Preguntas del Capitulo: Ecuaciones Cuadráticas. 1. Describa las características de una ecuación de segundo grado.

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1 Preguntas del Capitulo: Ecuaciones Cuadráticas 1. Describa las características de una ecuación de segundo grado. 2. Cuáles son los pasos para graficar una función cuadrática? 3. Cómo se puede determinar el número de soluciones sin dibujando el gráfico?

2 Problemas del Capitulo: Ecuaciones Cuadráticas Identificando los Componentes de una Parábola Encuentre el eje de simetría, el vértice, y la intersección de cada parábola. Grafique la ecuación cuadrática. 1. y = x 2 +3 x eje -4 de símbolos. = 3 / 2; vértice (1,5, 2,75), y-int.= y = x 2-5x 6 eje de símbolos. = 5.2; vértice (2,5, -. 25), y-int.= 6 3. y = x 2-4x -2 eje de símbolos. = 2; vértice (2, -6), y-int y = 2x 2 +6 x 3 ejes de símbolos. =- 3 / 2; vértice (-1,5, -1,5), y-int.= 3 5. y = 3x 2-4x -2 eje de símbolos. = 2 / 3; vértice (2 / 3, -10 / 3), y-int.2. Encuentre el eje de simetría, el vértice, y la intersección de cada parábola. Grafique la ecuación cuadrática. 6. y = x 2 +2 x y = x 2-3x y = x 2-5x y = 2x 2 +5 x y = 3x 2-2x Transformando las Funciones Cuadráticas Sin representación gráfica, la gráfica de la ecuación dada esta abierta hacia arriba o abajo? Es más amplia o más estrecha que la ecuación de los padres de y = x 2? Cuál es el intercepto de Y? 11. f(x) = 2x 2 +3x y = -.7x 2-4x y = -1.2x g(x) = 3x 2 +3x 15. y = -4x 2 Sin representación gráfica, la gráfica de la ecuación dada esta abierta hacia arriba o abajo? Es más amplia o más estrecha que la ecuación de los padres de y = x 2? Cuál es el intercepto de Y? 16. f(x) =-.6x 2 +3x y = 1.7x 2-4x y = -1.02x g(x) = 1.3x 2 +4x

3 20. y = 5x 2 Graficando Para Hallar los Ceros Encuentre los ceros de las cuadráticas siguientes: 21. y x y = x 2-4x h(x) = -x 2 +3x y = -x 2-8x y = -x 2-8x f(x) = x 2 +3x g(x) = 2x 2 +4x y = -3x 2 +4x +4

4 30. y x y = x 2-6x y = -x 2 +3x y = x 2 +6x f(x) = x 2 +x y = x 2 +2x g(x) = 2x 2 +5x y = -3x 2 +11x +4 Resolviendo por Factorización Resuelva las siguientes cuadráticas por factorización. 37. a 2 +4a +3= 0

5 38. b 2-4b -5= c 2-6c = d 2 +8c = e 2 +9 = f 2 +4f +4 = g 2 +5g = h 2 +7h +6= j 2-4j = Un jardín tiene una longitud de (x + 2) metros y una anchura de (2x - 1) pies. El área total del jardín es 88 metros cuadrados. Encuentre la longitud. Resuelva las siguientes cuadráticas por factorización. 49. a 2 +6a +5= b 2 -b -6= c 2 +8c = d 2 +7c = e = f 2 +6f +9 = g 2 +7g = h 2 +8h +6= j 2-7j = Un jardín tiene una longitud de (x - 4) metros y una anchura de (2x +3) pies. El área total del jardín es 76 metros cuadrados. Encuentre la longitud. Resolviendo Utilizando el Método de Raíz Cuadrada Resuelva las siguientes cuadráticas utilizando el método de raíz cuadrada 59. m 2 = n 2 = p 2 = q 2 = r 2-3 =6 64. s 2 +8 = t 2-6 = u 2 +5 = (v -7) 2-5 = 11

