Universidad Nacional José María Arguedas Carrera Profesional de Administración de Empresas CONICAS LA RECTA. Lic. JOSÉ L. ESTRADA P.

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1 Universidad Nacional José María Arguedas Carrera Profesional de Administración de Empresas Lic. JOSÉ L. ESTRADA P. CONICAS LA RECTA ANDAHUAYLAS PERÚ

2 Cónicas A. Introducción La introducción de la geometría analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de la matemática. El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica fue introducido por primera vez en 67 por el matemático René Descartes ( ). Por esta razón la geometría analítica se conoce también con el nombre de Geometría Cartesiana Por medio de un sistema coordenado es posible obtener una correspondencia biunívoca entre puntos números reales; esto es, nos permitirá aplicar los métodos del análisis a la geometría, de ahí el nombre de geometría analítica. Así mismo, nos permitirá usar ventajosamente los métodos algebraicos en la solución de problemas geométricos. Dos son los problemas fundamentales de la geometría analítica: Dada una ecuación interpretarla geométricamente. Dada una figura geométrica, determinar su ecuación En efecto: CONSTRUCCIÓN DE CURVAS : La discusión de una curva su representación gráfica constitue un problema de tan gran importancia en todas las ramas de la matemática sus aplicaciones. Nosotros hemos considerado este problema parcialmente en la sección del capítulo 6, donde nos dedicamos a curvas que son la gráfica de funciones reales de una variable real. Sugerimos al lector vuelva a leer la sección 6.. El término cónicas hace referencia al hecho de la intersección del cono con planos. Las figuras al 7 muestran las posibles maneras de intersectar un cono (doble) con un plano.

3 Cónicas La recta Circunferencia Elipse Parábola Fig. Fig. Fig. Hipérbola Punto Recta Dos rectas que se cortan Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Las cuatro primeras se refiere a las cónicas básicas (cónicas no degeneradas): circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; las tres restantes señala a las cónicas degeneradas: punto, recta, dos rectas que se cortan.

4 Cónicas La recta Ha varias formas de estudiar las cónicas:. Podríamos empezar definiéndolas como lo hicieron los matemáticos griegos, en términos de intersecciones de conos con planos, tal como aparece en las figuras anteriores.. Pueden ser epuestas también definiéndolas algebraicamente mediante la ecuación general de segundo grado: A B C D E F 0. Podemos optar otra vía, presentándolas como lugares geométricos de puntos que satisfacen ciertas propiedades geométricas. Nosotros procederemos a plantear las dos últimas, empezando por la tercera forma. Es decir, como lugares geométricos. Cada una de las cónicas se definirán primeramente sin coordenadas; esto es, no dependerá de las coordenadas que se elija. B. La recta real. El objetivo fundamental de la geometría analítica consiste en crear representaciones visuales de los conceptos matemáticos mediante el uso de los sistemas de coordenadas. Así tenemos, el sistema de coordenadas que utilizamos para representar los números reales de R se llama recta real. El número real que corresponde a un punto particular de la recta real se llama coordenada del punto. ( ) -5-7/ -/4 π ( ) R Fig. 8

5 Cónicas La recta 4 Cada punto de la recta real corresponde a uno sólo a uno de los números reales, recíprocamente. Esta relación se denomina correspondencia uno a uno. En la figura 8, aparecen los puntos: 7/, /4,, π. C. Distancia entre dos puntos de la recta real. La distancia d entre dos puntos de la recta real viene dada por: d ( ) Ejemplo. Qué intervalo de la recta real contiene todos los números que se encuentran a no más de tres unidades del 4? Solución: Sea un punto cualquiera de este intervalo. Se quiere hallar todos los tales que la distancia entre 4 es menor o igual que ; es decir, 4. Desde que 4 4 7, entonces se encuentra en el intervalo cerrado [,7]. Véase la figura 9 ( ) unidades unidades [ ] () R Fig. 9 Ejemplo. Hállese el punto medio los puntos de trisección del intervalo [4,] Solución:

6 Cónicas La recta 5 r (a) La coordenada del punto medio c entre a b, viene dada por: (la demostración la veremos más r adelante), donde r es la razón del segmento (dirigido) del segmento, que ambos son iguales a. En otras palabras, 4 ; es decir, c 8. Ver la figura 0. 0/ 8/ a 4 c 8 b a 4 b Fig. 0 Fig. r (b) El er. Punto de trisección entre también está dado por, donde r es la razón de los r 4 ( / )( ) 0 segmentos, que están en la relación de a respectivamente, luego r ; esto es,. ( / ) r ' El segundo punto de trisección ' viene dado por ', donde r ; luego r 4 () 8 (c) '. Ver figura.

