Geometría Analítica Agosto 2015

Transcripción

1 Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados. 1) A(3, 3), B( 3, 1), C(0, 3) 2) O( 2, 3), P(2, 3), Q(0, 2) 3) R(4, 4), S(7, 4), T(6, 7) II.- Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles. 1) A( 2, 1), B( 5, 2), C( 2, 2) 2) A(3, 0), B(6, 3), C(0, 3) III.- Demostrar que los puntos dados forman un triángulo rectángulo y calcular su área. 1) A( -3, 4) B( -8, 5) C( -6, 2) 2) A(4, 0), B(0, 2), C(4, 2) IV.- Demostrar que los puntos dados son colineales. 1) A(2, 2), B(4, 4), C( 2, 2) 2) A(0, 3), B( 2, 1), C(3, 6) V.- Hallar las coordenadas del punto que equidista de los tres puntos dados. 1) A(4, 3), B(2, 7), C( 3, 8) 2) A(2, 3), B(4, 1), C(5, 2) VI.- Hallar. 1) Encuentra un punto sobre el eje y que equidiste de (5, 8) y ( 3, 2). 2) Encuentre el punto de abscisa2 que dista 5 unidades del punto ( 2, 5). Página 1 de 15

2 Laboratorio # 2 Pendiente, punto medio y razón I.- Hallar la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos dados. a) (2, 1) ( 5, 4) b) (3, 2) ( 4, 5) II.- Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos dados. a) (2,3)(4,0)( 2, 3) b) (7,1)(3, 2)( 6,6) III.- Resuelve los siguientes problemas. a) Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5) (4,2) (1,1). Halla las coordenadas de sus vértices. b) Una recta de pendiente 2 pasa por el punto C(2, 2) y por los puntos A y B.Si la ordenada de A es 2, y la abscisa de B es 3, Cuál es la abscisa de A y la ordenada de B? c) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45. La línea recta inicial pasa por los puntos ( 2,1) y (9,7) y la recta final pasa por el punto (3,9) y por el punto A cuya abscisa es 2.Hallar la ordenada de A. d) Si A(5,3), B( 3, 4) y C( 2,4) son los vértices de un triángulo, conteste lo siguiente justificando su respuesta. i. Halle sus puntos medios ii. El triángulo ABC es isósceles? iii. El triángulo formado por los puntos medios es isósceles? iv. Halle el área del triángulo ABC. e) Determinar si las retas que pasan por los siguientes pares de puntos son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos i. l 1 = ( 1, 2)(2,3) l 2 = ( 2,1)(1,3) ii. l 1 = (1,2)(2, 3) l 2 = ( 2,5)( 1, 1) iii. l 1 = ( 2,5)(4,1) l 2 = ( 1,1)(3,7) Página 2 de 15

3 iv. l 1 = (2,4)(7,3) l 2 = (6, 2)(1, 1) Geometría Analítica Agosto 2015 IV.- Hallar las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento determinado por P 1 y P 2 en la razón r = P 1P P P2 a) P 1 ( 2, 4), P 2 (1,4) r = 1 6 b) P 1 ( 5, 4), P 2 ( 1,2) r = 1 2. Página 3 de 15

4 Laboratorio # 3 Gráfica de una función I.- Estudiando intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, extensiones y asíntotas, trazar la gráfica de la ecuación dada. 1) x 2 + 4x y + 5 = 0 2) y(x 1)(x 3) + 5 = 0 3) y 2 6y 2x + 8 = 0 4) y 3 x 2 = 0 5) y(x 2)(x + 3) + 9 = 0 6) xy 4y + 3x = 0 7) y + 1 = x 3 8) x + 2y + 3 = 0 II.- En el mismo sistema de coordenadas trazar la gráfica de las ecuaciones dadas. Resolver el sistema algebraicamente. 1) y = x 2 ; x y + 2 = 0 2) x 2 + 8x 2y + 4 = 0; y = x 3) y 2 4x 7 = 0; x + y = 9 Página 4 de 15

5 Laboratorio # 4 Lugar Geométrico I.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que: 1) Equidistan de (-8, 1) y de (1, 3). 2) La suma de la distancia de un punto P a los puntos A(-8, 7) y B(2, 8) sea siempre igual a 3. 3) Su distancia al punto A(-4, 3) siempre sea igual a 2. 4) La diferencia de sus distancias del punto P a A(1, 0) y (-4, 5) es siempre igual a 8. 5) La suma de los cuadrados de sus distancias a (2, 3) y (1, 5) es igual a 20. 6) Equidiste de y = 3 y de (2, 2) 7) La distancia del punto P a (-2, -3) es siempre igual al doble de la distancia de P(x, y) al eje x. 8) El producto de la distancia a los ejes coordenados es siempre igual a 8. 9) Su distancia a A(1, 3) siempre es igual a 500. Página 5 de 15