6 68. 2(w -3) 2 +6 = El cuadrado de seis menos un número es veinte y cinco. Escriba una ecuación que represente esta situación. Resuelva la ecuación. Resuelva las siguientes cuadráticas utilizando el método de raíz cuadrada 70. m 2 = n 2 = p 2 = q 2 = r 2-3 = s 2 +8 = t 2-6 = u 2 +5 = (v -2) 2 +4 = Dos por el cuadrado de cinco más que un número es setenta y dos. Escriba una ecuación que represente esta situación. Resuelva la ecuación. Resolviendo por Completando el Cuadrado Llene el espacio blanco para completar el cuadrado. 81. a 2 + 8a b b c 2-4c d 2-6d e 2 + 7e f 2-5f + Resuelva las siguientes cuadráticas completando el cuadrado. 87. h 2 + 6h = j 2-8j = k = -10k 90. m 2-13 = 12m n + 20 = -n p + p 2 = q 2-8q = 40

7 94. 3r r = Un cohete de juguete lanzado en el aire tiene una altura (en pies h) en un momento dado (t segundos) como h = -16t t, hasta que toque el suelo. En qué momento (s) está a una altura de 7 pies sobre la tierra? Llene el espacio en blanco para completar el cuadrado. 96. a a b 2 + b c 2-14c d 2-16d e 2 + 9e f 2-1f + Resuelva las siguientes cuadráticas completando el cuadrado h 2 + 4h = j 2-10j = k = -14k 105. m 2-21 = 20m n + 80= -n p + p 2 = q 2-12q = r r = Un cohete de juguete lanzado en el aire tiene una altura (en pies h) en un momento dado (t segundos) como h = -16t t, hasta que toque el suelo. En qué momento (s) está a una altura de 9 metros sobre el suelo? Resolviendo Usando la Fórmula Cuadrática Resuelva el siguiente usando la fórmula cuadrática. Deje respuestas irracionales en forma radical x 2 +8x -6 = g 2-4g +2 = d 2 + 4d -3 = m 2 + 3m = w 2-8 = 5w z 9z 2 = -4

8 117. Un empleado gana (2x + 3) dólares la hora por hora x. Si el empleador no quiere pagar más de $120 al día, cuántas horas puede trabajar el empleado? (Ronda a la hora más cercana) Resuelve el siguiente usando la fórmula cuadrática. Deje respuestas irracionales en forma radical x 2 +7x -5 = g 2-5g +3 = d 2 + 5d -3 = m 2 + 4m = w 2-2 = 5w z 6z 2 = Un empleador gana (3x - 5) dólares la hora por hora x. Si el empleador no quiere pagar más de $200 por día cuántas horas puede trabajar el empleado? (Ronda a la hora más cercana) Discriminante Encuentre el discriminante para cada ecuación de segundo grado. Indique el número de raíces reales y luego, encuentre la solución real(es), si existe alguno x 2-6x + 5 = x 2-4x - 6 = x + 4x = x - 9 = x x 2 = 6x x 2-9x - 2 = x (2x - 5) = Una roca se lanza en el aire y tiene una altura (en pies h) en un momento dado (t segundos) como h = -16t t + 5, hasta que toque el suelo. Va a alcanzar una altura de 50 pies? Explique su respuesta. Encuentre el discriminante para cada ecuación de segundo grado. Indique el número de raíces reales y luego encuentre la solución real(es), si existe alguno x 2-9x + 7 = x 2-4x + 2 = x + 7x = 0

