumento de la función f a la función g, es decir: La operación f ( f g) ( ) = f [ g( ) ] g se llama composición de funciones 6 de 1

7 Ejemplo 13.- Dadas las funciones f( ) = f g ( ) y g f( ) y g 1 ( ) =, calcula las funciones ( ) [ ( )] 3 f g = f g = f = = = ( 3) ( 1) 8(1 ) g f( ) g + + = = = = ( 3)( + 1) función inversa de una función f( ) es aquella función que compuesta con f da la función identidad ; es decir si g( ) es inversa de f( ), se cumplirá: f g ( ) = Ejemplo 14.- Las funciones f( ) = f g( ) = f y g( X ) = 3 = = son inversas pues Para calcular la función inversa de un función dada se pueden seguir los siguientes pasos: 1º despejar la variable dependiente º intercambiar las variables 3º cambiar de nombre a la función Ejemplo 15.- Encuentra la función inversa de f( ) = 5 + Para encontrar la función inversa seguimos los tres pasos anteriores: -despejamos la variable independiente: ( + )f( ) = 5 f( ) + f( ) = 5 f( ) - = -5 - f( ) [ f( ) - 1 = -5 - f( ) = 5 f( ) 5 = + f( ) f( ) 1 1 f( ) -intercambiamos las variables: ] f( ) = de 1

8 -cambiamos el nombre de la función: (como indicamos la función por f, la 1 cambiamos a f ) f ( ) = 1- que es la función buscada. 7.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ELEMENTALES BASÁNDOSE EN LA REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES PATRÓN Anteriormente hemos visto que una forma de eplicar una función es mediante una representación gráfica en un sistema cartesiano. En temas posteriores aprenderemos a encontrar todos los elementos necesarios para llevar a cabo, de forma adecuada, la representación gráfica de una función; pero hay muchas situaciones en que sólo necesitamos una representación aproimada. En esta apartado vamos a ver un método para representar, de forma aproimada, una función. Para ello nos basaremos en el conocimiento de la representación de lo que llamaremos funciones patrón. -función lineal: -la función patrón de la función lineal es f( ) =, sabemos que es: y f()= cuya representación gráfica Si trasladamos el centro de coordenadas al punto (a, b ) y representamos por (, y ) las coordenadas de cualquier punto respecto al nuevo sistema: y Y Y X (a,b) X X X (0,0) Y Y vemos que cualquier punto en el primer sistema tiene por coordenadas (-a, y-b ) en el nuevo, luego la recta patrón tendrá por ecuación y - b = - a en el nuevo sistema. Por otra parte sabemos que el coeficiente de afecta a la pendiente de la recta Por todo ello cualquier función lineal se reduce a la función patrón sin más que trasladar los ejes 8 de 1

9 Ejemplo 16.- Representa aproimadamente la recta y = - 6 La recta dada puede escribirse en la forma Y=(-3) luego se trata de la recta patrón de pendiente una vez trasladados los ejes al punto (3,0) -función cuadrática: La función patrón para la función cuadrática es f( ) = a = 1 es : cuya representación para a y que abre sus ramas o las cierra según disminuya o aumente el valor de a. Para valores negativos de a cambia la orientación de las ramas 9 de 1

10 Ejemplo 17.- Representa de forma aproimada la función f ( ) = Arreglemos la función para que nos aparezca un cuadrado perfecto en el segundo miembro de la igualdad: f ( ) = = ( - ) -3 f ( ) + 3 = ( - ) Así pues la función dada se reduce a la función patrón al trasladar los ejes al punto (, -3 ), por lo que su representación será: De esta forma,conociendo las funciones patrón más importantes, podemos realizar un trazado rápido aproimado de muchas funciones: f ( ) = 1 f ( ) = e f()=sen f ( ) = Ln 10 de 1

11 f ( ) = Ejemplo 18.- Representa de forma aproimada la función f ( ) = 1 f ( ) - 1 = Dividiendo,la función dada puede escribirse en la forma f ( ) = 1 + 1, luego tendrá la forma de f ( ) = 1 1 o bien trasladando el origen al punto (, 1 ) es decir Ejemplo 19.- Representa de forma aproimada la función f ( ) = La función puede escribirse en la forma f ( ) - = - 3, por lo que si trasladamos el origen al punto ( 3, ), la gráfica patrón será la de f ( ) =, es decir: 11 de 1

12 Ejemplo 0.- Representa de forma aproimada la función f ( ) = Si introducimos un cuadrado perfecto en el segundo miembro de la función, y prescindimos del valor absoluto que podemos escribir en la forma: f () =4 ( ) = 4 ( - ) -1 f ( ) +1 = 4 ( - ), si tenemos en cuenta que la función valor absoluto no puede tomar valores en ordenadas negativas, tenemos la representación adjunta: 1 de 1