Guía de Matemática NM 3: Inecuaciones

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1 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Coordinación Académica Enseñanza Media. Sector: Matemática. Nivel: NM Prof.: Ximena Gallegos H. Guía de Matemática NM : Inecuaciones Nombre(s): Curso: Fecha. Contenido: Inecuaciones y Desigualdades. Aprendizaje Esperado: Resuelve inecuaciones lineales y cuadráticas, utilizando teoremas conocidos. Desigualdades e Inecuaciones. Intervalos. Los intervalos son subconjuntos de los números reales. Eisten los siguientes tipos de intervalos: Desigualdades: Una desigualdad es el enunciado de que dos cantidades o epresiones no son iguales. Puede ser el caso que una cantidad sea menor que (<), mayor que (>) o mayor o igual que ( ), o menor o igual que ( ). La mayoría de las desigualdades posee un número infinito de soluciones. Ejemplo: < < 5Lo anterior recibe el nombre de intervalo abierto entre y 5. La gráfica del intervalo es el conjunto de todos los puntos que se encuentran dentro de estos límites. (no los incluye)

2 Propiedades de las desigualdades: Ejemplos: 1) + 4 < 1 Sol :, ) 6 < 4 < ; sol. 1< < ) 1 ; sol.:, + 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO Para resolver una inecuación de primer de grado, se aplica el mismo procedimiento que para resolver una ecuación de primer grado, pero, teniendo presente las propiedades de desigualdades.. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación por separado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjunto de números que pertenezca a ambos intervalos: Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones: (R: > 5 y < 9 ] 5, 9 [ Valor Absoluto: ; si > 0 = ; si < 0 Teorema 1: IR, se cumple que: 1) 0 ) = 0 = 0 ) 4) = 5) = Teorema : para cuales quiera a, IR, se cumple que: 1) a a a ) < a a < < a ) a a a 4) > a > a < a Teorema : para cuales quiera a, IR, se cumple que: 1) + a + a ) a a

3 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Coordinación Académica Enseñanza Media. Sector: Matemática. Nivel: NM Prof.: Ximena Gallegos H. Guía de Matemática NM : Inecuaciones Nombre(s): Curso: Fecha. Contenido: Inecuaciones y Desigualdades. Aprendizaje Esperado: Resuelve inecuaciones lineales y cuadráticas, utilizando teoremas conocidos. Instrucciones: Resuelve y epresa el resultado en forma gráfica, de intervalo y algebraica. I) Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado. ) 4 1) 6 > ) > 5 4 < 4) ( ) 5) 1 4 6) ) < 8) + < ) 0 10) ( ) 1 + II) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. 1) ) ) < 1 ) 4) + > ( ) ( ) ( ) ( ) ) 4 10 < 6 6 7) ( ) < 8) 1 1 < ( ) 1 + 1< 5 III) Resolver. 1) > ) 0 5) ; ) < ) < 0 6) > 0 1

4 Respuestas.!!! 4 I) S = 4, + ) S =, ) S =,1 4), S = 5) S = 1, + 6) S =, 7) S =,5 8) 16 S, = 9) S 4 =, + 10), S = + II) 1) { } 6) [ 4, 7) S = ) S = 1,5 ) S =, S = 7) S =,1 S = 4, 7 8) [ ] 5) S = ], + [ 4) S =, + S ) =, 1 S =,0, + III) 1) = ], 1[ ] 0, + [ 5) S = ],[ ] 7, + [ 6) ] [ S ) S = [ 1, 5] 4) S = ], ] [ 1, + [ IV) Inecuaciones de Grado 1) > S =,0 1, + ) < 0 S = (0,) ) < 1 4) + 0 S =, 1 0,1 5) + 6 6) + + 1> 0 7) + + 1> 0 8) 4 < 0 9) ) > 0 V) Inecuaciones con valor absoluto 1) 4 > 5 ) 5 < ) > 4) 1 5) 7) 9) 1 + < 1 6) < 0 4 = [ 4, 4] 8) + 1 > 0 + S 10) ( ) < 4 1 > 1

