Indice Elementos de geometr ıa anal ıtica onicas Coordenadas Polares

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1 Índice 1 Elementos de geometría analítica Introducción Sistema de coordenadas rectangulares Distancia entre dos puntos Distancia en la recta real Distancia en el plano División de un segmento Ángulo de inclinación y pendiente de una recta Ángulo entre dos rectas Paralelismo y perpendicularidad La recta Ecuación de la recta Distancia de un punto a una recta Cónicas La Circunferencia Ecuación general de la Circunferencia Posiciones relativas de una circunferencia y una recta en el plano Posiciones relativas de dos circunferencias en el plano La parábola Ecuación general de la parábola La Elipse Ecuación general de la elipse La Hipérbola Ecuación general de la hipérbola Coordenadas Polares Transformación de coordenadas Polares a rectangulares Rectangulares a polares Ecuaciones en coordenadas rectangulares y polares Trazado de curvas en coordenadas polares

2 Capítulo 1 Elementos de geometría analítica 1.1 Introducción La Geometría Analítica, es la rama de las matemáticas, en la cual se unen la Geometría Plana y el Álgebra, es decir, es la que estudia las figuras geométricas usando un determinado sistema de coordenadas y su objetivo es resolver problemas geométricos usando métodos algebraicos, donde las coordenadas se pueden representar mediante grupos numéricos y las figuras por ecuaciones del tipo f(x, y) = 0. Los sistemas de coordenadas pueden ser el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) o por coordenadas polares. En esta unidad, trabajaremos en el sistema de coordenadas rectangulares y en la próxima unidad, se trabajará en el sistema de coordenadas polares. 1.2 Sistema de coordenadas rectangulares El Sistema de coordenadas rectangulares está constituido por dos rectas perpendiculares, cuya intersección es el origen de dicho sistema. La recta horizontal es llamada Eje las abscisas, y la recta vertical es el Eje de las ordenadas. El par ordenado (x, y) representa a un punto en el sistema o plano. 2

3 Un punto P de abscisa x y ordenada y comúnmente es denotado por (x, y) ó P (x, y). 1.3 Distancia entre dos puntos Distancia en la recta real Sean a, b R, se llama distancia entre los números a y b, denotada por d(a, b), a la cantidad d(a, b) = a b = (a b) 2 0. Sean P 1 y P 2 dos puntos de la recta real, se llama distancia dirigida de P 1 a P 2 a la longitud del segmento que los une ( P 1 P 2 ). Es decir, la distancia dirigida de P 1 a P 2 es d(p 1, P 2 ). Análogamente, la distancia dirigida de P 2 a P 1 es d(p 2, P 1 ). Ejemplo: La distancia entre 2 y 3 es d( 2, 3) = 2 3 = ( 2 3) 2 = ( 5) 2 = 25 = 5. Observación 1.1 Si P 1 y P 2 son dos puntos de la recta real, entonces el segmento que los une desde P 1 a P 2 es denotado por P 1 P 2 y se dice que la dirección de P 1 a P 2 es positiva, ahora bien, el segmento que los une desde P 2 a P 1 es denotado por P 2 P 1 y es la dirección negativa u opuesta a P 1 P 2. Así P 1 P 2 = P 2 P 1. De lo anterior se deduce que d(p 1, P 2 ) = d(p 2, P 1 ). Observación 1.2 Si P 1 y P 2 son dos puntos de la recta real y la distancia dirigida del origen a P i es x i, es decir d(o, P i ) = x i, con i = 1, 2, entonces d(p 1, P 2 ) = d(o, P 2 ) d(o, P 1 ) = x 2 x 1 > 0. 3

4 1.3.2 Distancia en el plano Sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) dos puntos cualesquiera del plano, entonces la distancia entre P 1 y P 2, denotada por d(p 1, P 2 ), es dada por: En efecto d = d(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Del Teorema de Pitágoras, se deduce (d(p 1, P 2 )) 2 = (d(p 1, Q)) 2 + (d(p 2, Q)) 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2, lo cual implica d(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Notar que d(p 1, P 2 ) = d(p 2, P 1 ). Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos A(8, 2) y B(4, 5). Solución: Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos, se tiene d(a, B) = (4 8) 2 + (5 2) 2 = ( 4) 2 + (3) 2 = = 25 = 5. 4

5 Gráficamente, se tiene 1.4 División de un segmento Si P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) son los extremos del segmento dirigido P 1, P 2, entonces las coordenadas (x, y) del punto P que divide a este segmento en la razón k = P 1P P P 2 son: x = x 1 + kx k, y = y 1 + ky k, k 1. En efecto, considerando la figura tenemos que los triángulos P 1 P B y P P 2 C son semejantes, de modo que sus lados son proporcionales. Así, P 1 P = P 1B P P 2 P C = P B P 2 C. Reemplazando el valor de los segmentos en términos de x e y y teniendo en cuenta que P 1P = k, P P 2 se tiene k = x x 1 x 2 x = y y 1 y 2 y. 5

6 Considerando la primera igualdad para el caso de las abscisas, se obtiene k = x x 1 x 2 x x x 1 = k(x 2 x) x x 1 = kx 2 kx x + kx = x 1 + kx 2 x(1 + k) = x 1 + kx 2 x = x 1 + kx k. Análogamente, para el caso de las ordenadas se tiene k = y y 1 y 2 y y y 1 = k(y 2 y) y y 1 = ky 2 ky Así, las coordenadas del punto P son Observación 1.3 P (x, y) = y + ky = y 1 + ky 2 y(1 + k) = y 1 + ky 2 y = y 1 + ky k. ( x1 + kx k, y ) 1 + ky k 1. Las razones deben ser consideradas con su signo, ya que se está trabajando con distancias dirigidas. 2. Es aconsejable, verificar si la razón definida por k coincide con la formulada anteriormente, en caso contrario, escribir directamente las coordenadas de las distancias dirigidas involucradas en la nueva razón. 3. Si el punto de división es externo al segmento dirigido, la razón k es negativa. 4. Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido P 1 P 2 con P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) Ejemplos: son x = x 1 + x 2 2 e y = y 1 + y 2. En este caso, la razón de división es k = Determinar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son P 1 (1, 3) y P 2 (4, 3) en la razón k = P 1P P P 2 =

7 Solución: Este problema puede ser resuelto de dos formas: ( x1 + kx 2 a) Aplicando la fórmula P (x, y) = 1 + k, y ) 1 + ky 2 a los puntos dados, se obtiene 1 + k Por lo tanto, el punto es P (2, 1). ( P (x, y) = , ( 3) ) = (2, 1). 2 2 b) Escribiendo directamente las coordenadas respectivas de las distancias dirigidas involucradas en la razón, es decir P 1 P = 1 P P 2 2 = 4 x x 1 4 x = 2(x 1) x = 2, P 1 P P P 2 = 1 2 = y 3 3 y 3 y = 2(y 3) y = 1. Por lo tanto el punto es P (2, 1). 2. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2, 4) yp 2 (8, 4). Hallar el punto P (x, y) que divide a este segmento en dos partes tales P 2P P P 1 = 2. Solución: 7