7 Cónicas La recta 6 E J E R C I C I O S. Hallar los intervalos de la recta real que contienen todos los números que están a más de tres unidades del.. Se quiere dividir el intervalo [-,7] en 5 subintervalos colocando 4 puntos,,, 4 interiormente. Halle las coordenadas de,,, La línea recta en el plano R Generalmente la geometría analítica empieza su estudio con la línea recta desde el punto de vista geométrico, debido a que su ecuación es la más sencilla; estas ecuaciones desde el punto de vista algebraico tuvo lugar en el capitulo. Allí consideramos una ecuación lineal con una, dos, tres más variables. Recordemos, una línea recta con dos variables en el plano tiene como ecuación a las siguientes formas:. a b c 0 : Ecuación general (a b no son ambos ceros). m b : Ecuación de pendiente - intersección. 0 m( 0 ) : Ecuación de punto - pendiente 4. ( ) : Ecuación de dos puntos 5. : Ecuación en forma simétrica a b 6. 0 : Ecuación en forma de determinante

8 Cónicas La recta 7 En efecto, de 4 se tiene ( ) ( ) ( ) ( ), de donde ( ) ( ) ( ) 0. Esta ecuación no es sino el desarrollo del determinante de tercer orden por el método de cofactores a lo largo de la primera fila; esto es, se tiene la ecuación (cos ω) (sen ω) p 0 : Ecuación en forma normal. El número p es positivo representa la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta. ω el ángulo positivo menor de 60 medido a partir de la parte positiva del eje a la normal. En efecto; es evidente que, para un par cualquiera del valor de p ω, la recta L trazada por P (, ) perpendicular a OP queda perfectamente determinada. Véase la figura L P (, ) P (, ) p d ω O P (, ) B Fig. Fig. Sabemos que p cos ω, p sen ω, donde p. Luego: P (p cos ω, p sen ω). Como la pendiente del segmento OP está dada por m tan ω, la pendiente de L es cos ω m cot ω. Reemplazando en la ecuación tan ω sen ω

9 Cónicas La recta 8 cos ω ; es decir: cos ω sen ω p 0. sen ω En seguida se eponen varios resultados que serán de mucha utilidad. m( ) se tiene p sen ω ( p cos ω) A. Distancia entre dos puntos del plano La distancia d entre dos puntos dados P (, ), P (, ) del plano R viene dada por: d ( ) ( ) En efecto: Sean los puntos P P como se muestra en la figura. Observando dicha figura, la distancia de B a P es d(b,p ) la distancia de P a B es d(p,b). P P, de donde Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo P BP se tiene ( ) ( ) ( ) d. B. División de un segmento en una razón dada Si P (, ) P (, ) son los etremos de un segmento de recta P P, las coordenadas (,) de un punto P que divide a este segmento en la razón dada

10 Cónicas La recta 9 P P r son: PP r r r (r ) r Demostración: Por la geometría elemental sabemos que P P A A r, de donde A A, AA, luego PP AA reemplazando se tiene r. Despejando se tiene ambos casos r. Ver figura 4 r. Análogamente se deduce que r r. En r B B B P(, ) P(, ) P (, ) A A A α α A B L Fig. 4 Fig. 5 θ θ θ C L C. Coordenadas del punto medio En el caso particular de que r ; es decir, P es el punto medio del segmento dirigido P P, entonces las coordenadas de P son:

