Unidad IV. La parábola

Transcripción

1 Unidad IV. La parábola El estudiante, resolverá problemas teóricos o prácticos relativos a la parábola, a través del análisis descriptivo, aplicación y combinación de sus propiedades, gráficas y ecuaciones, relacionando con los conceptos, técnicas y procedimientos geométricos y analíticos sobre puntos, rectas, segmentos y circunferencias, contribuyendo a generar un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad y colaboración 4.1. Caracterización geométrica La parábola como lugar geométrico. La parábola es una de las secciones cónicas. Es una curva plana que se puede ajustar, en relación a un sistema de coordenadas ortonormales, con la relación o con la aplicación de una transformación que represente un giro a dicha relación

2 Una parábola es el lugar geométrico de los puntos tales que su distancia a un punto fijo dado es igual a su distancia a una línea fija dada. Al punto se le llama foco y a la línea directriz Elementos asociados con una parábola. a. Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a la recta DD. b. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (ver fig. siguiente) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F. Esto es: PDD-F={P: PFF=PD}={P: PF = 1} PD

3 La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: (y - k)² = 4p(x - h) y sus elementos son los siguientes: Foco (h + p, k) Directriz x = h p Eje focal y = k Donde 4 p es la magnitud del lado recto y siendo p la longitud entre el foco y el vértice. Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha. Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda. Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de la forma (x - h)² = 4p(y - k) y sus elementos son: Foco (h, k + p) Directriz y = k p Eje focal x = h Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba. Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo Formas de trazo a partir de la definición.

4 Para una construcción general, se usa un punto general como foco y una recta como directriz Dado: 1. El punto foco 2. El objeto recto Directriz Pasos: 1. Sea C= punto en el objeto recto Directriz 2. Sea C Foco=segmento entre C y Foco 3. Sea D= Punto medio del segmento C foco 4. Sea k=recta perpendicular al segmento C foco y que pasa por D 5. Sea l=recta perpendicular al objeto recto directriz y que pasa por C 6. Sea B =intersección de la recta perpendicular k con la recta perpendicular l 7. Sea L1 = lugar geométrico de la intersección B a medida que el punto C se mueve a lo largo del objeto recto Directriz Foco B D k C l

5 4.2 Ecuaciones ordinarias de la parábola Parábolas horizontales y verticales con centro en el origen. La ecuación de la parábola toma su forma más simple o reducida cuando el vértice está en el origen y el eje coincide con uno de los ejes de coordenadas. Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es: También suele utilizarse a en lugar de p, siendo 2p la distancia de la directriz al foco F. Esta distancia se denomina parámetro de la directriz y su valor coincide con el de la ordenada focal, es decir, con la mitad de la longitud de la cuerda trazada por el foco perpendicularmente al eje. En general, para cualquier parábola (con eje paralelo al eje x) de vértice (h,k) se tiene que su ecuación canónica (o principal) es: La orientación del eje de la parábola la da el elemento que no esté al cuadrado; así una parábola en que el elemento al cuadrado es x, quiere decir que su eje es paralelo al eje y. Además, el signo de 4p indica la dirección de la apertura de la parábola: si 4p es positivo (mayor que cero), entonces la apertura es en dirección en que crece el respectivo eje.

6 4 m FocoP(x,y) = 2.01 cm m DP(x,y) = 2.01 cm 2 Foco P(x,y) -5 5 Directriz -2 D -4 Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F entonces,. Pero, y Luego, Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: queda finalmente,, y simplificando (1) Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F. Por hipótesis, (2)

7 Se debe probar que De esta forma se ha demostrado la parte A del siguiente teorema. Teorema (Ecuaciones de la Parábola) A. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (ver fig. siguiente) viene dada por : y 2 =2px (3). Recíprocamente si un punto P del plano, satisface (3) entonces P ξ PDD-F B. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (ver fig. siguiente) es: x 2 = 2py (4) C. Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P ξ PDD-F 4 2 Foco(0,p/2) P(x,y) -5 5 Directriz -2 D p>0-4

8 En la figura anterior aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2. Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par. 4 C D 2 P(x,y) Foco(p/2,0) -5 5 Directriz p> Igualmente, las gráficas de la figura corresponden a las gráficas de parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par.

9 Parábolas horizontales y verticales con centro fuera del origen. i. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en y por directriz la recta: viene dada por: (1) 8 P(x,y) 6 4 y=k-p/2 Directriz V(h, k) C 2 D Foco(h, k+p/2) p>0-2 ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco en y por directriz la recta: viene dada por:

10 (2) Demostración: Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x -y y luego hacer e Observación: Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas, pueden expresarse en la forma: (3) (4) En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cuadrado y la otra lineal. La parábola siempre se abre en la dirección del eje cuya variable aparece lineal. Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuación (4) representa una parábola abierta hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0).

11 4.3 Ecuación general de la parábola Conversión de la forma ordinaria a la forma general Conversión de la forma general a la forma ordinaria. Ecuación general Parábola con vértice en h, k y eje paralelo respectivamente al eje x o al eje y: en donde Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles parábolas. El término lineal de la ecuación indicará sobre qué eje está ubicado el foco (eje focal), y el signo del mismo, hacia dónde se abre la parábola (positivo: hacia arriba o derecha, negativo: hacia abajo o izquierda). Reducción de la ecuación de una parábola Dada una ecuación del tipo Ax 2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay 2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

12 Ejercicio: ecuaciones de parábolas Hallar la ecuación reducida de la parábola 2x 2 + 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz. Se ha de transformar esta ecuación en una de la forma: (y - y 0 ) 2 = ± 2p(x - x 0 ) ó (x - x 0 ) 2 = ± 2p(y - y 0 ) La ecuación dada tiene un término en x 2. Habrá que transformarla, pues, en una del tipo (x - x 0 ) 2 = ± 2p(y - y 0 ) 2x 2 + 8x + 3y - 5 = 0 2x 2 + 8x = -3y + 5 x 2 + 3x = (x + 2) 2-4. Se sustituye en la ecuación: Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice. Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice:

13 Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumándole la mitad del parámetro a la del vértice: Otro ejercicio. Hallar los elementos de la parábola y 2-4x + 6y + 13 = 0. Resolución: Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que ahora la variable que aparece elevada al cuadrado es y: y 2 + 6y = 4x - 13 y 2 + 6y = y y = (y+3) 2-9. (y+3) 2-9 = 4x - 13 (y+3) 2 = 4x - 4 (y+3) 2 = 4(x-1) Es una parábola con vértice en el punto (1, -3). vértice. La directriz se obtiene restándole la mitad del parámetro a la abscisa del vértice: x = 1-1 = 0. La directriz es el eje de ordenadas.