FU CIÓ CUADRÁTICA. y = a.x 2 + b.x + c. Término Cuadrático Término Lineal Término Independiente. Matestay. a = 1 b = 4 c = 3. d 2.

Transcripción

1 FU CIÓ CUADRÁTICA La función cuadrática es una función mu común en Matemática. Se trata de una función de segundo grado: la "" aparece elevada al cuadrado como máima potencia. Su representación gráfica es una curva llamada parábola, la cual presenta como punto característico al vértice. En dicho punto la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. Su forma analítica general es: = a. + b. + c Término Cuadrático Término Lineal Término Independiente Por ejemplo: = Ordenada al origen d d 1 d 1 d a = 1 b = 4 c = 3 Para graficarla realizamos una tabla de valores: Eje de Simetría = X v Vértice V (X v, Y v ) Ceros X 1 X Instituto Nacional 1/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

2 En esta sencilla función cuadrática, con sólo hacer una tabla de valores hemos hallado todos los elementos característicos de la parábola: su vértice V(, 1), sus ceros X 1 = 1 X = 3, su ordenada al origen f(0) = 3, tal cual se muestra en la gráfica. En adelante, desarrollaremos las fórmulas necesarias para hallar estos elementos en una parábola cualquiera, que por lo general no son fáciles de hallar con una simple tabla de valores. CEROS O RAÍCES DE LA FU CIÓ CUADRÁTICA: La función cuadrática, como toda función puede tener "ceros" o "raíces", que son valores de la variable independiente "" que hacen cero a la función "". = a + b + c 0 = a + b + c 0 b c = + + a a a b b b c 0 = a a a a b b c 0 = + + a 4a a Función cuadrática Ecuación cuadrática Dividimos miembro a miembro por "a" Completamos cuadrados b c b = + 4a a a Despejamos "": Fórmula Resolvente de la Ecuación de Segundo Grado b 4ac b = + 4a a b 4ac b ± = + 4a a = 1- ± b b 4ac a b b 4ac = ± a a Esta fórmula nos permite hallar las dos raíces o ceros de la ecuación cuadrática, lo que se logra al tomar alternativamente los signos "+" " " de la fórmula resolvente. Como vemos, una parábola puede tener dos ceros reales distintos como en este caso, en que corta dos veces en su traectoria real al eje "", en los puntos X 1 X. Instituto Nacional /14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

3 TIPOS DE SOLUCIO ES DE LA ECUACIÓ DE SEGU DO GRADO El radicando de la fórmula resolvente, llamado discriminante determina el tipo de soluciones que tiene la ecuación de segundo grado. = 1- ± b b 4ac a Discriminante 1) Si el discriminante es positivo: La raíz cuadrada de un número positivo es también positiva, con lo cual el doble signo de la raíz cuadrada lleva a dos raíces reales distintas. La curva cortará entonces dos veces en su traectoria real al eje "". ) Si el discriminante es cero: La raíz cuadrada de cero es cero, con lo cual el doble signo de la raíz cuadrada lleva a dos raíces reales e iguales, o puede decirse una raíz real doble. La curva tocará entonces una sola vez al eje "" sin atravesarlo. Puede verse que la curva "rebota" sin cruzar el eje de abscisas, o sea que tiene su vértice sobre dicho eje. 3) Si el discriminante es negativo: La raíz cuadrada de un número negativo no tiene resultado en el campo real, con lo cual la solución son dos raíces complejas conjugadas. La curva no toca en este caso al eje "" sino que se halla siempre por arriba o por debajo de dicho eje de abscisas. a es (+) a es ( ) b 4 a c > 0 Raíces Reales distintas b 4 a c = 0 Raíces Reales e iguales Instituto Nacional 3/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