9 136. 7x 6 = 2x x 2 = 7x x 2-7x 8= (x + 3) (2x + 6) = Una roca se lanza en el aire y tiene una altura (en pies h) en un momento dado (t segundos) como h =-16t t + 5, hasta que toque el suelo. Va a alcanzar una altura de 30 pies? Explique su respuesta. Problemas de Aplicación Mixta Resuelva los siguientes problemas utilizando cualquier método El producto de dos números enteros positivos consecutivos es 272, encuentre los números enteros El producto de dos números enteros consecutivos, incluso positivo es 528, encuentre los números enteros El producto de dos enteros impares consecutivos es 255, encontrará los números enteros Dos aviones salen del aeropuerto al mismo tiempo (a partir de diferentes pistas). Si tres horas más tarde están 500 kilómetros de distancia uno de otro y el avión volando hacia el sur ha recorrido 200 millas más, hasta qué punto uno que voló hacia el oeste? 145. Dos coches salen de una estación de gas al mismo tiempo, uno viajando al norte y otro hacia el este. Una hora más tarde están 80 kilómetros de distancia uno de otro y el carro que iba a dirección este fue 10 millas más lejos, qué tan lejos está de la estación de gas? 146. Un cuadrado tiene su longitud aumentada por 4 metros y su anchura por 5 pies. Si el rectángulo resultante tiene una superficie de 132 metros cuadrados Cuál es el perímetro de la plaza original? 147. Un estacionamiento rectangular tiene la anchura más de su longitud.por 30 metros. Los propietarios son capaces de aumentar el ancho por 20 pies y la longitud por 40. El nuevo lote tiene una superficie de metros cuadrados, Cuál es el área del lote original? 148. Los lados de un cuadrado se triplicaron produciendo una superficie de 81 metros cuadrados. Cuál es la relación entre el área del cuadrado original y de la plaza transformada? Resuelva los siguientes problemas utilizando cualquier método El producto de dos números enteros positivos consecutivos es de 380, encuentre los números enteros El producto de dos números enteros consecutivos, incluso positivo es de 624, encuentre los números enteros.

10 151. El producto de dos enteros impares consecutivos es 483, encontrará los números enteros Dos aviones salen del aeropuerto al mismo tiempo (a partir de diferentes pistas). Si tres horas más tarde que son 600 kilómetros de distancia y el avión volando hacia el sur ha recorrido 100 millas más lejos, hasta qué punto llegó el avión que voló hacia el oeste? 153. Dos coches salen de una estación de gas al mismo tiempo. Uno viaja al norte y otra una hacia el este. Una hora más tarde están 90 kilómetros de distancia uno de otro y el coche que va la dirección de este fue 15 kilómetros más lejos, hasta qué punto llegó desde la estación de gas? 154. Un cuadrado tiene su longitud aumentada en 6 pies y su anchura por 8 pies. Si el rectángulo resultante tiene una superficie de 239,25 metros cuadrados, Cuál es el perímetro de la plaza original? 155. Un estacionamiento rectangular tiene una anchura de 20 metros más que su longitud. Los propietarios son capaces de aumentar la anchura por 20 pies y la longitud por 40. El nuevo lote tiene una superficie de metros cuadrados, Cuál es el área del lote original? 156. Los lados de un cuadrado se cuadruplicó produciendo de un área de 64 metros cuadrados. Cuál es la relación entre el área del cuadrado original y de la plaza transformada?

11 Problemas del Capitulo: Ecuaciones Cuadráticas (Clave de Respuestas) Cómo Identifique los Componentes de una Parábola Encuentre el eje de simetría, el vértice, y la intersección de cada parábola. Grafique la ecuación cuadrática. 1. y = x 2 +3 x eje -4 de símbolos. = 3 / 2; vértice (1,5, 2,75), y-int.= y = x 2-5x 6 eje de símbolos. = 5.2; vértice (2,5, -. 25), y-int.= 6 3. y = x 2-4x -2 eje de símbolos. = 2; vértice (2, -6), y-int y = 2x 2 +6 x 3 ejes de símbolos. =- 3 / 2; vértice (-1,5, -1,5), y-int.= 3 5. y = 3x 2-4x -2 eje de símbolos. = 2 / 3; vértice (2 / 3, -10 / 3), y-int.2. Encuentre el eje de simetría, el vértice, y la intersección de cada parábola. Grafique la ecuación cuadrática. 6. y = x 2 +2 x -8 eje de símbolos. =- 2, vértice (-2, -8), y-int.= y = x 2-3x +2 eje de símbolos. = 3 / 2; vértice (3 / 2, -. 25), y-int y = x 2-5x -1 eje de símbolos. = 5.2; vértice (5 / 2, -7.25); y-int.= y = 2x 2 +5 x 4 ejes de símbolos. =- 4.5; vértice (-5 / 4, 0.875); y-int.= y = 3x 2-2x eje de símbolos. = 1 / 3; vértice (1 / 3, -1 / 3), y-int.= 0 La Transformación de las Funciones Cuadráticas Sin representación gráfica, la gráfica de la ecuación dada esta abierta hacia arriba o abajo? Es más amplia o más estrecha que la ecuación de los padres de y = x 2? Cuál es el intercepto de Y? 21. f(x) = 2x 2 +3x -4 arriba; más amplia; y = -.7x 2-4x +3 Abajo; más estrecho; y = -1.2x 2 +6 Abajo; más amplia; g(x) = 3x 2 +3x arriba; más amplia; y = -4x 2 Abajo; más amplia; 0 Sin representación gráfica, la gráfica de la ecuación dada esta abierta hacia arriba o abajo? Es más amplia o más estrecha que la ecuación de los padres de y = x 2? Cuál es el intercepto de Y? 26. f(x) =-.6x 2 +3x -6 Abajo; más estrecho; y = 1.7x 2-4x +5 arriba; más amplia; y = -1.02x 2 +8 Abajo; más amplia; g(x) = 1.3x 2 +4x arriba; más amplia; 0