11 Cónicas La recta 0 D. Angulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas L L, está dado por: m m tan θ m m donde m es la pendiente de la recta inicial m es la pendiente de la recta final correspondiente al ángulo θ. En efecto: sean θ θ los ángulos suplementarios. Ver figura 5. Para el ángulo θ consideramos la recta inicial L cua pendiente es m, la recta final L con pendiente m. Para el ángulo θ, L es la inicial L la final. Por la geometría elemental se conoce que en el triángulo ABC: Un ángulo eterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores ; esto es, α tan α α θ, de donde θ α α. Luego ( ) tan α tan θ tan α α. Como m tan α, m tan α, se tiene: tan α tan α m m tan θ. Análogamente, si consideramos el ángulo eterior θ, resulta θ α (80 α ). Otra vez tomando mm la tangente trigonométrica en ambos miembros, empleando la fórmula de tangente de una suma de dos ángulos, se tiene: tan α tan( 80 α ) tan α tan α tan θ, o lo que es lo mismo: tan α tan( 80 α ) tan α tan α m m m tan θ. Comparando tan θ tan θ (pues tan θ tan θ ), se obtiene la fórmula m tan θ, m m m m m m.

12 Cónicas La recta E. Rectas paralelas. Dos rectas no verticales distintas son paralelas si sólo si sus pendientes son iguales Demostración: Dos rectas son paralelas cuando el ángulo formado por ellos es 0 o 80. m En cualquiera de los dos casos, del resultado D se tiene m tan θ de donde m m m m F. Rectas perpendiculares Dos rectas no verticales son perpendiculares si sólo si sus pendientes satisfacen m m. m En efecto: Cuando las dos rectas forman un ángulo de θ 90, entonces la fórmula m tan θ no se puede aplicar. m m m Tómese m m cot θ. Desde que cot 90 0, entonces m 0 de donde m m m m m m Ejemplo. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (,5), (4,) (,). Hallar las coordenadas de los tres vértices. Solución: Sean A (, ), B (, ), C (, ) los tres vértices del triángulo. Ver figura 6. Por la fórmula de las coordenadas del punto medio se tienen:,,, 5, 4,. Agrupando las 6 ecuaciones precedentes en dos sistemas de ecuaciones lineales de tres variables se tienen:

13 Cónicas La recta ()...()...() (4)...(5)...(6) Resolviendo el er. sistema: () () : ( ) () () : ( ) () () : ( ) 5 Resolviendo el do. sistema. Análogamente se obtiene 4,, 6. Por tanto (5,6). A (,4), B (, ), C A(, ) (,5) (,) (4,) B(, ) Fig. 6 C(, )

14 Cónicas La recta G. Conversión de la forma general a la forma normal. Sea L una recta de ecuación general A B C 0, de ecuación normal (cos ω) (sen ω) p 0. Como ambas ecuaciones representan la misma recta, sus coeficientes deben ser proporcionales: cos ω ka... () sen ω kb... () p kc... () Elevando al cuadrado ambos miembros de () (), sumándolos se obtiene elegirse?. En efecto: k ±. Qué signo debe A B Si C 0, de la ecuación () se deduce que k C deben ser de signo opuesto. Si C 0 B 0, de la ecuación () se infiere que k B deben ser del mismo signo, puesto que sen ω 0 (0 ω < 80 ) Si C 0, B 0, de la ecuación () se afirma que k A deben ser también del mismo signo, puesto que cos ω (ω 0 ) Ejemplo. La ecuación de una recta es Reducir a su forma normal, hallar los valores de p ω. Solución: Como A, B 5, C 5, entonces k. Luego cos ω ka implica A B cos ω, sen ω kb implica senω, p kc p, es decir, p 4. Desde que cos ω (), sen ω

15 Cónicas La recta 4 ( ), ω está en el 4to. cuadrante. Pero de la ecuación cos ω empleando una calculadora de bolsillo se obtiene 7 de donde: ω ( ) ( 7 ) Por lo tanto, la ecuación de la recta en su forma normal es: 4 0. H. Distancia de un punto a una recta Sea L la recta de ecuación normal (cos ω) (sen ω) p 0 P (, ) un punto no situado en L d d(p, L) la distancia de P a L. Sea L la recta que pasa por P es paralela a L, p la distancia (positiva) desde el origen a la recta L tal como puede verse en la figura 7 N B P (, ) A d p ω O L Fig. 7 L d N P (, ) B ω A Fig. 8 L L Por definición 0 A p, 0 B p. A B son puntos de intersección de L L con la normal (positiva) 0 N respectivamente. Además d AB, para segmentos dirigidos se tiene: AB 0B 0A p p > 0, (p > p). Ahora la ecuación normal de L es (cos ω) (sen ω) p 0, como P (, ) está sobre L, entonces: (cos ω) (sen ω) p 0; es decir, p (cos ω) (sen ω).

