MATEMÁTICAS UNIDAD 4 GRADO 10º. Cónicas y repaso de funciones

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1 1 Franklin Eduardo Pérez Quintero MATEMÁTICAS UNIDAD 4 GRADO 10º Cónicas y repaso de funciones 1

2 Franklin Eduardo Pérez Quintero LOGRO: Reconoce la formación y características básicas de las secciones cónicas y de las funciones y tipos de funciones. INDICADORES DE LOGRO: Reconoce la formación de la circunferencia a partir de un corte transversal del cono. Identifica la ecuación canónica de la circunferencia. Reconoce la ecuación que representa una elipse. Dada la ecuación de la elipse ubica su centro y su eje mayor en el plano cartesiano. Gráfica una parábola según la ecuación dada Reconoce las partes de la hipérbola Halla la ecuación de la hipérbola dados los focos y los vértices Dada la ecuación de la hipérbola halla las partes de la misma. Y QUE TIENE QUE VER EL CONO CON LA MATEMÁTICA?

3 3 Franklin Eduardo Pérez Quintero Reseña histórica Probablemente, las secciones cónicas fueron investigadas por primera vez por el geómetra griego Monaechmus en el siglo IV a.c., y fueron también estudiadas por otros matemáticos griegos, entre ellos Apolonio, cuyos estudios fueron exhaustivos. Una sección cónica es una curva de intersección de un plano con un cono recto circular de dos hojas; tenemos cuatro tipos de curvas: CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA. Ahora bien, pero qué es una cónica, es el conjunto de puntos P del plano tales que la distancia no dirigida de P a un punto fijo está en razón constante a la distancia no dirigida de P a una recta fija que no contiene al punto fijo. Esta razón constante en la definición anterior se llama excentricidad. Esto suena un poco complicado pero no te preocupes que en adelante será un poco más fácil. Las cónicas tienen innumerables aplicaciones en las ciencias y en la tecnología; de allí la gran importancia que tiene conocerlas y resolver problemas donde se apliquen cada una de ellas. Las secciones cónicas son denominadas lugares geométricos. Un lugar geométrico es el conjunto de puntos del plano xy que cumple o satisface una o más condiciones, de acuerdo con esta definición se puede llamar lugar geométrico a una gráfica que depende de una función y que a partir de dicha función (condición) se conforma 3

4 4 Franklin Eduardo Pérez Quintero perfectamente al establecer sus coordenadas (x,y) y ubicar estos puntos en el plano. TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Responde al siguiente cuestionario sin necesidad de consultar, solamente con el conocimiento que tienes hasta la fecha: Qué es para ti una circunferencia? Cuál es la diferencia entre circunferencia y círculo? Escribe al menos 3 ejemplos de circunferencia y 3 de círculo Dónde has escuchado la palabra parábola antes y cuál sería su definición? Crees que la parábola que conoces es la misma de la antena parabólica? Qué entiendes por elipse y por hipérbola? Has escuchado antes estos términos? 4

5 5 Franklin Eduardo Pérez Quintero CIRCUNFERENCIA Aprendamos algo nuevo Decimos que la circunferencia es una sección cónica porque resulta de hacer un corte transversal o cruzado con un plano a través de un cono, quedando como resultado de la intersección entre el cono y el plano que lo corta como lo muestra la siguiente figura. Mientras que el círculo es una superficie plana y al ser una figura plana tiene dos dimensiones y por lo tanto tiene área, la circunferencia se restringe a ser el perímetro del círculo. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se caracterizan por tener una misma distancia o distancia constante a un punto fijo C(h,k), llamado centro de la circunferencia. La circunferencia son todos los puntos que están a una misma distancia de un punto llamado centro, esa distancia se llama radio y la recta que va de un punto a otro pasando por el centro se llama diámetro. 5

