IX. LA PARÁBOLA 9.1. LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO 9.2. CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON REGLA Y COMPÁS

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1 IX LA PARÁBOLA 9 LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición: Se llama parábola al lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano, en forma tal que su distancia a un punto fijo F (llamado foco) es igual a su distancia a una recta fija D (llamada directriz) Una interpretación gráfica de esta definición puede ser la siguiente, en d PF d PA donde por definición ( ) ( ) 9 CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON REGLA Y COMPÁS El siguiente procedimiento es una forma de construir una parábola utilizando regla compás, sobre la base de que conocemos la directriz D el foco F de la parábola a) Se traza el eje focal (o simplemente eje) que es la recta que pasa por el foco es perpendicular a la directriz D la cruza en el punto E b) Se determina el vértice V de la parábola que es el punto medio del segmento EF c) Se eligen arbitrariamente algunos puntos sobre el eje focal a la derecha del vértice, sean por ejemplo E, E, E, E, E5, Por cada uno de estos puntos se trazan rectas paralelas a la directriz (cuerdas) 8

2 d) Con un compás, haciendo centro en el foco F radios EE, EE, EE, EE, EE5, se trazan arcos de círculo que cortan a cada cuerda (segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola) en los puntos P, P, P, P, P, P, P, P, P5, P5, Estos puntos pertenecen a la parábola (cumplen con la definición) e) Uniendo con línea continua los puntos anteriores junto con el vértice, podemos trazar una parte de la parábola a que es una curva que se etiende indefinidamente en la hoja de papel solo podemos dibujar parte de ella f) Observar cualquier parábola es simétrica respecto a su eje 9 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN LAS FORMAS ORDINARIA Y GENERAL CON EJE FOCAL PARALELO CON LOS EJES COORDENADOS Para resolver este problema, nos remitiremos nuevamente a la auda de los sistemas de coordenadas, para interpretar describir las relaciones eistentes de un lugar geométrico en el plano cartesiano las epresiones algebraicas que lo representan d sustituendo valores: Consideremos una parábola con su eje paralelo al eje Denotemos por h k las coordenadas del vértice V ( h, k) Si la distancia del vértice al foco es d ( VF ) p d( EV ), entonces las coordenadas del foco son F ( h p, k) El punto A es el pié de la perpendicular desde el punto P (, ) a la directriz D sus coordenadas son A ( h p, ) Por definición d ( PF ) d( PA), aplicando la fórmula de la distancia entre puntos del plano, se tiene: ( PF ) ( ) ( ) ( ) ( ) d( PA) p F p F p A p A [ ( h p) ] ( k) [ ( h p) ] ( ) ( h p) ( k) h p elevando al cuadrado ambos miembros, desarrollando, simplificando ordenando: ( h p) ( k) ( h p ) 9

3 / / / / h p h p ph k k h p h p ph k k p p ph ph ( k) p ph ( k) p( h) ; p > 0 La ecuación siguientes de sus: es la FORMA ORDINARIA de la parábola con las características ELEMENTOS: Ecuación del eje focal: k, ecuación de la directriz D : h p, coordenadas del vértice: V ( h, k), coordendas del foco: F ( h p, k) con p > 0, la cuerda que pasa por el foco es paralela a la directriz es el LADO RECTO (o ancho focal) de la parábola la denotamos con las letras L R, como son puntos de la parábola sus coordenadas deben satisfacer su h p, su ordenada es: sustituendo en ecuación, o sea que sabemos que su abscisa es ( ) ( k) p( h p h) ; ( k) p ; k ± L( h p, k p) R( h p, k p) p ; k ± p, por lo tanto, El primer miembro de la ecuación siempre es no negativo (porque esta elevado al cuadrado), por lo tanto, también lo es el segundo miembro, esto nos indica que debe tener el mismo signo que el parámetro p Si el parámetro p es negativo ( < 0) toma la forma: ( k ) p( h) p la ecuación con las mismas características de los elementos de pero sustituéndoles el parámetro p negativo 0