8 Notar que la razón es negativa y que la dirección es de P 2 a P 1, luego usando la fórmula para el punto P (x, y), se tiene x = x 2 + kx k, y = y 2 + ky k. Así, x = 8 + ( 2)(2) 1 + ( 2) = 4, y = Por lo tanto el punto buscado es P ( 4, 12). 4 + ( 2)(4) 1 + ( 2) = 12. 8

9 3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son A( 3, 1), B(0, 3), C(3, 4) y D(4, 1). Solución: Luego, el perímetro del cuadrilátero es d(a, B) = (0 + 3) 2 + (3 + 1) 2 = = 5, d(b, C) = (3 0) 2 + (4 3) 2 = 10, d(d, C) = (4 3) 2 + ( 1 4) 2 = 26, d(a, D) = (4 + 3) 2 + ( 1 + 1) 2 = 49 = 7. d(a, B) + d(b, C) + d(d, C) + d(a, D) = = , 25. Ejercicio propuesto: Los puntos A( 3, 2) y B(9, 8) determinan un segmento AB. Encontrar las coordenadas de: 1. El punto medio del segmento AB. 2. Los puntos de trisección del segmento AB. 3. Las coordenadas del punto P que divide al segmento AB en la razón AP P B =

10 1.5 Ángulo de inclinación y pendiente de una recta Definición 1.1 Se llama Ángulo de Inclinación α de una recta L, al ángulo que se forma entre el eje X en su dirección positiva y la recta L, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba (0 α 180 ). Se denomina Pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación α, la cual se denota por m. Es decir, m = tan(α). Observación 1.4 De las propiedades de la función tangente se deduce que: 1. Toda recta paralela al eje X (o bien perpendicular al eje Y ) tiene pendiente cero, ya que en este caso α = 0 y tan(0 ) = Toda recta perpendicular al eje X (o bien paralela al eje Y ) no tiene pendiente, ya que en este caso α = 90 y tan(90 ) no está definida. 10

11 Si P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta L. Entonces la pendiente de la recta L es m L = y 2 y 1 x 2 x 1, con x 1 x 2. Observación El valor de m dado anteriormente no está definido para x 1 = x 2, este caso corresponde a una recta paralela al eje Y, de la que se observó anteriormente, no tiene pendiente. 2. El orden en que se toman las coordenadas para calcular la pendiente de una recta no tiene importancia, ya que y 2 y 1 = y 1 y 2, x 1 x 2. x 2 x 1 x 1 x 2 Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 4, 2) y ( 5, 3). También hallar el ángulo de inclinación de dicha recta. Solución: m = Además, α = arctan(1) = ( 2) 5 ( 4) = = 1 1 = 1. 11

12 1.6 Ángulo entre dos rectas Sean L 1 y L 2 dos rectas que se intersectan. Entonces, si θ es el ángulo formado por su intersección, se tiene tan(θ) = m 2 m m 2 m 1, m 2 m 1 1, donde m 1 es la pendiente de L 1 y m 2 es la pendiente de L 2. Ejemplo: Dos rectas, L 1 y L 2, se cortan formando un ángulo de 45. La recta L 1 pasa por los puntos ( 2, 1) y (9, 7) y la recta L 2 pasa por el punto (3, 9) y el punto A cuya abscisa es 2. Hallar la ordenada de A. Solución: despejando, se tiene Además por lo tanto m 1 = ( 2) = 6 11 y tan(θ) = tan(45 ) = 1 = m m 2 = 9 y 5 m 2 = y 3 ( 2) = 9 y 5, = 17 5 y = m 2, 12

13 1.7 Paralelismo y perpendicularidad Proposición: Sean L 1 y L 2 dos rectas distintas (no verticales), con pendientes m 1 y m 2, respectivamente. Las rectas L 1 y L 2 son paralelas sí y sólo si m 1 = m 2. Esto es, L 1 L 2 m 1 = m 2. Demostración: Supongamos L 1 L 2. Entonces, si θ es el ángulo formado entre ellas, se tiene que θ = 0 o bien θ = 180. En ambos casos, se deduce tan(θ) = m 2 m m 2 m 1 = 0 m 2 m 1 = 0 m 1 = m 2. Supongamos m 1 = m 2. Si θ 1 es el ángulo de inclinación de L 1 y θ 2 es el ángulo de inclinación de L 2, se tiene tan(θ 1 ) = tan(θ 2 ), y como θ 1, θ 2 [0, π], se tiene θ 1 = θ 2. En consecuencia, L 1 L 2. Proposición: Sean L 1 y L 2 dos rectas distintas, con pendientes m 1 y m 2, respectivamente. Las rectas L 1 y L 2 son perpendiculares (L 1 L 2 ) sí y sólo si m 1 m 2 = 1. Demostración: Sea θ el ángulo formado por L 1 y L 2. Luego L 1 L 2 θ = 90 cot(θ) = 1 + m 2 m 1 m 2 m 1 = m 2 m 1 = 0 m 1 m 2 = 1. 13

14 Ejemplos: 1. Considerar el triángulo isósceles de vértices P ( 1, 4), Q(0, 1) y R(2, 5). Verificar que la recta que une P y el punto medio de la base QR es perpendicular a QR. Solución: Sea M el punto medio de QR, entonces sus coordenadas son x M = = 1, y M = = 3, de modo que la pendiente de la recta que contiene al lado P M es m 1 = = 1 2. Por otro lado, la pendiente de la recta que contiene al lado QR es m 2 = m 1 m 2 = = 1, = 2. Así, y en consecuencia, se tiene que P M y QR son perpendiculares. 2. Verificar si los tres puntos P ( 1, 5), Q(1, 3) y R(7, 12) son colineales (pertenecen a la misma recta). Solución: Sea L 1 la recta que contiene a P Q. Entonces L 1 tiene pendiente m 1 = 3 ( 5) 1 ( 1) = 4. Si R pertenece a L 1, entonces la pendiente de la recta que contiene a RQ debe ser m 1 = 4. 14

15 Se observa que la pendiente de la recta que contiene a RQ es m 2 = = 3 2. Luego, Como m 1 m 2, se concluye que los puntos P, Q y R no son colineales. 3. Verificar por medio de pendientes que los cuatro puntos A(6, 2), B(8, 6), C(4, 8) y D(2, 4) son los vértices de un rectángulo. Solución: Considerando el cuadrilátero de lados AB, BC, DC y AD, como en la figura, se tiene Como m AB = = 2; m BC = = 1 2 ; m DC = = 2; m AD = = 1 2. m AB = m DC AB DC, m BC = m AD BC AD, m AB m BC = 1 AB BC, m DC m AD = 1 DC AD. Se deduce que el cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y los lados adyacentes perpendiculares, por lo que se concluye que ABCD es un rectángulo. 1.8 La recta Definición 1.2 Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados de dos en dos, tienen la misma pendiente. 15

