INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

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1 INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f. x 1 = x g. x + 3 = 1 x. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: 7x a. < x b. c. x 3x + 1 > 0 x x x < x x Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: a. x < 3 b. x > 3 c. x 1 d. x + < x + 3 e. f. x x 1 x + x 5 x 1 g. 1 x < x h. 1 x > x 1 i. j. k. l. 1 3 x x 1 7 x < 3 x + 1 x 0 x + 8 x x 3 x

2 INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: de 3 m. x 3 + x 1 x x n. o. p. 4x 4x 1 6x 5 x + 3 x 3 > 3 < 1 x 1 0 0x 5x + 1 q. < x + 3 < 4 r. 3 > x x s. (x + )x + + 3x 0 t. 3x < x Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: a. x 3x 5 < x + 6 b. x + 1 x c. 4 x + x d. x + 1 > x + x 9 e. x 1 x x 1 f. (x )(x 6) + x 4 g. x x x + 1 x h. (x + )x + + 3x 0 i. x + 1 > x + x 9 j. (x + 1)(x 1) x 3 0 k. (x + )x + x 4 l. 4 x x 1 x 3 1 x m. x + 1 x x 1

3 INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 3 de 3 R E S P U E S T A S 1.a. 1/3, 3 b. ( )/, ( 3 13)/ c. 6, 1 d. 1, 3 e. 9, 3 f. ( 1 + 5)/, (1 + 5)/ g. No tiene solución.a. [ 1,4) b. (,0) (1, ) c. (, 5) (0, ) 3.a. (-1,5) b. (-,-1] [5, ) c. [- 3, 3] d. (-5/, ) e. (-,-1] [1-,1+ ] [3, ) f. [-1+ 7, ] g. (1/3, ) h. R-{1} i. R j. (-,-5) (1, ) k. R-{-8} l. R-{0} m. (-,1] [1, 3/] [3/, ) n. (-3/,1/) (1,) o. ((1-37)/6,0) (0,(1+ 37)/6) p. (-,-1] q. (-1,1) (5,7) r. (-,-4) (4/5, ) s. (-,(-7+ 35)/) t. (1/4,3/) 4.a. (-11/3,1/) (1, ) b. (-,-1/] c. d. (3,6) e. [0, ] f. [,6] g. [-1/,-1/5] [1/3, ) h. (-,(-7+ 33)/) i. (3,6) j. [1-,(6-15)/3] [1+,3) (3,(6+ 15)/3]

4 PLANO CARTESIANO Y LÍNEA RECTA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Un cuadrado de lado igual a a, tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Halle las coordenadas de sus cuatro vértices. Rta: (a,a); (-a,a); (-a,-a); (a,-a). Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,-), (4,-), (4,). Determine las longitudes de los catetos y después calcule el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa. Rta: 6, 5 3. Halle la distancia del origen al punto (a,b). Rta: a + b 4. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1,1) y (3,1). Halle las coordenadas del tércer vértice. Rta:(1,1 + 3); (1,1 3) 5. Halle el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1). Rta: Demuestre que los puntos (-,-1), (,), (5,-), son los vértices de un triángulo isósceles. 7. Demuestre que los puntos (,-), (-8,4), (5,3) son los vértices de un triángulo rectángulo y halle su área. Rta: Demuestre que los tres puntos (1,1), (-3,-), (,-1) son colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta. 9. Demuestre que los puntos (0,1), (3,5), (7,), (4,-) son los vértices de un cuadrado. 10. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3,-). Si la abscisa del otro extremo es 6, halle su ordenada. Rta:, Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7,8) y su punto medio es (4,3). Halle el otro extremo. Rta: (1,-) 1. Una recta pasa por los dos puntos (-,-3), (4,1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, cuál es su ordenada? Rta: Demuestre que los puntos (1,6), (9,-), (-5,-4) son los vértices de un triángulo. 14. Demuestre que el punto (1,-) es colineal con los puntos (-5,1) y (7,-5) y que equidista de ellos.

5 PLANO CARTESIANO Y LÍNEA RECTA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: de Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,5) y tiene de pendiente. Rta: x-y+3=0 16. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6,-3) y tiene un ángulo de inclinación de 45. Rta: x-y+3=0 17. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y cuya intersección con el eje Y es. Rta: 3x+y+=0 18. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(,4), C(6,7), D(8,0). Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y=0, 3x-4y+10=0, 7x+y-56=0, y=0 19. Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por C(-,) y D(3,-4). Halle su ecuación. Rta: 6x+5y-8=0 0. Halle la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas x+y-8=0 y 3x-y+9=0. Rta: 4x+y-10=0 1. Dado el triángulo cuyos vértices son A(-,1), B(4,7) y C(6,-3): a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-7=0, x+y=0 b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC. Rta: 5x+y+9=0. Las coordenadas de un punto P son (,6) y la ecuación de una recta l es 4x+3y=1. Halle la distancia del punto P a la recta l. Rta: 14/5 3. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7,-). Calcule la abscisa de P. Rta: Determine el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax-By+4=0 de una recta, si debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6). Rta: A=0/19, B=16/19 5. Halle la ecuación de la recta, que es perpendicular a la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3). Rta: 4x+3y+13=0 6. Halle el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0. Rta: 4

