4. Si dos rectas son paralelas, qué condición cumplen sus vectores directores? Y sus vectores normales? Y si la rectas son perpendiculares?

Transcripción

1 . Si u=(,4) es un vector director de la recta r, indicar si el vector v también lo es:. v=(-,-4). v=(0,). v=(,). Dado un vector director de una recta, calcular un vector normal:. v=(,). v=(,). v=(-,) 4. v= -,. v=(,h) 6. v=(a,b). Si los vectores u=(u,u ) y u=(v,v ) son directores de la recta r, qué condición deben cumplir sus componentes? 4. Si dos rectas son paralelas, qué condición cumplen sus vectores directores? Y sus vectores normales? Y si la rectas son perpendiculares?. Qué valores puede tomar la inclinación de una recta. Y la pendiente? Qué relación existe entre las inclinaciones de dos rectas paralelas. Y si son perpendiculares? 6. Cuantas rectas hay con una pendiente determinada? Dibuja rectas que tengan la inclinación dada y calcula su pendiente:. 0º. 0º. 4º 4. º 7. Calcular la pendiente de la recta cuyo vector director es:. v=(,). v=(,). v=(-,) 4. v=(0,). v=(-,0) 6. v= -,- 8. Calcular la pendiente de la recta cuyo vector normal es:. w=(-,). w=(,). w=(-,-) 9. Calcular la inclinación de la recta cuyo vector director es:. v=(,0). v=(0,). v=(-,) 4. v= -,. v=, 6. v=,- 0. Hallar un vector director de la recta cuya pendientes es:. m =. m = - 4. m = - 4. m =. m = - 6. m =. Hallar la ecuación, en forma paramétrica, de la recta definida por un punto y un vector director:. A(,-), v=(,). A(0,-), v=(,-). A(0,0), v=, 4. A(,-), v= -,. Hallar las ecuaciones de la recta en forma continua (A punto; v, vector director):. A,, v= -,. A, -, v= -, -. A(-,-), v=(0,-) 4. A(,), v=(-,0). Expresar la ecuación de la recta r en forma continua:. r x = + y = - -. r x = - - y =. r x = y = - 4. r x = y = - 4. Hallar la ecuación de la recta r en forma paramétrica:. x- = y+ -. x = y-. x = 4. y = -. Hallar la ecuación de la recta definida por los puntos:. A(0,), B(,). A(-,), B(,-). A(,-), B(-,0) 4. A(-,-), B(-,-) 6. Hallar la ecuación de la recta conocida la pendiente y un punto: de diciembre de 009 Página de 7

2 . m=, A(-,). m= -, A(,-). m=0, A(,4) 4. m=, A(0,-) 7. Hallar la ecuación de la recta conocido un vector normal y un punto:. w=(-,), A(-,-). w=(,), A(,). w=(-,), A(,) 4. w=(0,-), A(0,0) 8. Hallar la ecuación de la recta conocida su inclinación y un punto:. =0º, A(,). =4º, A(-,-). =60º, A(0,-) 4. =90º, A(,-). =0º, A(-,) 6. =º, A(0,0) 9. Comprobar si alguno de los siguientes puntos pertenecen a las rectas r x - y + = 0 y r y = x-: A(0,), B(0,-), C(,), D(-,-4), E(-,-), F(,), G, 4, H, 0 0. Hallar tres puntos de la recta:. x - y + = 0. x - y + = 0. y = x + 4. y = x -. x - = 0 6. y =. Hallar k para que el siguiente punto pertenezca a la recta x+y-6 = 0:. A(0,k). A(k,). A(k,) 4. A(,k). A(k,k) 6. A(k-,k). Hallar, si es posible, un punto que pertenezca a las dos rectas siguientes:. x+y+ = 0 x-y+ = 0. x-y+ = 0 x-6y+ = 0. x- = 0 y = 4. x-4y+ = 0 x-y+ = 0. Hallar los vectores directores, normales