16 1.8.1 Ecuación de la recta El objetivo de esta sección es obtener las diferentes formas de representar la ecuación de una recta. 1. La recta L que pasa por el punto dado P 1 (x 1, y 1 ) y tiene pendiente m, tiene por ecuación: y y 1 = m(x x 1 ). Esta ecuación recibe el nombre de ecuación punto-pendiente. Ejemplo: Determine la ecuación de la simetral del segmento que une los puntos A(6, 2) y B( 1, 3). Solución: m AB = = 1. Sea S la simetral de AB, entonces, dado que S es perpendicular a 7 AB en su punto medio, se tiene m S = 7. Además, las coordenadas del punto medio de AB son x m = = ; y m = = Por lo tanto, la ecuación de S es y 5 2 = 7(x 5 ) 14x 2y 30 = 0 2 y = 7x 15. Luego, la ecuación de la recta de la simetral pedida es y = 7x Si se conocen dos puntos P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) que pertenecen a una recta L, entonces su pendiente es m = y 2 y 1 x 2 x 1, x 1 x 2, reemplazando en ecuación punto-pendiente, se obtiene la ecuación y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ), x 1 x 2. Esta expresión es llamada ecuación punto-punto de la recta. Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 5) y ( 3, 1). 16

17 Solución: Al sustituir los puntos en la fórmula, se obtiene y 5 = 1 5 (x 1) y 5 = (x 1) 4 y 5 = x 1 x y + 4 = 0. Observación 1.6 Si x 1 = x 2, la recta que pasa por los puntos P 1 y P 2 es paralela al eje Y y su ecuación es dada por x = x Si se conoce la pendiente de una recta L y se escoge el punto particular (0, b) (punto donde la recta intersecta al eje Y ) como el punto P 1, entonces, de la ecuación punto - pendiente, se tiene que la recta L tiene ecuación y b = m(x 0), es decir y = mx + b. Esta ecuación es llamdada ecuación principal de la recta. 4. Si se escogen los puntos (a, 0) (punto donde la recta intersecta al eje X) y (0, b) (punto donde la recta intersecta al eje Y ) como los puntos P 1 y P 2 de una recta L, se tiene de la ecuación punto-punto y 0 = b 0 (x a) bx + ay = ab, 0 a si a 0 y b 0, entonces dividiendo por ab, se obtiene Ejemplos: x a + y b = 1. Esta ecuación es llamada ecuación simétrica de la recta. 1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 (4, 2) y P 2 ( 5, 7). Obtener, además, su pendiente m, la intersección con el eje Y y su ecuación en su expresión simétrica. Solución: Aplicando la ecuación punto-punto, se tiene y 2 = (x 4) y 2 = 5 (x 4) 9 9y + 5x 38 = 0. 17

18 Al despejar la variable y, se obtiene que su ecuación principal es y = 5 9 x , de la cual se aprecia que su pendiente es m = 5 9 e intersecta al eje Y en el punto ( 0, 38 9 Para obtener la forma simétrica, los términos de la ecuación 5x + 9y = 38 se dividen por 38, de modo que 5 38 x y = 1 x 38 5 es su expresión simétrica, con a = 38 5 y b = Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 1, 3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (5, 7). + y 38 9 = 1 ). Solución: La pendiente de la recta pedida es igual a la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (5, 7). Así, m = 7 ( 1) 5 2 Aplicando la ecuación punto-pendiente, se tiene = 8 3. y + 3 = 8 3 (x + 1) y = 8 3 x 1 3. De modo que la ecuación de la recta pedida es y = 8 3 x Determinar el valor de la constante k para que la recta de ecuación 4x + 5y + k = 0, forme con los ejes coordenados un tri angulo rectángulo de área igual a 2, 5[u 2 ]. Solución: La forma simétrica de la ecuación dada es 4x k + 5y k = 1 x k 4 + y k 5 = 1. 18

19 De la cual se observa que la recta intersecta al eje X en el punto A = ( k, 0) y al eje Y en 4 el punto B = (0, k ). Como la recta forma con los ejes coordenados un triángulo OAB 5 de área 2, 5[u 2 ], se tiene De modo que Área OAB = 1 OA OB 2 = 1 ( k ) ( k ) = k2 40. k 2 40 = 2, 5 k2 = 100 k = ±10. Teorema 1.1 Toda ecuación de la forma Ax + By + C = 0 donde A, B y C son constantes, con A 0 ó B 0 representa una línea recta, donde m = A B Esta ecuación es llamada ecuación general de la recta. Ejemplo: es su pendiente. Determinar la forma general de la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta de ecuación 3x 4y + 11 = 0 y que pasa por el punto ( 1, 3). Solución: De la recta de ecuación 3x 4y + 11 = 0 se tiene que m = 3 4 = 3 4 pendiente de la recta pedida es 4 3 y su ecuación es es su pendiente. Así, la y + 3 = 4 (x + 1), 3 la cual en su forma general es dada por 4x + 3y + 13 = 0. 19

20 1.9 Distancia de un punto a una recta La distancia d de un punto P 1 (x 1, y 1 ) a una recta L de ecuación Ax + By + C = 0 es dada por la fórmula d = Ax 1 + By 1 + C. A2 + B 2 Ejemplos: 1. Determinar el área del triángulo formado por la intersección las rectas L 1 : 4x + 7y + 9 = 0; L 2 : x + y = 0; L 3 : 2x + y 9 = 0. Solución: Al intersectar dos a dos las rectas L 1, L 2 y L 3 se obtienen los vértices del triángulo. Así, uno de sus vértices será {A} = L 1 L 2, es decir, el conjunto solución del sistema { L1 : 4x + 7y + 9 = 0, L 2 : x + y = 0. 20

21 De L 2 se tiene que x = y, de modo que al sustituir en L 1, se obtiene la ecuación 3y = 9, de donde y = 3. Por lo tanto, x = 3 y se tiene el punto A(3, 3). Análogamente, de L 2 L 3 se obtiene el punto B( 3, 3) y de L 3 L 1 se tiene el punto C( 4, 1). La altura en C, corresponde a la distancia del punto C a la recta L 2 es h = 1 ( 4) + 1 (1) + 0 (1)2 + (1) 2 = 3 2. La base BA del triángulo, corresponde a la distancia del punto A al punto B, la cual es dada por d = ( 3 3) 2 + (3 ( 3)) 2 = 72 = 6 2. Por lo tanto, el área del ABC es Área ABC = 1 2 ( ) = 9[u2 ]. 2. Determinar la distancia entre las rectas paralelas L 1 : 3x 4y+6 = 0 y L 2 : 3x 4y 14 = 0. Solución: Se determina un punto arbitrario en una de las rectas. Si en L 1, x = 0, se tiene que y = 3 ( 2. Entonces el punto A 0, 3 ) pertenece a L 1. Luego, la distancia entre L 1 y L 2 será igual a 2 la distancia entre A y L 2, la cual es 3 (0) 4 ( 3 2 d = ) 14 = = 4. 21