12 30. y = 5x 2 arriba; más amplia; 0 Gráficas para Hallar los Ceros Encuentre los ceros de las cuadráticas siguientes: 21. Ceros = 1 and 5 y x Ceros = 1 and y = x 2-4x +3 Ceros = 1 y h(x) = -x 2 +3x -8 Ceros = ningún 48. y = -x 2-8x -15 Ceros = -3 y y = -x 2-8x -16 Ceros = f(x) = x 2 +3x -10 Ceros = -5 y g(x) = 2x 2 +4x +2 Ceros = y = -3x 2 +4x +4 Ceros = 2 y -2/3

13 30. Ceros = 1 and -6 y x Ceros = 3 y y = x 2-6x +5 Ceros = 1 and y = -x 2 +3x +10 Ceros = 5 and y = x 2 +6x +9 Ceros = f(x) = x 2 +x -12 Ceros = 3 and y = x 2 +2x +4 Ceros = ningún 58. g(x) = 2x 2 +5x +2 Ceros = -2 and y = -3x 2 +11x +4 Ceros = -1/3 and 4 Resolviendo por Factorización Resuelva las siguientes cuadráticas por factorización. 60. a 2 +4a +3= 0-3 y -1

14 61. b 2-4b -5= 0 5 y c 2-6c = -7 1 y d 2 +8c = y e 2 +9 = 0-3 y f 2 +4f +4 = g 2 +5g = 6 2 y h 2 +7h +6= 0-3/2 y j 2-4j = -1 1/3 y Un jardín tiene una longitud de (x + 2) metros y una anchura de (2x - 1) pies. El área total del jardín es 88 metros cuadrados. Encuentre la longitud. Longitud = 8 pies Resuelva las siguientes cuadráticas por factorización. 58. a 2 +6a +5= 0-1 y b 2 -b -6= 0-2 y c 2 +8c = y d 2 +7c = y e = 0 4 y f 2 +6f +9 = g 2 +7g = 6 1 y h 2 +8h +6= 0-1 y j 2-7j = -4 1 y 4/3 58. Un jardín tiene una longitud de (x - 4) metros y una anchura de (2x +3) pies. El área total del jardín es 76 metros cuadrados. Encuentre la longitud. Longitud = 4 pies Resolviendo Utilizando el Método de Raíz Cuadrada Resuelva las siguientes cuadráticas utilizando el método de raíz cuadrada 69. m 2 = 16 ±4 70. n 2 = 25 ± p 2 = 12 ± q 2 = 80 ±4 73. r 2-3 =6 ±3 74. s 2 +8 =17 ± t 2-6 = -4 ± u 2 +5 = 17 ±2 77. (v -7) 2-5 = 11 3 and 11

