Lugares geométricos. Cónicas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Lugares geométricos. Cónicas"

Transcripción

1 ACTIVIDADES Si el plano es perpendicular a la generatriz del cilindro, la sección es una circunferencia. Si no es perpendicular, la sección es una elipse. Porque el plano solo corta a uno de los conos de la superficie cónica. c = 6 cm c = 3 cm a = 10 cm a = 5 cm Como a = b + c b = 4 cm Así, la medida del eje menor es de 8 cm. 319

2 a = d(p, F) + d(p, F') = 6 + = 13 cm El eje mayor mide 13 cm. a = 13 cm a = 6,5 cm b = 6,6 cm b = 3,3 cm Como a = b + c c = 5,6 cm Así, la distancia entre los focos mide c = 11, cm. a = 6 e = 0,6 = c a c = 3,6 Como a = b + c b = 3,04 B(0; 4,8) y B'(0; 4,8) c = 5 c = 1,5 a = 16 a = 8 Como c = a + b b = 9,6 B(0; 9,6) y B'(0; 9,6) 30

3 c = 5 Como c = a + b 5 = a + b b = 5 a Así, la ecuación de la hipérbola es de la forma: x a y x = b a 1 y 5 a = Como el punto , pertenece a la hipérbola: 1 a 100 4a = 4a 4 89a = 0 Tenemos dos soluciones para a : 5 4 y 16 Como b = 5 a > 0 a = 16 b = 9 La ecuación de la hipérbola es: x y = x y = a = 64 a = 8 A(8, 0) y A'( 8, 0) b = 5 b = 15 B(0, 15) y B'(0, 15) Como c = a + b c = 89 c = 1 F(1, 0) y F'( 1, 0) a) a = 56 a = 4 b = 49 b = Como c = a + b c = 5 e = c a = 5 4 = 1,04 31

4 A = 6 a = 3 B = b = 1 C = 11 = a + b r = 10 r r = 1 No tiene solución. Por tanto, esta ecuación no corresponde a una circunferencia. 3

5 SABER HACER Se toma P(x, y) un punto genérico del lugar geométrico d(p, r) = 5x y 5 + ( 1) = 5 x y 6 d(p, OY) = x 5x y Como d(p, r) = d(p, OY) = x x y = x ( ) ( ) 5 x y = 6x x y = x y = 0 El lugar geométrico son las dos ecuaciones obtenidas que, al ser de grado 1, equivalen a dos rectas que son las bisectrices de los ángulos que forman la recta dada y el eje Y. Se toma P(x, y) un punto genérico del lugar geométrico. d(p, r) = x 3y ( 3) = x 3y d(p, OX) = y x 3y + 1 = = y + 1 = 0 10 Como d(p, r) = d(p, OX) y x y y x ( ) ( ) x 3y + 1 = 10 y x 3 10 y + 1= 0 El lugar geométrico son las dos ecuaciones obtenidas que, al ser de grado 1, equivalen a dos rectas que son las bisectrices de los ángulos que forman la recta dada y el eje X. c = 8 c = 4 Como a = b + c b = 9 c 4 e = = = 0,8 a = 5 a a La ecuación de la elipse es de la forma: x a y + = b 1 x y + = Se traslada el centro C(4, 1) al origen de coordenadas: A'(1, 1) A''(1 4, 1 1) = ( 3, 0) a = 3 B'(4, 1) B''(4 4, 1 1) = (0, ) b = La ecuación de la elipse es de la forma: x a y + = ( ) ( ) x 4 y 1 + = 1 b

6 Se traslada el centro C( 1, ) al origen de coordenadas: F(3, ) F''(3 ( 1), ) = (4, 0) c = 4 e = c a = 4 a = 1,5 a = 8 3 c = a + b b = 80 9 La ecuación de la hipérbola es de la forma: x a y = b 1 9( x + 1) 9( y ) = Se traslada el centro C(4, 0) al origen de coordenadas: F(1, 0) F''(1 4, 0) = ( 3, 0) c = 3 e = c a = 3 a = a = 3 La ecuación de la hipérbola es de la forma: c = a + b b = 4 x a y = b 1 ( ) 4 x 4 4y = 1 9 Se traslada el vértice V(, 1) al origen de coordenadas. y = 1 y' = 1 1 = = p p = 4 La ecuación de la parábola es de la forma: (x + ) = p(y 1) (x + ) = 8(y 1) x + 4x 8y + 1 = 0 Se traslada el vértice V(3, 5) al origen de coordenadas. y = 1 y' = 1 5 = 4 = p p = 8 La ecuación de la parábola es de la forma: (x 3) = p(y 5) (x 3) = 16(y 5) x 6x 16y + 89 = 0 Como x + y + Ax + By + C = 0: P( 1, 4) A + 4 B + C = 1 Q( 1, 0 ) A + C = 1 A = B = 4C = 1 x + y x 4y + 1= 0 R( 1, 4) 3A + B + C = 13 34

7 Como (x a) + (y b) = r : P( 4, 4 ) ( 4 a) + ( 4 b) = r 16 + a + 8a b 8b = r a = 3 Q( 5, 1) ( 5 a) + ( 1 b) = r 5 + a + 10a + 1+ b b = r b = R( 1, 3) ( 1 a) ( 3 b) r 1 a + a 9 b 6b r + = = r = 5 C(a, b) C ( 3, ) r = 5 Se calcula el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que equidistan de A y B: d(a, P) = d(b, P) ( x 1) + ( y + ) = ( x + 3) + y x x y + 4y + 4 = x + 6x y 8x 4y = 4 x y = 1 El centro será la intersección de este lugar geométrico y la recta dada: x y = 1 x = 1 C(1, 3) x + y = 5 y = 3 d(c, A) = (1 1) + ( 3) = 5 r = 5 La ecuación de la circunferencia: (x 1) + (y 3) = 5 x + y x 6y 15 = 0 Se calcula el lugar geométrico de los puntos P(x, y)que equidistan de A y B: d(a, P) = d(b, P) ( x 1) + ( y 1) = ( x ) + ( y 4) x x y y + 1 = x 4x y 8y + 16 x + 6y = 18 x + 3y = 9 El centro será la intersección de este lugar geométrico y la recta dada: x + 3y = 9 x = 3 C(3, ) 3x + y = 11 y = d C A (, ) = (1 3) + (1 ) = 5 r = 5 La ecuación de la circunferencia: (x 3) + (y ) = 5 x + y 6x 4y + 8 = 0 a) Aparecen las dos variables al cuadrado con coeficiente +1; por tanto, es una circunferencia: x + y + 8x 4y + 11 = 0 A = 8, B = 4 y C = 11 A = a a = 4 B = b b = C = a + b r r = 9 La cónica es una circunferencia de centro C( 4, ) y r = 3. 35

8 b) Aparecen las dos variables al cuadrado con mismo signo y distinto coeficiente, por tanto es una elipse: x y = 1 a = 4, b = c = c = La cónica es una elipse de focosf, 0 3 y 143 F ', 0 3. c) Aparece una variable al cuadrado y la otra con grado 1; por tanto, es una parábola: x x + 1 = 10y (x 1) = 10(y + ) La cónica es una parábola de vértice V(1, ) y directriz paralela al eje Y. d) Aparece una variable al cuadrado y la otra con grado 1; por tanto, es una parábola: x = 4y La cónica es una parábola de vértice el origen de coordenadas y directriz paralela al eje Y. e) Aparecen las dos variables al cuadrado con distinto signo, por tanto es una hipérbola: x y = 1 a = 15, b = Como a + b = c c = 306 = 3 54 La cónica es una hipérbola de focos F ( 3 54, 0) y '( 3 54, 0) F. f) Aparecen las dos variables al cuadrado con coeficiente + 1; por tanto, es una circunferencia: x + y + 6y = 0 A = 0, B = 6 y C = A = a a = 0 B = b b = 3 C = a + b r r = 16 La cónica es una circunferencia de centro C(0, 3) y r = 4. Centro y radio de la circunferencia: C(0, m) y r = 4. Posición de A(0, ) con respecto a la circunferencia dada: d(c, A) = (0 0) + ( m) = m 4m + 4 m 4m + 4 = 4 m 4m 1 = 0 m1 = 6 y m = m 4m + 4 > 4 m 4m 1 > 0 m < y m > 6 m 4m + 4 < 4 m 4m 1 < 0 < m < 6 Si m < o m > 6 El punto A es exterior. Si m = 6 o m = El punto A pertenece a la circunferencia. Si < m < 6 El punto A es interior. 36

9 Posición de B(4, 1) con respecto a la circunferencia dada: d(c, B) = (4 0) (1 ) + m = m m + 1 m m + 1 = 4 m m + 1 = 0 m = 1 m m + 1 > 4 m m + 1 > 0 m 1 m m + 1 < 4 m m + 1 < 0 No tiene solución. Si m = 1 El punto B pertenece a la circunferencia. Si m 1 El punto B es exterior. Centro y radio de la circunferencia: C(m, 1) y r = 3. Posición de A(0, ) con respecto a la circunferencia dada: d(c, A) = (0 ) ( 1) m + = m + 9 m + 9 = 3 m = 0 m = 0 m + 9 > 3 m > 0 m 0 m + 9 < 3 m < 0 No tiene solución. Si m = 0 El punto A pertenece a la circunferencia. Si m 0 El punto A es exterior. Posición de B( 5, 1)con respecto a la circunferencia dada: d(c, B) = ( 5 m) + (1 1) = m + 10m + 5 m + 10m + 5 = 3 m + 10m + 16 = 0 m1 = 8 y m = m + 10m + 5 > 3 m + 10m + 16 > 0 m < 8 y m > m + 10m + 5 < 3 m + 10m + 16 < 0 8 < m < Si m < 8 o m > El punto B es exterior. Si m = 8 o m = El punto B pertenece a la circunferencia. Si 8 < m < El punto B es interior. ACTIVIDADES FINALES a) Sea P(x, y) un punto equidistante de A y B, entonces d(a, P) = d(b, P). d A P x y x y x (, ) = ( ( 6)) + ( 0) = x + y + 1x + 36 = x + y + x + 1 1x + 36 = x + 1 x = d B P x y x y x (, ) = ( ( 1)) + ( 0) = El lugar geométrico es la recta, mediatriz del segmento AB, paralela al eje Y con ecuación x =. 3