22 Ejercicios propuestos 1. Demostrar que los puntos ( 2, 1), (2, 2) y (5, 2) son los vértices de un triángulo isósceles. 2. Demostrar que los puntos (2, 2), ( 8, 4) y (5, 3) son los vértices de un triángulo rectángulo y hallar su área. (Respuesta: Área = 34[u 2 ]). 3. Demostrar que los tres puntos (12, 1) y ( 3, 2) y (2, 1) son colineales. 4. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3, 2). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada (Dos soluciones). (Respuesta (6, 2) y (6, 6)) 5. Hallar la ecuación de la recta cuya distancia al origen es 5 y que pasa por el punto (1, 7) (Dos soluciones). (Respuesta 4x + 3y 25 = 0 y 3x 4y + 25 = 0) 6. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos ( 2, 3) y (6, 3). (Respuesta: Ptos.de trisec. P 1 ( 2 3, 1) y P 2( 10, 1) Pto.medio: P (2, 0)) 3 7. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo. (Respuesta B(1, 2)) 8. Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B( 1, 4). Hallar la razón AP P B en la cual punto P (1, 2) divide al segmento. (Respuesta K = 3) 9. Los puntos medios de los lados de un triánngulo son (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices del triángulo. (Respuesta (3, 2), (5, 6) y ( 1, 4)) 10. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos ( 3, 2) y (7, 4). (Respuesta m = 1 2, α ) 22

23 11. Demostrar por medio de pendientes, que los puntos (9, 2), (11, 6), (3, 5) y (1, 1) son los vértices de un paralelogramo. 12. Una recta de pendiente 2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6. Cuál es la abscisa de A y la ordenada de B? (Respuesta Abscisa de A 4 y ordenada de B -1) 13. Hallar los ángulos interiores de un triángulo cuyos vértices son los puntos ( 2, 1), (3, 4) y (5, 2). (Respuesta A = 54, 162, B = 77, 47, C = 48, 36 ) 14. En el triángulo rectángulo de vértices en los puntos (2, 2), ( 8, 4) y (5, 3). Demuestre que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices. 15. En las ecuaciones de la rectas L 1 : ax + (2 b)y 23 = 0 y L 2 : (a 1)x + by + 15 = 0, encuentre los valores de a y b para que L 1 y L 2 sean rectas que pasan por el punto (2, 3). (Respuesta a = 4, b = 7) 16. Los puntos A(1, 0), B(2, 1) y C(3, 2) son los tres vértices sucesivos de un paralelogramo. Encuentre el cuarto vértice D. (Respuesta D(2, 3)) 17. Encuentre las ecuaciones de las alturas del triángulo con vértices A( 3, 2), B(4, 5) y C(1, 8). Encuentre el punto donde las alturas se intersectan. (Respuesta h A : y = 3 13 x , h B : y = 2 5 x , h C : y = 7 3 x 17. Se intersectan en 3 P ( , ) ) 18. Dada la ecuación de la recta 3x 4y 5 = 0. Encuentre la ecuación de una recta paralela a la recta dada, que está a dos unidades de distancia de ella. (Respuesta 3x 4y 15 = 0 y 3x 4y 5 = 0) 19. (a) Demostrar que (1, 2), (4, 7), ( 6, 13) y ( 9, 8) son los vértices de un rectángulo. (b) Demostrar analíticamente que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y que mide la mitad de su longitud. (c) Determinar si los puntos A(2, 1), B(4, 3) y C( 1, 2) son colineales. (Respuesta Son colineales) (d) Encuentre la ecuación de la paralela a la recta de ecuación 2x + 3y + 1 = 0 y que pasa por el punto P (5, 2). (Respuesta 2x + 3y 16 = 0) (e) Hallar las coordenadas el punto P, simétrico del punto P ( 5, 13) con respecto a la recta de ecuación 2x 3y 3 = 0. (Respuesta P (11, 11)) 23

24 Capítulo 2 Cónicas Las Cónicas son figuras geométricas planas que se obtienen de la intersección de un plano con un cono. Según como corte el plano al cono, se obtienen las distintas cónicas, como se puede apreciar en la siguiente figura: Ahora las definiremos en su forma analítica (lugar geométrico) y a partir de ello, determinaremos la ecuación que define a cada una de ellas y sus elementos principales. 24

25 2.1 La Circunferencia Definición 2.1 La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo (del mismo plano) llamado centro. La distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro es llamada radio de la circunferencia. Si P (x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia de centro C(h, k) y radio r, como se observa en la figura, entonces, por definición se tiene r = d(c, P ) = (x h) 2 + (y k) 2 ( distancia entre dos puntos), de modo que al elevar al cuadrado, se tiene Es decir, se ha probado el siguiente teorema (x h) 2 + (y k) 2 = r 2. Teorema 2.1 Sea C(h, k) las coordenadas del centro de una circunferencia de radio r > 0, entonces la ecuación de la circunferencia es dada por (x h) 2 + (y k) 2 = r 2. (2.1) Esta ecuación recibe el nombre de ecuación principal o estándar de la circunferencia. 25

26 Observación 2.1 Si el centro de la circunferencia coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares, entonces la ecuación de la circunferencia es x 2 + y 2 = r 2, la cual es llamada ecuación canónica de la circunferencia. Ejemplos: 1. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 3 y centro el punto (1, 4). Solución: Notar que h = 1, k = 4 y r = 3, entonces al sustituir estos valores en la ecuación (2.1), se tiene (x 1) 2 + (y + 4) 2 = 9, la cual es la ecuación pedida. 2. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto C(2, 3) y que pasa por el punto P ( 1, 0). Solución: En este caso no tenemos el radio, pero se puede determinar como la distancia entre el punto P ( 1, 0) y el centro (2, 3). Así, r = d(c, P ) = (2 + 1) 2 + (3 0) 2 = 18, luego sustotuyendo en (2.1), se tiene que la ecuación pedida es (x 2) 2 + (y 3) 2 = ( 18) 2 (x 2) 2 + (y 3) 2 = Determinar la ecuación principal de la circunferencia cuyos puntos A( 4, 2) y B( 2, 6) son extremos de un diámetro. Solución: Como los puntos A( 4, 2) y B( 2, 6) son extremos de un diámetro de la circunferencia buscada, entonces el punto medio corresponde al centro de ella. Además el radio de ésta es la distancia del centro a cualquiera de los puntos. Es decir, ( x1 + x 2 C(h, k) = 2, y 1 + y 2 2 ) 4 + ( 2) h = = C( 3, 2). 26 = 3 k = 2 + ( 6) 2 = 4 2 = 2