15 78. 2(w -3) 2 +6 = 56 8 and El cuadrado de seis menos un número es veinte y cinco. Escriba una ecuación que represente esta situación. Resuelva la ecuación. (x 6) 2 = 25 x = 1 or 11 Resuelva las siguientes cuadráticas utilizando el método de raíz cuadrada 79. m 2 = 36 m=±6 80. n 2 = 64 n=± p 2 = 27 p=± q 2 = 20 q=±2 83. r 2-3 = 13 r=±4 84. s 2 +8 = 24 s=± t 2-6 = 12 t=± u 2 +5 = 8 u=±1 87. (v -2) 2 +4 = 13 v=5 or Dos por el cuadrado de cinco más que un número es setenta y dos. Escriba una ecuación que represente esta situación. Resuelva la ecuación. 2(x + 5) 2 = 72 x = 1 or 11 Resolviendo por Completando el Cuadrado Llene el espacio blanco para completar el cuadrado. 87. a 2 + 8a b b c 2-4c d 2-6d e 2 + 7e f 2-5f Resuelva las siguientes cuadráticas completando el cuadrado. 96. h 2 + 6h =16 h=2 or j 2-8j = -7 j = 1 or k = -10k k = -9 or m 2-13 = 12m m = 13 or n + 20 = -n 2 n or p + p 2 = 0 p = 0 or q 2-8q = 40 q 6. 9 or 2. 9

16 103. 3r r = 12 r. 42 or Un cohete de juguete lanzado en el aire tiene una altura (en pies h) en un momento dado (t segundos) como h = -16t t, hasta que toque el suelo. En qué momento (s) está a una altura de 7 pies sobre la tierra? t sec. Llene el espacio en blanco para completar el cuadrado a a b 2 + b c 2-14c d 2-16d e 2 + 9e f 2-1f Resuelva las siguientes cuadráticas completando el cuadrado h 2 + 4h =12 h=2 or j 2-10j = -9 j=9 or k = -14k k=-1 or m 2-21 = 20m m=21 or n + 80= -n 2 no hay solución p + p 2 = 0 p=6 or q 2-12q = -22 no hay solución r r = 18 r=1 or Un cohete de juguete lanzado en el aire tiene una altura (en pies h) en un momento dado (t segundos) como h = -16t t, hasta que toque el suelo. En qué momento (s) está a una altura de 9 metros sobre el suelo? t. 06 sec. or sec. Resolviendo Usando la Fórmula Cuadrática Resuelva el siguiente usando la fórmula cuadrática. Deje respuestas irracionales en forma radical x 2 +8x -6 =0 4 ± g 2-4g +2 =0 2 ± d 2 + 4d -3 =0 2± m 2 + 3m = 1 m= 1 or 1/ w 2-8 = 5w w = 5± z 9z 2 = -4 z = 7±

17 117. Un empleado gana (2x + 3) dólares la hora por hora x. Si el empleador no quiere pagar más de $ 120 al día, cuántos horas puede trabajar el empleado? (Ronda a la hora más cercana) 7 horas Resuelve el siguiente usando la fórmula cuadrática. Deja respuestas irracionales en forma radical x 2 +7x -5 =0 x = 7± g 2-5g +3 =0 g = d 2 + 5d -3 =0 d = 1 2 5± 13 2 or m 2 + 4m = -5 m = 2± w 2-2 = 5w w = 1± z 6z 2 = -8 z = 1± Un empleador gana (3x - 5) dólares la hora por hora x. Si el empleador no quiere pagar más de $ 200 por día cuántos horas puede trabajar el empleado? (Ronda a la hora más cercana) 9 horas Discriminante Encuentre el discriminante para cada ecuación de segundo grado. Indique el número de raíces reales y luego encuentre la solución real (s), si existe alguno x 2-6x + 5 = 0 dos soluciones: x = 5 o x 2-4x - 6 = 0 dos soluciones: x = 3 ó x + 4x = 0 no hay solución x - 9 = x 2 una solución, x = x 2 = 6x - 8 no hay solución x 2-9x - 2 = 0 dos soluciones: x = 9± x (2x - 5) = 10 dos soluciones: x = 5± Una roca se lanza con una ecuación de altura h = -16t t + 5 (donde h es la altura de la roca, en pies, de un momento dado de t, en segundos). Va a alcanzar una altura de 50 pies? Explique su respuesta. Si, la altura máxima es aproximadamente 69 pies 8 4