5 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Coordinación Académica Enseñanza Media. Sector: Matemática. Nivel: NM Prof.: Ximena Gallegos H. Guía de Matemática NM : Inecuaciones Nombre(s): Curso: Fecha. Contenido: Inecuaciones y Desigualdades. Aprendizaje Esperado: Resuelve inecuaciones lineales y cuadráticas, utilizando teoremas conocidos. Desigualdades e Inecuaciones. Intervalos. Los intervalos son subconjuntos de los números reales. Eisten los siguientes tipos de intervalos: Desigualdades: Una desigualdad es el enunciado de que dos cantidades o epresiones no son iguales. Puede ser el caso que una cantidad sea menor que (<), mayor que (>) o mayor o igual que ( ), o menor o igual que ( ). La mayoría de las desigualdades posee un número infinito de soluciones. Ejemplo: < < 5Lo anterior recibe el nombre de intervalo abierto entre y 5. La gráfica del intervalo es el conjunto de todos los puntos que se encuentran dentro de estos límites. (no los incluye)

6 Propiedades de las desigualdades: Ejemplos: 1) + 4 < 1 Sol :, ) 6 < 4 < ; sol. 1< < ) 1 ; sol.:, + 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO Para resolver una inecuación de primer de grado, se aplica el mismo procedimiento que para resolver una ecuación de primer grado, pero, teniendo presente las propiedades de desigualdades.. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación por separado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjunto de números que pertenezca a ambos intervalos: Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones: (R: > 5 y < 9 ] 5, 9 [ Valor Absoluto: ; si > 0 = ; si < 0 Teorema 1: IR, se cumple que: 1) 0 ) = 0 = 0 ) 4) = 5) = Teorema : para cuales quiera a, IR, se cumple que: 1) a a a ) < a a < < a ) a a a 4) > a > a < a Teorema : para cuales quiera a, IR, se cumple que: 1) + a + a ) a a

7 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Coordinación Académica Enseñanza Media. Sector: Matemática. Nivel: NM Prof.: Ximena Gallegos H. Guía de Matemática NM : Inecuaciones Nombre(s): Curso: Fecha. Contenido: Inecuaciones y Desigualdades. Aprendizaje Esperado: Resuelve inecuaciones lineales y cuadráticas, utilizando teoremas conocidos. Instrucciones: Resuelve y epresa el resultado en forma gráfica, de intervalo y algebraica. I) Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado. 1) 6 > S = 4, + ) ) ( ) 4 S =, ) < 4 S =,1 1+ > 5 4 S =, 5) 1 4 S = 1, + 6) 1 ; S =, 1 1 7) < S =,5 6 8) + < ; S =, ) 0 S =, 10) ( ) ;, S = + II) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. 1) ) ) < 1 S = { } ) + > S =, 4) 0 S = ], + [ 6) S = 1,5 S =, + ( + ) + ( + ) ( ) < ( ) S = [ 4, 7) 7) ( ) < S =,1 8) 1 1 < ( ) 1 + 1< 5 S = [ 4, 7] III) Resolver. 1) > ) ) < 0 S ) < 0 + ; = ], 1[ ] 0, + [ S = ],[ ] 7, + [ 6) > 0 1 S = [ 1, 5] 4) S =, S = ], ] [ 1, + [ 1 S = ],0 [, +

8 IV) Inecuaciones de Grado 1) > S =,0 1, + ) < 0 S = (0,) ) < 1 4) + 0 S =, 1 0,1 5) + 6 6) + + 1> 0 7) + + 1> 0 8) 4 < 0 9) ) > 0 V) Inecuaciones con valor absoluto 1) 4 > 5 ) 5 < ) > 4) 1 5) 7) 9) 1 + < 1 6) < 0 4 = [ 4, 4] 8) + 1 > 0 + S 10) ( ) < 4 1 > 1

