6 Propiedades métricas

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1 6 Propiedades métricas ACTIVIDADES INICIALES 6.I Dados los puntos P(, ) Q(, 5), la recta r :, calcula: a) d(p, Q) b) d(p, r) c) d(q, r) 6.II Se tienen las rectas r :, s : 4 t :. Halla: a) d(r, s) b) d(r, t) c) ( r, s) d) ( st), EJERCICIOS PROPUESTOS 6. Calcula el ángulo que forman entre sí las siguientes rectas, a partir de sus vectores directores. r : 4 s : 5 6. Halla el ángulo que forman entre sí las rectas: r : s : 6. Calcula el ángulo que forman las siguientes parejas de planos. a) π : π ' : b) π : 4 π ' : Determina el valor de k para que el plano que pasa por los puntos A(,, ), B(,, ) C(k,, k) sea perpendicular al plano π :. 6

2 6.5 Halla el ángulo formado por los siguientes planos rectas. a) π :, r : b) π :, r : 6.6 Halla los valores de m para que la recta r : 5 el plano π : m. a) Formen un ángulo de º. b) Sean perpendiculares. c) Sean paralelos. 6.7 El triángulo de vértices A(,, ), B(,, ) C(,, ) se proecta ortogonalmente sobre el plano de ecuación π :. Halla los vértices del triángulo proectado. 6.8 Halla la proección ortogonal de la recta r sobre el plano π:, donde r : Determina la proección ortogonal de la recta r de ecuación r: sobre el plano de ecuación π: 4. Calcula, si eiste, el punto de intersección entre la recta r su proectada. 6. Sean A, B C tres puntos del espacio dados por sus coordenadas A(,, 4), B(,, ) C(4, 5, ). Comprueba la desigualdad triangular. 6. Halla la ecuación del plano mediador del segmento de etremos A(,, ) B(4, 6, ). 6

3 6. Halla la distancia entre el plano π que pasa por el origen de coordenadas los puntos A(,, ) B(,, ) el plano paralelo a π que pasa por el punto (,, ). 6. Determina el punto del plano de ecuación π : que está más cerca del punto P(,, 4), así como la distancia entre el punto P el plano π. 6.4 Calcula la distancia del punto P(, 4, 5) a la recta r : Halla la distancia del punto P(,, ) la recta r : 6.6 Determina la posición relativa la distancia entre las siguientes rectas. r : s : t t t Halla la posición relativa la distancia entre las rectas: r : s : 64

4 6.8 Determina la posición relativa la distancia entre las rectas: r : λ λ 5 7λ 4 5 s : 6.9 (PAU) Halla la distancia entre las rectas r s de ecuaciones: r : s : 6. (PAU) Obtén la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas r s, siendo las ecuaciones de r s las siguientes: r : s : 6. Calcula el área de la figura. Z (6,, ) O (4,, ) (4, 6, ) Y (6, 8, ) X 6. Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos A(,, ) B(,, ) corta al eje X en un punto C tal que el área del triángulo ABC es igual a 4. 65

5 6. Calcula el volumen del paralelepípedo de la figura: Z (,, ) (4, 5, ) X O (, 4, ) Y 6.4 Suponiendo que los vértices de un tetraedro son los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) D(,, 6), calcula el volumen de dicha figura e interpreta el resultado obtenido. 6.5 Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(,, ) sabiendo que el triángulo formado por las rectas en que corta a los planos cartesianos es equilátero. Calcula el volumen determinado por dicho plano los planos coordenados. EJERCICIOS Ángulo entre dos rectas 6.6 (PAU) Estudia la posición relativa de las rectas r s obtén, si es posible, el ángulo que forman, siendo: r : λ λ s : 6.7 (PAU) Considera las rectas r :, s : rectas sean secantes. Para ese valor de d, determina el ángulo que forman r s. d. Halla el valor de d para que las 66

6 6.8 (PAU) Estudia la posición relativa de las siguientes rectas. Raona la respuesta. r : r : Calcula el coseno del ángulo que determinan las direcciones de las dos rectas. 6.9 (PAU) Estudia la posición relativa de las rectas r s, calcula el ángulo que forman: r: 4 s: λ λ 4 λ Ángulos entre dos planos 6. (PAU) Calcula el ángulo que forman los planos π : π ' :. 6. (PAU) Halla el ángulo que forman los planos π π, donde π es el plano determinado por los puntos (,, 8), (5,, ) (,, ) π es el plano perpendicular a la recta: 6 que pasa por el punto (,, ). 67

7 6. (PAU) Halla el ángulo que forman el plano determinado por las rectas r : con el plano de ecuación. s : λ λ λ 6. (PAU) Calcula el ángulo que forma la recta Ángulo de recta plano con el plano (PAU) Dados los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) D(,, ), determina el ángulo formado por el plano que pasa por los puntos A, B C la recta que pasa por C D. 6.5 (PAU) Para qué valores de λ son el plano π: λ la recta r : a) Paralelos b) Perpendiculares Calcula, en función del parámetro λ, el ángulo que forman la recta r el plano π. 6.6 (PAU) Halla el ángulo que forman la recta r de ecuación r : s :, al punto A(,, 6). con el plano que contiene a la recta 68