4 b 4 a c < 0 Raíces Complejas Conjugadas VÉRTICE El vértice es un punto mu importante de una parábola: allí la función cuadrática pasa de ser creciente a decreciente, teniendo un máimo la función en ese punto; o pasa de ser decreciente a creciente teniendo un mínimo. Para obtener las epresiones analíticas de las coordenadas del vértice, es necesario tener en cuenta que las parábolas tienen un eje de simetría vertical que pasa por dicho vértice. La eistencia de un eje de simetría implica que las dos "ramas" de la curva, a la derecha e izquierda del eje están equidistantes respecto al mismo. Por ello: X V X + X = 1 La abscisa del vértice X v es igual al promedio de las raíces X 1 X A partir de esta epresión se puede obtener otra, que es más útil directa en la práctica, pues permite hallar X v sin calcular antes las raíces, sino a partir de los coeficientes "a" "b" de la forma general: X 1 X b + b 4ac b b 4ac + X a a V = b + b 4ac b b 4ac a b 1 X V = =. XV a b = a Como el vértice es un punto más de la parábola, sus coordenadas X v e Y v también deben satisfacer la ecuación de la curva. Por tanto: Y = f (X ) V v Instituto Nacional 4/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

5 La ordenada del vértice "Y v " es el valor que toma la función "" cuando la variable "" se reemplaza por el valor previamente hallado de "X v ". EJE DE SIMETRÍA Otro elemento importante de la parábola es el eje de simetría, que como sabemos es una recta vertical que pasa por vértice. Su ecuación es: = X v La ecuación del eje de simetría es la correspondiente a una recta vertical del tipo: = constante Este eje se llama de simetría debido a que si trazamos cualquier recta perpendicular al mismo, vemos que la distancia desde un punto de la curva al eje de simetría, es igual a la distancia desde dicho eje al punto ubicado en la otra rama. Así pues, la parábola es una curva con ramas simétricas. ORDE ADA AL ORIGE Al igual que en las rectas, la parábola tiene una ordenada al origen, que es el valor que toma la función cuando "" vale cero. Gráficamente corresponde al punto donde la curva corta al eje "". f(0) = c Para Practicar La Ordenada al Origen de una parábola es igual al término independiente "c" de la forma general. Verificar con el Simulador Digital "Función Cuadrática" 1) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, encontrar todos sus elementos significativos sin hacer tabla de valores, sino aplicando las epresiones vistas. Graficar. Raíces o Ceros. Coordenadas del Vértice. Ecuación del eje de simetría. Ordenada al origen. a) = X 1 =, X = 4; V(3,1); Eje = 3; f(0) = 8 b) = + 4 X 1 = 0, X = 4;V(, 4);Eje = ; f(0) = 0 c) = + 1 X 1 = 1, X = 1; V(0,1); Eje = 0; f(0) = 1 d) = 4 5 X 1 = 1, X = 5; V(, 9); Eje = ; f(0) = 5 e) = + 4 X 1 X R; V(1, 3); Eje = 1; f(0) = 4 Instituto Nacional 5/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

6 ESTUDIO DE LA FAMILIA DE PARÁBOLAS: = a Ahora estudiaremos las curvas de esta familia de parábolas, en las cuales no eiste el término lineal ni el término independiente. Para todas ellas: b = c = 0 El Vértice estará siempre en el origen, dado que: b 0 X = V 0 a = a = Y V (0 0) ; V = f (X v ) = a X v = a. 0 = 0 = = = 1/ = = = 1/ Como podemos observar, cuando el coeficiente cuadrático "a" es positivo, las ramas van "hacia arriba" la función tiene un mínimo en el vértice. Por caso contrario, cuando el coeficiente "a" es negativo las ramas van "hacia abajo" la función tiene un máimo en el vértice. Además vemos que cuanto maor es el valor absoluto de "a" las ramas "se cierran" más sobre la vertical, dando una parábola de más rápido crecimiento o decrecimiento. Por caso contrario cuando el valor absoluto de "a" es menor que 1, las ramas están más abiertas que en la parábola básica =, con lo que se obtiene una curva de más lento crecimiento o decrecimiento. Instituto Nacional 6/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