18 Encuentre el discriminante para cada ecuación de segundo grado. Indique el número de raíces reales y luego encuentre la solución real (s), si existe alguno x 2-9x + 7 = 0 no hay soluciones x 2-4x + 2 = 0 una solución, x= x + 7x = 0 no hay soluciones x 6 = 2x 2 dos soluciones: x = 3/2 or x 2 = 7x 6 no solutions x 2-7x 8= 0 dos soluciones: x = 7± (x + 3)(2x + 6) = 11 dos soluciones: x = 3 ± Una roca se lanza con una ecuación de altura h =-16t t + 5 (donde h es la altura de la roca, en pies, de un momento dado de t, en segundos). Va a alcanzar una altura de 30 pies? Explique su respuesta. No, la altura máxima es aproximadamente 11,2 pies 6 Problemas de Aplicación Mixta Resuelva los siguientes problemas utilizando cualquier método El producto de dos números enteros positivos consecutivos es 272, encuentre los números enteros. 16 y El producto de dos números enteros consecutivos, incluso positivo es 528, encuentre los números enteros. 22 y El producto de dos enteros impares consecutivos es 255, encontrará los números enteros. 15 y Dos aviones salen del aeropuerto al mismo tiempo (a partir de diferentes pistas). Si tres horas más tarde están 500 kilómetros de distancia uno de otro y el avión volando hacia el sur ha recorrido 200 millas más, hasta qué punto uno que voló hacia el oeste? Acerca de 239,1 millas Dos coches salen de una estación de gas al mismo tiempo, uno viajando al norte y otro hacia el este. Una hora más tarde están 80 kilómetros de distancia uno de otro y el carro que iba a dirección este fue 10 millas más lejos, qué tan lejos está de la estación de gas? Acerca de 61,4 millas Un cuadrado tiene su longitud aumentada por 4 metros y su anchura por 5 pies. Si el rectángulo resultante tiene una superficie de 132 metros cuadrados Cuál es el perímetro de la plaza original? 28 pies 147. Un estacionamiento rectangular tiene la anchura más de su longitud.por 30 metros. Los propietarios son capaces de aumentar el ancho por 20 pies y la longitud por 40. El nuevo lote tiene una superficie de metros cuadrados, Cuál es el área del lote original? 148. Los lados de un cuadrado se triplicaron produciendo una superficie de 81 metros cuadrados. Cuál es la relación entre el área del cuadrado original y de la plaza transformada? 1/9

19 Resuelva los siguientes problemas utilizando cualquier método El producto de dos números enteros positivos consecutivos es de 380, encuentre los números enteros El producto de dos números enteros consecutivos, incluso positivo es de 624, encuentre los números enteros. 24 y El producto de dos enteros impares consecutivos es 483, encontrará los números enteros. 21 y Dos aviones salen del aeropuerto al mismo tiempo (a partir de diferentes pistas). Si tres horas más tarde que son 600 kilómetros de distancia y el avión volando hacia el sur ha recorrido 100 millas más lejos, hasta qué punto llegó el avión que voló hacia el oeste? Acerca de 371 millas 153. Dos coches salen de una estación de gas al mismo tiempo. Uno viaja al norte y otro una hacia el este. Una hora más tarde están 90 kilómetros de distancia uno de otro y el coche que va la dirección de este fue 15 kilómetros más lejos, hasta qué punto llegó desde la estación de gas? Acerca de 70,7 millas 154. Un cuadrado tiene su longitud aumentada en 6 pies y su anchura por 8 pies. Si el rectángulo resultante tiene una superficie de 239,25 metros cuadrados, Cuál es el perímetro de la plaza original? 34 ft 155. Un estacionamiento rectangular tiene una anchura de 20 metros más que su longitud. Los propietarios son capaces de aumentar la anchura por 20 pies y la longitud por 40. El nuevo lote tiene una superficie de metros cuadrados, Cuál es el área del lote original? 156. Los lados de un cuadrado se cuadruplicó produciendo de un área de 64 metros cuadrados. Cuál es la relación entre el área del cuadrado original y de la plaza transformada? 1/16 Clave de Respuestas 1. D 2. A 3. C 4. C 5. B, D 6. B

20 7. C 8. D 9. C 10. A 11. C 12. B 13. B 14. A y pies cuadrados 18. X = 7 3 y units; 55 ; 20 units 21