10 b) Sea P(x, y) un punto equidistante de A y B, entonces d(a, P) = d(b, P). d A P x y x y x y (, ) = ( ( )) + ( ( 1)) = d B P x y x y x y (, ) = ( 4) + ( 1) = x y x y x y x y = x + y + 5 = 8 x y x + y 3 = 0 El lugar geométrico es la recta, mediatriz del segmente AB, con ecuación 3x + y 3 = 0. c) Sea P(x, y) un punto equidistante de A y B, entonces d(a, P) = d(b, P). d(a, P) = ( x 3) + ( y ( 5)) = x + y 6x + 10y + 34 d(b, P) = ( x ) + ( y 1) = x + y 14x y + 50 x y 6x 10y 34 x y 14 x y 6x 10y x y 50 x 3y = = = 0 El lugar geométrico es la recta, mediatriz del segmente AB, con ecuación x + 3y 4 = 0. d) Sea P(x, y) un punto equidistante de A y B, entonces d(a, P) = d(b, P): d A P x y x y y (, ) = ( 0) + ( ( )) = d B P x y x y y (, ) = ( 0) + ( ) = x + y + 4y + 4 = x + y 14y y + 4 = 14y + 49 y = 5 5 El lugar geométrico es la recta, mediatriz del segmente AB, paralela al eje X con ecuacióny =. Sea P(x, y) un punto de la mediatriz, entonces d(p, A) = d(p, B): d(a, P) = ( x 5) + ( y ( )) = x + y 10x + 4y + 9 d(b, P) = ( x 4) + ( y 3) = x + y 8x 6y + 5 d(a, P) = d(b, P) x + y 10x + 4y + 9 = x + y 8x 6y x + 4y + 9 = 8x 6y + 5 x 5y = 0 La mediatriz es la recta x 5y = 0. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) = d(b, P). d(a, P) = ( x ( 3)) + ( y 0) = x + y + 6x + 9 d(b, P) = ( x 1) + ( y 0) = x + y x + 1 x y x = x + y x + 1 x + y + 6x + 9 = 4(x + y x + 1) 3x + 3y 14x 5 = 0 La figura resultante es la circunferencia de ecuación: 14 5 x + y x =

11 Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(r, P) =. x 3y + 1 x 3y = 0 = x 3y + 1 = = 1 ( 3) x y 10 0 c) x 3y + 3 = 3x + ( 3) x 3y + 3 3x = x 9y x 13 ( ) x 9y = 0 + = x 3y + 3 3x + 6 x 9y x 13 = + = + ( ) x 9y = El lugar geométrico está formado por las dos bisectrices de las rectas. 39

12 d) y 5 x 3y + 5 = ( 3) y 5 x 3y + 5 = x ( 6 13 ) y y = x y = y 5 x + 3y 5 13 y x 6y110 = = + 4 x + ( ) y = 0 13 El lugar geométrico está formado por las dos bisectrices de las rectas. 3x y 1 x + y 3 = 3x y 1 4x + y = 3 + ( ) 4 + 3x y 1 x y + 3 = 13 5 ( ) x ( ) ( ) ( ) 3 5 x 5 y 5 13x 13 y y = = 3 5 x 5 y 5 = 13x 13y x 5 13 y = 0 Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(ox, P) = d(a, P). d(ox, P) = y d(a, P) = ( x 3) + ( y ) x + y 6x 4y + 13 = y = 0 x x y El lugar geométrico es una parábola cuya directriz es paralela al eje X. ABP es triángulo rectángulo en P(x, y) si sus lados AP y BP son perpendiculares: AP = (x + 3, y 1) BP = (x 4, y 3) Para que sean perpendiculares su producto escalar debe ser 0, así: AP BP = (x + 3)(x 4) + (y 1)(y 3) = 0 x + y x 4y 9 = 0 El lugar geométrico es una circunferencia con ecuación x + y x 4y 9 = 0 cuyo centro es el punto medio del segmento AB y su radio la mitad de su módulo. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) = d(o, P). d(a, P) = ( x ) + ( y ( 3)) = x + y 4x + 6y + 13 d(o, P) = x + y x y x y = x + y x + y 4x + 6y + 13 = x 4 + x y + y 4 x 4 + y 4 x y + x y + 4x 6y 13 = 0 330

13 x y 6 Sea Q(x, y) un punto del lugar geométrico. El punto medio de PQ es + +,. x Este punto pertenece a la recta y = 0 x + y + 9 = 0 El lugar geométrico es una recta paralela a la x + 4y 5 = 0 con ecuación x + y + 9 = 0. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) + d(p, B) = 8. d(a, P) = ( x 3) + ( y 1) = x + y 6x y + 10 d(b, P) = ( x 5) + ( y 1) = x + y 10x y + 6 x + y 6x y x + y 10x y + 6 = 8 x + y 8x y + 14 = 0 El lugar geométrico es una circunferencia con ecuación x + y 8x y + 14 = 0. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) d(p, B) = 4. d(a, P) = ( x ( 1)) + y = x + y + x + 1 d(b, P) = ( x 3) + ( y ) = x + y 6x 4y + 13 x + y + x + 1 (x + y 6x 4y + 13) = 4 x + y 4 = 0 El lugar geométrico es una recta de ecuación x + y 4 = 0. Como a = b + c c = 3 F(0, 3) F'(0, 3) 3 La excentricidad es: e = = 0,

14 x y x y x y b = 6 B( 6, 0 ), B' ( 6, 0) a) + = 6 + = 1 + = a = 18 A( 0, 18 ), A' ( 0, 18) Como a = b + c c = 88 c = 1 F ( 0, 1 ), F' ( 0, 1) La excentricidad es: 1 e = = = 0, x b) + = 5 5y 45 a = 35 A(35, 0), A'( 35, 0) b = B(0, ), B'(0, ) Como a = b + c c = 116 c = 14 6 F ( 14 6, 0 ), F' ( 14 6, 0) 14 6 La excentricidad es: e = = 0,

15 a) c = y b = 3 Como a = b + c a = 13 Ecuación de la elipse: b) c = 3 y a = 5 x y + = Como a = b + c b = 16 Ecuación de la elipse: x y + = c) c 3 a 3 e = = c = a Como a = b + c a x y b = 1 4 a + a = 4 x a 4y + = 1 a Como (8, 3) es un punto de la elipse: = 1 a = 100 a a a 4 b = = 5 Ecuación de la elipse: x y + = d) Como ( 4, 1) es un punto de la elipse y b = 3: ( 4) = a = 18 a 3 Ecuación de la elipse: x y + =

16 a) Sea R(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(p, R) + d(q, R) = 10. d(p, R) = ( x ( 4)) + ( y 0) d(q, R) = ( x 4) + ( y 0) ( x 4) + + y + ( x 4) y + = 10 ( x + 4) + y = 10 ( x 4) + y (x + 4) + y = (x 4) + y 0 ( x 4) + y 0 ( x 4) + y = x 400(x + y 8x + 16) = x + 56x 144x + 400y = 3600 x y La ecuación del lugar geométrico es una elipse de ecuación: + = b) Sea R(x, y) punto del lugar geométrico, entonces, d(p, R) + d(q, R) = 1 d(p, R) = ( x ( 5)) + ( y 0) d(q, R) = ( x 5) + ( y 0) ( x 5) y ( x 5) y = ( x + 5) + y = 1 ( x 5) + y (x + 5) + y = 1 + (x 5) + y 4 ( x 5) + y 4 ( x 5) y + = 441 0x 1 64(x + y 10x + 5) = x + 400x 1 364x y = La ecuación del lugar geométrico es una elipse de ecuación: 4x 4y + =

17 La ecuación de la elipse es de la forma x a y + =. b 1 Como 1, 3 es un punto de la elipse: 1 a = 1 1 b a + 4b = 4b + 3a = 4ab Como, es un punto de la elipse: + = 1 1 a b a + 4b = 8b + a = 4ab Igualamos las dos ecuaciones: 4b + 3a = 8b + a a = 4b 1 3 Sustituyendo en la primera ecuación: + = 1 a = 4, a a a 4 b = b = 1 Ecuación de la elipse: x y + = c = 4 a b = 48 5 b = a Como a = b + c 1 5 a = + 16 a a4 16a 0 = 0 a = 36 Como b = 1 5 a b = 0 Ecuación de la elipse: x y + = x + y 1 = 0 x = 1 y Sustituyendo en la ecuación de la elipse: x + y = 3 (1 y) + y = 3 3y y 1 = 0 = 16 > 0 La ecuación tiene dos soluciones; por tanto, la elipse y la recta son secantes 335

18 4(x x) + 9(y + 4y) + 4 = 0 4(x x + 1) + 9(y + 4y + 4) + 4 = (x 1) + 9(y + ) = 36 En forma general: ( x 1) ( y + ) + = 1 a = 3, b =, C = (1, ) 9 4 Como a = b + c c = 5 c = 5 c Excentricidad: e = = a Como C(1, ) y c = F ( 1+ 5, ) y '( 1 5, ) F. (x 6x) + 400(y + y) = 0 (x 6x + 9) + 400(y + y + 1) = (x 3) + 400(y + 1) = 100 Forma general: ( x 3) ( y + 1) 1 + = 1 a = 10, b = Como a = b + c c = c = 399 Excentricidad: c e = = a Como C(3, 1) y c = F 3, 1 + y 399 F' 3, F +, 1 y F', 1 336

19 Las asíntotas son 3 r: y x b = 5 y = ± x a 3 r': y = x 5 Las asíntotas son 4 r: y x b = 5 y = ± x a 4 r': y = x 5 Las asíntotas son 4 r: y x b = 5 y = ± x a 4 r': y = x 5 Las asíntotas son 4 r: y x b = 5 y = ± x a 4 r': y = x 5 33

