Grafique, clasifique determinando el dominio y el rango de las siguientes funciones x. 10. x x 3

Transcripción

1 Grafique, clasifique determinando el dominio y el rango de las siguientes funciones... f ( ) f ( ) f ( ) 3. 3 f ( ) 4. 3 f ( ) 3 5. f ( ) 6. 4 f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( 3 ) 4 f ( ) 4. 9 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) 6 f ( ) f ( ) 0. 5 Operaciones con funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones denominadas algebras de funciones:. Suma: g f ( ) g( ) f ( ) 3. Producto f g ( ) f ( ) g( ). Resta 4. Cociente g f ( ) g( ) f ( ) f g ( ) f ( ) g( )

2 Ejercicios propuestos de algebra de funciones En los siguientes ejercicios se definen las funciones f y g Determine las funciones resultantes clasifíquelas y defínales el Dm y Rg., f g, f g, f. g, f g. f ; g 4. f g f 5; g 4. f ; g 5. f ; g 6. f ; g 4 7. f 4 ; 4 Segunda parte: g 8. 6 ( ) 4 f ; g 5 Dadas las siguientes funciones calcular la función compuesta señalada:. f, g g f. f, g f g 3. f sen, g f g 4. h() e, i() ln h i 5. f, k, f k 6. f, g 3 g f Para profundizar.. Esboce la gráfica de la función que se ajusta a las siguientes condiciones: El dominio es R-{5} La imagen es todo R Corta a los ejes en los puntos (-5,0), (0,3)(,0) y (4,0) Alcanza un máimo en el punto (-,4) y otro en (6,) Alcanza un mínimo en (3,-) Tiene una asíntota vertical en =5. Indique cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de serlo, indique su dominio, su imagen y los puntos de corte.

3 3. Sea la función: 5 f() , si, si. si 5 5 a) Cuál es la representación gráfica? b) Indique Dominio, Corte con los ejes, Asíntotas, Clasifíquela indicando si esta o no acotada, en caso de estarlo indique en dónde. 4. La grafica representa una función (los puntos en la gráfica tienen por tanto coordenadas de la forma, f(). a. Con base en la gráfica indique el valor de f(-), f(0) y f(-4) b. Identifique el Dm, Cdm y Rg. c. Podría decir cuál es la ecuación de la recta que se dibujó en le plano cartesiano?. Indique cual es el proceso 5. Tomando como base el gráfico del ejercicio anterior diga cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falas justificando su respuesta. a. El punto de coordenadas 6,7) f( c. f(-6) 3 d. - b. La recta tiene pendiente 3 5 f() e. f(0) f()

4 6.En el plano cartesiano sitúe los puntos a. y f ( ) b. y f ( ) d. y f c. f ( ) y, y tales que 7. Complete las siguientes proposiciones a. Si a b 0, entonces,a 0, y...o bien a 0 y... b. El conjunto solución de una inecuación es un.. o una unión de. c. Si para todo, y f ( ), el punto, y f ( ) con respecto al.. d. En las parejas ordenadas del plano cartesiano, y, entonces, la gráfica es simétrica a la se le llama.. e. En forma general cualquier punto sobre la gráfica de una función f ( ) es (, ) f. Si f ( ), la abscisa al origen es. y la ordenada al origen es.. g. Si f ( ) f ( ) IR, entonces se dice que la función es simétrica respecto al. Para recordar: Función cuadrática En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: f ( ) a b c en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico. Gráficas de funciones cuadráticas.

5 Raíces: Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de, para los cuales f ( ) 0. Por tratarse de un polinomio de grado, habrá a lo sumo dos raíces, denotadas habitualmente como: y, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como b 4ac. Parta ello tendremos tres situaciones: Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo: b a y b. a Una solución real doble si el discriminante es cero: b a Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo: b i a - a y b -i a - a Representación analítica Eisten tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes. Forma desarrollada La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como: f() a b c, con a 0 Forma factorizada Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como: Siendo a el coeficiente principal de la función, y las raíces de f(). En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces = por lo que la factorización adquiere la forma: f() a -. En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es. Forma canónica

6 Toda función cuadrática puede ser epresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: f() a - h k las coordenadas del vértice de la parábola. siendo a el coeficiente principal y el par ordenado h,k Representación gráfica Corte con el eje y: La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando vale cero (0): y f(0) a 0 b 0 c Lo que resulta: y f(0) c. La función corta el eje y en el punto 0, c, siendo c el término independiente de la función. A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen Corte con el eje : La función corta al eje cuando y vale 0, dada la función: y a b c se tiene que: y 0 a b c 0 Las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje, que se obtienen, como es sabido, por la epresión: no corta al eje, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales). - b b 4ac. Si la función a Etremos: Toda función cuadrática posee un máimo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máimo. Dada la función en su forma desarrollada: será simplemente: f() a b c, la coordenada del vértice - b. La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada a en ese punto. Dada la forma canónica: f() a ( - k) k, las coordenadas eplícitas del vértice son: (h,k).

7 Función Compuesta En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante. Usando la notación matemática, la función compuesta f g : IR IR epresa que g f g( ) IR. A g f ( ) diagrama sagital no ayuda a entender la situación planteada. f se le llama composición de f y g. El siguiente Definición De manera formal, dadas dos funciones f : X Y y g :Y Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g f ): X Z como (g f)() = g (f()), para todos los elementos de X. También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

8 Propiedades La composición de funciones es asociativa, es decir: La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir: Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f () = + y g ( )= ², entonces f (g ()) = ²+, en tanto que g( f ()) = (+) ². g f ( ) f g La inversa de la composición de dos funciones es: Ejemplo Sean las funciones: f (), g() sen La función compuesta de g y de f que epresamos: La interpretación de (f g) aplicada a la variable significa que primero tenemos que aplicar g a, con lo que obtendríamos un valor de paso y después aplicamos f a z para obtener