4 Si el eje de la parábola es paralelo al eje, procediendo de la misma manera que en la obtención de la ecuación, la ecuación de este tipo de parábola es: ( h) p( k) ; p > 0 En donde el eje focal tiene ecuación h, F ( h, k p), V ( h, k), L ( h p, k p), R ( h p, k p), Directriz: k p Si el parámetro p es negativo ( p < 0) toma la forma: ( h) p( k) La ecuación Con las mismas características de los elementos de pero sustituéndoles p negativo Nota: A modo de identificar con rapidez el tipo de parábola de que se trata conociendo su ecuación, se recomienda no olvidar que si la variable está elevada al cuadrado, la parábola es horizontal (eje paralelo al eje ) que es el caso de las ecuaciones Si la variable es la que está elevada al cuadrado, la parábola es vertical (eje paralelo al eje ) que es el caso de las ecuaciones La ecuación de una parábola toma su forma más sencilla cuando su vértice V ( h, k) coincide con el origen de coordenadas o sea que V ( 0,0) su eje coincide con uno de los ejes coordenados como sigue:, Por lo anterior, las ecuaciones a la toman la forma a la ( k) p( h) ( 0) p( 0) p > 0, Ec eje: 0 Ec Directriz: p p

5 ( k ) p( h) ( 0) p( 0) p Con las mismas características de los elementos de pero sustituéndoles el parámetro p negativo p > 0, Ec eje: 0 Ec Directriz: p ( h) p( k ) p ( 0) p( 0) Con las mismas características de los ( ) ( ) ( h) p( k ) 0 p 0 elementos de pero sustituéndoles el parámetro p negativo p

6 EJEMPLOS En cada inciso se da la ecuación de una parábola, se pide obtener sus elementos bosquejar su gráfica ) ( ) ( ) Como la variable es la que aparece elevada al cuadrado, sabemos que se trata de una parábola cuo eje es paralelo al eje La ecuación dada es de la forma ( h) p( k ), en donde las coordenadas del vértice son (,) V, el valor de p, por lo tanto p, con esta información podemos bosquejar rápidamente la gráfica de la parábola con esta obtener los elementos que faltan como sigue: Sobre el sistema de ejes, localizamos el vértice (,) V, como el parámetro p, las coordenadas del foco son F (,), a la derecha del foco a su izquierda también a ( ) p de distancia, las coordenadas de L R son: L (,) R ( 5,), la ecuación del eje es, la ecuación de la directriz D es Si vemos que la curva cruzará alguno de los ejes, es conveniente determinar este valor, que servirá para un mejor bosquejo de la gráfica, en este caso, vemos que cruzará al eje por lo tanto: si 0, la ecuación dada resulta ( 0 ) ( ) despejando la variable 7 7 se tiene: 9 8 ; 7 ; 5, se obtiene el punto 0, aprovechando 7 que la parábola es simétrica respecto a su eje, el punto 6, también es punto de la parábola, con esto procedemos al bosquejo de su gráfica como se muestra uniendo con línea continua todos los puntos obtenidos ) ( ) 8( ) La ecuación de la parábola es de la forma ( k) p( h) 8 el vértice tiene coordenadas V (, ), p 8, por lo tanto p, p ( ), donde podemos ver que, el resto de

7 los elementos de la parábola los obtenemos con la auda del bosquejo como en el ejemplo,, R, 6, Ecuación eje:, Ecuación directriz D : 0 anterior: F ( ), L ( ), ( ) ) 5 Como la ecuación es de la forma p, su 5 vértice es el origen V ( 0,0), p 5, p, p 5, F, 0, 5 5 L,, 5 5 R,, Ecuación eje: 0 5 Ecuación directriz D :

8 ) 6 La ecuación es de la forma p, su vértice es el origen V ( 0,0), p 6, p, p, F 0,, L,, R,, Ecuación eje: 0, Ecuación directriz D : 5) ( ) ( ) La ecuación es de la forma ( k ) p( h), el vértice tiene coordenadas V (,), p, p, p, F,, L,, R,0, Ecuación eje:, Ecuación directriz D : 5, Intersección con el eje : si 0, ( ) ( 0 ), ( ), ± ;,, son dos puntos: ( 0,) ( 0, ) 5

