EJERCICIOS PROPUESTOS

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1 EJERCICIOS PROPUESTOS ) Dadas las coordenadas del punto A(, ). Hallar la ecuación de la recta (r) paralela al eje por dicho punto. Hallar la ecuación de la recta (p) paralela al eje por dicho punto. ) Dadas las coordenadas de los puntos: A(, ) B(, ). Hallar la ecuación de la recta (AB). ) Dadas las coordenadas de los puntos: D(, ) E(, ). Hallar la ecuación de la recta (DE). ) i) Hallar para que el punto de coordenadas B(, ) pertenezca a la recta de ecuación + = 0. ii) Qué valor debe darse a la letra c de la ecuación c = 0 para que la recta correspondiente pase por el punto de coordenadas (, )? Determinar b para que la recta de ecuación b + 6 = 0 pase por el punto de coordenadas (, 7). ) Las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados de un triángulo son: (r) + = 0 (p) + 0 = 0 (s) = 0. Hallar las coordenadas de los vértices. 6) Dado el triángulo determinado por las rectas de ecuación: (r) + = 0 (p) 7 7 = 0 (s) = 0 Demostrar que el triángulo es isósceles. 7) Hallar las ecuaciones de las rectas determinadas de los siguientes modos: ) Pasa por el punto de coordenadas A(, ) tiene pendiente. ) Interseca al eje en el punto de coordenadas B(0, ) tiene pendiente. ) Interseca al eje en el punto de coordenadas C(, 0) tiene pendiente. ) Pasa por el punto de coordenadas A( 6, ) tiene un ángulo de inclinación de º. ) º 6) 7) º

2 8) Hallar las ecuaciones de las rectas determinadas de los siguientes modos: i) Pasa por los puntos de coordenadas (, ) (, ) ii) Pasa por los puntos de coordenadas (, 6) (0, ), Pasa por los puntos de coordenadas (, ) 9) Hallar la ecuación de las rectas graficadas, tomando en cuenta las coordenadas de los puntos A B. A ) ) B A B ) B A ) A B 0) Verificar que los puntos de coordenadas A(, ) B(, ) C(, ) están situados en una recta. ) Los puntos A(, ) B(, ) determinan una recta. Hallar las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados. ) Hallar la ecuación de la recta (p) que pasa por la intersección de (r) + + = 0 (s) + = 0 por el punto de coordenadas A(, ). ) Hallar la ecuación de las siguientes rectas: ) Que pasa por el punto de coordenadas (, ) es paralela a la recta de ecuación 7 = 0 ) Que pasa por el punto de coordenadas (, ) es perpendicular a la recta de ecuación + = ) Que pasa por el punto de coordenadas (, ) es perpendicular a la recta determinada por los puntos de coordenadas (, ) (, ) ) Que pasa por el punto de coordenadas A(, ) es paralela a la recta que pasa por los puntos de coordenadas B(0, ) C(, ). ) Que pasa por el punto de coordenadas M(6, ) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos de coordenadas N(, ) P(0, ). GUSTAVO A. DUFFOUR