6 6 Franklin Eduardo Pérez Quintero R = radio C(h,k) = Centro P(x,y) = Punto Cualquiera de Circunferencia. Vamos a obtener la ECUACIÓN CANÓNICA de circunferencia utilizando la definición de Distancia entre dos puntos: R = d(c, P) distancia entre el centro C y el punto P. Esto es: d(c,p) = ( k x h) ( y ) R = ( x h) ( y k ) R ( ( x h) ( y k ) ) R = (x-h) + (y-k) Ecuación canónica de Circunferencia de centro C(h, k) y radio R. 6

7 7 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ejemplo 1: (x 1) + (y - 3) = 16; es la Ecuación de una Circunferencia de centro C(1,3) y radio R = 4 porque el radio sería la raíz cuadrada de 16. Ejemplo : x + (y 4) = 7 es la Ecuación de una circunferencia de centro C(0, 4) y Radio R = 7. Ejemplo 3: Si el centro de la circunferencia es C(0,0) y radio R = 5; la Ecuación es: x + y = 5 TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Halla en tu cuaderno la ecuación de las siguientes circunferencias: a) C(0,0) y R=6 b) C(1,1) y R=7 c) C(4,) y R=4 d) C(3,-4) y P(7,9) e) C(-,-3) y P(,) f) Determinar la Ecuación General de la Circunferencia si los extremos del diámetro son A(-, 4) y B(0, -8) 7

8 8 Franklin Eduardo Pérez Quintero Aprendamos algo nuevo ELIPSE Es el lugar Geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos F 1 y F (focos) es constante. (Ver grafica) La elipse es una sección cónica famosa en el mundo porque Johannes Kepler descubrió que los giros que tienen los planetas del sistema solar alrededor del sol tienen una trayectoria con esta forma, elíptica. La elipse es una circunferencia deformada, achatada o alargada que cumple con la característica de que si se toma cualquier punto de ella y se suman las distancias desde ese punto hasta cada uno de los focos, el valor siempre será igual a la distancia que existe entre un vértice y el otro. En la gráfica los puntos F son los focos y la recta que pasa por los focos se llama eje focal. Los puntos de corte del eje focal con la elipse se llaman vértices y están ubicados en la gráfica en los puntos (-a,0) y (a,0). El segmento del eje focal comprendido entre los vértices se llama eje mayor y su punto medio se llama centro. 8

9 9 Franklin Eduardo Pérez Quintero d(p,f 1 ) + d(p,f ) = d(a 1, A ) Siendo (x, y) las coordenadas de un punto de la elipse y recordemos que es la fórmula de la distancia de (x,y) hasta el f 1 y es la fórmula de la distancia de (x,y) hasta el f Donde: C(h, k) es el centro; A 1, A, B 1, B Son los Vértices; F 1, F Focos. L distancia focal es c y c = a b A A = a Eje Mayor; F 1 1 Ejemplo: F = Eje Focal; B B 1 = Eje Menor. Dada la elipse con vértices en (0,-5) y (0,5); y focos f 1 (0,-) y f (0,), decir si el punto (3,4) pertenece a la elipse. Solución: Dado que los focos son f 1 (0,-) y f (0,), podemos deducir que c= y dado que los vértices en (0,-5) y (0,5), podemos deducir que a = 5. Entonces podemos aplicar la fórmula Averigüemos si (3,4) pertenece reemplazando en la fórmula: = + = 10 + = *5 = + = 10 como esto es notablemente falso, podemos concluir que el punto (3,4) no pertenece a la elipse. 9

10 10 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Dada la elipse con vértices en (0,-5) y (0,5); y focos f 1 (0,-) y f (0,); demuestre cuál de los siguientes puntos pertenece a la elipse: a) (5,6) b) (4,-3) c) (3,3) d) (0,3) e) (4,3) Aprendamos algo nuevo ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CASO I: Cuando el eje focal está paralelo al eje x. x h a y k b 1 10