6 Laboratorio # 5 Línea Recta I.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Determina la ecuación de la recta que satisfaga las siguientes condiciones y exprésalas en la forma general a) Pasa por (6, 1 2) y ( 2, 3 4) b) m = 1 2 y pasa por ( 3,2) c) m = 4 y b = 1 2 (ordenada en el origen d) Intercepciones con el eje x y el eje y, respectivamente 1 2 y 3 2 2) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2,6) y es paralela a la recta 2x 4y = 15 3) Halle el valor de k, tal que kx + (2k 3)y = k 2 sea perpendicular a 6x 4y = 10 4) Dada ax + (2 b)y = 33 y (a 1)x + by + 25 = 0. Halla a y b tal que las dos rectas pasen por (3,4) 5) Halla el ángulo formado por las rectas 5x 8y + 10 = 0 y 6x + 3y 9 = 0 6) Encontrar la reta de la ecuación mediatriz del segmento de extremos (6,3) y ( 2, 5) 7) Para el triángulo cuyos vértices son los puntos ( 3,4) (5, 3) y (6, 4) Halla: a) Las ecuaciones de sus alturas b) Las ecuaciones de sus medianas c) Las ecuaciones de sus mediatrices d) Demuestra que los puntos de intersección de las alturas, medianas y mediatrices son colineales Página 6 de 15

7 Laboratorio # 6 Familia de Rectas I.-Escribir la ecuación de la familia de rectas que cumplen la condición dada. 1) La abscisa al origen igual a 5 2) Tiene pendiente igual a 1 3 3) Pasa por el punto (5, 3) 4) La coordenada al origen es 7 5) El producto de sus coordenadas es 4 II.-Sin obtener el punto de intersección de la recta, obtener: 1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x + 4y 10 = 0 y x 2y + 3 = 0 y por el punto (3, 1) 2) Encuentre la ecuación de la familia de rectas que son paralelas a la recta 5x + 12y + 7 = 0. Encuentre las ecuaciones de los elementos de la familia que estén a 3 unidades del punto (2, 1) 3) Encuentre la ecuación de la familia de rectas que pasa por la intersección de x 7y + 3 = 0 y 4x + 2y 5 = 0. Encuentre el miembro de la familia con pendiente igual a 3 III.-Resuelva los siguientes ejercicios 1) Encuentra el área y perímetro del triángulo cuyos vértices son M( 3, 5), N( 3, 3) y P(4, 1) 2) Encuentre la distancia de la recta 2x = 10y 5 a los puntos (5, 3), (1, 4) y (0, 9) 3) Determine el valor de k para que la distancia del origen a x + ky = 7 sea 2 Página 7 de 15

8 Laboratorio # 7 Circunferencias I.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria, determinar las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia descrita por esta, así como su gráfica. 1) x 2 + 4x + y 2 6y + 61 = 0 2) 5 y2 + x 2 2y x = ) x 2 6 x y + 5 y2 = 9 4) 16x 2 32x + 16y = y = ) 13x y x 68y 30 = 0 II.- Hallar la ecuación de la circunferencia descrita por las condiciones dadas. 1) Tiene su centro en (2,2) y pasa por el punto ( 3, 5). 2) Tiene su centro en el origen y pasa por el punto (2, 8). 3) Uno de sus diámetros es el segmento determinado por ( 1, 0) y (2, 4). 4) Tiene radio 5, pasa por el origen y el centro tiene abscisa igual a 3. 5) Es tangente al eje x y pasa por los puntos (1, 1) y (5, 2). También grafique. III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Hallar el valor de k de modo que la ecuación x 2 + y 2 + 4x 2y k = 0 represente una circunferencia de radio 3. 2) Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto (3, 2) a la circunferencia x 2 + y 2 + 8x + 7y 20 = 0 3) Hallar el valor de k de modo que la longitud de la tangente trazada desde el punto (5, 5) a la circunferencia x 2 + y 2 + 3ky = 0 sea igual a 1. 4) Halle una ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 2) y (8, 3), tal que la distancia entre estos puntos sea el diámetro de la circunferencia. 5) Grafique la circunferencia del ejercicio III.1) (Señale las coordenadas de 4 puntos de la circunferencia) Página 8 de 15

9 6) Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los vértices (0, b) y (a, 0) de un triángulo rectángulo como el de la figura y cuyo centro es la mitad de la hipotenusa de dicho triangulo. Nota: a > b. Página 9 de 15

10 Laboratorio # 8 Transformación de coordenadas I.- Determinar las coordenadas del punto P cuando los ejes coordenados son trasladados al nuevo origen O. 1) P(3, 2), O, (4, 1) 2) ( 5, 7), O, (3, 6) 3) (4, 6), O, ( 2, 3) 4) 3x + 2y + 5 = 0 ; O, ( 1, 2) 5) x 2 + y 2 + 2x = 0 ; O, (0, 1) II.- Encontrar el punto al cual debe trasladarse el origen de modo que la ecuación transformada no contenga términos de primer grado. Trazar la gráfica correspondiente. 1) x 2 + y 2 + 6x + 4y + 8 = 0 2) x 2 + y 2 4x + 2y = 5 3) x 2 + y x 12y + 3 = 0 4) 4x 2 + y x 6y = 3 5) x 2 + 4y 2 8x 8y + 5 = 0 6) x 2 + y x 14y = 7 Página 10 de 15