6 PLANO CARTESIANO Y LÍNEA RECTA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 3 de 3 7. En las ecuaciones ax+(-b)y-3=0 y (a-1)x+by+15=0 halle los valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto (,-3). Rta: a=4, b=7 8. Halle la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto P(,-3). Rta: Halle la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x-4y+8=0 y 6x-8y+9=0. Rta: Halle la posición relativa de las rectas 7x-13y+35=0, 3y+54x-43=0. Rta: secantes 31. Una recta pasa por los puntos M(x,3) y N(7,-1). Si su pendiente es 4/5, determine el valor de x. Rta: 3. Se tiene el triángulo formado por los puntos A(1,6), B(-5,-) y C(8,1). Determine: a. Su perímetro. Rta: b. Su área. Rta: 43 π 33. Una recta tiene inclinación 3 y pasa por el punto A(,1). Otra recta tiene inclinación π 6 y pasa por el punto B(-,-3). Determine el punto común a ambas. 34. Se dan los puntos A(,1), B(-,3) y C(-4,-1). Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y es perpendicular a la que pasa por B y C. 35. Dado el triángulo cuyos vértices son A(-,1), B(4,7) y C(6,-3): a. Halle las ecuaciones de sus lados. Rta: x-y+3=0, 5x+y-7=0, x+y=0 b. Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC. Rta: 5x+y+9=0 c. Halle las ecuaciones de las medianas y las coordenadas de su punto de intersección. Rta: (8/3,5/3) d. Halle las ecuaciones de las mediatrices de los lados y las coordenadas de su punto de intersección. Rta: (10/3,5/3) e. Halle las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. Rta: (4/3,5/3) 36. Los vértices de un triángulo son (1,1), (4,7) y (6,3). Demuestre que el baricentro, el circuncentro y el ortocentro son colineales. 37. Halle la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por las rectas de ecuaciones dadas por x-y-4=0 y 4x-y-4=0. Rta: ( )x ( )y = 0

7 SECCIONES CÓNICAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 5 1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(,3) y B(-4,5). Halle la ecuación de la curva. Rta. (x + 1) + (y 4) = 10. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7,-6) y que pasa por el punto A(,). Rta: (x 7) + (y + 6) = Halle la ecuación de la circunferencia de centro C(,-4) y que es tangente al eje Y. Rta. (x ) + (y + 4) = 4 4. La ecuación de una circunferencia es (x 3) + (y + 4) = 36. Demuestre que el punto A(,-5) es interior a la circunferencia y que el punto B(-4,1) es exterior. 5. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x-y-4=0, x+7y+9=0. Rta. (x 6) + (y + 3) = 5 6. La ecuación de una circunferencia es (x + ) + (y 3) = 5. Halle la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3,3). Rta. x+y-9=0, x-y+3=0. 7. Halle la longitud de la circunferencia cuya ecuación es 8. Demuestre que las circunferencias son tangentes. x + y + 4x + 6y 3 = 0 y 5x + 5y + 30x 0y 6 = 0. Rta. 3π x + y 8x 10y + 5 = 0 9. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0,) y (7,3). Halle su ecuación. Rta. (x 4) + (y + 1) = 5, (x 3) + (y 6) = Determine el valor de la constante k para que la recta x+3y+k=0 sea tangente a la circunferencia x + y + 6x + 4y = 0. Rta. k= -1, Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a (7,-1). x + y = 5 que pasan por el punto 1. Halle la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de 14 sus vértices en el punto (0,-7) y pasa por el punto ( 5, ). Rta. 3 x y = 1, e = 10 7