9 6) La ecuación es de la forma p, su vértice es el origen V ( 0,0), p, p, p ( ), F ( 0,), L (,), R (,), Ecuación eje: 0, Ecuación directriz D :, 7) ( ) ( ) La ecuación es de la forma ( h) p( k ), el vértice tiene coordenadas V (,), p, p, p (), F (,), L (,), R ( 6,), Ecuación eje:, Ecuación directriz D :, Intersección con el eje : si 0, ( ) ( 0 ), ( ), ± ; 75, 0 5, son dos puntos: (,0) (,0) 6

10 8) La ecuación es de la forma p, su vértice es el origen V ( 0,0), p, p, p, F,0, L,, R,, Ecuación eje: 0, Ecuación directriz D : EJERCICIOS En cada inciso se da la ecuación de una parábola en forma ordinaria, obtenga sus elementos bosqueje su gráfica ) ( ) 8( ) ) ( ) ( ) ) 5 ) 6 5) ( ) ( ) 6) 7) 8) ( ) ( ) FORMA GENERAL 7

11 Desarrollando las ecuaciones ( k) p( h) ( h) p( k ) se obtiene: p k k ph 0 ; h p h pk 0 Las cuales, cambiando su notación se pueden escribir como sigue: D E F 0 ; D E F 0 Estas ecuaciones representan la FORMA GENERAL de las parábolas con eje paralelo al eje al eje respectivamente, con vértice fuera del origen de coordenadas Recíprocamente, toda ecuación de una parábola en la forma general como la se pueden reducir a su forma ordinaria aplicando el método de completar cuadrados la En la ecuación si el coeficiente D 0, la parábola tiene su eje paralelo al eje Si D 0, la parábola degenera en un par de rectas reales o imaginarias, paralelas al eje En la ecuación si el coeficiente E 0, la parábola tiene su eje paralelo al eje Si E 0, la parábola degenera en un par de rectas reales o imaginarias, paralelas al eje EJEMPLOS En cada inciso del - se da la ecuación de una parábola en forma general, obtener sus elementos bosquejar su gráfica ) Aplicando el método de completar cuadrados reduciremos la ecuación dada a su forma ordinaria, con la cual podemos obtener la información pedida, como sigue: - La ecuación dada se ordena con su término cuadrático: Se completa cuadrados en el primer miembro: ( ) ( ) ( ) 8 - Se factoriza el segundo miembro: ( ) 8( ) Forma ordinaria 8

12 - Como sabemos, los elementos de la parábola el bosquejo de su gráfica los podemos obtener con la forma ordinaria: V (,), p, p F (,), L (,7), R (, ) Ec eje:, Ec D : 6 Intersección con el eje : si 0 ( ) 8( 0 ) ; ( ) ± ± ( 0, ) ( 0,87) ( 0, ) ( 0, 7) ) 8 0 Observando la ecuación dada, la falta del término en nos indica que la parábola (horizontal) tendrá su vértice sobre el eje - En estos casos, se aisla el término cuadrático en el primer miembro el resto se transpone al segundo miembro: 8 - Factorizando el segundo miembro: ( ) esta es la Forma ordinaria de la parábola, con la cual se resolverá finalmente el problema: V (,0), p, p F (,0), L (,), R (, ) Ec eje: 0, Ec D : Intersección con el eje : si 0 ( 0 ) ; 8 ± ( 0, ) ( 0,8) ( 0, ) ( 0, 8) )

13 Observando la ecuación dada, se refiere a una parábola vertical (eje paralelo al eje ), con vértice fuera del origen - Primero dividiremos toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático: Se ordena de acuerdo con el término cuadrático: 9 - Se completa el cuadrado del primer miembro: V,, p, p 7 F,, L,, R, Ec eje:, Ec D : Intersección con el eje : si 0 ( 0 ) ; ; ±,0 ( 5,0),0 (,0) ) ; 8 Forma ordinaria ; ( ) 0