27 Luego r = d(c, A) = ( 3 ( 4)) 2 + (2 ( 2)) 2 = = 17. Por lo tanto, la ecuación principal de la circunferencia de centro ( 3, 2) y radio r = 17 es (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = Encuentre la ecuación de la circunferencia, sabiendo que los puntos A(2, 3), B(3, 2) y C( 4, 3) pertenecen a ella. Solución: Tenemos que la ecuación de la circunferencia queda determinada dado tres puntos, es decir, cada punto satisface su ecuación, luego tenemos que: (a) A Circunferencia (2 h) 2 + (3 k) 2 = r 2 h 2 + k 2 4h 6k + 13 = r 2. (b) B Circunferencia (3 h) 2 + (2 k) 2 = r 2 h 2 + k 2 6h 4k + 13 = r 2. (c) C Circunferencia ( 4 h) 2 + (3 k) 2 = r 2 h 2 + k 2 + 8h 6k + 25 = r 2. Así, se obtiene un sistema de 3 3, cuyas incógnitas son h, k y r h 2 + k 2 4h 6k + 13 = r 2 h 2 + k 2 6h 4k + 13 = r 2 h 2 + k 2 + 8h 6k + 25 = r 2, (2.2) Al restar la segunda ecuación a la primera y tercera ecuación de (2.2), se obtiene } 2h + 2k = 0 h = 1, k = 1 y r = 5. 14h 2k = 12 Por lo tanto, la ecuación principal de la circunferencia es (x + 1) 2 + (y + 1) 2 = Ecuación general de la Circunferencia Desarrollando los binomios correspondientes a la ecuación principal de la circunferencia se tiene: ordenando (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 x 2 2hx + h 2 + y 2 2ky + k 2 = r 2, x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0. Haciendo D = 2h, E = 2k, F = h 2 + k 2 r 2, se obtiene la ecuación x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, 27

28 la cual es llamada ecuación general de la circunferencia. Además, se puede concluir que h = D 2 ; k = E 2 r = 1 2 D2 + E 2 4F. Esto quiere decir, que si conocemos la ecuación general de la circunferencia, también podemos conocer su centro y su radio. Ejemplo: Dada la ecuación x 2 + y 2 + 2x + 6y + 9 = 0, que representa una circunferencia. Determine su centro y su radio, y escriba su ecuación principal. Solución: En este caso tenemos D = 2, E = 6 y F = 9. Sustituyéndolos, se tiene h = D 2 = 2 2 = 1; k = E 2 = 6 2 = 3; r = = 1. Por lo tanto, su centro es C( 1, 3) y su radio es r = 1, luego su ecuación principal es Observación 2.2 (x + 1) 2 + (y + 3) 2 = Estas fórmulas sólo son válidas si los coeficientes de las variables cuadráticas son iguales. 2. La ecuación representa una circunferencia sí y sólo si r > 0, es decir, sí y sólo si D 2 + E 2 4F > La ecuación representa sólo al punto (h, k) si r = 0, es decir, si D 2 + E 2 4F = La ecuación NO representa lugar geométrico alguno si r < 0, es decir, si D 2 +E 2 4F < Dada la ecuación general de una circunferencia, entonces al completar cuadrado de binomio, es posible obtener el centro y el radio de ésta. Ejemplo: Dada la ecuación x 2 + y 2 + 2x + 6y + 9 = 0, que representa a una circunferencia. Determine su centro y su radio, y escriba su ecuación principal. 28

29 Solución: En este caso, completaremos cuadrados de binomios, lo que nos dará directamente la ecuación principal: x 2 + y 2 + 2x + 6y + 9 = 0 (x 2 + 2x) + (y 2 + 6y) = 9 (x 2 + 2x + 1 1) + (y 2 + 6y + 9 9) = 9 (x 2 + 2x + 1) + (y 2 + 6y + 9) = (x + 1) 2 + (y + 3) 2 = 1. Ecuación principal, donde h = 1, k = 3 y r = 1. Por lo tanto, C( 1, 3) y r = Posiciones relativas de una circunferencia y una recta en el plano Se presentan las siguientes situaciones: 1. La recta es tangente a la circunferencia. La recta y la circunferencia se tocan en un solo punto. La recta es perpendicular al radio en el punto de contacto (o punto de tangencia). (Ver figura 1) 2. La recta es secante a la circunferencia. La recta corta en dos puntos a la circunferencia y determina una cuerda de ésta. (Ver figura 2) 3. La recta no corta ni toca a la circunferencia. No tienen puntos comunes. (Ver figura 3) Observación 2.3 Para determinar los puntos comunes (si los hay) entre una recta y una circunferencia, se debe resolver el sistema de ecuaciones que ellas determinan. 29

30 Ejemplo: Determinar la posición relativa entre la recta L : x 7y + 25 = 0 y la circunferencia x 2 + y 2 = 25. Solución: La recta y la circunferencia determinan el sistema de ecuaciones { x 2 + y 2 = 25, x 7y = 25. (2.3) De la segunda ecuación de (2.3) se deduce que x = 7y 25, de modo que al reemplazar en la primera ecuación de (2.3), se obtiene (7y 25) 2 + y 2 = 25 49y 2 350y y 2 25 = 0 50y 2 350y = 0 y 2 7y + 12 = 0 (y 4)(y 3) = 0 { y1 = 3, y 2 = 4. Luego, para y = y 1 = 3, se tiene que x = x 1 = 4, de modo que un punto de intersección es P 1 ( 4, 3). Análogamente, para y = y 2 = 4, se tiene que x = x 2 = 3, de modo que otro punto de intersección es P 2 (3, 4). Por lo tanto, como la recta y la circunferencia tienen dos puntos en común, se deduce que la recta es secante a la circunferencia Posiciones relativas de dos circunferencias en el plano Se pueden presentar las siguientes situaciones: 1. Las circunferencias son tangentes si se tocan en un solo punto. En este punto, la tangente es común, los centros de las circunferencias y el punto de tangencia quedan en una misma recta. Las circunferencias pueden ser tangentes interior o exteriormente. (Ver figura 1) 2. Las circunferencias son secantes si se intersectan en dos puntos. (Ver figura 2) 3. Las circunferencias no tienen puntos en común. (Ver figura 3) 30

31 Observación Para determinar los puntos de intersección de las circunferencias (si las hay), se resuelve el sistema de ecuaciones que ellas determinan. 2. Una forma para determinar la posición relativa entre circunferencias, es analizar la distancia de los centros de las circunferencias. En efecto, Sean C 1 y C 2 circunferencias de radios r 1 y r 2 respectivamente y sea d la distancia entre los centros. Entonces: Ejemplo: (a) Si d = r 1 +r 2 ó d = r 1 r 2, las circunferencias son tangentes exterior o interiormente respectivamente. En el primer caso son exteriores y en el segundo caso una está dentro de la otra (son interiores). (b) Si d < r 1 + r 2, las circunferencias son secantes. (c) Si d > r 1 + r 2 ó d < r 1 r 2, las circunferencias no tienen puntos en común. (d) Si las circunferencias tienen el mismo centro, se dice que son concéntricas. además son concéntricas y tangentes, entonces coinciden. Determinar la posición relativa de las siguientes circunferencias C 1 : x 2 + y 2 10x 2y 39 = 0 y C 2 : x 2 + y 2 + 2x 8y 33 = 0. Si 31