7 Ahora veremos que los parámetros "b" "c" sólo desplazan la curva, de manera que el vértice pueda estar en cualquier punto del plano, pero no alteran la forma de la parábola, la cual depende eclusivamente de "a". FORMA CA Ó ICA DE LA FU CIÓ CUADRÁTICA Aparte de la forma general a vista, donde la parábola queda definida por los parámetros "a", "b" "c", eiste la llamada "forma canónica" que a menudo es más útil, pues en la misma los parámetros son directamente las coordenadas del vértice el factor "a" que como vimos define la forma de la curva. Desplazaremos una parábola de la familia vista = a (con vértice en el origen) a un punto cualquiera del plano de coordenada V(X v ;Y v ): ' Tomamos un sistema de referencia auiliar '': Y v Vértice V(X v ;Y v ) X v ' ' ' = a (') P (';') (;) Como: ' ' ' = X v ' = Y v Reemplazando: Y v = a ( X v ) Forma Canónica de la Parábola = a ( X v ) + Y v FORMA FACTORIZADA DE LA FU CIÓ CUADRÁTICA Una tercera forma de epresión de una función cuadrática es la forma factorizada. En ella los tres parámetros que definen a la parábola son las dos raíces X 1 X (cuando son reales distintas) el coeficiente cuadrático "a". Forma Factorizada de la Parábola = a ( X 1 ) ( X ) Es natural aceptar esta forma de epresión de la función cuadrática, pues se verifica que cuando "" toma el valor de las raíces X 1 o X la Instituto Nacional 7/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

8 función "" se anula. Además tiene el coeficiente "a" que define la forma de la curva. Quedando definida la forma los dos ceros de la función, la parábola queda totalmente definida. LAS TRES FORMAS DE EXPRESIÓ DE LA PARÁBOLA En el siguiente esquema se marcan los caminos a seguir para pasar de una forma a otra de epresión de la parábola. Completar Cuadrados Forma General = a. + b. + c Fórmula Resolvente Desarrollo de Cuadrado de Binomio Forma Canónica Y v = a ( X v ) Para Practicar X Y V V X = = + X X 1 Propiedad Distributiva Verificar con el Simulador Digital "Función Cuadrática" sus simuladores adicionales Forma Canónica Forma Factorizada Forma Factorizada = a ( X 1 ) ( X ) 1) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, epresarlas en las restantes formas; Graficar. a) = = ( 3) + 1 = ( ) ( 4) b) = + 4 = ( + ) 4 = ( + 4) f ( ) c) = + 1 = + 1 = ( + 1) ( 1) V d) = ( ) ( + 3) = = + e) = ( 4) + 8 = = ( ) ( 6) ) Para que el vértice de la parábola = se desplace al punto (3; ) se utiliza la epresión: = (+3) + = ( 3) + = (+3) = ( 3) NRAC Instituto Nacional 8/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

9 3) El intervalo de valores de m para que la ecuación m = 0 tenga raíces reales distintas es: ( ; ) 4) El intervalo de valores de k para que la ecuación 5 k + 0 = 0 tenga raíces complejas conjugadas es: ( 10; 10) 5) El conjunto de valores que puede tomar n para que la ecuación: n + 1 = 0 tenga raíces reales e iguales es: {1} Por último veremos el tema de la reconstrucción de la ecuación de segundo grado: Si se conocen las raíces de una ecuación, se trata de encontrar una forma de epresión de la ecuación cuadrática que admita como raíces a dichos valores. RECO STRUCCIÓ DE LA ECUACIÓ DE SEGU DO GRADO Cuando conocemos la ecuación cuadrática queremos hallar las raíces usamos la fórmula resolvente de la ecuación de segundo grado. Este es el problema directo. Ahora plantearemos el problema inverso: se conocen las raíces de la ecuación se desea hallar una forma de epresión de la misma que admita como raíces a los valores dados. Problema Directo a + b + c = 0 X 1 X Problema Inverso Dada la forma general de la ecuación cuadrática, se cumple: a. + b. + c = 0 b c a + + =0 a a Según la forma factorizada de la ecuación cuadrática, se cumple: a ( X 1 ) ( X ) = 0 ( 1 1 ) a X X + X X =0 ( ( + 1) 1 ) a X X + X X =0 Instituto Nacional 9/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