3 ) Encontrar la ecuación de la recta perpendicular al segmento determinado por los puntos de coordenadas A(, ) B(, ) en su punto medio. ) Dadas las coordenadas de los puntos A(, 6) C(0, 0) i) Hallar las coordenadas de B punto de intersección de la recta paralela a la de ecuación + = 0 por A, con la mediatriz de [AC]. ii) Sea D el simétrico de B respecto a (AC). Clasificar el cuadrilátero ABCD calcular su área. 6) Sean A(, ) (r) la recta de ecuación = + i) Hallar B punto de intersección de (r) con el eje ii) Hallar C punto de intersección de la recta de ecuación = con la paralela a la recta de ecuación + = 0 por B. Clasificar el triángulo ABC. 7) Los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero el punto medio del segmento que une las intersecciones de las rectas que contienen a los lados opuestos se encuentran sobre una misma recta. Verificarlo para el cuadrilátero ABCD, siendo: A(0, 7), B(, ), C(, 0), D(0, 0). 8) Se consideran los puntos A(, 0), B(, ), por el origen de coordenadas la recta (p) perpendicular a (r), siendo (r) = (AB). Hallar las coordenadas de R simétrico del origen respecto a la recta (r). Se traza por R la paralela al eje, que corta a (r) en S. Sea M = (r) (p). Probar que: d(m, S). d(a, B) =.d(r, S) 9) Dado el triángulo cuos vértices son A(, 6) B(7, ) C(, ) Hallar: Las coordenadas del punto de intersección de la recta que contiene a la altura relativa al lado (BC) con la recta que contiene a la mediana relativa al lado (AC). 0) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(, ), B(, ), C(8, ). Hallar: i) Las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados. ii) Las ecuaciones de las rectas que contienen a las alturas. iv) Las ecuaciones de las rectas que contienen a las medianas. Verificar que las rectas que contienen a las alturas del triángulo se cortan en un punto hallar sus coordenadas. v) Verificar que las rectas que contienen a las medianas del triángulo se cortan en un punto hallar sus coordenadas. ) Se da la recta (AB) por los puntos A(, 0) B(0, ). La perpendicular a (AB) por el origen corta a (AB) en C, por C se trazan (r) (p) tal que (r) (p). La perpendicular a (p) por B corta a ésta en E, la perpendicular a (r) por A, corta a ésta en D. Probar que el coeficiente angular de (ED) es el cubo del de (AB). ) El punto A(0, ) es uno de los vértices de un triángulo ABC. Hallar las coordenadas de B C sabiendo que el ángulo en B es recto, (AB) es paralela a la recta = 0, (BC) pasa por el origen C tiene ordenada.

4 ) De un rectángulo se conoce la ecuación que contiene a un lado + 6 = 0 los vértices A(, ) B(, 7). Calcular las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados que pasan por B. ) Dar las coordenadas del punto simétrico de P(, ) con relación a la recta que pasa por los puntos de coordenadas A(, ) B(, ). ) Hallar las coordenadas del punto simétrico de P(, ) con respecto a la recta de ecuación =. 6) 7) En el triángulo ABC se dan: a) La ecuación de la recta que contiene al lado (AB) + = 0 b) La ecuación de la recta que contiene a la altura correspondiente al vértice A: + = 0 c) La ecuación de la recta que contiene a la altura correspondiente al vértice B: = 0. Se pide hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los otros dos lados la ecuación de la recta que contiene a la tercera altura. 8) i) Demostrar que los puntos A(, ), B(, ), C(6, ) son vértices de un triángulo isóceles hallar la medida de uno de los ángulos iguales. ii) iv) Demostrar que los tres puntos A(, ) B(8, ) C(, ) son los vértices de un triángulo rectángulo hallar la medida de sus ángulos agudos. Dos recta se cortan formando un ángulo de º. Sabiendo que la recta final tiene pendiente. Calcular la pendiente de la recta inicial. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(, ) forma º con la recta de ecuación + = 0 v) Dado los puntos A(, ) B(, 0) Hallar la ecuación de la recta (r) que pasa por C(, ) forma º con (AB). 9) Encontrar el valor de los ángulos de un triángulo cuos vértices tienen por coordenadas A(0, 0) B(, 0) C( 8, 8). 0) A(, ) es el vértice de un cuadrado, uno de cuos lados está incluído en la recta 7 = 0. Calcular su área. ) Hallar la distancia entre las rectas paralelas de ecuación: + 8 = = 0. ) i) Hallar la distancia entre las rectas paralelas de ecuación: 6 = = 0 ii) Calcular el área del cuadrado en que dichas rectas contienen lados opuestos. GUSTAVO A. DUFFOUR

