MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA

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1 1 MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA Ejercicio 1. (Junio 2006-A) Considera el plano π de ecuación 2x + y z + 2 = 0 y la recta r de ecuación x 5 z 6 = y =. 2 m (a) [1 punto] Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m. (b) [0.75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π. (c) [0.75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π. Ejercicio 2. (Junio 2007-A) Considera los planos de ecuaciones x y + z = 0 y x + y z = 2. (a) [1 punto] Determina la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a ninguno de los planos dados. (b) [1.5 puntos] Determina los puntos que equidistan de A(1, 2, 3) y B(2, 1, 0) y pertenecen a la recta intersección de los planos dados. Ejercicio 3. (Junio 2008-A) Dada la recta r definida por x 1 = y+1 = z (a) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. (b) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r. Ejercicio 4. (Junio 2008-B) [2.5 puntos] Dados los puntos A(2, 1, 1) y B(0, 0, 1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2. Ejercicio 5. (Sobrante 2008) 2x + y mz = 2 Sea la recta r dada por y el plano π definido por x + my z = 1. x y z = m (a) [1 punto] Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos? (b) [1 punto] Para qué valor de m está la recta contenida en el plano? (c) [0.5 puntos] Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0? Ejercicio 6. (Sobrante 2008) x = 1 [2.5 puntos] Sea la recta r definida por x y = 0 y sean los planos π 1, de ecuación x + y + z = 0, y π 2, de ecuación y + z = 0. Halla la recta contenida en el plano π 1, que es paralela al plano π 2 y que corta a la recta r.

2 2 Ejercicio 7. (Sobrante 2008) Se sabe que los planos de ecuaciones x + 2y + bz = 1, 2x + y + bz = 0, 3x + 3y 2z = 1 se cortan en una recta r. (a) [1.25 puntos] Calcula el valor de b. (b) [1.25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de r. Ejercicio 8. (Junio 2009-A) x = 1 [2.5 puntos] Se considera la recta r definida por y = 1 z = λ 2 Halla la ecuación de la recta perpendicular común a r y s. x = μ y la recta s definida por y = μ 1. z = 1 Ejercicio 9. (Septiembre 2009-A) Considera el punto P(1, 0, 0), la recta r definida por x 3 = y = z (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ( 1, 2, 0). (a) [1.25 puntos] Estudia la posición relativa de r y s. y la recta s definida por (b) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasando por P es paralelo a r y s. Ejercicio 10. (Sobrante 2009) x + y = 2 Considera el punto A(1, 2, 1) y la recta r definida por las ecuaciones 2x + y + z = 7 (a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A. (b) [1.5 puntos] Calcula la distancia del punto A a la recta r. Ejercicio 11. (Sobrante 2009) x 2y 1 = 0 Considera el punto P(1, 0, 2), la recta r definida por y el plano π de ecuación y + z 2 = 0 2x + y + 3z 1 = 0. (a) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y es perpendicular a π. (b) [1.25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a π. Ejercicio 12. (Sobrante 2009) Considera el plano π de ecuación 3x 2y 2z = 7 y la recta r definida por x 2 2 = y+1 1 = z 2 2. (a) [1.25 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a π que contiene a r. (b) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano ortogonal a π que contiene a r. Ejercicio 13. (Sobrante 2009) [2.5 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 1, 1), es paralela al plano de ecuación x y + z = 1 y corta al eje Z.

3 3 Ejercicio 14. (Sobrante 2009) x + y + 2z = 1 Sea el punto P(2, 3, 1) y la recta r definida por x 2y 4z = 1 (a) [1.25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r. (b) [1.25 puntos] Halla el punto de r que está más cerca de P. Ejercicio 15. (Junio 2010-A) Considera las rectas r y s de ecuaciones: (a) [0.75 puntos] Determina su punto de corte. (b) [1 punto] Halla el ángulo que forman r y s. x 2y = 1 x 1 = y = 1 z y y + z = 1 (c) [0.75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a r y a s. Ejercicio 16. (Junio 2010-B) Los puntos P(2, 0, 0) y Q( 1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. 4x + 3z = 33 El tercer vértice S pertenece a la recta r de ecuación. y = 0 (a) [1.5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S. (b) [1 punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo. Ejercicio 17. (Septiembre 2010-B) Considera los planos π 1, π 2 y π 3 dados respectivamente por las ecuaciones x + y = 1, ay + z = 0 y x + (1 + a)y + az = a + 1 (a) [1.5 puntos] Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común? (b) [1 punto] Para a = 0, determina la posición relativa de los planos. Ejercicio 18. (Junio 2011-B General) x + y = 1 Considera los puntos A(1, 0, 1) y B(2, 1, 0), y la recta r dada por x + z = 2. (a) [1 75 puntos] Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B. (b) [0 75 puntos] Determina si la recta que pasa por los puntos P(1, 2, 1) y Q(3, 4, 1) está contenida en dicho plano. Ejercicio 19. (Junio 2011-A Específico) Considera los puntos A(1, 0, 2) y B(1, 2, 1). (a) [1'25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuación x 1 de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B. 3 = y 2 = z que verifica que el triángulo (b) [1'25 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación 2x y + 3z = 6 con el eje OX.