10 b = a Por comparación: ( X + X ) c = X. X a 1 1 Fórmulas de la reconstrucción de la ecuación de segundo grado Como vemos sólo ha dos coeficientes independientes en la ecuación cuadrática, puesto que el valor de "a" tomado en forma aislada no es importante. Generalmente se hace a = 1 al reconstruir la ecuación. Recordemos que si a una ecuación cuadrática se la multiplica miembro a miembro por una cierta constante se obtiene una ecuación equivalente, lo que indica que la nueva ecuación tiene las mismas raíces X 1 X que la ecuación original:. ( ) = = 0 Ecuaciones Equivalentes = 0 X 1 = X = 3 La forma: b c + + = 0 a a Las ecuaciones equivalentes tienen raíces idénticas X 1 = X = 3 se llama forma normalizada o reducida de la ecuación cuadrática. (X 1 + X ) X 1. X Dados las raíces X 1 X : el coeficiente lineal de la forma normalizada es igual a la suma de las raíces cambiada de signo el término independiente es igual al producto de dichas raíces. Para Practicar Verificar con el Simulador Digital "Función Cuadrática" sus simuladores adicionales Forma Canónica Forma Factorizada 1) Dadas las raíces reconstruir las ecuaciones cuadráticas normalizadas: a) X 1 = ; X = 3 6 = 0 b) X 1 = 1 ; X = = 0 c) X 1 = 0 ; X = = 0 Instituto Nacional 10/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

11 ) La ecuación de segundo grado reducida (a = 1) en la variable sabiendo que una de las raíces es X 1 = que el coeficiente del término lineal es 3 es: = = = = 0 NRAC 3) El valor (o los valores) de m para que la abscisa de uno de los puntos de intersección entre las curvas correspondientes a las funciones = m e = 1 3 sea X 1 = 5 es (o son): (m= 34) 4) Si se restringe el dominio de la función = + 3 al intervalo ( 1; ) la imagen es: ( 6; ] 5) La epresión de una función cuadrática que sólo es negativa en el intervalo ( 3; ) puede ser: + 6 = 0 6 = = 0 +6 = 0 6) Las temperaturas entre las 0 hs las 4 hs en una zona rural se ajustan por la función T ( ) = 1 ( 1) + 10, donde T es la 10 temperatura en ºC "" es la hora del día. Responda: NRAC a) Cuál fue la temperatura máima? (10 C) b) A que hora del día se registró? (1 hs) c) Qué temperatura se registra a las 3 de la tarde? (9,1 C) 7) Un cuerpo se arroja verticalmente desde una altura de 40 m. La altura en función del tiempo está dada por: ht ( ) = t 4,9t, donde "h" es la altura en (m) "t" es el tiempo en (s). Responda: a) Cuál fue la altura máima? (85,9 m) b) En qué instante se registró? (3,06 s) c) Cuándo vuele a tocar el suelo? (7,5 s) d) Graficar. Instituto Nacional 11/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