5 ) Se considera la familia de rectas dadas por la siguiente ecuación: (r) ( + ) + = + i) Probar que (r) pasa por un punto fijo. ii) Hallar para que (r) se la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas. ) Estudiar las siguientes familias de rectas con. i) ( + ) + ( ) + + = 0 ii) ( + ) + (8 + ) + = 0 ( ) + ( + ) 6 = 0 iv) ( ) (6 ) + = 0 v) ( + ) + ( - ) + = 0 vi) ( + ) ( + 8) + = 0 ) Dados los haces de recta por las ecuaciones: ( + ) + ( ) = 0 ( + ) + ( ) = 0 Hallar la ecuación de la recta común. 6) Dado el haz de rectas por la ecuación: ( + ) + ( + ) = 0 Hallar la ecuación de la recta del mismo que: i) Pase por el punto de coordenadas (, ). ii) Pase por el origen de coordenadas. Sea paralela al eje. iv) Sea paralela al eje. v) Sea paralela a la recta de ecuación: + = 0 vi) Sea perpendicular a la recta de ecuación: = 0 7) Dado el haz de rectas de ecuación: ( + ) + ( 7) = 0. a) Demostrar que la recta de ecuación + + = 0 pertenece al haz. b) Hallar la ecuación de una recta del haz que sea perpendicular a: + = 0. 8) Se considera la familia de rectas de ecuación: ( ) + ( + ) = 0 m i) Investigar si la familia de rectas forman haz. ii) Hallar la ecuación de la envolvente. 9) Representar las siguientes regiones: a) + > 0 b) < 0 c) + > 0 d) ( + )( + ) > 0 e) + < f) ( + 6)( ) < 0 g) 0 0 h) 0 0 0

6 RESULTADOS: EJERCICIOS DE RECTA ) (r) = (p) = ) (AB) = ) (DE) = ) ) = ) c = 0 ) b = 8 ) (r)(p) = (, ) (p)(s) =, (r)(s) =, 6) (r)(p) = (, )) (p)(s) = (, ) (r)(s) = (, ) Longitud de los lados: 0, 0, 0 7) ) 7 = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + = 0 ) + = 0 6) = 0 7) + = 0 8) i) + = 0 ii) + + = = 0 9) ) + = 0 ) + = 0 ) + 6 = 0 ) + 7 = 0 0) (BC) = 0 A verifica (BC) ) (AB) + 7 = 0 (AB) = (-7, 0) (AB) = 0, 7 ) (r) (s') = (, ) (p) + 7 = 0 ) ) = 0 ) = 0 ) + = 0 ) + 9 = 0 ) + = 0 ) (AB) + 6 8=0 Coordenadas del punto medio, Ecuación de la perpendicular: 0 7 = 0 ) a) La ecuación de la recta paralela a: + = 0 por A es: + + = 0 La ecuación de la mediatriz de (AC) es: + 6 = 0 B(0,6) b) D( 6, 0) ABCD es un rombo de área = 6 uda 6) a) B(, 0) C(, ) b) Escaleno 7) La ecuación de la recta a la cual pertenecen los tres puntos es: + 8 = 0 8) 8 8 R, S, A C:, Intersección:, 9) Ecuación de la recta que contiene a la altura por A: + = 0 Coordenadas del punto medio entre. Ecuación de la recta que contiene a la mediana por B: + 7 = 0 0) i) Ecuación de las rectas que contienen a los lados: (AB) + 6 = 0 (AC) + 0 = 0 (BC) + + = 0 ii) iv) 7, Ecuación de las rectas que contienen a las alturas: por C, + = 0 por B, + = 0 por A, = 0 Ecuación de las rectas que contienen a las medianas: por A, 7 8 = 0 por B, = 0 por C, + = 0 ) C, E, v) 8, D, (AB) + = 0 ) B(, ) C(, ) ) + = 0 + = 0 ) (, ) ) (6, ) 7) A(, ) B(, ) (AC) 7 + = 0 (BC) + = 0 C(6, ) Ecuación de la recta que contiene a la altura por C: + = 0 8) i) d(bc) = d(ac) = 0 BAC 7º ' ii) (d(bc)) = (d(ac)) +(d(ab)) ACB 6º 8 ' CBA º ' m 6 iv) dos soluciones: = = 0 v) dos soluciones: = = GUSTAVO A. DUFFOUR

7 9) 8º 66º 8 º 7 0) unidades de área ) ) i) 7 unidades de longitud ii) 9 unidades de área ) i), 9 unidades de longitud ii) = ) i) Haz propio con centro en (, ) ii) Haz impropio, haz de rectas paralelas de pendiente Haz propio con centro en (, ) iv) Haz impropio, haz de rectas paralelas de pendiente v) Haz propio con centro en, vi) Haz impropio, haz de rectas paralelas de pendiente ) 7 = 0 6) i) + 7 = 0 ii) = 0 = iv) = v) + 0 = 0 vi) + = 0 7) i) = ii) = 0 8) i) No forman haz. ii) + = 0 9) a b c d e f g h 7