14 Insistiendo, es importante desarrollar la capacidad de observación con la información que se da, no actuar como máquinas automáticas con todos los problemas por resolver, por ejemplo en este caso, si únicamente transponemos el término al segundo miembro:, el primer miembro a es un trinomio cuadrado perfecto: ( ) 6 9 es la forma ordinaria de la ecuación de la parábola por tanto: V (,0), p F (, ), L (, ), R ( 5,) p, Ec eje:, Ec D : Intersección con el eje : si 0 ( 0 ) 9 9 ; ; 0, por simetría con el eje, el otro 9 punto es 6,, a que 5) Se va a construir un túnel en forma de arco parabólico con las dimensiones que se indican en la figura, se pide determinar la ecuación de la parábola con respecto a los ejes coordenados que se muestran Se observa en la figura que el vértice tiene coordenadas V ( 0,0) que la parábola es vertical cua ecuación es h p k de la forma ( ) ( ) - Los puntos A B tiene coordenadas A ( 6,0) B ( 6,0) - Sustituendo las coordenadas del vértice en la ecuación : ( 0) p( 0) p( 0) - Los puntos A B están sobre la parábola, por lo tanto, sus coordenadas satisfacen la ecuación : Sea A ( 6,0) entonces ( 6) 6 9 p ( 0 0) ; 6 0 p ; p, sustituendo este valor de p en la ecuación se obtiene ( 0) ; 0

15 8 ( 0) que es la ecuación de la parábola en forma ordinaria 5 desarrollándola se obtiene la forma general EJERCICIOS En los incisos del - se da la ecuación de una parábola en la forma general, se pide obtener sus elementos bosquejar su gráfica ) ) 0 ) 8 0 ) ) El diámetro de una antena parabólica es de [ m] su profundidad es de [ m] la localización de su foco, obtenga 9 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA BAJO CIERTAS CONDICIONES, CON EJE PARALELO A UNO DE LOS EJES COORDENADOS En esta sección trataremos algunos problemas donde se pide obtener la ecuación de una parábola horizontal o vertical, sujeta a ciertas condiciones que se dan previamente El procedimiento que se recomienda en todos los casos, consiste en graficar primero toda la información que se da, con la finalidad de elaborar la estrategia de solución que se propone en cada uno de los siguientes: EJEMPLOS ) Obtener la ecuación de la parábola vertical cuo vértice es V (, ) foco (, ) F - De acuerdo con la representación gráfica de la información dada, la ecuación de la parábola es de la forma: ( h) p( k) - Con la magnitud de VF p las V,, sustituéndolas en coordenadas del ( ) se tiene: ( ) ( )( ) ; ( ) 8( ) que es la ecuación de la parábola en forma

16 ordinaria desarrollándola: 8 0 es su forma general ) Obtener la ecuación de la parábola horizontal cuo vértice es (, ) punto P (, 5) V pasa por el Representando gráficamente la información dada, la ecuación de la parábola es de la forma ( k) p( h) - Sustituendo las coordenadas del vértice V, en la ecuación : ( ) ( ) p( ) - Si el punto (, 5) P está sobre la parábola, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación : ( 5 ) p ( ) ; p() ; p, sustituendo este valor en la ecuación ( ) ( ) ; la ecuación en forma, desarrollándola, la ecuación en forma general: ordinaria: ( ) ( ) 8 0 ) Hallar la ecuación de la parábola cuos etremos del lado recto ( LR ) son los puntos, R 5, L ( ), ( ) - Graficando la información dada, la ecuación de la parábola es de la forma o sea: ( h) ± p( k) ( parábolas verticales pueden cumplir con la información dada) - Como la magnitud de LR p 8 ; p - El foco es el punto medio del segmento LR : R L R L 5 F,, (,)