12 Trabajo Práctico : Función Cuadrática 1) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, encontrar todos sus elementos significativos sin hacer tabla de valores, sino aplicando las epresiones vistas. Graficar. Raíces o Ceros. Coordenadas del Vértice. Ecuación del eje de simetría. Ordenada al origen. a) = + 3 b) = 1 10 c) = d) = 8 e) = 4 3 ) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, epresarlas en las restantes formas (Canónica, Factorizada General); Graficar. a) = + 3 b) = c) = + d) = ( 3) ( + 1) e) = ( 3) ) Para que el vértice de la parábola = se desplace al punto ( 5; 1) se utiliza la epresión: = (+5) +1 = ( 5) +1 = (+5) 1 = ( 5) 1 NRAC 4) El intervalo de valores de m para que la ecuación m = 0 tenga raíces reales distintas es: ( ; 5/4] (5/4; ) ( ; 5/4) ( 5/4; ) NRAC 5) El intervalo de valores de k para que la ecuación + 5k 8 = 0 tenga raíces complejas conjugadas es: ( 5/8; 5/8) ( 8/5; ) ( ; 8/5) ( 8/5; 8/5) NRAC Instituto Nacional 1/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

13 6) El conjunto de valores que puede tomar n para que la ecuación: + n 4 = 0 tenga raíces reales e iguales es: {4} { 4, 4} {} = {, } NRAC 7) Hallar el conjunto de valores que puede tomar n para que la ecuación: + 5n + 7 = 0 tenga raíces reales e iguales ) El valor (o los valores) de m para que la abscisa de uno de los puntos de intersección entre las curvas correspondientes a las funciones = + m e = 6 5 sea X 1 = 4 es (o son): 1 ) Dadas las raíces reconstruir las ecuaciones cuadráticas reducidas o normalizadas: a) X 1 = 1 ; X = 5 b) X 1 = ; X = 3 c) X 1 = 4 ; X = 1 ) Hallar la ecuación de segundo grado reducida (a = 1) en la variable, sabiendo que una de las raíces es X 1 = 6 que el coeficiente del término lineal es 1. ) Hallar la ecuación de segundo grado reducida (a = 1) en la variable, sabiendo que una de las raíces es X 1 = 3 que el término independiente es 15. ) Si se restringe el dominio de la función = + 4 al intervalo ( 3; 0], hallar el conjunto imagen. 13) La epresión de una función cuadrática que sólo es positiva en el intervalo (1; 7) puede ser: +8 7 = = = = 0 NRAC 14 ) La ganancia de una compañía se ajusta por la función cuadrática 000 G( p) = p ( p 1), donde G es la ganancia en "$" "p" 3 es el precio en "$" a que se vende cada producto. Responda: a) Cuál es la ganancia máima que puede obtener? b) A qué precio de venta unitario se obtiene la máima ganancia? c) Para qué precios se llega a una situación de equilibrio? Instituto Nacional 13/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes

14 d) Para qué precios se obtendrá una utilidad de $ 0 000? 15 ) El arco de un puente que cruza un río, se adapta a la función 1 cuadrática h( ) = ( 0), donde "h" es la altura del arco 0 "" es el ancho del río, ambos en metros. a) Cuál es la altura máima a que se elevará el arco? b) A qué distancia del margen del río alcanzará el puente la altura máima? c) Qué altura tendrá el arco a 5 m de la orilla? 1) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Respuestas del trabajo Práctico "Función Cuadrática" a) X 1 X R; V(1,); Eje = 1; f(0) = 3 b) X 1 = 5 X = 1; V( 3, 8); Eje = 3; f(0) = 10 c) X 1 = X = ; V(, 0); Eje = ; f(0) = 4 d) X 1 = X = ; V(0, 8); Eje = 0; f(0) = 8 e) X 1 = 3 X = 1; V(, 1); Eje = ; f(0) = 3 a) = ( + 1) + 4 = ( + 3) ( 1) b) = ( 1) 1 = ( ) c) = + = ( + 1) ( 1) d) = 3 = ( 1) 4 e) = = ( 1) ( 5) Opción c) Opción c) Opción d) Opción b) {} = a) 4 5 = 0 b) + 6 = 0 c) = = = 0 11) 1) 13) 14) 15) m = 1 [ 4; 0] Opción a) a) $ b) $ 6 c) $ 0 $ 1 d) Para p 1 = $ 3,55 p = $ 8,45 5 m Instituto Nacional 14/14 COMPILED b Prof. Carlos Esta Fuentes