4 4 Ejercicio 20. (Junio 2011-B Específico) [2'5 puntos] Considera los planos π 1, π 2 y π 3 dados respectivamente por las ecuaciones 3x y + z 4 = 0, x 2y + z 1 = 0, x + z 4 = 0 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, 1, 1), es paralela al plano π 1 y corta a la recta intersección de los planos π 2 y π 3. Ejercicio 21. (Septiembre 2011-A) Considera los puntos A( 1, k, 3), B(k+1, 0, 2), C(1, 2, 0) y D(2, 0, 1). (a) [1 25 puntos] Existe algún valor de k para que los vectores AB, BC y CD sean linealmente dependientes? (b) [1 25 puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen 1. Ejercicio 22. (Septiembre 2011-B) 3x y = 5 Dado el plano π de ecuación x + 2y z = 0 y la recta r de ecuaciones x + y 4z = 13. (a) [1 75 puntos] Halla el punto de intersección del plano π y la recta r. (b) [0 75 puntos] Halla el punto simétrico del punto Q(1, 2, 3) respecto del plano π. Ejercicio 23. (Examen 1 Junio 2012 Específico Opción A) El punto M(1, 1, 0) es el centro de un paralelogramo y A(2, 1, 1) y B(0, 2, 3) son dos vértices consecutivos del mismo. (a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. (b) [1'5 puntos] Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo. Ejercicio 24. (Examen 1 Junio 2012 Específico Opción B) [2'5 puntos] Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones 2x 3 y = 4 2x 3y z = 0 Ejercicio 25. (Examen Opción A) x+ 3 y 9 z 8 x 3 y 9 z 8 Dadas las rectas r = = y s = = (a) [1 punto] Determina la posición relativa de las rectas r y s. (b) [1'5 puntos] Calcula la distancia entre r y s. Ejercicio 26. (Examen Opción B) [2'5 puntos] Los puntos A(1, 1, 5) y B(1, 1, 2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El y 6 z+ 1 vértice C, consecutivo a B, está en la recta x = =. Determina los vértices C y D. 2 2

5 5 Ejercicio 27. (Examen 3 Septiembre 2012 Opción A) Sean los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, 1), C(0, 1, 2) y D(1, 2, 0). (a) [1 punto] Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C. (b) [0'5 puntos] Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. (c) [1 punto] Calcula la distancia del punto D al plano π. Ejercicio 28. (Examen 3 Septiembre 2012 Opción B) [2'5 puntos] Halla el punto simétrico de P(2, 1, 5) respecto de la recta r definida por x z = 0 x + y + 2 = 0 Ejercicio 29. (Examen 4 Junio 2012 General Opción A) De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2, 1, 0), B( 2, 1, 0) y C(0, 1, 2). (a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene. (b) [0'75 puntos] Halla el área de dicho paralelogramo. (c) [0'75 puntos] Calcula el vértice D. Ejercicio 30. (Examen 4 Junio 2012 General Opción B) x+ y z = 6 x 1 y+ 1 z Sean r y s las rectas dadas por r s = = x + z = (a) [1'25 puntos] Determina el punto de intersección de ambas rectas. (b) [1'25 puntos] Calcula la ecuación general del plano que las contiene. Ejercicio 31. (Examen Opción A) Se consideran los vectores u = (k, 1, 1), v = (2, 1, 2) y w = (1, 1, k), donde k es un número real. (a) [0'75 puntos] Determina los valores de k para los que u, v y w son linealmente dependientes. (b) [1 punto] Determina los valores de k para los que u + v y v w son ortogonales. (c) [0'75 puntos] Para k = 1, determina aquellos vectores que son ortogonales a v y w y tienen módulo 1. Ejercicio 32. (Examen Opción B) [2'5 puntos] Encuentra los puntos de la recta π x 2y+ 2z = 1 vale cuatro unidades. x 1 2 y r = = z 3 cuya distancia al plano 4 2 Ejercicio 33. (Examen Opción A) x+ 3 y+ 5 z+ 4 [2'5 puntos] Determina el punto P de la recta r = = que equidista del origen de coordenadas y del punto A(3, 2, 1).

