FUNCIÓN CUADRÁTICA. 3ro. Medio Plan Común. 1. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes numéricos de la función. = c.

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1 FUNCIÓN CUADRÁTICA. ro. Medio Plan Común. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes numéricos de la función. a. f( x) = 6x + x+ b. gx ( ) = ( x ) c. hx ( ) = x + x 4. Dados los siguientes coeficientes, determina la función cuadrática. a. a = b = c = 6 b. a = 7 b = 5 c = 0 c. a = 4 b = 0 c = 0. a. d. 4. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes a, b y c e indica su concavidad. = b. f( x) x 4x 5 mx ( ) 4 6 gx = c. hx ( ) = x + x ( x + 4x ) ( ) x 4 = x e. ( ) tx ( ) x x 5 = + f. = ( x ) sx ( ) Dadas las siguientes funciones, identifica los coeficientes a, b, c y determina el valor donde la parábola intercepta al eje Y. a. d. 5. a. 6. ( ) 5 4 mx = x + x b. gx ( ) 7 nx ( ) x x = x e. ( ) = c. ( ) px ( ) = x + x 4 f. f( x) = x f( x) = x 4 Dadas las siguientes funciones, analiza el discriminante y determina si su gráfico, es decir, la parábola corta o no al eje X. ( ) 4 4 f x = x + x+ b. f( x) x x = c. ( ) f( x) = x+ d. ( ) = + + e. ( ) = f. ( ) f x x x f x x x Dadas las siguientes funciones, determina sus raíces. f x = x 6x+ 6 a. gx ( ) = x x+ b. gx ( ) = x+ x+ c. gx ( ) = x x 7 9 d. gx ( ) = x 48 e. gx ( ) = x+ x 4 f. gx ( ) = x+ x En las siguientes funciones, analiza su discriminante y comprueba tu conclusión calculando el valor de las raíces. a. hx ( ) = x b. hx ( ) = 4x + c. hx ( ) = x + x 5 4 d. hx ( ) = 5x e. hx ( ) = x + x f. hx ( ) = x Discute las siguientes situaciones: a. Si en una función cuadrática f ( x) = ax + bx + c el discriminante es positivo y además c > 0, qué puedes decir de la concavidad de la parábola que representa? b. Si una función cuadrática f ( x) = ax + bx + c es cóncava hacia abajo, pero no intercepta al eje X, qué signo tendrá siempre el coeficiente c? 9. Determina qué valor debe tener k en la función ( ) intercepte al eje X en un solo punto. f x = x + x+ k para que la parábola 0.. Para qué valores de k, la parábola de la función ( ) Qué valor debe tener k para que la función ( ) X en dos puntos f x = kx + x + no corta al eje X f x = x ( k+ ) x+ (k+ ) intercepte al eje

2 . Dadas las siguientes funciones, determina el eje de simetría de sus respectivas parábolas. a. hx ( ) = x b. f( x) = x + x c. gx ( ) = 5x x+ x 4 d. hx ( ) = x+ x e. f( x) = x + 5x 7 f. gx ( ) = + x 4 8. Si en la función f ( x) = ax + bx + c, se tiene que b = 0, qué puedes decir del eje de simetría? 4. Analiza los signos de a y b en la función f ( x) = ax + bx + c, y determina la posición del eje de simetría. 5. Dadas las siguientes funciones, determina el vértice de sus respectivas parábolas. a. f( x) = x 5x+ 6 b. gx ( ) = x+ x c. hx ( ) = x x+ d. f( x) = x + x+ e. gx ( ) = 8x+ 8x+ f. hx ( ) = x x+ 6. En las funciones cuadráticas de la forma f ( x) = ax, es decir, b = 0 y c = 0. Determina su vértice. 7. Dadas las siguientes funciones, grafique la parábola correspondiente, identificando coeficientes, concavidad, intersección con los ejes, eje de simetría y vértice. 7 5 a. f( x) = x + 6 b. gx ( ) = x x+ c. hx ( ) = x + x 9 5 d. mx ( ) = x + x e. nx ( ) = x + 4x 4 f. tx ( ) = x + x+ 8. Dadas las siguientes parábolas, determinar con los datos presentados, la función que la genera. a. b. c Determinar el valor de k en la función ( ) intercepte en un punto al eje X. Calcular el valor de k en la función ( ) (, ) f x = x kx 8 de tal manera que la parábola f x = x + kx + para que el vértice sea el punto Calcula las raíces de una función cuadrática f ( x) = ax + bx + c, donde b = 0 Si una función cuadrática f ( x) = ax + bx + c, la parábola es cóncava hacia arriba e intercepta al eje X en x y x y además el coeficiente c es positivo, qué ocurre con los signos de las raíces de la función? y si c fuese negativo?. Indicar cuál fue el desplazamiento aplicado a la función siguientes expresiones: a) y = (x - 5) b) y = (x + 4) 7 - y = x para obtener cada una de las c) y = x +,5 4. Graficar las funciones del inciso anterior, señalando en cada gráfico el vértice y el eje de simetría; expresar cada fórmula en forma polinómica.