y la pendiente de la recta:. x - y + = 0. x - 4y = 0. x + y = 4. y - x - = 0. x + = y = 0 7. y = x + 8. y = 9. y = - x - 4. Hallar la ecuación de la recta, en todas las formas posibles, definida por: (v indica vector director, w vector normal, m la pendiente y, la inclinación). A(,), B(-,). A(-,), B(-4,-). A(,), B(,-) 4. A(0,), B(-,-). v=(-,), A(,) 6. v=(0,-), A(,) 7. w=(0,), A(-,-) 8. w=(-,-),a(-,-) 9. A(0,), B(-,0) 0. A(-,0), B(0,-). m= -, A(,-). m=, A(-,). m= 0, A(-,-) 4. m=, A(,0). = 0º, A(,-) 6. =º, A(,) 7. =0º, A(-,-) 8. = 90º, A(-,). Comprobar si los siguientes puntos están alineados:. A(0,-), B(,), C(-,-). A(,), B(-,-), C(0,). A(0,0), B(,), C(,) 4. A(k,-k), B(0,), C(,0) 6. Hallar k para que los siguientes puntos estén alineados:. A(,-), B(-,), C(k,). A(k,-), B(-,), C(0,) 7. Comprobar si las siguientes rectas son paralelas:. x+y- = 0 x-4y+ = 0. x-6y+ = 0 x-y+ = 0. x = x- = 0 4. x-y+ = 0 y = x+. x-y+ = 0 y = x- 6. y = x+ y = x- 8. Comprobar si son perpendiculares las rectas:. x-y+ = 0 x-y- = 0. x-y+ = 0 x+y- = 0. y = -x+ y = x- 4. y = 0 x+ y = -0x-. x+y- = 0 y = x+ 6. y+ = 0 x = de diciembre de 009 Página de 7

3 7. y- = 0 y = - 8. ax-y+ = 0 x+ay- = 0 9. Calcular el valor de k para que las rectas sean paralelas:. 6x-y+ = 0 kx+y- = 0. kx-y+ = 0 y = 4 x+. y = x+ y = kx- 0. Hallar el valor de k para que las rectas sean perpendiculares:. kx+ay- = 0 ax+ky- = 0. kx+y- = 0 kx-ky+ = 0. y = x- y = kx+. Hallar la relación que debe existir entre k y t para que las siguientes rectas sean paralelas:. x+y- = 0 kx+ty+ = 0. kx-y+ = 0 kx+ty+ = 0. y = kx+ y = x-t. Hallar la relación que debe existir entre k y t para que las siguientes rectas sean perpendiculares:. x+y- = 0 kx+ty+ = 0. kx-y+ = 0 kx+ty+ = 0. y = kx+ y = x-t. Calcular los coeficientes a y b de la recta ax+by+ = 0 sabiendo que pasa por el punto A(-,) y es con respecto a la recta x-y+ = 0:. Paralela.. Perpendicular. 4. Escribir tres rectas paralelas y tres perpendiculares a la recta:. x - y + = 0. x - y + = 0. x - = 0 4. y = x -. y = -x + 6. y =. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la dada y pasa por el punto A:. x - y + = 0, A(0,-). x - = 0, A(0,-). y = x -, A(,-) 4. ax + y - = 0, A(0,) 6. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la dada y pasa por el punto A:. x + y - = 0, A(,-). y + 4 = 0, A(-,). y = - x +, A, y = ax + b, A(,a) 7. Dada la recta definida por los puntos M(-,) y N(-,-), hallar la recta que pasa por el punto A(,-) y es con respecto a la dada:. Paralela.. Perpendicular. 8. Sea r una recta de º de inclinación que pasa por el punto P(-,). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-,) y es, con respecto a r:. Paralela.. Perpendicular. 9. Una recta r tiene una inclinación de 0º. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-,-) y es, con respecto a la recta r:. Paralela.. Perpendicular. 40. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del paralelogramo, tres de cuyos vértices son A(,), B(-,), C(,-4). 4. Comprobar si es un paralelogramo el cuadrilátero de vértices:. A(-,-), B(,), C(-,4), D(-,). A(-,), B(,-), C(,), D(0,) 4. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen las diagonales del cuadrado, tres de cuyos vértices son A(-,), B(,) y C(,4). de diciembre de 009 Página de 7

