Ecuaciones cuadráticas. Guía de trabajo Tema: Ecuaciones cuadráticas Curso: 3 B, 3 D, 3 F (todos)

Transcripción

1 Ecuaciones cuadráticas. Guía de trabajo Tema: Ecuaciones cuadráticas Curso: B, D, F (todos) Introducción. En las semanas anteriores nos hemos abocado al estudio de la función cuadrática. Así, has aprendido que dicha función tiene por representación gráfica una parábola, que siempre esta parábola corta al eje y, que es una curva simétrica, que, según el valor del coeficiente de, la función puede alcanzar un valor máimo o mínimo y otras características que recordaremos resolviendo algunos problemas específicos. I. Las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Marca el valor de verdad frente a cada una. En caso de ser falsa, reemplaza la epresión en negrita por otra que la haga verdadera. 1. La parábola correspondiente a la función y = corta al eje y en el punto (0,-9).. La parábola correspondiente a la función y = ( ) 8 tiene como eje de simetría a la recta = -8.. El vértice de la parábola correspondiente a la función y = 10 es el punto (5,- 5) 4. El eje de simetría de la parábola correspondiente a la función y = 6 es el eje 5. La parábola correspondiente a la función y = corta al eje en dos puntos. 6. La función y = tiene un valor máimo. II. Dada la función y = 1 + : a) Obtenga una tabla de valores b) Trace la parábola correspondiente c) Eprese la función en la forma y = a( h) + k d) Determine el punto de intersección con el eje y e) Determine ( si eisten ) los puntos de intersección con el eje f) Determine el vértice de la parábola g) Determine el eje de simetría de la parábola.

2 III. Resuelva los siguientes problemas de Máimo y mínimo. 1) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 0 cm. a) Calcular esos catetos para que su área sea máima. b) Calcular esos catetos para que su hipotenusa sea mínima. ) La fórmula h() t = 18t 16t epresa la altura que alcanza un objeto en t segundos. a) Cuál es la altura máima que alcanza el objeto? b) Cuánto tarda en llegar a su altura máima? c) Cuánto tarda en regresar al piso? ) La ganancia diaria, G, de una Empresa está dada por G = , siendo el número de artículos producidos cada día. Calcular el número de artículos para el cual se produce la máima ganancia. 4) Se calcula que asistirán personas a un juego de Básquetbol si el valor de la entrada es $ 700. Por cada $ 5 que se aumente la entrada, la concurrencia bajará en 80 personas. Calcular el valor de la entrada que produzca la mayor recaudación. 4 =, se 9 5) En un túnel de forma parabólica, dada por la ecuación f ( ) 1 + pide calcular: a) La altura que alcanza a m del arranque del arco. b) La altura máima. c) El ancho de la base del túnel. IV. Como sabemos, la parábola de una función cuadrática puede cortar al eje en dos puntos, ser tangente al eje o no cortar al eje. Los posibles puntos de corte se producen cuando la función cuadrática toma el valor 0. Por ejemplo: La función y = corta al eje en los puntos (5,0) y (8,0) pues las soluciones o raíces de la ecuación = 0 son: 5 y 8. Pero, cómo se resuelve una ecuación cuadrática? Método de factorización Este procedimiento se usa preferentemente cuando la epresión reductible, es decir cuando se puede factorizar. a + b + c es

3 Resolver la ecuación + 6 = = 0 ( + 9)( 7) = = 0, o, 7 = 0 1 = 9 = 7 Usando este procedimiento resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1) = 0 ) + 88 = 0 ) 4 45 = 0 4) + 10 = 0 5) + 7 = 0 6) = 0 Método: Completación de un binomio al cuadrado. Este procedimiento permite enfrentar cualquier ecuación cuadrática. Fue muy útil en la resolución de problemas de máimo y mínimo. En este caso será una herramienta algebraica que permitirá generar la fórmula con la cual podremos resolver cualquier ecuación cuadrática. Resolver la ecuación = 0 ( 4) + 5 = 0 ( ( ) ( ) = ± = ± 4 + 4) = 0 = = 7 Si, además, usamos algunas propiedades de las raíces aritméticas, epresaremos finalmente las raíces de esta ecuación de la siguiente forma: = 6 1 = El método de completación de un binomio al cuadrado es un procedimiento poco práctico y donde, si no se controla todo, es fácil incurrir en errrores. Sin embargo, si aplicamos este