3 5. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes numéricos de la función. a. f( x) = 6x + x+ b. ( ) gx ( ) = x c. hx ( ) = x + x 4 6. Dados los siguientes coeficientes, determina la función cuadrática. a. a = b = c = 6 b. a = 7 b = 5 c = 0 c. a = 4 b = 0 c = 0 6. Hallar la expresión polinómica de la función correspondiente al desplazamiento de y = x según se indica en cada caso: a) unidades hacia arriba; b),5 unidades hacia la izquierda; c),5 unidades hacia abajo y hacia la derecha. 7. Hallar, sin efectuar ningún cálculo, el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: a) y = (x - ) - 4 b) y = (x + ) + c) y = x + 5 d) y = (x - ) e) y = (x + ) 8. Escribir las ecuaciones de las parábolas que, teniendo la misma forma que y = x, tengan vértice en: a) (, ) b) (-5, 4) c) (, - 5) d) (- 4, - 6) 9. Determinar las raíces reales, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y el punto de intersección con el eje de las ordenadas para cada una de las siguientes funciones y luego graficarlas. a) y = x - x -8 b) y = - x + 6 x - 9 c) y = ( x - ). (x +,5) d) y = - 0,5 (x + ) -,5 e) y = -x - x f) y = (x - ) + 0. Graficar las siguientes funciones cuadráticas: a) y = x + 4 b) y = - x + 4 x c) y = x - x + 4 d) y = - x + e) y = (x - 4) + f) y = - (x - ) + 5 g) y = (x - ) h) y = - 4 (x + ) -. Trazar en un mismo sistema de ejes de coordenadas cartesianas las gráficas de las siguientes funciones: y = x + y = x + y = x + En qué punto tienen el vértice?. Cuál es el eje de simetría?

4 . Hallar la expresión de la función cuadrática que cumpla los requisitos pedidos en cada caso: a) Su gráfico pasa por el punto (, -) y su vértice es el punto V = (-, ) b) Su gráfico intersecta al eje y en (0, ) y su vértice es el punto V = (, ) c) Una de sus raíces es x = y el vértice de su gráfico es V = (-, - ) d) El vértice es V = (-, ) y la ordenada al origen es 4.. Para cada una de las funciones del inciso anterior: i) Hallar las raíces reales, si existen. ii) Realizar el gráfico. 4. Calcular b para que la parábola y = x + b x + tenga el vértice en el punto (, - ). 5. Calcular la expresión de todas las funciones cuadráticas cuya intersección con el eje x son los puntos (, 0) y (, 0). 6. Se sabe que la función y = a x + b x + c pasa por los puntos (, ) ; (0, 0) y (-, ). Calcular a, b y c. 7. Calcular la ecuación de una parábola que pasa por los puntos C (, 5). 8. Una parábola tiene su vértice en el punto V (, ) y pasa por el punto ( 0, ). Hallar su ecuación. 9. Hallar los intervalos en que la función se anula?. 40. Hallar el número de puntos de corte con el eje x que tienen las siguientes parábolas: 4. Hallar los posibles valores de m para que se cumpla la condición pedida en cada caso: A (, 4) ; B (0, -) y y = x - 6x + 8 es positiva o negativa. En qué puntos a) y = x - x + b) y = x - x + c) y = x + x + d) y = x - 7 x - e) y = x + 5 x + a) y = x + m x + tiene una raíz doble; b) y = x - x - m no tiene raíces reales; c) el gráfico de las funciones de la forma y = m x - x - intersecta el eje x en dos puntos; d) el gráfico de las funciones de la forma y = - x - m x - 5 toca al eje x, pero no lo atraviesa. 4. Para cada una de las funciones graficadas: a) expresarlas en forma polinómica; b) hallar sus raíces.