17 - Las coordenadas de los vértices son: V (,0 ) V (, ) - Las ecuaciones en forma ordinaria son: con V (,0 ): ( ) ( )( 0) ; ( ) 8 con V (, ): ( ) ( )( ) ; ( ) 8( ) ) Determinar la ecuación de la parábola horizontal que pasa por los puntos no colineales,, C,0 A ( ), B ( ) ( ) con: B (,) : () D () E() F 0 con: (,0) D E F 9 0 D E 0 F D F 0 C : ( ) ( ) ( ) 0 - Representando gráficamente la información, la ecuación de la parábola debe ser de la k p h o bien forma: ( ) ( ) D E F 0 - Como los puntos A, B C son de la parábola, sus coordenadas deben satisfacer su ecuación, por lo tanto, sustituendo las coordenadas de cada punto en la ecuación se tiene: con A (, ) : ( ) D ( ) E( ) F 0 D E F - Las ecuaciones, forman un sistema de ecuaciones lineales, cua solución nos dará los valores de D, E F : D E F D E F 9 D F D D ; D Sustituendo el valor de D en la ecuación :

18 ( ) 0 F ; F Sustituendo los valores de D F en cualquiera de las ecuaciones o ; sea en : ( ) E ; E Sustituendo los valores de D, E F en la ecuación, se tiene: 0 es la ecuación de la parábola en forma general Y completando cuadrados se tiene: ( ) ( ) forma ordinaria, con elementos: (, ) p, F,, L,, R,, Ec eje:, Ec D : 5) El mismo problema del inciso ) lo resolveremos ahora aplicando el determinante: V, A B C A B C A B C ( ) () ( 0) Por el método de menores cofactores, como a lo hemos hecho anteriormente: Sumando estos resultados: 0, dividiendo entre : 5

19 0 0 Forma general EJERCICIOS ) Obtener la ecuación de la parábola horizontal cuo vértice es el punto (, ) F (, ) ) Encuentre la ecuación de la parábola vertical cuo vértice es (, ) P (, ) V su foco V pasa por el punto ) Hallar la ecuación de la parábola horizontal cuos etremos del lado recto ( LR ) son los, R, 5 puntos L ( ), ( ) Determinar la ecuación de la parábola vertical que pasa por los puntos no colineales,,0 C 5, : A ( ), B ( ) ( ) ) Aplicando el método del ejemplo ) 5) Aplicando el método del ejemplo 5) 6 95 ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON EJE FOCAL OBLICUO A LOS EJES COORDENADOS Esta parte está relacionada con la sección 75 (capítulo VII) se recomienda leerlo nuevamente, con objeto de lograr una mejor comprensión de lo que se epondrá A Recordar que en la ecuación general de segundo grado B C D E F 0, si el valor del discriminante es cero, o sea que B AC 0, la cónica que representa esta ecuación es una parábola oblicua respecto a los ejes coordenados, (o como caso degenerado, un par de rectas paralelas o coincidentes) La presencia del término B en la ecuación, hace un poco más difícil la construcción de la gráfica de la parábola Citaremos procedimientos para graficar una ecuación de una parábola oblicua (con término en ) Primer Procedimiento Dada la ecuación A B C D E F 0, verificar que B AC 0, para estar seguros de que la cónica es una parábola El término B se anulará obteniendo el ángulo agudo α de rotación de los ejes:

20 Con la epresión tan α B A C Si A C considerando que α es agudo, podemos conocer el valor de cos α, para que a cos α cos α partir de las identidades trigonométricas sen α ; cosα se puedan obtener las fórmulas de rotación de los ejes: cosα senα ; senα cosα 0 Si A C, el ángulo de rotación de los ejes es α 5 (ver sección 75), con este valor, 0 0 sen 5 cos 5 las fórmulas de rotación de los ejes son: ; Al sustituir las fórmulas de rotación de los ejes en la ecuación dada A B C D E F 0, desarrollando, simplificando e ignorando los términos en, que sumarán cero, se obtendrá una nueva ecuación en, sin el término en cuo eje de la parábola será paralelo al nuevo sistema coordenado, Con la ecuación obtenida en el paso anterior se procede completando cuadrados para determinar las fórmulas de traslación h, k, logrando con esto que el vértice de la parábola coincida con el origen del nuevo sistema coordenado, Segundo Procedimiento Llamaremos a este procedimiento suma de ordenadas Verificar que el discriminante B AC de la ecuación dada A B C D E F 0, sea cero, para saber que se trata de una parábola Despejar la variable de la ecuación dada, la epresión que se obtiene será de la forma ±, en donde es un diámetro de la parábola (lugar geométrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas); ± se le llama ordenada sobre el diámetro Por último, se construe una tabla para calcular algunos puntos de la parábola, que al unirlos con línea continua se obtendrá un bosquejo de la gráfica de la curva EJEMPLOS En cada inciso, se pide bosquejar la gráfica de la ecuación dada 7