4 método a la ecuación general a + b + c = 0, sus raíces nos proporcionarán una fórmula con la cual podremos resolver de manera directa cualquier ecuación cuadrática epresada en la forma canónica. Método de fórmula. Usando la fórmula b ± b 4ac =, resolver las siguientes ecuaciones: a 1) = 0 ) 9 8 = 56 ) = 0 4) ( + 7)( + ) = 1 5) ( 5 )( + 1) = 46 6) 5 ( 6) = 0 7) 7 5 = + 8) + = ) = ) a + b c = 0 11) 6m = + bm b 1) ( + c) = c V. Resolución de problemas mediante ecuaciones cuadráticas. Resolver problemas eige manejar una serie de destrezas entre las cuales está la de resolver ecuaciones cuadráticas. Eige, por ejemplo, una lectura comprensiva del teto, determinación correcta de la incógnita, epresión fidedigna de las relaciones de esa incógnita con las constantes que plantea el enunciado, etc Tomemos el enunciado de un problema y analicemos una propuesta de pasos para resolverlo. Dos números están en la razón :1. Si cada uno se aumenta en unidades, la suma de sus cuadrados es 06. Encontrar los números. La pregunta del problema está en la epresión encontrar los números. Se responde denotando los números mediante la incógnita Sea el número menor y el número el número mayor. El enunciado pide aumentar ambos números en unidades. Esto es: Los nuevos números son: (+) y (+) La suma de los cuadrados de estos números es 06. Esta epresión traducida a lenguaje algebraico nos proporcionará la ecuación cuadrática que deberemos resolver. ( + ) + ( + ) = 06

5 Reduciremos la ecuación obtenida a la forma canónica y así poder aplicar uno de los métodos de resolución = = 06 Al aplicar el método de fórmula, se obtiene la siguiente secuencia: a = 5 b = 18 c = ± = 18 ± 6084 = ± 78 = 10 = 6 1 = 9, La ecuación determina sólo los valores que puede tener el número menor. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta del problema es: 1) Los números pedidos son 6 y 1 ) Los números pedidos son -9,6 y -19, A veces, es conveniente verificar la solución obtenida. Lo haremos con la solución ) ( 9,6 + ) + ( 19, + ) = 06 ( 6,6) + ( 16,) = 06 4,56 + 6,44 = = 06 Resuelve los problemas siguientes: 1) Encontrar dos números su suma sea 0 y su producto 1. ) Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado eceda al propio número en 45. ) Separar 500 en dos números tales que la suma de sus recíprocos sea igual al recíproco de 10. 4) El perímetro de un rectángulo es 0 cm. Calcular su área si su largo es el triple de su ancho. 5) La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm. Calcular esos lados sabiendo que su diagonal mide 10 cm.

6 6) Un jardín rectangular de 6m por 4m es rodeado por una franja de cemento de un ancho fijo y de modo que su área sea igual al área del jardín. Encontrar el ancho de la franja pavimentada. 7) Dos motoristas distanciados por 10 km., parten para encontrarse. Si la velocidad de uno es de 0 km/h y la velocidad del otro es más que el número de horas que pasan antes del encuentro. Determinar la distancia recorrida por ambos antes de encontrarse y el tiempo transcurrido desde que partieron. 8) Dos hombres pueden terminar un trabajo en 1 días, trabajando juntos. Si el trabajador B tarda 10 días más que el trabajador A en hacer el trabajo solo. Encontrar cuánto tarda A en hacer solo el trabajo. 9) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Si se multiplica este número por otro cuyos dígitos están invertidos, el producto es 40. Encontrar el número. 10) Dos objetos se deslizan sobre los lados de un ángulo recto. Si uno está a100 cm del vértice y se aproima a él a 10cm/seg, y el otro objeto está a 50 cm. del vértice y se aproima a él a 15 cm/seg, encontrar cuándo los dos objetos estarán separados por 150 cm. VI. Propiedades de las ecuaciones cuadráticas. Al graficar la función cuadrática, puede ocurrir una de estas tres situaciones: a) La parábola corta al eje en dos puntos. b) La parábola es tangente con el eje c) La parábola no corta al eje La situación a) nos indica que la ecuación cuadrática asociada a la función tiene dos soluciones reales y distintas. La situación b) nos indica que la ecuación cuadrática tiene soluciones reales e iguales. La situación c) nos indica que la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. La fórmula utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas nos proporciona la herramienta para discriminar cuál de las tres situaciones se produce frente a una ecuación cuadrática dada. En efecto, la epresión b 4ac que llamaremos discriminante nos indicará la naturaleza de las soluciones o raíces de dicha ecuación. Analicemos pues qué tipo de raíces tiene la ecuación: 5 + = 0 En la ecuación, a =, b = -5 y c =. Por lo tanto,

7 b b b 4ac = ( 5) 4 4ac = 5 4 4ac = 1 En este caso, la parábola corta al eje en dos puntos. Por lo tanto, las raíces de la ecuación dada son reales y distintas. Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática. Si b 4ac > 0, las raíces de la ecuación son reales y distintas. Si b 4ac > 0 y cuadrado perfecto, las raíces de la ecuación son reales, distintas y racionales. Si Si b 4ac = 0, las raíces de la ecuación son reales e iguales b 4ac < 0, las raíces de la ecuación son complejas conjugadas. Determine la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones: 1) = 0 ) 5 + = 0 ) = 0 4) = 0