32 Solución: Se resuelve el sistema de ecuaciones que ellas conforman. Restando C 2 de C 1, se obtiene al sustituir esto último en C 2, resulta 2x + y = 1 y = 2x + 1, x 2 + (2x + 1) 2 + 2x 8(2x + 1) 33 = 0 x 2 2x 8 = 0 (x 4)(x + 2) = 0. Luego, si x = 4, entonces y = 9 y se tiene el punto P 1 (4, 9). Si x = 2, entonces y = 3 y se tiene el punto P 2 ( 2, 3). Por lo tanto, como las circunferencias se cortan en dos puntos, se concluye que ellas son secantes. Ejercicios propuestos: 1. Hallar la ecuación de la circunferencia, que satisface las siguientes condiciones: (a) Tiene radio 4 y es concéntrica a la circunferencia x 2 + y 2 + 6y + 8 = 0. (b) Pasa por los puntos (0, 0) y ( 3, 9), y su centro está sobre el eje Y. (c) Pasa por los puntos (4, 2) y (5, 3), y su radio es igual a 5. (d) Pasa por el punto (4, 3) y es concéntrica a la circunferencia x 2 +y 2 +4x+3y 1 = 0. (e) Pasa por el punto ( 1, 2) y es tangente a ambos ejes coordenados. 2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3, 5) y es tangente a la recta 3x 2y 12 = Determinar la ecuación principal de la circunferencia que pasa por los puntos A(3, 4) y B(1, 2), y cuyo centro está sobre la recta x + 2y 4 = Calcular el área y el perímetro de las circunferencias: (a) x 2 + y 2 14x + 2y + 34 = 0. (b) x 2 + y x 6y 9 = Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2 8x 6y + 20 = 0 en el punto (3, 5). 6. Hallar la posición relativa y el(los) punto(s) de intersección de la recta y la circunferencia, si los hay: (a) L : 4x + 3y + 26 = 0 y C : (x 2) 2 + (y + 3) 2 = 25. (b) L : x 7y 31 = 0 y C : (x 2) 2 + (y 3) 2 =

33 7. Hallar el valor de la constante k para que la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 8x + 10y + k = 0, tenga radio igual a Considere la circunferencia de ecuación (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 36. Demuestre que el punto P (2, 5) es interior a la circunferencia y que el punto Q( 4, 1) es exterior a ella. 2.2 La parábola Definición 2.2 La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y) que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. De la definición, se tiene que la parábola es el conjunto P = {P (x, y) R 2 / d(p, F ) = d(p, L)}. 33

34 Los elementos principales de una parábola son: L : Directriz L : Eje focal (L L ) F : Foco V : Vértice (Intersección de L con la parábola) AA : Cuerda focal RR : Lado recto( cuerda focal a L) Teorema 2.2 La ecuación de la parábola con vértice V (h, k) y eje focal paralelo al eje X es dada por (y k) 2 = 4p(x h). Esta ecuación es llamada ecuación principal o estándar de la parábola. Además, p es la longitud del segmento del eje focal comprendido entre el foco y el vértice (d(v, F ) = d(v, L )). Es decir, el vértice es el punto medio de la longitud entre el foco y la directriz. 34

35 Demostración: Sean F (h + p, k) las coordenadas del foco y L : x h + p = 0, la ecuación de la directriz de una parábola. Luego, el punto P (x, y) pertenece a dicha parábola sí y sólo si P F = d(p, L ), es decir, si (x (h + p))2 + (y k) 2 = x h + p, elevando al cuadrado y desarrollando ambos lados de la igualdad, se tiene de modo que x 2 2xh 2xp + h 2 + 2hp + p 2 + (y k) 2 = x 2 + h 2 + p 2 + 2xp 2xh 2hp, Como se quería demostrar. (y k) 2 = 4xp 4hp (y k) 2 = 4p(x h). 35

36 Observación Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha. Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. 2. La longitud del lado recto es 4p. 3. Las coordenadas del foco son F (h + p, k). 4. La ecuación de la directriz es x = h p. 5. Si el vértice de la parábola coincide con el origen del sistema de coordenadas, entonces su ecuación es y 2 = 4px, la cual es llamada ecuación canónica de la parábola, con foco F (p, 0) y directriz x = p. Teorema 2.3 La ecuación de la parábola con vértice V (h, k) y eje focal paralelo al eje Y es dada por (x h) 2 = 4p(y k). La demostración es análoga a la del teorema anterior y queda como ejercicio para el estudiante. 36

37 Observación Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba. Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. 2. La longitud del lado recto es 4p. 3. Las coordenadas del foco son F (h, k + p). 4. La ecuación de la directriz es y = k p. 5. Si el vértice de la parábola coincide con el origen del sistema de coordenadas, entonces su ecuación es x 2 = 4py, llamada ecuación canónica de la parábola, con foco F (0, p) y directriz y = p. Ejemplos: 1. Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (5, 2) y su directriz es la recta x = 1. 37

38 Solución: Graficando el foco y la directriz, se tiene que la parábola tiene su eje focal en la recta y = 2, por por lo que su eje focal es paralelo al eje X. Luego, su ecuación es de la forma (y k) 2 = 4p(x h), donde p = 2 y su vértice es el punto V (3, 2). Luego, su ecuación es (y 2) 2 = 8(x 3). 2. Hallar la ecuación de la parábola con vértice el origen del sistema coordenado y eje focal el eje Y. Encuentre las coordenadas del foco, vértice, ecuación de la directriz y la longitud del lado recto, si se sabe que además pasa por el punto (4, 1). 38

39 Solución: Si el vértice es el punto (0, 0) y su eje focal es el eje Y, entonces su ecuación es de la forma x 2 = 4py. Como el punto (4, 1) pertenece a la parábola, se tiene que 4 2 = 4 p 1 p = 4. Por lo tanto, su ecuación es x 2 = 16y, su foco tiene coordenadas F (0, 4) y la ecuación de su directriz es y = Ecuación general de la parábola Desarrollando los cuadrados de binomios de la ecuación principal de la parábola (y k) 2 = 4p(x h) ó (x h) 2 = 4p(y k), se obtiene la expresión Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, la cual representa una parábola si A C = 0, de donde Si A = 0, C 0, D 0, la ecuación representa una parábola con eje focal paralelo al eje X. Si C = 0, A 0, E 0, la ecuación representa una parábola con eje focal paralelo al eje Y. Podemos concluir que una ecuación en dos variables, donde sólo una de las variables está elevada al cuadrado, representa una parábola, la cual mediante completación de cuadrado se puede llevar a su forma principal y obtener sus elementos. 39