6 6 Ejercicio 34. (Examen Opción B) 2x y 4 = 0 Considera el punto P(1, 0, 2) y la recta r dada por las ecuaciones y + 2z 8 = 0 (a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. (b) [1'5 puntos] Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. Ejercicio 35. (Examen 1 Reserva 2 Junio 2013 Opción A) x 1 y [2 5 puntos] Determina el punto de la recta r = = z+ 1 que equidista de los planos 3 2 π 1 x y + 3z + 2 = 0 y x = 4 + λ 3μ π 2 y = 1 + λ z = μ Ejercicio 36. (Examen 1 Reserva 2 Junio 2013 Opción B) Considera los puntos A(0, 5, 3), B( 1, 4, 3), C(1, 2, 1) y D(2, 3, 1). a) [1 75 puntos] Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un rectángulo. b) [0 75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo. Ejercicio 37. (Examen 2 Septiembre 2013 Opción A) Considera el plano π de ecuación 2x + y + 3z 6 = 0. a) [1 5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados. b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados. Ejercicio 38. (Examen 2 Septiembre 2013 Opción B) Considera los puntos A(1, 0, 2), B( 1, 3, 1), C(2, 1, 2) y D(1, 0, 4). a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C. b) [1 5 puntos] Halla el punto simétrico de D respecto del plano x y 5z + 9 = 0. Ejercicio 39. (Examen 3 Reserva 1 Septiembre 2013 Opción A) Considera los puntos A(1, 2, 1), B( 1, 0, 2) y C(3, 2, 0) y el plano π determinado por ellos. a) [1 75 puntos] Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos respecto de r. b) [0 75 puntos] Calcula la distancia de A a r. Ejercicio 40. (Examen 3 Reserva 1 Septiembre 2013 Opción B) Considera las rectas r y s dadas por x = 2 3λ r y = 3 + 5λ z = λ a) [1 punto] Determina la posición relativa de r y s. b) [1 5 puntos] Calcula la distancia entre r y s. x + y 1 = 0 y s z 5 = 0

7 7 Ejercicio 41. (Examen 4 Reserva 2 Septiembre 2013 Opción A) Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A( 1, 0, 3), B(2, 1, 1) y C(3, 2, 3). a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo. b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo. c) [0 5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice D. Ejercicio 42. (Examen 4 Reserva 2 Septiembre 2013 Opción B) Considera los puntos A(1, 2, 3) y B( 1, 0, 4). a) [1 25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales. b) [1 25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A y es perpendicular al segmento AB. Ejercicio 43. (Examen 5 Reserva 1 Junio 2013 Opción A) [2 5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas r x = y = z y s x 1= y 2= z 3. Ejercicio 44. (Examen 5 Reserva 1 Junio 2013 Opción B) [2 5 puntos] Considera las rectas r x = y = z s x = 2 y = 1 Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t. y x = 1 + 2λ t y = 3λ z = 1 + λ Ejercicio 45. (Examen 6 Junio 2013 Opción A) Sea r la recta que pasa por el punto (1, 0, 0) y tiene como vector dirección (a, 2a, 1) y sea s la recta dada por 2x+ y = 2 ax + z = 0 a) [1 punto] Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. b) [1 5 puntos] Calcula, para a = 1, la distancia entre r y s. Ejercicio 46. (Examen 6 Junio 2013 Opción B) Considera los puntos P(2, 3, 1) y Q(0, 1, 1). a) [1 75 puntos] Halla la ecuación del plano π respecto del cual P y Q son simétricos. b) [0 75 puntos] Calcula la distancia de P a π.