16 Cónicas La recta 5 Desde que AB p p AB (cos ω) (senω) p > 0. Puesto que d AB, entonces d (cos ω) (sen ω) p. Por tanto para hallar d, las coordenadas se sustituen en la ecuación normal de L. Ahora, al convertir la ecuación general A B C 0 a su ecuación normal se tiene: A B C ± A B 0, es decir: d A B C A B Por tanto, para obtener d, basta sustituir las coordenadas del punto P (, ) en la ecuación general de la recta L. Hemos demostrado prácticamente un teorema importante de la geometría analítica. Nota:. Eisten naturalmente diferentes posiciones que adoptan las rectas L, L el punto P. De hecho eiste en total 6 posiciones. Con un conveniente arreglo se llegan al mismo resultado. A B C. Cuando se requiere hallar la distancia dirigida d, entonces d ; donde el signo se determina de acuerdo ± A B con los casos epuestos en la sección G de 0... d AB se considera positiva cuando P el origen de coordenadas están en lados opuestos de la recta L, tal como aparece en la figura 7. En cambio d AB se toma negativo cuando P el origen se encuentran en el mismo lado de la recta L. Véase por ejemplo la figura 8. Ejemplo. En la ecuación a 5 0. Hallar el valor del coeficiente a de manera que la distancia dirigida de la recta que representa al punto (, ) sea igual a.

17 Cónicas La recta 6 Solución: Desde que: A a, B C 5 (), entonces k ( ); es decir k, luego la distancia a 9 A B C a() ( ) 5 d es decir a 9 a, simplificando a 4a 8 0. Resolviendo esta A B a 9 ecuación cuadrática se tiene: a 7, 7 coeficiente a es la solución del problema. I. Bisectrices de ángulos suplementarios. 7 a. La raíz a no satisface la ecuación a 9 a, luego el La bisectriz de un ángulo es aquella recta que pasa por el punto de intersección divide el ángulo en dos partes iguales. Dada dos rectas que se cortan L : A B c 0, L : A B C 0, queremos hallar las ecuaciones de las bisectrices L, L de los ángulos suplementarios. Ver figura 9. Cualquier punto P (, ) sobre las bisectrices se cumple d d ; es decir, son numéricamente iguales; pero para hallar sus ecuaciones consideraremos la distancias dirigidas: (a) Para P (, ) sobre L la distancia d es positiva, a que el punto P el origen de coordenadas se encuentran en lados opuestos de la recta L. Análogamente, d es también positiva, puesto que P O se encuentran en lados opuestos de la recta L. De aquí que d d. (b) Para P (, ) sobre L, d es positiva d es negativa (P O están en un mismo lado de la recta L ). De aquí que d d. En consecuencia, la ecuación de L viene dada por : A B C d d ± A B A' ± A' B' C' B'

18 Cónicas La recta 7 La ecuación de L, queda epresada por: A B C A' B' C' d d ± A B ± A' B' Los signos se eligen de acuerdo a las partes de la sección G(conversión de la forma general a la forma normal). d L P(,) d d P(,) d L L O Fig. 9 L Ejemplo 4. (a) Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas (b) Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (, ) es siempre igual al doble de su distancia de la recta 6 0. Hallar la ecuación en su lugar geométrico. Solución: (a) Sean las rectas L : 4 0, L : 4 4 0, L la recta bisectriz. Véase la figura 0. Las distancias dirigidas son d d, luego

19 Cónicas La recta 8 4 O 4 4. Reduciendo esta ecuación se tiene: 4 ( ) ( 7 5 ) ( ) 0 L d L P(,) d L L d P (,) d P 0 (, ) Fig. 0 Fig. (b) Trazamos la recta L : 6 0 el punto fijo P 0 (, ). Sea P (, ) un punto móvil que da origen a una curva, llamada el lugar geométrico. Ahora: (Ver figura ) ( P ) ( ) ( ) 6 d P, 0, d( P, L), Según el enunciado del problema se tiene: d( P, P0 ) d(p, L)