11 Laboratorio # 9 Parábola I.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la parábola. Hallar sus elementos y trazar el lugar geométrico correspondiente. 1) y 2 18y + 4x + 89 = 0 2) x 2 10x + 8y + 41 = 0 3) y x + 10y 61 = 0 4) y 2 8x 8y ) x 2 y + 7 = 0 II.- Hallar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas. 1) F( 3, 2), V( 3, 5) 2) F(4, 6), V(2, 6) 3) F( 5, 5), V( 5, 8) 4) V(3, 0) y directriz x 10 = 0 5) Parabola horizontal con vertice en V ( 1 2, 1) y pasa por el punto P(7 2, 2) 6) Parabola cuyo eje es paralelo al eje yy que pasa por los puntos ( 1, 9), (4, 19)y (2, 3) 7) F(5, 1)directriz y + 7 = 0 8) Paralelo al eje "y" y pasa por los puntos (0, ), (5 2, 2), ( 1 2, 2) III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Encuentra la ecuación de la circunferencia de radio 5 con centro en el vertice de la parabola cuyo Foco es F(1, 1) y cuya directriz es la recta x = 3. 2) Encuentra la ecuación general de la recta con pendiente m = 3 que pasa por el foco de la parabola con vertice V( 2, 2)y directriz y = 1 2. Página 11 de 15

12 3) Encuentra los puntos de intersección de la recta x y 21 = 0; la parabola y 2 x + 8y + 21 = 0. 4) Encuentra los puntos de intersección de la parábola y 2 + 6x + 18 = 0 y la circunferencia x 2 + y 2 9 = 0. Página 12 de 15

13 Laboratorio # 10 Elipse I.- Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, hallar sus elementos y trazar la gráfica correspondiente. 1) 4x 2 + 9y x 18y + 37 = 0 2) 9x 2 + 4y 2 8y 32 = 0 3) 9x 2 + y 2 18x 2y + 1 = 0 4) 2x 2 + 2y 2 6x 2y + 1 = 0 II.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. 1) Sus vértices son los puntos (0, 8) y (0, 8) y focos (0, 5) y (0, 5). 2) Sus vértices son los puntos (5, 0) y ( 5, 0) y pasa por el punto (2, 4). 3) C( 2, 1), un vértice (3, 1) y LLR = 4. 4) Contiene su centro en (0, 0); un vértice en (0, 6) y el extremo de su eje menor en (4, 0). 5) Contiene sus focos en (0, 8) y (0, 8); longitud del eje mayor = 34. 6) Vértices en ( 1, 3) y (5, 3); también sabemos que la longitud del eje menor es 4. III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Halle los puntos de intersección de las elipses x 2 + 9y 2 9 = 0 y 9x 2 + y 2 9 = 0. 2) Halle la ecuación de la recta tangente a la elipse 4x 2 + 6y 2 = 8, que es paralela a la recta 2x y = 4. Página 13 de 15

14 Laboratorio # 11 Hipérbola I.- Reducir la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola, hallar sus elementos y trazar su gráfica. 1) 9x 2 4y 2 54x + 8y = 0 2) x 2 9y 2 4x + 36y 41 = 0 3) x 2 + 4y 2 6x + 16y + 21 = 0 4) 9x 2 + y 2 18x + 4y + 4 = 0 II.- Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface: 1) Vértices en (6, 1), (0, 1) y pasa por el punto (7,5) 2) Vértices en (1,6), (1, 4) y focos (1,8), (1, 5) 3) V( 5,2), C( 5,4), e = 5 4 4) Vértices en (0, 2), (0,2), distancia focal igual a 6 5) Vértices en ( 3, 2), ( 3,6) una de sus asíntotas es la recta x + 3y = 9 6) Tiene C(3,3), F 1 (7,3) y V 1 (4,3) III. 1) Halle la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 6x 2 12y 2 = 40 que es perpendicular a la recta 6x y = 4 2) Determine los valores de m para los que la recta y = 3 x + m 2 a) Corta a la hipérbola x2 y2 = 1 Es tangente 36 9 Página 14 de 15

15 Laboratorio # 12 Ecuación General de Segundo Grado I.-Hallar la transformada de la ecuación dada cuando los ejes coordenados se giran el ángulo indicado. 1) 2) ; 3) ; II.- Mediante una rotación de ejes coordenados transforme la ecuación en otra que no contenga el término x y. 1) 2) 3) 4) III.- Identificar el tipo de cónica representado por la ecuación dada. Reducir la ecuación a su forma canónica y trazar la gráfica correspondiente. 1) 2) 3) 4) 5) Página 15 de 15