9 ) < 1 Aplicar: S =, 1 0,1 1 a < 0 si < 0 a > 0 b < 0 a < 0 b > 0 b 1> 0 < 0 > 1 < 0 > 1 < 0 > 1 < 0 ( ) < 1 > 1 < 0 hacer el otro lado.!!! a) b) 1 c) 1 d) = = 0 e) f) = g) 1 < h) i) j) III.- Resuelve las siguientes inecuaciones, anota el conjunto solución: 1) 6 > + 1 ) 5 > 11 7 ) 5 1 > ) 8 > ) 4 < + 6 6) 8 19 > ) ) ) > 10 10) ( + ) ( + 9) 19 1) 7 ) ( ) 1 4) ( ) 4 5) < ) > 5 1) =?

10 a) 0 b) 8 c) 8 d) 18 e) 7 ) =? 5 a) 5 b) 5 c) + d) 5 5 e) Otro valor 1+ =? ) ( ) ( ) a) b) 1 c) + 6 d) e) + 4) 1 =? 1 a) 0,1 b) 0,5 c) 1 d) + e) 5) =? 1+ 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 5 e) ) Si 1+ =, entonces + 7 =? a) 4 b) 9 c) d) 4 e) ) : 5 =? 15 a) 1 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5 ) En un rectángulo de área 90cm, el largo mide cm más que el doble del ancho. Cuál es su perímetro? a) 6 cm b) 15 cm c) 4 cm d) 90 cm e) 1 cm ) Cuál de las siguientes funciones tiene la siguiente gráfica? a) y = ( )( + 1) b) y = ( + )( 1) c) y = ( )( + 1) 1 1 d) y = ( )( + 1) e) y = ( )( + 1) 6 ) En un triángulo isósceles se cumple que el lado distinto (base) mide 4 cm más que la altura correspondiente. Si el área del triángulo es 48cm, cuál es su perímetro? a) 0 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 0 cm e) cm ) El punto (1,) pertenece a la gráfica de la función: f ( ) = + a. En qué punto la gráfica de esta función Intersecta al eje y? a) (0,1) b) (0,) c) (0,-1) d) (-,0) e) (0,-) ) La altura h(t) de un objeto lanzado hacia arriba desde el suelo a los t

11 h t segundos, está dada por la función: ( ) = t t (metros) Cuál es la máima altura que puede alcanzar el objeto? a) m b) m c) 4 m d) 5 m e) 10 m ) Cuál de los siguientes gráficos representa la intersección de los intervalos: 0,4 y,5? a) b) c) d) e) ) la solución de la inecuación: 1>, corresponde al intervalo: a) 1 +, b) 1, c) 1, d), e) otro valor 5 1 ) La solución del siguiente sistema de inecuaciones: corresponde + < al intervalo: a) 4,5 b),4 c) 5, + d),5 e)φ ) Con respecto a las soluciones de la ecuación: a a = 0 ; a 0, se afirma que: a) Una es el triple de la otra. b) Tienen signos distintos. c) La suma de ellas es positiva. a) Solo I. b) Solo II. c) Solo I y III. d) Solo II y III. e) I, II y III. ) Cuál de las siguientes opciones podría corresponder a la gráfica de la función: f ( ) = ? a) b) c) d) e) ) Con respecto a la función cuadrática: y = + 4, se afirma que: a) Intersecta al eje en dos puntos. b) Intersecta al eje y en el origen. c) Su vértice es el punto (,4) Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es (son) verdadera(s)? a) Solo I. b) Solo II. c) Solo I y II. d) Solo I y III. e) I, II y III. ) Las soluciones de la ecuación: + 8 = 0, son a y b, con a > b; entonces a =? b a) 4 b) 0,5 c) d) 0,5 e)

12 ) Cuál es el vértice de la parábola de ecuación: y = a) (,1) b) (-,1) c(6,4)) d) (,-5) e) (-6,76) ) a) b) c) d) e) ) a) b) c) d) e) ) a) b) c) d) e) ) a) b) c) d) e)