20 Las asíntotas son 3 r: y x b = 5 y = ± x a 3 r': y = x 5 Las asíntotas son r: y x b = y = ± x a r': y = x a) c = 6 Como c = a + b b = 36 a x a y 36 a = 1 Como P(8, 14) pertenece a la hipérbola: Como b > 0, a = 8 b = = 1 a 4 96a = 0 a1 = 8 y a = 88 a 36 a Ecuación de la hipérbola: b) c = 1 a = 1 = 15 Como c = a + b b = 64 x y = Ecuación de la hipérbola: x y = c) a b = 16 8 = 1 16b 8a = a b b = a b ( ) = 1 = 1 a b a b 8a 16 a Se sustituye en la segunda ecuación: 1 4(16 a ) = 1 a = 8 b = 8 a 8a Ecuación de la hipérbola: x y =

21 a) C( 5, 4) a = 10 a = 10 Vértices: A( , 4), A'( 5 10, 4) b = 9 Como c = a + b c = 19 c = 19 Focos: F( , 4), F'( 5 19, 4) Excentricidad: c e = = a b 3 10 a = Asíntotas: 3 10x 3 10x r : y =, r ': y = b) C(0, 3) a = 5 a = 5 Vértices: A(0, 3 + 5), A'(0, 3 5) A(0, ), A'(0, 8) b = Como c = a + b c = 3 c = 4 Focos: F(0, ), F'(0, 3 4 ) Excentricidad: c e = = a 4 5 a 5 b = Asíntotas: 5 r : y = x, 5 r ': y = x 339

22 c) C( 4, 0) a = 11 a = 11 Vértices: A( 4, 11), A'( 4, 11) b = 9 Como c = a + b c = 0 c = 5 Focos: F( 4, 5 ), F'( 4, 5) Excentricidad: c e = = a a 11 b = Asíntotas: 11 r : y = x, 3 3 d) C(4, 1) r ': y = 11 x 3 a = 14 a = 14 Vértices: A(4 + 14, 1), A'(4 14, 1) b = 9 Como c = a + b c = 3 c = 3 Focos: F(4 + 3, 1), F'(4 3, 1) Excentricidad: c e = = a 3 14 b 3 14 a = Asíntotas: 3 14 r : y = x, r ': y = x 14 a) c 4 e = = c = 4 a a 3 3 Como c = a + b b = a 9 La ecuación de la hipérbola es de la forma: ( x 1) a y = a 9 1 ( x 1) 9y 1 = a a Como P(4, 3) pertenece a la hipérbola: b) C(, 3) A( 3, 3) A( 5, 3) a = 5 F(9, 3) F( +, 3) c = Como c = a + b b = 4 (4 1) 9 3 = 1 a < 0 Imposible, no existe la hipérbola. a a ( x ) ( y 3) Ecuación de la hipérbola: = c) C( 5, ) A(0, ) A(0 5, ) a = 5 e = c = e a c = 10 Como c = a + b b = 5 Ecuación de la hipérbola: ( x + 5) ( y ) =

23 c = 18 c = 9 c = a + b 81 a = b x y 5 16 a 81 a a 81 a = 1 = 1 a = Por tanto, la ecuación de la hipérbola pedida es: x y = Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces d(a, P) d(a', P) = 8. ( x 5) ( 1) + + y + ( x 5) ( y 11) ( x 5) ( y 1) = = 8 + ( x + 5) + ( y + 11) ( x 5) ( 1) + + y + = 8 + (x + 5) + (y + 11) + 16 ( x + 5) + ( y + 11) 5y 46 = 4 ( x + 5) + ( y + 11) ( 5y 46) = 16(x + 5) + 16(y + 11) 5y + 460y = 16x + 160x y + 35y (y + 1y) 16(x + 10x) 0 = 0 9(y + 1y + 36) 16(x + 10x + 5) 0 = (y + 6) 16(x + 5) = 144 9( y + 6) 16( x + 5) = El lugar geométrico es una hipérbola con eje paralelo a OY y ecuación: ( y + 6) ( x + 5) =

24 La ecuación de la parábola con V(0, 0) y eje en el eje X es de la forma: y = px Como (3, 6) pertenece a la parábola: ( 6) = p3 p = 6 Ecuación de la parábola: y = 1x 34

25 a) P(x, y) punto de la parábola d(p, F) = d(p, s) ( x 5) + y = x + 5 x 10x y = x + 10x + 5 y = 0x b) P(x, y) punto de la parábola d(p, F) = d(p, s) x + ( y ) = y + x + y 4y + 4 = y + 4y + 4 x = 8y La ecuación es de la forma: (x + 1) = p(y 3) Como (, ) está en la parábola: ( + 1) = p( 3) p = Ecuación de la parábola: (x + 1) = ( 3) 5 y 5x + 10x + 9y = a) V(3, 0) p = p = 1 F, 0 Directriz: x = 5 343

26 b) V(4, 1) p = 4 p = F(5, 1) Directriz: x = 3 c) V(0, ) p = 6 p = 3 F 0, Directriz: y = 1 d) V(3, 1) p = 8 p = 4 F(3, 1) Directriz: y = 3 e) V(0, 1) p = 4 p = F(0, ) Directriz: y = 0 f) V(1, 3) p = 8 p = 4 F( 1, 3) Directriz: x = 3 a) V(5, 3) p = 14 p = Foco: 13 F 5, 3 F 5, + Directriz: y = 3 y = 1 b) V(1, 6) p = 4 p = 1 Foco: 1 F 1 +, 6 F(, 6) Directriz: x = 1 1 x = 5 c) V(6, 4) p = 8 p = 4 Foco: 4 F 6 +, 4 F(4, 4) Directriz: x = 6 4 x = 8 d) V( 4, ) p = 4 p = Foco: F 4, + F( 4, 8) Directriz: y = y = 6 e) V(0, ) p = 18 p = 9 Foco: 9 9 F 0, F, + Directriz: x = x = f) V(0, 1) p = 9 p = 9 Foco: 9 13 F 0, 1 F 0, + = 4 4 Directriz: y = y = 4 a) Ecuación de la forma: (x + 5) = p(y 8) p F 5, 8 + = 8 + p p = 1 Ecuación de la parábola: (x + 5) = ( 1)(y 8) (x + 5) = 4(y 8) x + 10x + 4y 16 = 0 b) Ecuación de la forma: (y ) = p(x 3) p F 3 +, 0 = 3 + p p = 6 Ecuación de la parábola: (y ) = ( 6)(x 3) y 14y + 1x + 13 = 0 c) Sea P(x, y) un punto de la parábola, entonces d(p, F) = d(p, s): ( x 3) ( 5) + y = x 10 x 6x y 10y + 5 = x 0x Ecuación de la parábola: y 10y + 14x 66 = 0 344

27 d) s: x = 3 Ecuación de la forma: (y 3) = p(x ) y s: x = 3 = p p = 10 Ecuación de la parábola: 9 (y 3) = 10(x ) (y 3) = 0(x ) y 6y 0x + 49 = 0 La parábola es de la forma (x h) = p(y k), siendo V(h, k) Como A, B y C pertenecen a la parábola: ( h) = p( 4 k ) h 4h + 8p + pk + 4 = 0 ( h) = p( 4 k ) h + 4 h 8p + pk + 4 = 0 ( 3 h) = p( k ) h + 6 h 4p + pk + 9 = 0 Se resta la primera ecuación a las otras dos: h 16p = 0 h = p 10 p 1p + 5 = 0 p = h = h 1p + 5 = 0 Se sustituye p y h en la primera ecuación: k = = Ecuación de la parábola: x + = y

28 a) x + y 3 = 5 Ecuación de la circunferencia: 5x + 5y = 9 b) x + (y ) = 14 Ecuación de la circunferencia: x + y 14y 14 = 0 c) (x 5) + y = Ecuación de la circunferencia: x + y 10x 4 = 0 d) (x ) + (y + 1) = 5 Ecuación de la circunferencia: x + y 14x + y + 5 = 0 e) (x ) + (y + 1) = 3 Ecuación de la circunferencia: 9x + 9y 36x + 18y + 43 = 0 f) (x 6) + (y 8) = ( ) Ecuación de la circunferencia: x + y 1x 16y + 98 = 0 g) (x 1) + (y 4) 1 = Ecuación de la circunferencia: 4x + 4y 96x 3y = 0 h) (x + 4) + (y + 3) = 8 Ecuación de la circunferencia: x + y + 8x + 6y 39 = 0 a) La ecuación es de la forma: (x + ) + (y + 5) = r Como (6, 1) está en la circunferencia: (6 + ) + (1 + 5) = r r = 10 Ecuación de la circunferencia: (x + ) + (y + 5) = 10 x + y + 4x + 10y 1 = 0 b) La ecuación es de la forma: (x ) + (y ) = r Como (0, 0) está en la circunferencia: ( ) + ( ) = r r = 53 Ecuación de la circunferencia: (x ) + (y ) = ( ) 53 x + y 14x 4y = 0 c) La ecuación es de la forma: (x 4) + (y + ) = r d(c, OY) = 4 = r Ecuación de la circunferencia: (x 4) + (y + ) = 4 x + y 8x + 4y + 4 = 0 d) La ecuación es de la forma: x + (y + 3) = r d(c, OX) = 3 = r Ecuación de la circunferencia: x + (y + 3) = 3 x + y + 6y = 0 346

29 e) Longitud del diámetro: d((5, 4),( 5, 1)) = ( 5 5) + (1+ 4) = 5 5 r = ( 5) , = 3 0, 3 C 0, Ecuación de la circunferencia: x 3 + y + = 5 5 4x + 4y + 1y 116 = 0 f) Longitud del diámetro: d((, 6), (1, 3)) = (1 ) + (3 + 6) = 3 13 r = , = 3 4, 3 C 4, Ecuación de la circunferencia: (x 4) 3 + y + = x + 4y 3x + 1y 44 = 0 a) La distancia entre los dos puntos es mayor que 4, con lo que no pueden estar los dos en una circunferencia de diámetro 4. b) La ecuación es de la forma: (x a) + (y b) = 5 Pasa por ( 5, 4) ( 5 a) + ( 4 b) = 5 a + b 10 a 8b + 16 = 0 Pasa por (, 3 ) ( a) + ( 3 b) = 5 a + b + 4 a 6 b 1 = 0 Restamos la segunda ecuación a la primera: 14a b + 8 = 0 b = 14 a Sustituimos en la primera ecuación: a + (14 a) 10a 8(14 a) + 16 = 0 a 3a + = 0 a1 = 1 y a = Si a = 1 b = y la ecuación de la circunferencia es (x 1) + (y ) = 5 x + y x 14y + 5 = 0 Si a = b = 0 y la ecuación de la circunferencia es (x ) + y = 5 x + y 4x 1 = 0 34