4 4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(,-) y:. Es paralela al eje X.. Es perpendicular al eje X.. Es paralela al eje Y. 4. Es perpendicular al eje Y.. Pasa por el punto P(0,-). 6. Pasa por el origen. 7. Es paralela a la bisectriz del º y er cuadrante. 8. Es paralela a la bisectriz del º y 4º cuadrante. 9. Es perpendicular a la bisectriz del º y 4º cuadrante. 44. Calcular el ángulo que forman las rectas:. x+y- = 0 x+y+ = 0. x+4y- = 0 x-y+ = 0. y = x- y = x+4 4. x+y+ = 0 x+4y- = 0. x-y+ = 0 y+x- = 0 6. y = x- y = x+ 4. Hallar k para que las siguientes rectas formen un ángulo de 4º:. x-y+ = 0 kx+y- = 0. x-y+ = 0 x+ky+ = 0. y = x- y = kx+ 4. y-x = 0 x = k 46. Hallar k para que las siguientes rectas formen un ángulo de 60º:. x-y+ = 0 kx+y- = 0. x-y+ = 0 x+ky+ = 0. y = x- y = kx+ 4. y-x = 0 x = k 47. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto A y forman un ángulo con la recta r:. A(,), cos = 4, r: 4x-y+=0. A(,), =4º, r: x+y-=0. A(-,-), cos = 4. A(,-), =4º, r: x-y+=0, r: x+4y-=0 48. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de un triángulo equilátero, dos de cuyos vértices son A(-,-) y B(,). 49. Estudiar la incidencia del punto y la recta:. A(-,-), x + y + = 0. A(,-), x - y + = 0 0. Estudiar la incidencia de las siguientes rectas, hallando, si es posible, el punto de corte:. x+y- = 0 x-y+ = 0. x-y+ = 0 x+y- = 0. y = x+ y = x- 4. x+y- = 0 4x+6y+ = 0. x+y- = 0 4x+y-6 = 0 6. x- = 0 y =. Hallar k y t para que las rectas sean coincidentes:. 4x-y+4 = 0 kx+ty- = 0. kx-y+ = 0 x+ty-4 = 0. Hallar la ecuación de la recta paralela a x - 4y + = 0 que pasa por el punto intersección de las rectas:. x+y- = 0 x+y- = 0. x-4y+4 = 0 x-y- = 0. y = x- y = x+. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a x - 4y + = 0 que pasa por el punto intersección de las rectas:. x+y- = 0 x+y- = 0. x-4y+ = 0 x-y+ = 0. y = x- y = x+ 4. Hallar los puntos de intersección de las rectas:. x+y-4 = 0 x+y- = 0 x-y+ = 0. x-y+ = 0 x-6y+9 = 0 x-4y+6 = 0. x+y- = 0 x-y+ = 0 4x+y-6 = 0. Dado el triángulo de vértices A(,), B(,) y C(,7), comprobar que las alturas se cortan en un punto. (Ortocentro) de diciembre de 009 Página 4 de 7

5 6. Dados tres vértices de un paralelogramo, hallar las coordenadas del cuarto:. (-,), (,), (-,). (-,-), (-,-), (-,-4) 7. Calcular la distancia entre los puntos:. A(-,), B(0,-). A(-,-), B(,-). A(0,0), B(-,-) 4. A(-,), B(,-). A(a,), B(,a) 6. A(,b), B(a,b) 8. Comprobar si los siguientes puntos definen un triángulo, calculando en dicho caso su perímetro:. A(,-), B(,), C(0,0). A(0,-), B(,), C(-,). A(-,-4), B(-,-), C(-,-) 4. A(,-), B(0,), C(-,) 9. Hallar el valor de k para que la distancia entre los puntos