11 11 Franklin Eduardo Pérez Quintero CASO II: Cuando el eje focal está paralelo al eje y. x h b y k a 1 CASO III: Cuando a = b la elipse se transforma en una circunferencia de radio a. CASO IV: Se da cuando h = k = 0 y al reemplazar estos valores en la ecuación x h b y k a 1 Obtenemos una elipse con centro en el origen (0,0). Observación: El centro es C(h, k) a y b están relacionadas con el eje mayor y menor respectivamente por lo tanto para identificar los dos casos, solo tienes que ver con quien está el mayor denominador (con la variable x o con la variable y), el valor de a siempre es mayor que el de b por eso la elipse siempre abrirá en el eje que en la ecuación esté encima de a. Ejemplo: x 3 y 1 La Ecuación 1 Corresponde a una elipse de centro 9 4 C(3, -1) y el eje mayor paralelo al eje X o eje de las abscisas. 11

12 1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ejemplo : La ecuación corresponde a una elipse de centro C(-4,1) y el eje mayor es paralelo al eje y o eje de las ordenadas. TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Escribe 5 ecuaciones de elipses que abran en el eje X y 5 que abran en el eje Y. Ecuaciones que abren en el eje X Ecuaciones que abren en el eje Y 1

13 13 Franklin Eduardo Pérez Quintero Aprendamos algo nuevo ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE Viene dada por Ax + By + Cx + Dy + E = 0 donde A B pero de igual signo. Donde el centro está en (h,k), a es la distancia del centro a los vértices de la elipse ubicados en el eje focal A 1 y A, b es la distancia del centro hasta los vértices B 1, B ubicados en el eje menor y c es la distancia del centro hasta los focos F 1, F. Si nos ubicamos en uno de los vértices del eje menor de la elipse, podremos observar que la distancia de b a cualquiera de los focos es la misma por lo que podemos deducir que dicha distancia es a y utilizando el teorema de Pitágoras se puede demostrar que a =b + c y despejando hallamos que c =a -b Ejemplo 1: x 3 y 1 La Ecuación C(3, -1) y el eje mayor paralelo a las abscisas. Y la distancia focal sería c =a -b c =9-4 c =5 c= Ejemplo : Corresponde a una elipse de centro Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 4x + y 16x + y + 13 = 0 13

14 14 Franklin Eduardo Pérez Quintero Solución: La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes: Completando el cuadrado perfecto tenemos: Y ahora se factoriza y se multiplica el -4 por 4 haciendo la propiedad distributiva y simplificando para que quede: Ahora sumamos el -16 y el -1 y los pasamos a sumar en el otro término de la ecuación quedando Y al dividir toda la ecuación por 4 obtenemos Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(, -1), semiejes a = 1 y b =. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = (ver fig ). Los vértices son los puntos V 1 (, 1), V (, -3), V 3 (3, -1) y V 4 (1, -1). 14

15 15 Franklin Eduardo Pérez Quintero Como, se tiene que los focos están localizados en los puntos y. TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Determina en las siguientes elipses si el eje mayor es paralelo al eje Y o al eje X de la misma manera como se realizará en el siguiente ejemplo. a. 5X +4y -400=0 Solución: Despejemos la ecuación pasando a sumar -400 al otro lado del igual 5X +4y =400, ahora dividamos toda la ecuación por 400. Quedando como resultado De donde podemos deducir que es una elipse de centro (0,0) y que el eje mayor es paralelo al eje Y. b. X +y -1=0 c. 4X +5y -100=0 d. 7X +5y -350=0 15

16 16 Franklin Eduardo Pérez Quintero e. 8 X +y -16=0 Aprendamos algo nuevo La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una misma distancia de un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz. La parábola resulta de realizar un corte diagonal en un semicono (medio cono), siendo la parábola la intersección entre el plano y el semicono como lo muestra la figura. PARTES DE LA PARABOLA: Eje de simetría: en general, un eje de simetría de una función o de una figura cualquiera es una recta que divide a la figura en dos partes iguales de manera que si doblamos el papel por dicha recta, las dos partes de la figura se superponen. 16