20 Cónicas La recta 9 6 ( ) ( ) ; es decir ( ) ( ) 6 miembros simplificando obtenemos: Elevando al cuadrado ambos J. Área de un triángulo Deseamos determinar una fórmula mediante la cual se pueda obtener el área de un triángulo cualquiera conociendo las coordenadas de los vértices. En efecto, sean A (, ), B (, ) C (, ) los vértices del triángulo ABC. Ver la figura. B(, ) B(, ) P G Q L h A(, ) A(, ) R C(, ) C(, ) b Fig. Fig. Sabemos por geometría elemental, que el área de un triángulo es S bh, donde la base b es la longitud del segmento AC, dado por b ( ) ( ), la altura h es la distancia del punto B a la recta L que pasa por A

21 Cónicas La recta 0 C. Pero la ecuación de L está dado por: ( ) ; es decir: ( ) ( ) ( ) 0, luego la distancia de B a L viene dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h. Reemplazando los valores de b h en S resulta ( ) ( ) ( ) S. Eaminando esta epresión se deduce que es el desarrollo del determinante de er. orden: S Ejemplo 5. Dado el triángulo con vértices A (,), B (7,), C (, ) (a) Hallar el área del triángulo (b) Encuentre las coordenadas del baricentro Solución: (a) El área de un triángulo conocido sus vértices (, ), (, ), (, ) viene dado por el valor absoluto de : S, lo cual reemplazado los vértices de A, B C resulta: 7 7 S, luego el área es S 7 unidades cuadradas.

22 Cónicas La recta Eiste otra fórmula para hallar S por medio de un determinante de do. orden. En efecto: el desarrollo de S es ( ) S. Aumentando disminuendo el producto reordenando se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] S. Factorizando: ( )( ) ( )( ) [ ] S. Esta epresión no es sino el desarrollo del determinante : S Podríamos otra vez hallar el área del triángulo con los vértices: A (, ) (,), B (, ) (7,), C (, ) (, ): ) ( ) ( 7 S ; es decir, el área es 7u. (b) Como a sabemos, la intersección común de las medianas de un triángulo se llama baricentro, se encuentra en el punto de trisección más cercano al punto medio del lado correspondiente. Vamos a determinar las coordenadas del baricentro G (, ). En efecto, sean los vértices A (, ), B (, ), C (, ). P es un punto medio de AB.

23 Cónicas La recta Véase la figura., P. Pero GC PG ; es decir, el segmento está dividido en la razón r, luego de la fórmula: r r r r se tiene para G: r r r r. En consecuencia las coordenadas de G es:, G Para hallar las coordenadas en nuestro problema, sólo nos queda reemplazar las coordenadas de los vértices; es decir:, 5, 7 G. Ejemplo 6. Los vértices de un triángulo son A ( 6, ), B (6,), C (,4). Se traza la bisectriz del ángulo eterior correspondiente al ángulo interno ACB. La bisectriz corta a la prolongación del lado AB en el punto D. Hállese las coordenadas de D.

24 Cónicas La recta Solución: De la figura 4 podemos deducir rápidamente que las pendientes de L, L L son respectivamente: m m m L A(-6,-) C(, 4) θ θ Fig. 4 m m m m Sea L la bisectriz eterior del ángulo ACB donde m es su pendiente. Como tan θ. Reemplazando mm mm m, m se obtiene la ecuación cua solución es m 0. Luego la ecuación de L es: 4 m( ) Por otra parte la ecuación de L es: ( 6) 4 0. Resolviendo el sistema se obtiene el punto de intersección D (8, 4). L B(6,) L D(8,4) L