30 a) 9 x + (y + 4 3) = No es una circunferencia. 4 b) (x + 4) + (y 5) = 38 Corresponde a una circunferencia con C( 4, 5) y r = 38. c) (x + 5) + (y + 6) = 8 Corresponde a una circunferencia con C( 5, 6) y r =. d) 1 x + (y ) = No es una circunferencia. 4 e) (x + 1) + (y + 3) = 0 No es una circunferencia. f) (x + 4) + (y + 5) = 0 No es una circunferencia. a) La ecuación es de la forma: x + y + Dx + Ey + F = 0 Como D, E, F están en la circunferencia: D + E8 + F = 0 D + 8E + F + 68 = 0 + ( 5) + D + E( 5) + F = 0 D 5E + F + 9 = 0 F = 0 D + 8E + 68 = 0 D 5E + 9 = 0 Restamos la segunda ecuación a la primera: 13E + 39 = 0 E = 3 Sustituimos en la primera: D + 8 ( 3) + 68 = 0 D = Ecuación de la circunferencia: x + y x 3y = 0 b) La ecuación es de la forma: x + y + Dx + Ey + F = 0 Como D, E, F están en la circunferencia: D F = 0 4D + F + 16 = 0 F = 4D 16 ( 1) + ( ) + D( 1) + E( ) + F = 0 D E + F + 5 = D + E4 + F = 0 D + 4E + F + 1 = 0 Sustituimos en las dos ecuaciones: D E 4D = 0 5D E 11 = 0 D + 4E 4D = 0 3D + 4E + 1 = 0 D = 1 F = E = Ecuación de la circunferencia: x + y 1 x 19y = 0 13x + 13y 1x 19y 14 = 0 348

31 c) La ecuación es de la forma: x + y + Dx + Ey + F = 0 Como D, E, F están en la circunferencia: E + F = 0 E + F + 4 = 0 F = E D + E + F = 0 D + E + F + 50 = 0 ( 3) + ( 4) + D( 3) + E( 4) + F = 0 3D 4E + F + 5 = 0 Sustituimos en las dos ecuaciones: D + E E = 0 D + 5E + 46 = 0 E = 3D 4E E = 0 3D 6E + 1 = 0 D = 1 3 Ecuación de la circunferencia: 53 F = x 53y 94 x + y + + = 0 3x + 3y + 1x 53y + 94 = La ecuación de la circunferencia es: ( x ) + ( y 8) = 5 x + y 4x 16y + 43 = 0 Las coordenadas del punto más próximo son: M, A = 4 a = B = b = 1 Centro = (, 1) C = 0 Como C = a + b r r = 5 La recta normal pasa por el punto (, ) y el centro (, 1) 3x 4y + = 0 La recta tangente pasa por el punto (, ) y es perpendicular a la normal 4x + 3y 14 = 0 349

32 La ecuación de la tangente es de la forma: y = Ax + B Como es tangente a la circunferencia, la intersección entre la recta y la circunferencia es un único punto: x + (Ax + B) = 1 (1 + A )x + ABx + B 1 = 0 Discriminante: (AB) 4(1 + A )(B 1) = 0 B + A + 1 = 0 Como P(5, 3) pertenece a la tangente: 3 = A5 + B B = 3 5A Sustituyendo B en la ecuación del discriminante se tiene 1A + 15A + 4 = 0, y resolviendo esta ecuación: A = B = A = B = Rectas tangentes: y = x + 4y = ( ) x + ( ) Rectas tangentes: y = x + 4y = ( ) x + ( ) r = dc (, t) = = = La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x 1) + (y + 3) = 5 5x + 5y 10x + 30y + 48 = 0 r = d(c, t) = = 5 La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x 3) + (y + 4) = 5 x + y 6x + 8y = 0 350

33 r = d( C, t) = = = La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x 4) + (y + ) = 45 x + y 16x + 8y 5 = 0 C( 0, k ) r = d ( C, t) = 0 + k + 5 k + 5 k + 5 = = La ecuación de la circunferencia es de la forma: x + (y k) = ( k + 5) 4 x + (y k) = ( k + 5 ) Como ( 3, ) está en la circunferencia: ( 3) + ( k) = ( k + 5 ) k = 1 Ecuación de la circunferencia: x + (y 1) = 18 x + y y 1 = 0 El centro equidista de los puntos A y B, entonces, se encuentra en la mediatriz del segmento AB. Sea P(x, y) un punto de esa mediatriz, entonces d(a, P) = d(b, P). ( x 3) ( 9) + y = ( x 8) ( y 4) + x 6x + y 18y + 90 = x 16x + y 8y + 80 x y + 1 = 0 El centro es la intersección de esa recta y la recta dada: x y + 1= 0 C(3, 4) r = (3 3) + (4 9) = 5 x 5y + 14 = 0 Ecuación de la circunferencia: (x 3) + (y 4) = 5 x + y 6x 8y = 0 El centro está en la recta x + y = 0, por tanto, sus coordenadas serán de la forma C(h, h). C(h, h) r = d(c, t) = h + 5h = h La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) + (y + h) = ( h + 1 ) 9 Como (, 1) está en la circunferencia: ( h) + (1 + h) = ( h + 1 ) h 8h + 16 = 0 h = 4 9 Ecuación de la circunferencia: (x 4) + (y + 4) = 9 x + y 8x + 8y + 3 = 0 351

34 El centro está en la recta 3x 4y + = 0, por tanto, sus coordenadas serán de la forma 3h C h, h + 3h C h, + h r = d(c, t) = = h La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) 3h + + y 4 = ( h + 18 ) 3 Como ( 3, 1) está en la circunferencia: ( 3 h) 3 + h = ( h + 18 ) 3 h + 1h + 36 = 0 h = 6 Ecuación de la circunferencia: (x + 6) + (y + 4) = 18 x + y + 1x + 8y + 34 = 0 C(h, 0) r = d(c, t) = 3h = 3 h La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) + y = ( 3h + 4 ) 13 Como (, 5) está en la circunferencia: ( h) + 5 = ( 3h + 4 ) 13 h = Ecuación de la circunferencia: x + y = x + 5y 988x = 0 El centro está en la recta x + y = 0, por tanto, sus coordenadas serán de la forma C(h, h ). C(h, h ) r = d(c, t) = 4h + 3( h ) = h 5 5 La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) + (y h + ) = ( h 5 ) 5 Como (4, 4) está en la circunferencia: (4 h) + ( 4 h + ) = ( h 5 ) 5 Ecuación de la circunferencia: x + (y + ) = 5 h = 0 35

35 (x 3) + (mx + ) = 4 (1 + m )x 6x + 5 = 0 Discriminante: 36 4 (1 + m ) 5 = m 16 0m = 0 m = 4 5 m = 5 ± Tangente m < 0 m < 16 0m > 0 5 y m > < m < Exterior. Secante. x + 4x + (mx + ) 6(mx + ) 1 = 0 (1 + m )x (4 m)x 0 = 0 Discriminante: (4 m) 4 ( 0) (1 + m ) = 84m 16m m 16m + 96 = 0 No tiene solución. 84m 16m + 96 < 0 No tiene solución. 84m 16m + 96 > 0 Siempre La recta es secante para cualquier valor de m. y + k a) x = 3 y + k 3 + y + 6 y k y 6 = 0 13y + ( k)y + k + 18k 54 = 0 Para que la recta sea tangente a la circunferencia, la solución debe ser única: Discriminante: ( k) 4 13 (k + 18k 54) = 0 k = 1± 403 y + k b) x = 4 y + k 4 + y y k y 1 = 0 0y + (11 + 4k)y + k 4k 16 = 0 Para que la recta sea tangente a la circunferencia, la solución debe ser única: Discriminante: (11 + 4k) 4 0 (k 4k 16) = 0 k = ±

36 a) C1: (x 4) 5 + y + = 11 5 Centro 4, 4 y r1 = 11 C: (x 4) 5 + y + = Centro 4, 4 y r = 149 El centro es el mismo y r > r1 Son concéntricas. b) C1: x C: x d(c1, C) = 11 + y = Centro, 4 y r1 = 18 + (y 5) = Centro, 5 y r = = 1 < r1 r Son interiores. c) C1: (x + 4) + (y + ) = 31 Centro ( 4, ) y r1 = 31 C: (x 3) + (y 4) = 4 Centro (3, 4) y r = d(c1, C) = ( 4 3) + ( 4) = 85 > r1 + r Son exteriores. d) C1: (x + ) + (y + 1) = 1 Centro (, 1) y r1 = 1 C: (x 1) + (y 4) = 49 Centro (1, 4) y r = d(c1, C) = (1+ ) + (4 + 1) = 5,83 < r r1 Son interiores. e) C1: (x + ) + (y 1) = 0 Centro (, 1) y r1 = 5 C: (x 6) + (y 5) = 16 Centro (6, 5) y r = 4 d(c1, C) = (6 + ) + (5 1) = 4 5 > r + r1 Son exteriores. f) C1: (x + 4) + (y ) = Centro ( 4, ) y r1 = C: (x 1) + (y + 3) = 3 Centro (1, 3) y r = 3 d(c1, C) = (1+ 4) + ( 3 ) = 5 = r + r1 Son tangentes exteriores. 354