21 ) Aplicaremos el segundo procedimiento: Calculamos el discriminante B AC ( ) ( )( ) 0, se trata de una parábola Despejamos la variable : se ordena de la siguiente manera ( 8) 9 5 0, en donde se tiene que: c 9 5 aplicando la fórmula general ( 8) ( )( 9 5) b ± b ac a 8 ± 8 ± ( ) 8 a, ( 8) b ± ± ±, esta epresión consta de dos partes: ± ; 5 (diámetro de la parábola), ± (ordenada contada sobre el diámetro) Se construe la siguiente tabla: Si el dominio de la epresión es de tal modo que 0 donde, por lo,, damos valores a de acuerdo al dominio: tanto, Dominio ( ] Para bosquejar la gráfica de la parábola, primero graficamos su diámetro, luego los puntos calculados en la tabla uniéndolos con línea continua: 8

22 ) Al mismo ejemplo del inciso anterior , apliquemos el primer procedimiento: Ya sabemos que B AC 0 se trata de una parábola Como A C, A C entonces B tan α A C como α es agudo tan α, entonces cos α las identidades 5 cos α 5 cos α sen α ; cos α α sen cos 66, es el ángulo de rotación de los ejes las fórmulas de 5 5 rotación son: cosα senα ;

23 senα cosα ; Sustituendo las epresiones en la ecuación dada, desarrollando, simplificando e ignorando los términos en que sumarán cero: ; dividiendo entre La epresión a no contiene el término en, es la ecuación de la parábola cuo eje es paralelo al sistema de coordenadas, Completando cuadrados en la ecuación h, k : se determinarán las fórmulas de traslación En la ecuación, el vértice de la parábola es ( h, k), fórmulas de traslación son: resulta: 7, V entonces, las ; sustituéndolas en la ecuación

24 La ecuación es de la forma simplificada de la ecuación de la parábola dada originalmente, cuo vértice coincide con el origen del nuevo sistema, p 5 p p 5 5 ) 0 Aplicando el segundo procedimiento: B AC ( ) ( )( ) 0, se trata de una parábola Despejando la variable de la ecuación dada: a se ordena la ecuación 0 b c si b ± b ac a ± ( ) ( )( ) ± 6 ( ) ± (diámetro de la parábola) ± (ordenada contada sobre el diámetro de la parábola)

25 Se dibuja primero el diámetro de la parábola, se construe una tabla para obtener algunos puntos de la parábola bosquejarla Do minio [ 0, ) ) 0 Se aplicará el segundo procedimiento: B AC ( ) ( )( ) 0, se trata de una parábola Despejando la variable de la ecuación dada: a se ordena la ecuación 0 b c b ± b a ac ± ( ) ( )( ) ± () ± En este caso, la parábola degenera en dos rectas paralelas: ;

26 5) 0 5 Aplicando el primer procedimiento: ( ) ( )( ) 0 AC B, es una parábola Como C A,, el ángulo de rotación de los ejes es 0 5 α, por lo tanto las fórmulas de rotación de los ejes son: ; Sustituendo las fórmulas anteriores en la ecuación dada, desarrollando, simplificando e ignorando los términos en que suman cero: ; dividiendo entre 0 ; completando cuadrados

27 ; ; como el vértice de esta ecuación es:, V, las fórmulas de traslación de los ejes son: ; que al sustituirlos en la ecuación se tiene ; 5 0 p La ecuación es la forma simplificada de la ecuación de la parábola dada, cuo vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas,

28 EJERCICIOS En cada inciso, ha que bosquejar la gráfica de la ecuación dada aplicando el procedimiento que se indica ) ) ) ) 5) 0, aplique el primer procedimiento 0, aplique el segundo procedimiento 9 6 0, aplique el primer procedimiento 9 6 0, aplique el segundo procedimiento 9 6 0, aplique el segundo procedimiento 5