A(,) y B(k,-) sea. 60. Clasificar el triángulo de vértices:. A(-,), B(4,), C(,). A(,-), B(,), C(-,-). A(0,), B(-,0), C,- 4. A(-,-), B(4,), C(,-) 6. Dado el punto A de la recta x - y + = 0, calcular los puntos de dicha recta que distan de A d unidades:. A(,), d=. A(-,0), d= 0. A(-,-), d= 6. Escribir la condición que deben cumplir las coordenadas de todos los puntos que equidistan de los dados:. A(,), B(-,). A(,), B(-,) 6. Escribir la condición que deben cumplir las coordenadas de todos los puntos que distan unidades del punto:. A(,-). A(,). A(0,0) 64. Hallar el punto medio del segmento de extremos:. A(,0), B(-,). A(,), B(,). A(-,), B(,) 4. A(0,0), B(4,) 6. Dado un extremo A y el punto medio C de un segmento, hallar el otro extremo:. A(-,), C(,). A(,), C(-,-). A(0,0), C(-,-) 4. A,, C(,) 66. En un cuadrado se conocen dos vértices opuestos A(,) y C(,). Hallar las coordenadas de los otros vértices. 67. Hallar los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales:. A(0,0), B(,0). A(,), B(,6). A(,), B(,) 4. A(-,-), B(-,) 68. Dado el triángulo de vértices (0,), (,0) y (,), comprobar que las medianas se cortan en un punto. (Baricentro) 69. Hallar el simétrico del punto (,) respecto a la recta x + y - = Hallar el simétrico del segmento de extremos A(,) y B(-,) respecto a la recta x + y - = 0 7. Hallar la simétrica de la recta x-y- = 0 respecto al eje de simetría x+y- = 0 7. Hallar la distancia del punto A a la recta x-y+ = 0. A(0,0). A(,). A(-,) 4. A(,) 7. Hallar k para que la distancia del punto A(,k) a la recta x-4y+ = 0 sea Hallar k para que el punto A(k,-) diste 8 unidades de la recta x-y+ = Hallar la distancia entre los siguientes pares de rectas: de diciembre de 009 Página de 7

6 . x-y+ = 0 6x-y+ = 0. x+y- = 0 4x+6y- = 0. x+y- = 0 x+4y-6 = 0 4. x-y+ = 0 x+y+ = Hallar k para que las rectas x-4y+ = 0 y kx-y+ = 0 disten entre sí unidades. 77. Hallar k para que las rectas x-4y+ = 0 y x-4y+k = 0 disten entre sí unidades. 78. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A, distan d unidades del punto P:. A(0,4), d=, P(,0). A(-,), d= 4, P(,-). A(,), d=, P(,-) 4. A(,4), d= 4, P(6,4) 79. Hallar las ecuaciones de las rectas que distan d unidades de la recta r:. d=, r: 4x - y + = 0. d=, r: x + 4y - = 0. d= 6, r: x - y + 7 = 0 4. d=, r: x + y - = Hallar la mediatriz del segmento de extremos:. A(,), B(,-). A(0,), B(,0). A(-,), B(4,) 4. A(,-), B(-,-) 8. Hallar la ecuación de la recta que equidista de las dos rectas paralelas x+y- = 0 y 6x+y+ = Comprobar que las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto. (Circuncentro). Considerar el triángulo de vértices A(,), B(,-), C(,4) 8. Hallar un punto de la recta x + y - = 0 que equidista de los puntos A(,) y B(-,-). 84. Hallar un punto que equidiste de los tres puntos A(,), B(,-) y C(-,0). 8. Hallar las bisectrices de las rectas:. x+y- = 0 x+y- = 0. x+4y+ = 0 8x-6y- = 0. x+y- = 0 9x-y+ = 0 4. x- = 0 y = Soluciones.. Si.. No.. Si.. w=(,-).. w=(,-).. w=(,).4. w=, v=(,) 0.. v=(,-) 0.6. v=(0,).. x+ = 0.4. y- = 0.. x-.. x- = y+ - y-.. x+ - = y = y y = y = 8.. x+ x = y+ -.. w=(h,-).6. w=(b,-a). u u = v v º º 9.. º º 9.. 