37 a) C1: (x 3) + (y 3) = 5 Centro (3, 3) y r1 = 5 C: (x 4) + y = 5 Centro (4, 0) y r1 = 5 d(c1, C) = (4 3) + (0 3) = 10 < r1 + r y 10 > r1 r Secantes (dos puntos de intersección). Se resuelve el sistema formado por C1 y C: Se resta C a C1: x 3y + 1 = 0 x = 3y 1 Se sustituye en C: (3y 1) + y 8(3y 1) + 11 = 0 y 3y + = 0 y1 = 1, y = x1 =, x = 5 Puntos de intersección: (, 1) y (5, ) b) C1: (x + 3) + (y ) = 5 Centro ( 3, ) y r1 = 5 C: (x + ) + (y 5) = 5 Centro (, 5) y r1 = 5 d(c1, C) = ( + 3) + (5 ) = 10 < r1 + r y 10 > r1 r Secantes (dos puntos de intersección). Se resuelve el sistema formado por C1 y C: Se resta C a C1: x + 3y 8 = 0 x = 3y + 8 Se sustituye en C1: (8 3y) + y + 6(8 3y) 4y + 8 = 0 y y + 1 = 0 y1 = 3, y = 4 x1 = 1, x = 4 Puntos de intersección: ( 1, 3) y ( 4, 4) C(1, 3) r = k d(p, C) = (1+ 3) + ( 3 ) = 41 Si k = 41 P pertenece a la circunferencia. Si k > 41 P es interior. Si 0 < k < 41 P es exterior. Sea P(x, y) un punto del lugar geométrico, entonces ( x 1) + ( y + ) x ( y 3) = 5 x 10y + 9 = 0 355

38 Calculamos la intersección de la recta y la circunferencia: x = 5 y (5 y) + y = 5 y 4y = 0 y1 = 0, y = 4 x1 = 5, x = 3 Los puntos de intersección de la recta y la circunferencia son A(5, 0) y B( 3, 4). Longitud de la cuerda: d(a, B) = (5 + 3) + (0 + 4) = x + y + = 4 r = 45 45π Área = π r = C1: (x ) + (y + 3) = 1 r1 = 1 A = π r = π C: (x ) + (y + 3) = 4 r = 4 A = π r = π Área corona circular = A A = 4 π π = 3π Como el centro equidista de los puntos, se encuentra en la mediatriz de AB: P(x, y) punto de la mediatriz: d(a, P) = d(b, P) ( x 1) + ( y + ) = ( x 5) + ( y + 3) 8x y 9 = 0 El centro es el punto de intersección de la mediatriz y la recta dada: 8 x y 9 = 0 x = y x y + = 0 8 ( y ) y 9 = 0 y = x C, = r = d(a, C) = = Ecuación de la circunferencia: x + y = 356

39 El centro de la circunferencia es la intersección de las bisectrices de las intersecciones de las rectas. Sea P(x, y) un punto de la bisectriz del ángulo formado por las rectas r y t, entonces d(p, r) = d(p, t): x + y = x + y La solución son dos ecuaciones. Se elige la recta adecuada que pasa por la circunferencia: x + y + = x y + 5 x + y 1 = 0 Sea P(x, y) un punto de la bisectriz del ángulo formado por las rectas s y t, entonces d(p, s) = d(p, t): x y = x + y La solución son dos ecuaciones. Se elige la recta adecuada que pasa por la circunferencia: x y 10 = x + y 5 x 3y 5 = 0 Intersección de las dos rectas: x + y 1= 0 x =, y = 1 Centro de la circunferencia: C(, 1) x 3 y 5 = 0 Radio de la circunferencia: r = d(c, t) = 5 = 5 = Ecuación de la circunferencia: (x ) + (y + 1) = 5 x + y 4x + y = 0 35

40 La ecuación es de la forma: x + y + Ax + By + C = 0 Como A(1, 0) pertenece a la circunferencia: A + C = 0 A + C + 1 = 0 Como B( 3, 1) pertenece a la circunferencia: A + B + C = 0 3A + B + C + 10 = 0 Como C(5, ) pertenece a la circunferencia: A + B + C = 0 5A + B + C + 9 = 0 Se resuelve el sistema: A = 5, B = 6 3, C = 3 Ecuación de la circunferencia: x + y 5 6 x 3 3 y 1 6 = 0 6x + 6y 5x 4y 1 = El circuncentro del triángulo es el centro de la circunferencia: x + y = x y = Circuncentro:,

41 Los centros de las se encuentran en la bisectriz del ángulo formado por los ejes: x y = 0 Los centros serán de la forma C(h, h). La ecuación de la circunferencia es de la forma: (x h) + (y h) = r La intersección de las circunferencias con los ejes es un único punto. Con el eje Y: x = 0 (0 h) + (y h) = r y hy + h r = 0 Como la solución es única 4h 4(h r ) = 0 h = r La ecuación queda de la forma: x + y hx hy + h = 0 P( 1, 3) pertenece a la circunferencia: ( 1) + ( 3) h( 1) h( 3) + h = 0 h = r = 4 ± 6 Ecuaciones de las circunferencias: C1: ( x ) + ( y ) = ( 4 6 ) C: ( x + 4 6) + ( y ) = ( ) 359

42 360

43 ( x 10) + ( y ) = 81 x + y 0x 4y 3 = 0 Consideramos el centro O(0, 0) en el centro de la elipse. 0 a 10 x y b = 6 = = + = 1 es la ecuación de la elipse que forma el arco del puente. 361

44 Despejamos y en la ecuación de la recta: y = x 1 Calculamos los puntos de intersección de la recta y la elipse sustituyendo en la ecuación de la elipse: 9x + (x 1) 63 = 0 3x 8x 56 = 0 x = 14 ± 18 3, y = 9 ± Los puntos son: + +, 3 3 y , 3 3 Longitud de la cuerda es la distancia entre los puntos: = 36 + = ( 1+ 4) 3 =

45 a = a = e = 0,016 = c a c = 0, = La distancia máxima entre la Tierra y el Sol es cuando la Tierra se sitúa en el eje focal. Su distancia en ese punto es: a + c = km Como a = b + c b = Ecuación de la elipse: x y + = a) De la hipérbola se tiene: y = 58 6x Sustituyendo en la ecuación de la elipse: x 3(58 6x ) = 6 0x 180 = 0 x = 9 x = ±3 Los puntos de corte son: (3, ), ( 3, ), (3, ), ( 3, ) 363

46 Consideramos el centro O(0, 0) en el vértice de la parábola. La ecuación de la parábola es de la forma: x = py Son puntos de la parábola: (10, 30) y ( 10, 30) 10 = p30 p = 40 Ecuación de la parábola: x = 480y Consideramos el centro O(0, 0) en el vértice de la parábola. La ecuación de la parábola es de la forma: x = py 30 Los puntos, h = (160, h) y (18, (h 3)) = (18, 3 h) pertenecen a la parábola, por tanto: = p( h) p = = h h = p( 3 h) p = = (3 h) 3 h h = h = 4 608h h 89 m 364

47 La ecuación de la parábola es de la forma: x = py F(0, 10) p = 0 Ecuación de la parábola: x = 40y Como el ángulo en el vértice O es recto, el área del triángulo es: OA OC 8 3 = = 8 u 365

48 a) y = (x + 1) Vértice: ( 1, 0) 1 1 p = 1 p = F 1, 4 Directriz: 1 y = 4 b) 4y 10 = (x 5 8x + 16) 4 y = (x 4) 5 Vértice: 4, 3 p = 4 p = F 4, Directriz: y = c) y 8 = 4(x 1 x + 1) ( y 8) = (x 1) Vértice: (1, 8) p = p = F 1, Directriz: 1 y = 16 d) = = y 6 x x y x 3 10 Vértice:, p = p = F, Directriz: 161 y = 1 366

49 e) x y x + 5y + 3 = 0 x y + = 5 3 y x + = 3 5 La cónica es una hipérbola de centro, con eje focal paralelo al eje Y: 3 5 a = b = A, + = 3 5 Y +,, 3 5 A', = 3 5, X c = a + b c = F +,, F ', 36

50 PARA PROFUNDIZAR Las circunferencias son tangentes a los ejes, con lo que sus distancias a ellos es su radio (r); como son también tangentes exteriores a la circunferencia, la distancia entre sus centros es r + 1 (la suma de sus radios). Se obtiene un triángulo rectángulo; aplicando Pitágoras: (r + 1) = (3 r) + r r 8r + 8 = 0 r = 4 ± Su suma es 8. Se resuelve el sistema que forma la intersección de las dos circunferencias: 4 + = = 0 x x y y x x y y Si se resta la segunda ecuación a la primera se obtiene la recta: 3x + y = 9 Se trata de una circunferencia de centro C( 6, 10) y radio 4. Consideramos el punto simétrico de A respecto del eje X, A (, 5), y un punto B en la circunferencia. El camino más corto, partiendo del punto A(, 5), que pasa por el eje X y acaba en B tiene la misma longitud que el camino más corto partiendo de A (, 5), que pasa por el eje X y acaba en B. Este camino mide 4 unidades menos que el segmento A C, ya que B está en la circunferencia. A' C 4 = ( + 6) + ( 5 10) 4 = 13 Se resuelve sistema formado por las dos ecuaciones para hallar su intersección: De la segunda ecuación se obtiene y = k. Se sustituye en la primera: x x k + x = k x 4 k x + k = 0 x = k ± k 4k 4 No tiene solución si k 4 4k < 0 k < 4 Los valores enteros que cumplen esta condición son el 1 y el 1. El 0 no cuenta, pues en ambas ecuaciones resulta el origen. Por tanto, la respuesta sería. 368

51 Tenemos que Q(a, y1) cumple a + y = r y = r a. 1 1 Sabemos que y = ky1, con k 0. Sustituyendo, obtenemos: y a y x y y = k r a a + = r 1 1 k + = + = r kr r kr Por lo que el lugar geométrico pedido sería una elipse con un semieje de longitud el radio de la circunferencia el otro de longitud la constante k multiplicada por el radio. 369