17 17 Franklin Eduardo Pérez Quintero Foco: Es un punto perteneciente al eje de simetría cuya distancia a cualquier punto de la parábola es igual a la distancia de ese punto a una recta llamada directriz (ver la figura anterior). Vértice: Es el punto más bajo del eje de simetría de una parábola positiva o que abre hacia arriba y es el punto más alto de una parábola negativa o que abre hacia abajo. ESTUDIAREMOS CUATRO CASOS DE LA ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA CASO 1 CASO Cuando la parábola abre hacia arriba, cuya ecuación canónica es: (x h) = 4p(y k) Donde C(h, k) es el centro de p el parámetro. Cuando la Parábola abre hacia abajo, cuya ecuación canónica es: (x h) = - 4p(y k) Donde C(h, k) es el centro de p el parámetro. ELEMENTOS: V(h, k) F(h, k+p) Eje: x = h Directriz: y = k - p ELEMENTOS: V(h, k) F(h, k - p) Eje: x = h Directriz: y = k p EJEMPLO: (x ) = 8(y 3). EJEMPLO: (x 3) = - 8(y 1). 17

18 18 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ecuación de Parábola de vértice V(, 3) Ecuación de Parábola de vértice V(3, 1) 4p = 8 p = parámetro. -4p = -4 p = 1 parámetro. Foco: Foco: F(h, k +p) = F(, 3+) = (, 5) Eje x = h entonces x = F(h, k +p) = F(3, 1-1) = (3, 0) Eje x = h entonces x = 3 Directriz y = k p entonces y = 3 = 1 Veamos su Grafica. Directriz y = x + p entonces y = = Veamos su Grafica y y 0 y y CASO 3 CASO 4 Cuando la parábola abre hacia la derecha, cuya ecuación canónica Cuando la parábola abre hacia la izquierda, cuya ecuación 18

19 19 Franklin Eduardo Pérez Quintero es: (y k) = 4p(x h) Donde C(h, k) es el centro de p el parámetro. canónica es: (y k) = - 4p(x h) Donde C(h, k) es el centro de p el parámetro. ELEMENTOS: V(h, k) F(h+p, k) Eje: y = k Directriz: x = h - p ELEMENTOS: V(h, k) F(h-p, k) Eje: y = k Directriz: x = h + p EJEMPLO: (y 4) = 1(x 1). EJEMPLO: (y 3) = -8x Ecuación de Parábola de vértice V(1, 4) Ecuación de Parábola de vértice V(0, 3) 4p = 1 Foco: p = 3 parámetro. -4p = -8 p = parámetro. Foco: F(h-p, k) = F(0-, 4) = (-, 3) F(h+p, k) = F(1+3, 4) = (4, 4) Eje y = 4 Directriz x = 1 3 entonces x = 3 = - Eje y = 3 Directriz x = 0 + entonces x = Veamos su Grafica. 19

20 0 Franklin Eduardo Pérez Quintero Veamos su Grafica y 0 10 y ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA Al desarrollar las ecuaciones canónicas, cualquiera que sea el caso llegamos a una ecuación de la forma: a) Ax +Cx +Dy + E = 0 o b) Ay +Cx +Dy + E=0 Ejemplo: De la parábola y + 4y + 4x = 0 determina las coordenadas del vértice, el foco, el L.R., la ecuación del eje y la ecuación de la directriz. Solución: Recordemos que para realizar la completación de cuadrados se debe tomar el coeficiente de la variable lineal y o x según el caso, dividirlo por, elevarlo al cuadrado, sumarlo y restarlo en la ecuación. Si realizamos la completación de cuadrados y asociamos términos, la fórmula nos queda. (y + 4y + 4) - 4 = -4x 0