5 4. Dar la ecuación de las funciones cuadráticas graficadas a continuación: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 44. Asignar a cada una de las parábolas una de las ecuaciones siguientes: i) y = x + x ii) y = x - x + iii) y = - x - x Expresar en forma factorizada las siguientes funciones cuadráticas: a) y = x - 6 x b) y = x - x + 4 c) y = x + 4 x + 49 d) y = - x + x e) y = 6 x - 4 f) y = x + 4 x Encontrar la forma canónica de las siguientes funciones. Graficar: a) y = x - 4 x + 4 b) y = - x - 4 x c) y = x + 4 x + d) y = x - 6 x e) y = x - 7 x 8 f) y = x + x 5 g) y = ( x - ) - 8 x h) y = x (x - ) - 6

6 Problemas de Aplicación de la Función Cuadrática. La utilidad obtenida (en millones de pesos) por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P(x)=60x x a. Determine el valor óptimo de la función Qué significa? b. Grafique la función. La función de oferta para lámparas de escritorios Luminar está dada por P= 0.5x - 0.5x + 5, donde x es la cantidad ofrecida en miles y P es el precio unitario en dólares. Trace la gráfica de la función, determine el valor óptimo, es máximo o mínimo, qué significa?. La ganancia mensual estimada por la empresa Cannon al producir y vender x unidades de cámaras modelo M es P(x)= -0.04x + 40x 0 000, dólares. Encuentre el valor óptimo de la situación, determine si es máximo o mínimo y que significa. 4. La función ganancia por la venta de x unidades producidas de un producto está dada por g(x) = 80x + 0.0x -00. Qué nivel de producción maximiza la ganancia? cuál es la máxima ganancia posible? Grafique la función. 5. En cierta fábrica, el costo total de fabricar q unidades durante la jornada de producción diaria es Qué cantidad de unidades maximiza el costo de producción? cuál es el máximo costo de producción posible? Grafique la función. 6. Con base en la experiencia se ha determinado que aproximadamente unidades se producen durante las primeras t horas de una jornada de producción. A qué hora se maximiza la producción? cuál es la máxima producción posible? Grafique la función. 7. Se determine la ganancia diaria de la venta de un producto por medio de P 6x 0.x 00 dólares. Qué nivel de producción maximiza la ganancia? cuál es la máxima ganancia posible? 8. La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es P 80x 0.4x 00 Qué nivel de producción maximiza la ganancia? Cuál es la máxima ganancia posible? 9. Si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P=90x-00-x determine: a. El número de unidades que maximizará la ganancia (Eje de simetría) b. El valor óptimo ( máximo o mínimo?) c. Grafique la función 0. La función oferta para un producto está dada por la ecuación, donde f(p) es la cantidad ofertada y p es el precio. a) Grafique la función. b) Cuál es la máxima cantidad que se puede ofertar? c) Qué cantidad debe ser ofertada a un precio de $00.. Supóngase que una empresa ha descubierto que la cantidad demandada de uno de sus productos depende del precio. La función que describe esta relación es, donde q es la cantidad demandad en miles de unidades y p indica el precio en dólares. El ingreso total R logrado con la venta de q unidades se formula como el producto p por q. a) Grafique la función. b) Determine el ingreso total correspondiente al precio de $0.. El rendimiento de un huerto de árboles de naranja se determina mediante y 800x x, donde x es el número de árboles de naranja por acre (40 hectáreas) cuántos árboles maximizarán el rendimiento?. Si se utilizan 00 pies de cerca para cercar un patio rectangular, entonces el área resultante se determina por medio de A x 50 x, donde x pies es el ancho del rectángulo y 50-x pies es la longitud. Determine la longitud y el ancho que dan el área máxima.