52 a) Sea L(x, y) un punto de ese lugar geométrico: Como es el punto medio del segmento PQ P(x, 0) y Q(0, y) Se aplica Pitágoras al triángulo OPQ: d(o, Q) = 10 4x y = 10 4x 4y = 100 4x x + y = 5 El lugar geométrico es una circunferencia de centro (0, 0) y radio 5. b) Sea L(x, y) un punto de ese lugar geométrico: Como es el centro del rectángulo la distancia d(c, P) = d(c, Q) = Diagonal Aplicando Pitágoras al cuadrado se obtiene: Diagonal = 10 Diagonal = 5 Aplicando Pitágoras al triángulo CEP: d(e, P) = ( ) 5 y Se aplica lo mismo para el triángulo con base en el eje Y, con lo que: ( ) 5 y = ( ) 5 x ( ) 5 y = ( ) 5 x x = y Las coordenadas del centro del cuadrado son iguales moviéndose este en un segmento de las bisectrices de los cuadrantes: C(c1, c) = (±5α, ±5α) siendo α 1,. c) Vértice Q: su lugar geométrico es la recta: x = 0 en el intervalo [ 10, 10]. Vértice P: su lugar geométrico es la recta: y = 0 en el intervalo [ 10, 10]. Vértice R: Sea L(x, y) un punto del lugar geométrico. Se aplica Pitágoras a los triángulos rayados del dibujo para obtener los lados del triángulo sombreado. Se aplica en él Pitágoras de nuevo: 100 = ( y 100 x ) + ( x 00 y ) El lugar geométrico es la ecuación: x 00 y + y 100 x 300 = 0 Vértice S: Sea L(x, y) un punto del lugar geométrico. Se aplica Pitágoras a los triángulos rayados del dibujo para obtener los lados del triángulo sombreado. Se aplica en él Pitágoras de nuevo: 100 = ( y 00 x ) + ( x 100 y ) El lugar geométrico es la ecuación: y 00 x x 100 y = 0 30

53 MATEMÁTICAS EN TU VIDA Una antena parabólica es una superficie metálica con forma de paraboloide de revolución que sirve de reflector de las señales y un elemento radiante situado en el foco que recibe las señales reflectadas. Tiene múltiples usos, por ejemplo: televisión vía satélite. Se forma al girar una parábola alrededor de un eje. No es una figura plana, es tridimensional. Al ser parabólicas reflejan las señales transmitidas que inciden paralelas al eje y se concentran en el foco, donde son convertidas al formato adecuado por un receptor. Ventajas: inalámbrico; accesible para personas que no pueden optar a otra tecnología. Inconvenientes: la recepción puede alterarse según las condiciones meteorológicas; la velocidad puede ser más lenta si se envía o recibe señal a largas distancias; pueden ser algo más caras que otras tecnologías. La ecuación de la parábola es de la forma: x = py F(0, 5) p = 50 x = 100y Como el diámetro es 1 m = 100 cm, uno de los extremos es x = 50 cm: 50 = 100y y = 5 cm La profundidad de la parábola es de 5 centímetros. x = 100y 31

54 3

COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS

COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS 01. Halla la ecuación de la circunferencia de centro ( 5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0). 02. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:

Más detalles

Lugares geométricos y cónicas

Lugares geométricos y cónicas Lugares geométricos y cónicas E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Lugar geométrico página 6.. Definición página 6. Circunferencia página 6.. Ecuación página 6.. Casos particulares página 67. Elipse página

Más detalles

Tema 3. GEOMETRIA ANALITICA.

Tema 3. GEOMETRIA ANALITICA. Álgebra lineal. Curso 087-009. Tema. Hoja 1 Tema. GEOMETRIA ANALITICA. 1. Hallar la ecuación de la recta: a) que pase por ( 4, ) y tenga pendiente 1. b) que pase por (0, 5) y tenga pendiente. c) que pase

Más detalles

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(,) a las coordenadas del punto genérico aplicando analíticamente

Más detalles

Cónicas. Marcos Marvá Departamento de Física y Matemáticas, Universidad de Alcalá. November 27,

Cónicas. Marcos Marvá Departamento de Física y Matemáticas, Universidad de Alcalá. November 27, Cónicas Marcos Marvá Departamento de Física y Matemáticas, Universidad de Alcalá November 27, 2013 marcos.marva@uah.es Cómo definir una cónica Como intersección de un plano y un cono recto de doble hoja

Más detalles

Lugar Geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz

Lugar Geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz 1 Lugar Geométrico Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan

Más detalles

Bloque 2. Geometría. 4. Iniciación a las Cónicas

Bloque 2. Geometría. 4. Iniciación a las Cónicas Bloque 2. Geometría 4. Iniciación a las Cónicas 1. La circunferencia Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Elevando al cuadrado

Más detalles

A pesar de la importancia de las cónicas como secciones de una superficie cónica, para estudiar los elementos y propiedades de cada una de ellas en

A pesar de la importancia de las cónicas como secciones de una superficie cónica, para estudiar los elementos y propiedades de cada una de ellas en SECCIONES CÓNICAS Las secciones cónicas se pueden definir como lugares geométricos en el plano, sin embargo la definición clásica de las cónicas, que se debe a Apolonio de Perga, se hizo mediante un procedimiento

Más detalles

1) Clasifica las siguientes cónicas y expresa sus focos y su excentricidad: a)

1) Clasifica las siguientes cónicas y expresa sus focos y su excentricidad: a) Ejercicios de cónicas 1º bachillerato C 1) Clasifica las siguientes cónicas y expresa sus focos y su excentricidad: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Soluciones: a) Circunferencia de centro ( y radio 3. Excentricidad

Más detalles

4. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(-2,3) y radio 4. Sol: (x+2) 2 +(y-3) 2 =16.

4. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(-2,3) y radio 4. Sol: (x+2) 2 +(y-3) 2 =16. Problemas de circunferencias 4. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(-2,3) y radio 4. Sol: (x+2) 2 +(y-3) 2 =16. 10. 5. Calcula la potencia del punto P(-1,2) a la circunferencia: x 2 +y

Más detalles

Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6

Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 página 1/13 Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 Hoja 1 1. Dado el segmento de extremos A( 7,3) y B(5,11), halla la ecuación de su mediatriz. 2. Halla la distancia del punto

Más detalles

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios:

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios: TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia.

Más detalles

B23 Curvas cónicas Curvas cónicas

B23 Curvas cónicas Curvas cónicas Geometría plana B23 Curvas cónicas Curvas cónicas Superficie cónica de revolución es la engendrada por una recta que gira alrededor de otra a la que corta. Curvas cónicas son las que resultan de la intersección

Más detalles

Introducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca

Introducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica I Contenido 1 Introducción 2 La Circunferencia 3 Parábola 4 Elipse 5 Hiperbola Objetivos Se persigue que el estudiante:

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de

Más detalles

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS Página PARA EMPEZAR, RELEXIONA Y RESUELVE Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas Completa la siguiente tabla, en la que α es el ángulo que forman las generatrices con el

Más detalles

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado.

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. Tema 5 Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. 5.0.1 Ecuaciones en dos variables. Una linea del plano es el conjunto de puntos (x, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F

Más detalles

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.

Más detalles

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS Álgebra Guía de Ejercicios º Elementos Elementos de Geometría Analítica Plana ELEME TOS DE GEOMETRÍA A ALÍTICA Distancia

Más detalles

1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0

1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0 Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Geometría Analítica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a

Más detalles

1 + r, y = y 1 + ry Si P es el punto medio del segmento P 1 P 2, entonces x = x 1 + x 2 2

1 + r, y = y 1 + ry Si P es el punto medio del segmento P 1 P 2, entonces x = x 1 + x 2 2 CAPÍTULO 5 Geometría analítica En el tema de Geometría Analítica se asume cierta familiaridad con el plano cartesiano. Se entregan básicamente los conceptos más básicos y los principales resultados (fórmulas)

Más detalles

TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS

TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 1 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 1 : Halla la ecuación de la circunferencia cuo centro es el punto P (1, ), que

Más detalles

Geometría Analítica Agosto 2016

Geometría Analítica Agosto 2016 Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Demostrar que los puntos dados no son colineales. 1) A (0, 5), B(3, 1), C( 11, 27) 2) A (1, 4), B( 2, 10), C(5, 5) II.- Demostrar que los puntos dados forman

Más detalles

Lugares geométricos. Cónicas

Lugares geométricos. Cónicas Lugares geométricos. Cónicas Lugares geométricos. Cónicas LITERATURA Y MATEMÁTICAS El rescoldo Después de Navidad [9], Jesús Vio tuvo una larga charla con [el profesor] Harold Lardy para orientar el trabajo

Más detalles

1 + 3(0, 2) = ( 1, 2) + (0, 6) = ( 1, 4) ) ( = arc cos e 5

1 + 3(0, 2) = ( 1, 2) + (0, 6) = ( 1, 4) ) ( = arc cos e 5 utoevaluación Página Dados los vectores uc c, m v (0, ), calcula: a) u b) u + v c) u : ( v) uc c, m v (0, ) a) u c m + ( ) b) u + v c c, m + (0, ) (, ) + (0, 6) (, ) c) u : ( v) () (u v ) c 0 +( m ) (

Más detalles

Geometría Analítica Enero 2015

Geometría Analítica Enero 2015 Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son los puntos dados. A( 2,, B( 8,, C( 5, 10) R( 6, 5) S( 2, - T(3,- U( -1, - V( 2, - W( 9, 4) II.- Demuestre

Más detalles

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. La Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Características geométricas. a) Vértice. Es el

Más detalles

LA PARÁBOLA ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA. x 2px p y x 2px p. Geometría Analítica

LA PARÁBOLA ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA. x 2px p y x 2px p. Geometría Analítica ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA DEFINICIÓN LA PARÁBOLA Parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz (L) y de un punto fijo exterior

Más detalles

RESUMEN TEÓRICO LUGARES GEÓMETRICOS. CÓNICAS (circunferencia y elipse)

RESUMEN TEÓRICO LUGARES GEÓMETRICOS. CÓNICAS (circunferencia y elipse) RESUMEN TEÓRICO LUGARES GEÓMETRICOS. CÓNICAS (circunferencia y elipse) 1. LUGARES GEOMÉTRICOS Definición: Se llama lugar geométrico a la figura que forman un conjunto de puntos que cumplen una determinada

Más detalles

Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.

Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos. Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =

Más detalles

UNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS

UNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS UNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS Objetivos Geometría analítica Introducción L cónica sección cónica Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A B C D E F 4.1. Circunferencia Circunferencia es el conjunto

Más detalles

Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.

Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos. Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =

Más detalles

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos

Más detalles

Cónicas y cuádricas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

Cónicas y cuádricas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola Grado en Óptica y Optometría Curso 2009-2010 Cónicas y cuádricas. Curvas cónicas Entre las curvas, quizás más importante y con más renombre, figuran las conocidas como curvas cónicas, cuyo nombre proviene

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 268 GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Profra: Citlalli Artemisa García García 1) Qué es la pendiente? 2) Cómo es la pendiente de rectas

Más detalles

Se quiere instalar un gran depósito de propano para abastecer a una factoría industrial y a dos urbanizaciones.

Se quiere instalar un gran depósito de propano para abastecer a una factoría industrial y a dos urbanizaciones. Resuelve Página Dónde se situará el depósito? Se quiere instalar un gran depósito de propano para abastecer a una factoría industrial y a dos urbanizaciones. Han de cumplirse las siguientes condiciones:

Más detalles

IPN CECYT 7 CUAUHTEMOC ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUÍA PARA EL E.T.S GEOMETRÍA ANALÍTICA

IPN CECYT 7 CUAUHTEMOC ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUÍA PARA EL E.T.S GEOMETRÍA ANALÍTICA IPN CECYT 7 CUAUHTEMOC ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUÍA PARA EL E.T.S DE GEOMETRÍA ANALÍTICA CONCEPTOS BÁSICOS 1.- Hallar la distancia entre los pares de puntos cuyas coordenadas son: a) A (4, 1), B (3, 2)

Más detalles

TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 1. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 1. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 1 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(x,) a las

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3 Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los

Más detalles

Guía de Estudio Algebra y Trigonometría Para Ciencias Agropecuarias

Guía de Estudio Algebra y Trigonometría Para Ciencias Agropecuarias Guía de Estudio Para Ciencias Agropecuarias Unidad: Geometría Analítica Los siguientes ejercicios están relacionados con los principales temas de Geometría Analítica e involucra todos los conocimientos

Más detalles

PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO.

PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO. PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO. FACULTAD DE MATEMATICAS UNIVERSIDAD VERACRUZANA 2010 Xalapa, Ver. México 1 1. La distancia entre dos puntos en la recta real es 5. Si uno de los puntos

Más detalles

22. CURVAS CÓNICAS-ELIPSE

22. CURVAS CÓNICAS-ELIPSE 22. CURVAS CÓNICAS-ELIPSE 22.1. Características generales. Las curvas cónicas son las secciones planas de un cono de revolución. El cono de revolución es la superficie que genera una recta r al girar alrededor

Más detalles

Rectas y Cónicas. Sistema de Coordenadas Cartesianas. Guía de Ejercicios # Encuentre las coordenadas de los puntos mostrados en la figura.

Rectas y Cónicas. Sistema de Coordenadas Cartesianas. Guía de Ejercicios # Encuentre las coordenadas de los puntos mostrados en la figura. Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales Escuela de ingeniería Forestal Departamento de Botánica y Ciencias Básicas Matemáticas I I 2014 Prof. K. Chang. Rectas y Cónicas Guía

Más detalles

Formulario de Geometría Analítica

Formulario de Geometría Analítica 1. El Punto 1.1. Distancia entre dos puntos Sean A(x 1, y 1 ) y B(x, y ) dos puntos en el plano. La distancia d entre ambos está dada por la ecuación: d(a, B) = (x x 1 ) + (y y 1 ) 1.. Punto medio: Sean

Más detalles

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: GEOMETRÍA ANALITICA GUÍA DE ESTUDIO PARA LA ÚLTIMA OPORTUNIDAD DE ACREDITAR LA MATERÍA

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: GEOMETRÍA ANALITICA GUÍA DE ESTUDIO PARA LA ÚLTIMA OPORTUNIDAD DE ACREDITAR LA MATERÍA Geometría analítica 1.- Ecuación de la recta 2.- Cónicas 3.-Ecuación de la parábola UNIDAD II: CONICAS (CIRCUNFERENCIA Y PARABOLAS) Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de

Más detalles

UNIVERSIDAD DE ATACAMA

UNIVERSIDAD DE ATACAMA UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ALGEBRA I GUÍA N o 2 DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Profesor: David Elal Olivero Primer año Plan Común de Ingeniería Primer Semestre 2009

Más detalles

CONICAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS ( problemas resueltos)

CONICAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS ( problemas resueltos) CONICAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS ( problemas resueltos) Ejercicio nº 1.- Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (, 3) que es tangente a la recta 3 4 + 5 = 0. El radio, R, de la circunferencia

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es

Más detalles

ESTUDIO GRÁFICO DE LA ELIPSE.

ESTUDIO GRÁFICO DE LA ELIPSE. Curvas Cónicas para Dibujo y Matemáticas. Aplicación web Dibujo Técnico para ESO y Bachillerato Matemáticas para Bachillerato Educación Plástica y Visual Autor: José Antonio Cuadrado Vicente. ESTUDIO GRÁFICO

Más detalles

Indice Elementos de geometr ıa anal ıtica onicas Coordenadas Polares

Indice Elementos de geometr ıa anal ıtica onicas Coordenadas Polares Índice 1 Elementos de geometría analítica 2 1.1 Introducción....................................... 2 1.2 Sistema de coordenadas rectangulares......................... 2 1.3 Distancia entre dos puntos...............................

Más detalles

LA RECTA Y SUS ECUACIONES

LA RECTA Y SUS ECUACIONES UNIDAD LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivo. Recordarás

Más detalles

CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS

CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS 2º BACH CURVAS TÉCNICAS CURVAS CÓNICAS ANA BALLESTER JIMÉNEZ CURVAS TÉCNICAS 1. ÓVALOS. El óvalo es una curva cerrada, plana y convexa formada generalmente por cuatro arcos de circunferencia iguales dos

Más detalles

Circunferencias. d) A( 1, 5) y d = X = (x, y) punto genérico del lugar geométrico. b) dist (X, A) = d

Circunferencias. d) A( 1, 5) y d = X = (x, y) punto genérico del lugar geométrico. b) dist (X, A) = d Circunferencias 6 Halla, en cada caso, el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A es d. a) A(, ) y d = b) A(, ) y d = 1 c) A(, ) y d = 1 d) A( 1, ) y d = X = (x, y) punto genérico

Más detalles

PARABOLA Y ELIPSE. 1. La ecuación general una parábola es: x y 40 = 0. Poner la ecuación en la forma: (x h) 2 = 4p (y k).

PARABOLA Y ELIPSE. 1. La ecuación general una parábola es: x y 40 = 0. Poner la ecuación en la forma: (x h) 2 = 4p (y k). PARABOLA Y ELIPSE 1. La ecuación general una parábola es: x + 0y 40 = 0. Poner la ecuación en la forma: (x h) = 4p (y k). x = 0 (y ) (x ) = 0y x = 0 (y ) x = 0 (y + ) (x 40) = 0y. Hallar la ecuación de

Más detalles

Tema 6 La recta Índice

Tema 6 La recta Índice Tema 6 La recta Índice 1. Ecuación vectorial de la recta... 2 2. Ecuaciones paramétricas de la recta... 2 3. Ecuación continua de la recta... 2 4. Ecuación general de la recta... 3 5. Ecuación en forma

Más detalles

Es la elipse el conjunto de puntos fijos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Es la elipse el conjunto de puntos fijos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. ESQUEMA LAS CÓNICAS LA PARÁBOLA ECUACIONES DE LA PARÁBOLA ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA ELIPSE ECUACIONES DE LA ELIPSE PROPIEDADES DE LA ELIPSE LA HIPÉRBOLA ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA 10 ASÍNTOTAS

Más detalles

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT LÁZARO CÁRDENAS DEL RÍO ÁREA BÁSICA ACADÉMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT LÁZARO CÁRDENAS DEL RÍO ÁREA BÁSICA ACADÉMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO PRIMER EXAMEN PARCIAL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT LÁZARO CÁRDENAS DEL RÍO ÁREA BÁSICA ACADÉMIA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO GUÍA DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 2016-2017A SISTEMA DE COORDENADAS, LUGARES

Más detalles

Página 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo

Página 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo 44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 +

Más detalles

UNPSJB - Facultad Ciencias Naturales - Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 2014 CONICAS

UNPSJB - Facultad Ciencias Naturales - Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 2014 CONICAS Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 014 CONICAS La superficie que se muestra en la figura se llama doble cono circular recto, o simplemente cono. Es la superficie tridimensional generada por una recta

Más detalles

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias

Más detalles

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 3 b) y 16 x Lugares geométricos y cónicas

Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 3 b) y 16 x Lugares geométricos y cónicas Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN 4 La ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta x y 4, y del punto P (, ) es: a) x y x y 68 0 b) 4x 9y

Más detalles

PROBLEMARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

PROBLEMARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PROBLEMARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Problemario de Geometría Analítica PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA COORDENADAS RECTANGULARES d = ( x y Distancia entre dos puntos x1) + ( y 1) x1 + rx x p = 1 + r

Más detalles

SECCIONES CÓNICAS. 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar?

SECCIONES CÓNICAS. 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar? SECCIONES CÓNICAS 1. Investiga: porqué el nombre de cónicas para las curvas que vamos a estudiar? 2. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO: es una ecuación de la siguiente forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey

Más detalles

1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?

1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? Pág. 1 Puntos 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? 2 Los puntos ( 2, 3), (1, 2) y ( 2, 1) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas

Más detalles

TEMA 5. CURVAS CÓNICAS.

TEMA 5. CURVAS CÓNICAS. 5.1. GENERALIDADES. TEMA 5. CURVAS CÓNICAS. Se denominan secciones cónicas a aquellas superficies que son producidas por la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución (una superficie

Más detalles

Se llama Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado centro.