0º º 0.. v=(,) 0.. v=(4,-) 0.. v=(,-) x = + y = -+.. x = y = --.. x = y =.4. x = - y = y = x = x+ = y x - = y - y - x =.. x+ - = y.. No.4. No 4.. x = + y = x = y = x = y = 6.. x+ = y- 6.. x- = y+ = y+ - = y+ 8.. x = y x = 8.. x+ F: No,Si ; G: Si,Si ; H: Si,No ; I: No.Si x - y +.. = x = y = x- = y x- = y- 7.. x- = 9. A: No,No ; B: No,Si ; C: No,Si ; D: Si,No ; E: Si,No ;.. (-,).. (k-,k), k.. (,).4. No.. v=(,) ; w=(,-) ; m=.. v=(4,) ; w=(,-4) ; m=.. v=(-,) ; w=(,) ; m= -.4. v=(,) ; w=(,-) ; m=.. v=(0,-) ; w=(,0) ; m=.6. v=(,0) ; w=(0,-) ; m=0.7. v=(,) ; w=(,-) ; m=.8. v=(-,0) ; w=(0,) ; m=0.9. v=(-,) ; w=(,) ; m= - x=-+k 4.. ; x+ y=+k = y- ; x-y+=0 ; y= x+ 4.. x= x ; x-=0 ; x= 4.4. y=+4k y- ; x+y-=0 ; y=-x x= y=-k ; x-= x=-+k ; y+=0 ; y= y=- x=-+k x-y+=0 ; y=x y=-k y= x x=-+k y=- ; x+y-=0 ; y= -x ; x+ ; y+=0 ; y= x=-+k y=- 4.. x=+k y=+k ; x- = y- ; x-y+=0 ; y= x+ = y = + ; x = y- ; y = x + ; x - y + = x=-k y=+k ; x- - = x=-+k y=--k ; x+ = y+ - ; x+y+4=0 ; y= -x x=k y=+k ; x = y- ; = y - ; x+y+=0 ; y= -x- 4.. x=+k y=--k ; x- = y+ - ; x+y+=0 ; y= -x- 4.. x=-+k y=+k x= y=k ; y+=0 ; y= ; x-=0 4.. x=+k ; x+ = y- ; x-y+8=0 ; y=-+ k ; x- = y+ ; x-y- + =0 ; y= x x=-k y=+k ; x- - = y- x=- y=+k ; x+=0 ; x= -.. Si.. No.. Si.4. Si No 7.. de diciembre de 009 Página 6 de 7

7 Si 7.. Si 7.4. Si 7.. No 7.6. Si 8.. No 8.. Si 8.. Si 8.4. Si 8.. No 8.6. Si 8.7. No 8.8. Si t.. k =.. k=0 (t 0) ó t = -.. k =.. k = - t.. t = k.. k = -.. ; ; -4.. x-y-=0.. x=0.. y=x-0.4. ax+y-=0 6.. x-y-6=0 6.. x+=0 6.. y = x y = - a x + a + a 7.. 4x-y-6=0 7.. x+4y+7=0 8.. x+y-=0 8.. x-y+=0 9.. x+y++ =0 9.. x-y+ -6=0 40. x+y-7=0 ; x+y+9=0 ; 7x+y-=0 ; 7x+y-7=0 4.. No 4.. Si 4. x+y-=0 ; x-y+=0 4.. y=- 4.. x= 4.. x= 4.4. y=- 4.. x-y-= x+y= x-y-= x+y+= x-y-= º''' º''' º º º º6'6'' ; ; ; No x-4y+7=0 ; x-= x+y-9=0 ; x-y+7= x+y+4=0 ; x+y+4= x-y-7=0 ; x+y-=0 48. ª Solución: x-y+=0 ; + x+y+7+ =0 ; - x+y+ -=0 ; ª Solución: x-y+=0 ; - x+y+7- =0 ; + x+y- -= Si 49.. No , (0,) 0.. (,) 0.4. Paralelas 0.. Coincidentes 0.6. (,).. - ;.. - ;.. x-4y+=0.. x-4y+=0.. x-4y+=0.. 4x+y-=0.. 4x+y+=0.. 4x+y-6=0 4.. (,0) ; 7, 6 ; (,) 4.. Coincidentes 4.. (,). 7, 6.. (0,0) ; (,4) ; (-4,) 6.. (-,-) ; (-,-) ; (-,-4) a a No 9. ; Isósceles 60.. No 60.. Escaleno Isósceles 6.. (,) ; (,) 6.. (,) ; (-,-) , - + ; - - 4, x-y+=0 6.. x-y+=0 6.. x +y -x+4y+=0 6.. x +y -x-y-=0 6.. x +y -4= , 64.., 64.. (,) 64.4., 6.. (,0) 6.. (-4,-9) 6.. (-,-) 6.4., 4 66., 9 ; 7, 67.. (,0) ; (,0) 67.., 8 ;, 67.., ; 7, , - 4 ; -, 68., 69. (-,0) 70., - ; - 7, 0 7. x-y-= ; No ; 78.. x=0 ; 7x+4y-96= y= ; 4x-7y+69= x-y+=0 ; 4x+y-7= x-y+8=0 ; 4x+y-6= x-y+=0 ; 4x-y-9= x+4y+=0 ; x+4y-7= x-y+8=0 ; x-y-7= x+y+=0 ; x+y-8= x-8y-= x-y-= x+y-7= x+=0 8. 6x+y-= , , (,-) 8.. x-y=0 ; x+y-=0 8.. x-4y-=0 ; 4x+y+9=0 8.. x-68y+=0 ; 48x+6y+= x-y+=0 ; x+y-=0 de diciembre de 009 Página 7 de 7