40 Ejemplos: 1. Determinar la ecuación principal de la parábola y 2 + 4x + 2y 19 = 0 y sus elementos (foco, vértice, ecuación de la directriz, longitud del lado recto). Solución: y 2 + 4x + 2y 19 = 0 (y 2 + 2y + 1) = 4x (y + 1) 2 = 4(x 5). La cual es la ecuación de una parábola con eje focal paralelo al eje X, su vértice es el punto V (5, 1) y como 4p = 4, entonces p = 1. Luego, las coordenadas del foco son F (4, 1) y la ecuación de su directriz es x = 6. La longitud del lado recto es Determinar la ecuación principal de la parábola x 2 6x 6y + 3 = 0 y sus elementos (foco, vértice, ecuación de la directriz, longitud del lado recto). Solución: x 2 6x 6y + 3 = 0 (x 2 6x + 9) = 6y (x 3) 2 = 6(y + 1). La cual es la ecuación de una parábola con eje focal paralelo al eje Y, su vértice es el punto V (3, 1), p = 3 2. Luego, las coordenadas del foco son F (3, 1 ) y la ecuación de su directriz 2 es y = 5. La longitud del lado recto es 6. 2 Ejercicios propuestos: 1. Hallar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: (a) Con vértice (2, 5) y foco (2, 3). (b) Que pasa por los puntos ( 1, 2), (1, 1) y (2, 1), y su eje focal es paralelo al eje X. (c) Tiene foco (7, 2) y directriz L : y = 5. (d) Tiene vértice (5, 1) y directriz L : x + 2 = 0. (e) Tiene vértice (2, 6) y los extremos del lado recto son los puntos (6, 8) y ( 2, 8). (f) Su foco es (0, 4), su eje focal es vertical y la longitud de su lado recto es

41 2. Hallar la ecuación principal, el vértice, el foco y la ecuación de la directriz, de las siguientes parábolas: (a) 2x x + 24y = 0. (b) 3y 2 4x + 12y + 16 = Encuentre la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (2, 4) y el lado recto es el segmento que une a los puntos (4, 4) y (0, 4). 4. El ancho de un reflector parabólico es 12 m y su profundidad es de 4 m. Localizar el foco. 5. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al eje X es siempre igual a su distancia del punto A(0, 4). 6. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados por una distancia de 500 metros, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros sobre la calzada del puente. Tomando al eje X como la horizontal que define el puente y al eje Y como el eje de simetría de la parábola, hallar la ecuación de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente. 2.3 La Elipse Definición 2.3 La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P (x, y) que se mueven en el plano, de tal manera que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro. De la definición se tiene que la elipse es el conjunto E = {P (x, y) R 2 / d(p, F ) + d(p, F ) = cte}. 41

42 Los elementos principales de la elipse son: L : Eje focal L : Eje normal (L L ) C : Centro V, V : Vértices F, F : Focos V V : Eje mayor BB : Eje menor RR : Lado recto ( cuerda focal L) Teorema 2.4 La ecuación de la elipse con centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje X es (x h) 2 (y k)2 + = 1, a > b. a 2 b 2 Esta ecuación es llamada ecuación principal o estándar de la elipse. 42

43 Además se tiene que a : longitud del semieje mayor (V V = 2a). b : longitud del semieje menor (BB = 2b). Las coordenadas de los vértices son V (h + a, k), V (h a, k). Las coordenadas de los focos son F (h + c, k), F (h c, k), donde c es la longitud del centro a cada foco. Las coordenadas de los extremos del eje menor son B(h, k + b), B (h, k b). La longitud de cada lado recto es 2b2 a. Su excentricidad es e = c a < 1. Teorema 2.5 La ecuación de la elipse con centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje Y es Además se tiene que (x h) 2 (y k)2 + = 1, a > b. b 2 a 2 43

44 a : longitud del semieje mayor (V V = 2a). b : longitud del semieje menor (BB = 2b). Las coordenadas de los vértices son V (h, k + a), V (h, k a). Las coordenadas de los focos son F (h, k + c), F (h, k c), donde c es la longitud del centro a cada foco. Las coordenadas de los extremos del eje menor son B(h + b, k), B (h b, k). La longitud de cada lado recto es 2b2 a. Su excentricidad es e = c a < 1. Observación Las constantes a, b y c se relacionan mediante la igualdad a 2 = b 2 + c Si el centro de la elipse es el origen del sistema de coordenadas, entonces 44

45 (a) Si el eje focal es el eje X, su ecuación canónica es x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, con vértices V (a, 0) y V ( a, 0) y focos F (c, 0) y F ( c, 0). (b) Si el eje focal es el eje Y, su ecuación canónica es x 2 b 2 + y2 a 2 = 1, con vértices V (0, a) y V (0, a) y focos F (0, c) y F (0, c). 3. En la ecuación principal de la elipse, se cumple que a b, y el denominador mayor determina si el eje focal es paralelo al eje X o al eje Y. Ejemplos: 1. Los vértices de una elipse son los puntos (1, 3) y (1, 7). Si la longitud de cada lado recto es 18, determine su ecuación. 5 45

46 Solución: Graficando los vértices se tiene que la elipse tiene su eje focal en la recta x = 1, es decir, es paralelo al eje Y. Su ecuación tiene la forma (x h) 2 (y k)2 + = 1. b 2 a 2 Su centro es el punto medio del segmento determinado por los vértices, es decir, C(1, 2). De modo que a = 5. Por otro lado, como la longitud del lado recto es Así, la ecuación pedida es 2b 2 a = 18 5 b2 = 9. (x 1) (y + 2) Los focos de una elipse son los puntos (8, 4) y (2, 4) y la longitud de su eje menor es 2b = 28. Encuentre la ecuación de la elipse, las coordenadas de los vértices, la longitud de cada lado recto. 46 = 1

47 Solución: Como conocemos los focos, se tiene que su eje focal está en la recta y = 4, es decir, es paralelo al eje X. Así, su ecuación tiene la forma (x h) 2 (y k)2 + = 1. a 2 b 2 Su centro es el punto medio del segmento determinado por los focos, de modo que C(5, 4), entonces c = 3. Además, la longitud de su eje menor es 2b = 28, por lo que b = 7. Como a 2 = b 2 + c 2, se tiene que a 2 = 16 y, consecuentemente, a = 4. Por lo tanto, la ecuación pedida es (x 5) (y 4)2 7 = 1. Las coordenadas de los vértices son V (9, 4) y V (1, 4). La longitud del lado recto es Ecuación general de la elipse Desarrollando los cuadrados de binomios de las ecuaciones principales de la elipse (x h) 2 (y k)2 + = 1 ó a 2 b 2 (x h) 2 (y k)2 + = 1, b 2 a 2 47