21 1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ahora factorizamos y despejamos sacando factor común: (y + ) = -4 (x 1) Ecuación de Parábola de vértice V(1, -) 4p = -4 Foco: p = -1 parámetro. ELEMENTOS: V(h, k) F(h+p, k) = F(1-3, ) = (-, ) I(h - p, k)=i(1 (-1), ) = (, ) Eje y = Directriz x = 1 (-1) entonces x = 1+1 = F(h+p, k) I(h-p, k) Eje: y = k Directriz: x = h - p TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: En los siguientes ejercicios identifica el caso que se aplica y halla lo que se te indica en tu cuaderno: 1. Grafica la parábola cuya ecuación es (x+1) =-4(y+).. Grafica la parábola de ecuación (y - 6) + 8x = Determina la ecuación de la parábola de foco (4,-) y directriz x =. 1

22 Franklin Eduardo Pérez Quintero 5. Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0,0), su eje es el eje x y pasa por el punto (-4,-6). 6. Encuentra la ecuación de la parábola de foco (0,4) y directriz y+4=0. 7. Determina la ecuación de la parábola de foco (0,0) y vértice (-,0). 8. Encuentra la ecuación de la parábola: a) de vértice (1,4), eje paralelo al eje x y que pasa por el punto (5,-) b) de eje paralelo al eje x, con vértice en (-,-1) y de 4 unidades de L.R. Aprendamos algo nuevo HIPÉRBOLA Hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano y solamente aquellos, tal que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos del plano, llamados focos de la hipérbola, es constante y menor que la distancia entre ellos. Hace parte de las secciones cónicas porque también es resultado de un corte transversal a un cono con un plano:

23 3 Franklin Eduardo Pérez Quintero Las hipérbolas pueden abrir en el eje X o en el eje Y; es decir, pueden tener su eje focal o eje donde se encuentran sus focos, paralelo al eje X o paralelo al eje Y y de acuerdo con esta característica se establecen sus ecuaciones: HIPERBOLA DE EJE FOCAL PARALELO AL EJE X A continuación encontrarás la ecuación de la hipérbola que tiene el eje focal paralelo al eje x, también encontrarás la forma de hallar cada una de las partes de la parábola según los valores a, b, c y las partes de la ecuación ordinaria. Ecuación ordinaria: Se reconoce principalmente por que el valor de x es positivo mientras que el de y es negativo. (x a h) ( y b k ) 1 ( a > 0 b > 0 ) 3

24 4 Franklin Eduardo Pérez Quintero Centro: Es el punto que equidista (tiene igual distancia) de los focos entre sí y de los vértices entre si, su ecuación está en el punto C ( h, k ) Focos: Los focos de la hipérbola son dos puntos. Respecto de ellos, permanecen constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto de dicha hipérbola; es decir, si tomamos cualquier punto perteneciente a la hipérbola y restamos la distancia del punto a un foco con la distancia del punto al otro foco, el valor será el mismo independiente de la ubicación de dicho punto. Los focos están ubicados en los puntos F 1 ( h+c, k) y F ( h c, k) conociendo que el valor de c se halla por medio de la ecuación: (distancia entre los dos focos) es igual a c. c a b, la distancia focal Vértices: Los vertices de una hiperbola son los puntos donde la hiperbola toca el eje focal y sus ecuaciones están dadas por: V 1 (h+a, k ) V (h a, k ) Ecuación del eje focal: El eje focal es la línea recta que pasa por los focos de la hiperbola y su ecuación es y = k 4

25 5 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ecuación del eje normal (eje no focal): Es el eje vertical que corta el centro de la hiperbola y no toca ningún punto perteneciente a esta; es perpendicular al eje focal y su ecuación está dada por x = h a Ecuación de las directrices: x h c Ecuación de las asíntotas: Una asíntota de una curva dada es una recta que a medida que un punto de ella se aleja del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece, es decir, tiende a cero, la ecuación para b( x h) las asíntotas de la hiperbola es y k a Longitud del eje transverso = a El eje transverso es la distancia existente existente entre los vértices y está sobrepuesto con el eje focal. Longitud del eje conjugado = b perpendicular al eje transverso. El eje conjugado es el eje b Longitud del lado recto = a La longitud de la cuerda que va desde un punto a otro de la hiperbola, pasa por el foco y es perpendicular a la recta focal se llama lado recto Excentricidad: Se conoce como excentricidad de la hipérbola a la relación que existe entre la distancia focal y la distancia entre los vértices. La ecuación utilizada para hallarla es: c e = > 1 a Ecuación general: A x + C y + D x + E y + F = 0 ( A > 0 C < 0 A E + C D 4 A C F < 0 ) 5