8 SECCIONES CÓNICAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: de Halle la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0),(-4,0) y cuyos focos son los puntos (3,0),(-3,0). Rta. x y = Los vértices de una elipse son los puntos (1,1) y (7,1) y su excentricidad es 1/3. Halle la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes mayor y menor y de cada lado recto. (x 4) (y 1) 9 8 Rta. + = 1; focos (5,1),(3,1); 6, 4, 16/ El centro de una elipse es el punto (-,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, halle la ecuación de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos. Rta. (x+ ) (y+ 1) = 1, e =, focos ( + 15, 1),( 15, 1) 16. Halle las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (3,-1) a la elipse x + 3y + x y 5 = 0. Rta. x + y = 0, 9x 191y 18 = Determine la ecuación de la elipse que tiene centro en (4,-1), uno de los focos está en (1,-1) y pasa por (8,0). Rta. (x 4) (y + 1) = La ecuación de una familia de elipses es elemento de la familia que pasa por los puntos (,3) y (5,1). Rta. 4x + 9y 16x 18y 11 = 0. 4x + 9y + ax + by 11 = 0. Halle la ecuación del 19. La ecuación de una familia de elipses es kx + 4y + 6x 8y 5 = 0. Halle las ecuaciones 1 de aquellos elementos de la familia que tienen una excentricidad igual a. Rta. 3x + 4y + 6x 8y 5 = 0; 16x + 1y + 18x 4y 15 = 0 0. Los vértices de una hipérbola son (0,4) y (0,-4) y su excentricidad es igual a 3/. Halle la ecuación de la hipérbola y las coordenadas de sus focos. Rta. (0,-6) y x Si k es un número cualquiera diferente de cero, demuestre que la ecuación representa una familia de hipérbolas de excentricidad igual a. = 1 focos (0,6), 3x 3y = k. Halle y trace las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola 4x 5y = 7. Rta. x 5y = 0, x + 5y = 0.

9 SECCIONES CÓNICAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 3 de 5 3. Halle los puntos de intersección de la recta x 9y + 1 = 0 con las asíntotas de la hipérbola 3 4x 9y = 11. Rta. (3,) (,1) 4. Halle las coordenadas de los vértices y focos, y la excentricidad de la hipérbola que es conjugada a la que tiene por ecuación 9x 4y = 36. Rta. Vértices (0,3),(0,-3); focos (0, 13), (0, 13), e = El centro de una hipérbola es el punto (4,5) y uno de sus focos es (8,5). Si la excentricidad de la hipérbola es, halle su ecuación. 6. Demuestre que la elipse x + 3y = 6 y la hipérbola x 3y = 3tienen los mismos focos. 7. Determine todos los elementos de las siguientes hipérbolas y construya su gráfica: a. 4x 9y + 3x + 36y + 64 = 0 b. c. d. x 4y x + 1 = 0 9x 4y + 54x + 16y + 9 = 0 3x y + 30x + 78 = 0 8. Halle la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y 5 = 0. Rta. x = 0y 9. Halle la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los puntos ( 4,3) y ( 1,3), respectivamente y la ecuación de su directriz. Rta. (y 3) = 1(x + 4); x = Determine todos los elementos de las siguientes parábolas y construya su gráfica: a. 4y 48x 0y 71 = 0 b. c. 9x + 4x + 7y + 16 = 0 4x + 48y + 1x 159 = La ecuación de una familia de parábolas es de la familia que pasa por los dos puntos (,8) y ( 1,5). Rta. y = ax + bx. Halle la ecuación del elemento y = 3x x 3. Halle la distancia entre el centro de la elipse de la circunferencia 3x + 3y + 1x + 4 3y + 1 = 0. Rta x + 9y 150x + 54y + 81 = 0 y el centro 33. Diga si x y = 4y x + 9y = 9 son cónicas homofocales (tienen focos iguales). Rta. Si

10 SECCIONES CÓNICAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 4 de Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse 7x + 11y = 77 y cuyos vértices son los focos de dicha elipse. Rta. 7x 4y = Dibuje la región limitada por las curvas indicadas: y = x 4, y = x x = y, x = y y = x + 1, y = x + 1, y = x y = x + 8x 7, y = x 4. y = 4 x, y = x +, x =, x = 3. x = 16 y, x = 6y. x = (y + 1) 1, x = 1 y + 1. x 16 + y 9 = 1, x + y = 1. y = x 1 + 3, y = 4(x 1). y = x, y = 8 x, 4x y + 1 = 0. y = x + 4, x = y. 3 y x = 6, y = x, y + x = 0. (x ) y = 1 ; y = x + ; x = x x y = x + 1 ; y = + 1 ; y = x y = (x ), y = x x = y, 4(8 x) = y y = x , y = 0, x = 8, x = y 1 + x ; x + y 1 ; (x 1) + (y 1) y x = 6 ; y = x ; y + x = Primer cuadrante ; x + y 3 ; x y ; y x x x = 1 y ; x = 1 (y 1) ; y = + ; y = 0 x = y ; x = y ; y = x

11 SECCIONES CÓNICAS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 5 de Dibuje las siguientes curvas: (x ) + (y 1) = 4 1 y 3 1 y = (x + ) 0 y x + y = 1 1 y y = (x ) 0 y 1 x y = 4 x y 3 = 0 x 4 y x = y 3 3 x + y = 16y 60 8 y 10 x = y 4 0 y y + 4 = x 4 y 0 16(x + ) + (y 4) = 16 x 1 x y = 4 x y 3 = 0 x 4 y x = y x + y = = y 1 x 0 x 1 x = 0 1 y 1 y x + 1 = 0 0 < x 1 = y x 0 x 3 (x 3) (y ) + = 1 0 x 3, y = x (y 1) 1 1 x 0