25 Cónicas La recta 4 E J E R C I C I O S. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son , 9 5 0, Hallar sus ángulos comprobar sus resultados.. Dado el triángulo de vértices A (, ), B (4,7), C (6, ): (a) Hallar las ecuaciones de los lados. (b) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B trisecan al lado opuesto AC. (c) Hallar los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan por los vértices A, B C, son paralelas a los lados opuestos.. Hallar las ecuaciones de las medianas las coordenadas de su punto de intersección, en el ejercicio. El punto de intersección se llama baricentro del triángulo. (La mediana de un triángulo es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). 4. Hallar las ecuaciones de las mediatrices de los lados las coordenadas de su punto de intersección en el ejercicio. El punto de intersección se denomina circuncentro del triángulo. (La mediatriz de un lado de un triángulo es el segmento de recta perpendicular trazada del punto medio de dicho lado). 5. Hallar las ecuaciones de las alturas su punto de intersección, del ejercicio. Este punto de intersección recibe el nombre de ortocentro del triángulo. (La altura del triángulo es el segmento de recta trazada por un vértice perpendicular al lado opuesto). 6. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo las coordenadas de su punto de intersección del ejercicio. Este punto de intersección se llama incentro del triángulo, equidista de los lados. (La bisectriz del triángulo es el segmento de recta trazado de un vértice divide al ángulo en dos partes iguales).

26 Cónicas La recta 5 7. Los vértices de un triángulo son (,), (4,7), (6,). Demostrar que el baricentro, el circuncentro el ortocentro son colineales. (En general este resultado se cumple para cualquier triángulo. La recta que une estos tres puntos se llama La recta de EULER). 8. Demostrar que una condición necesaria suficiente para que tres puntos diferentes de coordenadas (, ), (, ), (, ) sean colineales es que: 0 9. Desde el punto (6,0) se trazan perpendiculares a los lados 5 40,, 40 de un triángulo. Verifique que los pies de estas perpendiculares son colineales. 0. (a) Determinar el valor de b para que la distancia del origen a la recta b 7 0 sea. (b) Hallar la ecuación de la recta cua distancia del origen es 5 que pasa por el punto (,7).. (a) Hallar la forma normal de la ecuación de la recta que es paralela a la recta 5 0 pasa por el punto A ( 7,). (b) Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la que tiene por ecuación 90 cua distancia del origen es 8.. (a) Los vértices de un triángulo son A ( 4,), B (,), C (, ). Hallar la longitud de la altura del vértice A sobre el lado BC el área del triángulo. (b) Hallar la distancia entre las rectas paralelas

27 Cónicas La recta 6. (a) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta 4 0 es siempre igual al doble de su distancia del eje. (b) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera 0 es siempre igual a la mitad de su distancia del eje. que su distancia de la recta 4 4. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas 0, 0, demostrar que son perpendiculares. 5. En el triángulo de vértices ( 4,), (,), (, ); hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos interiores, demostrar que concurren en punto. 6. (a) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta 0 es siempre unidades maor que su distancia del punto (, ). Trazar el lugar geométrico. (b) Un punto se mueve de tal manera que su distancia de la recta 0 es siempre igual a su distancia del punto (, ). Hallar la ecuación de su lugar geométrico. 6. (a) Hallar el área del triángulo cuos vértices son A (,), B (,4), C (5, ). (b) Hallar la ecuación de la recta de Euler para el triángulo de la parte (a). 7. Determinar el valor de la constante b para que las rectas 8 0, b 0, sean concurrentes. 8. Se tiene un triángulo con vértices A (, 4), B (9,9), C (0,). Halle la ecuación de la recta que pasa por el baricentro del triángulo ABC es paralela al lado AC. 9. La recta L pasa por los puntos A (0,9), B (,). La recta L pasa por los puntos A (0,9), C (, 5). Halle la pendiente de la recta bisectriz del ángulo agudo que forma L L.

28 Cónicas La recta 7 0. Una recta pasa por la intersección de las rectas 5, tiene como intersección con el eje el punto cua primera coordenada es dos veces su pendiente. Encontrar la ecuación de dicha recta.. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas: 0 0. Demostrar, además que son perpendiculares entre sí.. Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto D (,) sea perpendicular a la bisectriz interior del triángulo de vértices A (0,0), B (4,8), C (6,) relativa al vértice B.. Dado los puntos A (,), B (9,7), se pide determinar las coordenadas de un punto C pertenecientes a la recta L: 6, tal que el ángulo ACB sea ángulo recto.

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