Se llama Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado centro. Cónicas 1.- Circunferencia Definición 1 (Definición geométrica) Se llama Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto fijo llamado centro. Analíticamente la circunferencia

Más detalles

Tema 2. GEOMETRÍA ELEMENTAL Y ANALÍTICA.

Tema 2. GEOMETRÍA ELEMENTAL Y ANALÍTICA. Fundamentos Matemáticos para la Ingeniería. Curso 2015-2016. Tema 2. Hoja 1 Tema 2. GEOMETRÍA ELEMENTAL Y ANALÍTICA. 1. Un solar de forma triangular tiene dos lados de longitudes 140,5 m y 170,6 m, y el

Más detalles

2. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento

2. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento Geometría 1 Geometría anaĺıtica Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x e y tiene infinitas soluciones Por ejemplo x + y = 3 tiene como soluciones (0, 3), (1, ), ( 1, 4), etc Hasta ahora se han

Más detalles

Guía de estudio Nº 3: Ejercicios propuestos sobre Lugares geométricos. Secciones cónicas

Guía de estudio Nº 3: Ejercicios propuestos sobre Lugares geométricos. Secciones cónicas U.C.V. Facultad de Ingeniería CÁLCULO I (5) Guía de estudio Nº : Ejercicios propuestos sobre Lugares geométricos. Secciones cónicas.- Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos (, ) del plano

Más detalles

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo. GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de

Más detalles

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA SISTEMA COORDENADO CARTESIANO, DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ANGULO ENTRE DOS RECTAS y AREA 1) Transportar a una gráfica los siguientes puntos: a) ( 5, 2 ) b) (0, 0 ) c) ( 1 + 3, 1-3 ) d) ( 0, 3 ) e) ( -

Más detalles

Ecuación Vectorial de la Recta

Ecuación Vectorial de la Recta Ecuación Vectorial de la Recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r, el vector tiene

Más detalles

SECCIONES CÓNICAS (1)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta

SECCIONES CÓNICAS (1)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta LOS EJERCICIOS DEBEN RESOLVERSE TAMBIÉN USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO. LAS ECUACIONES PEDIDAS SON, EN TODOS LOS CASOS, LAS CANÓNICAS Y LAS PARAMÉTRICAS. I) GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO 1. Determinar y

Más detalles

P RACTICA. 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?

P RACTICA. 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? P RACTICA Puntos Si los puntos 6 ) 6) y ) son vértices de un cuadrado cuál es el cuarto vértice? 6) 6 ) ) P ) P Los puntos ) ) y ) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice?

Más detalles

PROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO

PROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta Pendiente Ecuación punto-pendiente de la recta Ecuación general de la recta Ecuación explícita de la recta

Más detalles

Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática. Matemática Números reales Elementos de geometría analítica. Profesora: Silvia Mamone

Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática. Matemática Números reales Elementos de geometría analítica. Profesora: Silvia Mamone Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática Matemática Números reales Elementos de geometría analítica 0 03936 Profesora: Silvia Mamone UB Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática

Más detalles

ELIPSE. Muchos cometas tienen órbitas extremadamente excéntricas. Por ejemplo, el cometa Halley, tiene una excentricidad orbital de casi 0.97!

ELIPSE. Muchos cometas tienen órbitas extremadamente excéntricas. Por ejemplo, el cometa Halley, tiene una excentricidad orbital de casi 0.97! ELIPSE Las órbitas de los planetas son elípticas. La excentricidad de la órbita de la Tierra es muy pequeña (menor de 0.2), de manera que la órbita es casi circular. La órbita de Plutón es la más excéntrica

Más detalles

UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas

UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas 009 UNIDAD 3: GEOMETRÍA ANALÍTICA Nociones preliminares, línea recta, estudio de las cónicas Se hace referencia a las definiciones, fórmulas y algunos ejemplos sobre los temas indicados Iván Moyota Ch.

Más detalles

ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

ALTURAS DE UN TRIÁNGULO TRIÁNGULO Polígono de tres lados. Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escálenos, si los

Más detalles

Cónicas: circunferencia y parábola

Cónicas: circunferencia y parábola Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Formación Básica Departamento de Matemática Álgebra y Geometría Analítica Cónicas: circunferencia y parábola

Más detalles

Geometría analítica. 3. Calcula u+ vy u v analítica y gráficamente en los siguientes. a) u (1, 3) y v(5,2) b) u (1, 3) y v(4,1) Solución:

Geometría analítica. 3. Calcula u+ vy u v analítica y gráficamente en los siguientes. a) u (1, 3) y v(5,2) b) u (1, 3) y v(4,1) Solución: 5 Geometría analítica. Operaciones con vectores Piensa y calcula Dado el vector v (3, 4) del dibujo siguiente, calcula mentalmente su longitud y la pendiente. D A v(3, 4) C O Longitud = 5 Pendiente = 4/3

Más detalles

ECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6.

ECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6. ECUACIÓN DE LA RECTA 1. El ángulo de inclinación de una recta mide 53º y pasa por los puntos ( 3, n) y ( 5, 4). Hallar el valor de n. A) 1 /5 B) 8 /5 C) 1 /5 D) 8 /5 E) 7 /3. Qué tipo de triángulo es el

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO Exámenes a Título de Suficiencia 2013/2

GUÍA DE ESTUDIO Exámenes a Título de Suficiencia 2013/2 Unidad de aprendizaje: SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA GEOMETRIA ANALITICA Departamento: UNIDADES DE APRENDIZAJE DEL ÁREA BÁSICA Nivel: 3 Academia: MATEMÁTICAS Turno: MATUTINO ELABORADA POR: FECHA DE ELABORACIÓN

Más detalles

Bloque 2. Geometría. 3. La recta. 1. Definición de recta

Bloque 2. Geometría. 3. La recta. 1. Definición de recta Bloque 2. Geometría 3. La recta 1. Definición de recta Para representar puntos en un plano (superficie de dos dimensiones) utilizamos dos rectas graduadas y perpendiculares, cuyo corte es el punto 0 de

Más detalles

Tema 6. Apéndice: La esfera

Tema 6. Apéndice: La esfera Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: La esfera (Apéndice del TEMA 6) 141 Tema 6 Apéndice: La esfera La superficie esférica (la esfera) es el conjunto de puntos del espacio que

Más detalles

Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución. (Fig. 31)

Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución. (Fig. 31) Dibujo Trazado de Curvas cónicas Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución. (Fig. 31) Fig. 31 Una superficie cónica de revolución es

Más detalles

CÓNICAS. 1.- Hallar el centro, vértices, excentricidad y representación gráfica de las elipses:

CÓNICAS. 1.- Hallar el centro, vértices, excentricidad y representación gráfica de las elipses: CÓNICAS 1.- Hallar el centro, vértices, excentricidad y representación gráfica de las elipses: a) b) c) a) =(3,1), A(5,1), A (1,1), B(3,), B (3,0) e=0'866; b) =(-,1), A(-1,1), A (-3,1),B(-,4/3), B (-,/3),

Más detalles

NOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular.

NOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular. ÁLGEBRA Práctica 15 Cónicas (Curso 2008 2009) NOTA: Todos los problemas se suponen planteados en el plano afín euclídeo dotado de un sistema cartesiano rectangular. 1. Para las siguientes cónicas (1) 5x

Más detalles

Ángulos 1º = 60' = 3600'' 1' = 60''

Ángulos 1º = 60' = 3600'' 1' = 60'' Ángulos Definición de ángulo Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice. Medida de ángulos Para

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS 1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0, escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. : - Hallamos el punto de corte

Más detalles

UCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/2010. Solución al primer examen parcial. x - x 3 1

UCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/2010. Solución al primer examen parcial. x - x 3 1 UCV FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO I 16/04/010 Solución al primer eamen parcial 1. Encuentre el conjunto de todos los números reales que satisfacen el sistema de inecuaciones - 3 4 4 0 1 1 1 Solución:

Más detalles

Depto. de Matemáticas Guía Teórico-Practico Unidad : Secciones Cónicas Tema: Ecuación de la circunferencia Nombre: Curso:

Depto. de Matemáticas Guía Teórico-Practico Unidad : Secciones Cónicas Tema: Ecuación de la circunferencia Nombre: Curso: Depto. de Matemáticas Guía Teórico-Practico Unidad : Secciones Cónicas Tema: Ecuación de la circunferencia Nombre: Curso: CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano

Más detalles

ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de Circunferencia.

ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de Circunferencia. ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de 2012. Circunferencia. Elementos de la circunferencia. El segmento de recta es una cuerda. El segmento de recta es una cuerda que pasa por el centro, por lo tanto

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto y una recta dada. Más claramente: Dados (elementos bases de la parábola) Una recta L, llamada directriz

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio

Fundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

UNIDAD 5: Curvas y superficies 5.A. Cónicas

UNIDAD 5: Curvas y superficies 5.A. Cónicas UNIDAD 5: Curvas y superficies 5.A. Cónicas En un principio se estudiaron las curvas que quedaban determinadas cuando se cortaba un cono recto con planos en distintas posiciones respecto de la base del

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos

MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )

Más detalles

Departamento de Bachillerato Preparatoria UNAM Matemáticas V Plan 100 Ciclo 06 / 07 TAREA PARA EL SEGUNDO PERIODO SEMESTRAL

Departamento de Bachillerato Preparatoria UNAM Matemáticas V Plan 100 Ciclo 06 / 07 TAREA PARA EL SEGUNDO PERIODO SEMESTRAL Departamento de Bachillerato Preparatoria UNAM Matemáticas V Plan 100 Ciclo 06 / 07 TAREA PARA EL SEGUNDO PERIODO SEMESTRAL NOMBRE DEL ESTUDIANTE: Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) GRUPO: No.

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio

Fundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 Geometría del plano y del espacio José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es

Más detalles

Docente Matemáticas. Marzo 11 de 2013

Docente Matemáticas. Marzo 11 de 2013 Geometría Analítica Ana María Beltrán Docente Matemáticas Marzo 11 de 2013 1 Geometría Analítica Definición 1. Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que tienen una característica

Más detalles