26 6 Franklin Eduardo Pérez Quintero h D A k E C a AE CD 4 A C 4 AC F b AE CD 4 AC 4 AC F HIPERBOLA DE EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y A continuación encontrarás la ecuación de la hipérbola que tiene el eje focal paralelo al eje Y, también encontrarás la forma de hallar cada una de las partes de la parábola según los valores a, b, c y las partes de la ecuación ordinaria. Ecuación ordinaria: ( y a k ) (x b h) 1 ( a > 0 b > 0 ) Las definiciones de las partes de la hipérbola que se encuentran en la del eje focal paralelo al eje x son las mismas para las siguientes partes, pero a continuación se enunciarán las ecuaciones necesarias para hallar dichas partes en una hiperbola paralela al eje y. Centro: C ( h, k ) Focos: F 1 ( h, k+c ) F ( h, k c ) c a b Vértices: V 1 ( h, k+a) V ( h, k a) Ecuación del eje focal: x = h Ecuación del eje normal: y = k Ecuación de las directrices: y k a c 6

27 7 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ecuación de las asíntotas: y a( x b h) k Distancia focal = c Longitud del eje transverso Longitud del eje conjugado = a = b b Longitud del lado recto = a c Excentricidad: e = a > 1 Ecuación general: A x + C y + D x + E y + F = 0 ( A > 0 C < 0 A E + C D 4 A C F > 0 ) h D A k E C a AE CD 4 AC 4 AC F b A E CD 4 A C 4 A C F Ejemplo 1 y x -5 7

28 8 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ecuación general: 16 x 9 y 3 x + 54 y 09 = 0 ( x 1) ( y 3) Ecuación ordinaria: Centro: C ( 1, 3 ) Focos: F 1 ( 6, 3 ) F ( 4, 3 ) Vértices: V 1 ( 4, 3 ) V (, 3 ) Ecuación del eje focal: y = 3 Ecuación del eje normal: x = 1 Ecuaciones de las directrices: x 1 =,8 x = 0,8 Ecuaciones de las asíntotas: 4 x 3 y + 5 = 0 4 x + 3 y 13 = 0 Distancia focal c = 10 Longitud del eje transverso = 6 Longitud del eje conjugado = 8 Longitud del lado recto = Excentricidad: e =

29 9 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: 1. En tu cuaderno determina la ecuación de las asíntotas, las coordenadas de los vértices y de los focos de las hipérbolas cuyas ecuaciones son. a) x - y = 1 b) x /16 - y /16 = 1 c) 5y - y = 10. En tu cuaderno encuentra el centro, los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas: a) 8x - 90y = 360 b) 1y - 15x = 180 c) x - y = 8 3. En tu cuaderno encuentra la ecuación de la hipérbola de focos (5,0); (-5,0) y de vértices (4,0); (-4,0). 4. Encuentra la ecuación de la hipérbola de eje transverso 8 y focos (6,0), (-6,0). 9

30 30 Franklin Eduardo Pérez Quintero 5. Encuentra la ecuación de la hipérbola de eje imaginario 18 y focos (0,8) y (0,-8). 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, un foco en (8,0) y un vértice en (6,0). 7. Determinar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, un vértice en (5,0) y ecuación de una asíntota 4x - 5y = Encuentra las coordenadas del centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 3x - 4y + 3x + 16y - 18 = 0. 30