48 se obtiene la forma general Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, la cual representa una elipse si A C > 0, siendo A C (tienen el mismo signo). Para obtener los elementos principales de la elipse, basta con completar cuadrados de binomios en las variables x e y. Ejemplo: Dada la ecuación general de la elipse 9x 2 + 4y 2 8y 32 = 0, reducirla a la forma principal y encuentre su centro, vértices y focos. Solución: 9x 2 + 4y 2 8y 32 = 0 9x 2 + 4(y 2 2y) = 32 9x 2 + 4(y 2 2y + 1) = x 2 + 4(y 1) = 36 / : 36 9x2 36 x (y 1) (y 1)2 9 = 1 = 1. Por lo tanto, es una elipse con eje focal paralelo al eje Y, su centro es C(0, 1), además a = 3, b = 2 y c = 5. Las coordenadas de sus vértices son V (0, 4) y V (0, 2) y las de sus focos F (0, 1 + 5) y F (0, 1 5). Ejercicios propuestos: 1. Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas: (a) Focos (3, 8) y (3, 2). Longitud del eje mayor igual a 10. (b) Centro (0, 1), focos en el eje Y, con longitud del eje mayor igual a 5 3 eje menor, y que además pasa por el punto ( 125 ), 4. la longitud del 2. El centro de una elipse es el punto ( 2, 1) y uno de sus vértices es el punto (3, 1). La longitud de cada lado recto es 4. Hallar su ecuación y las coordenadas de los focos. 3. Hallar la ecuación principal, su centro, vértices y focos de las siguientes elipses dadas sus ecuaciones en la forma general: (a) 12x y 2 12x + 40y 37 = 0. 48

49 (b) x 2 + 4y 2 6x + 16y + 21 = Calcule el área del rombo inscrito en la elipse 5x 2 + 2y 2 = 50 y que tiene sus vértices en los ejes coordenados. 5. Encuentre la ecuación de la elipse que pasa por el punto ( 1, 1) y que sus vértices coinciden con los extremos del lado recto de la parábola y 2 4x 4y 8 = La Hipérbola Definición 2.4 La Hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P (x, y) que se mueven en el plano, de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro. De la definición se tiene que le hipérbola es el conjunto H = {P (x, y) R 2 / d(p, F ) d(p, F ) = cte.}. Los elementos principales de una hipérbola son: L : Eje focal L : Eje normal (L L ) C : Centro V, V : Vértices F, F : Focos V V : Eje transverso BB : Eje conjugado RR : Lado recto( Cuerda focal L) R R : Lado recto EE : Cuerda focal 49

50 Teorema 2.6 La ecuación de la hipérbola con centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje X es (x h) 2 (y k)2 = 1. a 2 b 2 Esta ecuación es llamada ecuación principal o estándar de la hipérbola. Además se tiene que a : Longitud del semieje transverso (V V = 2a). b : Longitud del semieje conjugado (BB = 2b). 50

51 Las coordenadas de los vértices son: V (h + a, k), V (h a, k). Las coordenadas de los focos son: F (h + c, k), F (h c, k), donde c es la longitud del centro a cada foco. Las coordenadas de los extremos del eje conjugado son: B(h, k + b), B (h, k b). La longitud de cada lado recto es 2b2 a. Su excentricidad es e = c a > 1. Teorema 2.7 La ecuación de la hipérbola con centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje Y es (y k) 2 (x h)2 = 1. a 2 b 2 Además se tiene que 51

52 a : Longitud del semieje transverso (V V = 2a). b : Longitud del semieje conjugado (BB = 2b). Las coordenadas de los vértices son: V (h, k + a), V (h, k a). Las coordenadas de los focos son: F (h, k + c), F (h, k c), donde c es la longitud del centro a cada foco. Las coordenadas de los extremos del eje conjugado son: B(h + b, k), B (h b, k). La longitud de cada lado recto es 2b2 a. Su excentricidad es e = c a > 1. Observación Las constantes a, b y c se relacionan mediante la igualdad c 2 = a 2 + b Si el centro de la hipérbola es el origen del sistema de coordenadas, entonces: (a) El eje X es el eje focal y su ecuación canónica es x 2 a 2 y2 b 2 = 1, con vértices V (a, 0) y V ( a, 0), y focos F (c, 0) y F ( c, 0). (b) El eje Y es el eje focal y su ecuación canónica es y 2 a 2 x2 b 2 = 1, con vértices V (0, a) y V (0, a), y focos F (0, c) y F (0, c). 3. Si el eje transverso es igual al eje conjugado (a = b), la hipérbola es llamada hipérbola equilátera. 52

53 4. Las asíntotas se intersectan en el centro de la hipérbola. 5. Una manera sencilla de encontrar las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola es: Ejemplo: (a) La ecuación principal de la hipérbola se iguala a cero. (b) Se factoriza como suma por su diferencia. (c) Cada factor se iguala a cero y se obtiene la ecuación de cada asíntota. Los focos de una hipérbola son los puntos (6, 3) y ( 2, 3). La longitud de su eje transverso es 4. Encuentre su ecuación, vértices, longitud del lado recto y la ecuación de sus asíntotas. Solución: Como se conocen los focos, entonces su centro es (2, 3) y c = 4. Además la longitud de su eje tranvserso es 4, por lo que a = 2. Así, es posible concluir que b = 2 3. Su eje focal es paralelo al eje X, luego la ecuación de la hipérbola es (x 2) 2 4 (y 3)2 12 Las coordenadas de los vértices son V (4, 3) y V (0, 3), y la longitud de cada lado recto es 12. Las ecuaciones de sus asíntotas son L 1 : x 2 2 L 2 : x 2 2 = 1. + y = 0 L 1 : 3x + y = 0, y = 0 L 1 : 3x y = 0. 53

54 2.4.1 Ecuación general de la hipérbola Desarrollando los cuadrados de binomios de las ecuaciones principales de la hipérbola (x h) 2 (y k)2 (x h) 2 (y k)2 = 1 ó = 1, a 2 b 2 b 2 a 2 se obtiene la forma general Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, la cual representa a una hipérbola si A C < 0, con A 0 y C 0. Para obtener los elementos principales de la hipérbola, basta con completar cuadrados de binomios en las variables x e y. Ejemplo: Dada la ecuación general de la hipérbola 9x 2 4y x + 16y + 29 = 0, reducirla a la forma principal y encuentre su centro, vértices y focos. Solución: 9x 2 4y x + 16y + 29 = 0 9(x 2 + 6x) 4(y 2 4y) = 29 9(x 2 + 6x + 9) 4(y 2 4y + 4) = (x + 3) 2 4(y 2) 2 = 36 (x + 3)2 (y 2)2 = La cual representa a una hipérbola con centro C( 3, 2) y eje focal paralelo al eje X. Además, como a = 2 y b = 3, se tiene que c = 13. Luego, las coordenadas de los vértices son V ( 1, 2) y V ( 5, 2) y la de los focos F ( , 2) y F ( 3 13, 2). 54