8 Proección ortogonal 6.7 (PAU) Calcula la proección ortogonal del punto P(,, ) sobre el plano π :. 6.8 (PAU) Dados la recta r : el plano π : 4, halla la ecuación de la recta s, proección ortogonal de r sobre π. 6.9 (PAU) Halla la ecuación continua de la proección ortogonal de la recta (,, ) (,, ) t (,, ) sobre el plano. 6.4 (PAU) Halla la ecuación de la proección ortogonal r' de la recta r : α :. sobre el plano 69

9 Distancia entre dos puntos 6.4 (PAU) Halla el punto del plano π :, que equidista de los puntos A(,, ), B(,, ) C(,, ). 6.4 (PAU) Calcula raonadamente la ecuación que han de cumplir los puntos del espacio que equidistan de A(6,, 6) B(4, 8, 6). 6.4 (PAU) Calcula los puntos de la recta r que pasa por los puntos P Q de coordenadas P(,, ) Q(, 5, ) cua distancia al punto C(,, ) es de unidades (PAU) La distancia del punto P(,, ) a otro A del eje de abscisas es 7. Halla las coordenadas del punto A. Distancia de un punto a un plano 6.45 Determina la distancia que ha desde el origen de coordenadas al plano que contiene a las rectas: r : 6 4 s : 7

10 6.46 (PAU) Calcula los puntos de la recta r : que equidistan de los planos: α : β : 6.47 (PAU) Determina la distancia entre el plano de ecuación π : 9 el plano que contiene a los puntos A(,, ), B(,, ) al origen de coordenadas O (PAU) Estudia la posición relativa de los siguientes planos α : Calcula la distancia entre ambos planos. t s t t s β : (PAU) Encuentra la distancia del origen al plano determinado por las rectas r : t t s : 7

11 Distancia de un punto a una recta 6.5 (PAU) Dada la recta r:, calcula la distancia entre el punto P(,, 6) la recta anterior. 5 Calcula la ecuación del plano perpendicular a la recta que contiene al punto P. 6.5 (PAU) Encuentra la distancia del origen a la recta determinada por los planos π π donde π : 4 π es el plano que pasa por los puntos (,, ), (,, ) (,, ). 6.5 (PAU) Calcula la distancia del punto P(,, ) a la recta r :. 6.5 (PAU) Determina la distancia del punto (,, ) a la recta r : t t 4 7

12 Distancia entre rectas. Perpendicular común 6.54 (PAU) En el espacio euclídeo, halla la distancia entre la recta que pasa por los puntos A(,, ) B(,, ) la recta correspondiente al eje Y (PAU) En cada caso, estudia si las rectas dadas se cruan, en caso afirmativo, calcula su distancia. a) L : t t t L : b) L : t t t L : 7

13 6.56 (PAU) Dadas las rectas r : 4 s : : a) Determina su posición relativa. b) Calcula la distancia entre ambas (PAU) Determina la perpendicular común a las rectas: r : 7 4 s : 6.58 (PAU) Demuestra que las rectas r: s: 5 a se cruan, cualquiera que sea el valor del parámetro a. Calcula la recta perpendicular común a r r'. 74

14 Cálculo de áreas volúmenes 6.59 (PAU) a) Determina el plano π que pasa por los puntos de coordenadas A(,, ), B(,, ) C(,, ). b) Calcula el área del triángulo que forman los puntos en que el plano π corta a los tres ejes de coordenadas. 6.6 (PAU) Sean A(, 4, ), B(, 6, ) C(,, ) los tres vértices de un triángulo. Se pide: a) Calcular la ecuación del plano que contiene al triángulo. b) Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo. c) Calcular el área del triángulo. 6.6 (PAU) Los planos π : 4, π':, π'': tienen un único punto en común. Se pide: a) Determinarlo. b) Hallar las ecuaciones de las rectas en que cada uno de esos planos corta a. c) Volumen del tetraedro limitado por esos tres planos el plano. 75

15 6.6 (PAU) a) Calcula la distancia del origen al plano que contiene a los puntos A(,, ), B(,, ) C(,, ). b) Calcula el volumen del tetraedro de vértices en estos tres puntos el origen. PROBLEMAS 6.6 (PAU) Considera un cuadrado cuo centro es el punto C(,, ) tiene uno de sus lados en la recta: r : a) Calcula la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado. b) Calcula la longitud del lado del cuadrado (PAU) Halla el punto P' simétrico de P(, 4, ) respecto al plano π :. Indica los pasos que se den al resolver el problema. 76

16 6.65 (PAU) Halla las coordenadas del punto simétrico de A(,, ) respecto del plano de ecuación general (PAU) En un cubo, calcula el ángulo que forma la recta BC con la recta que une B con el punto medio del lado EH. E H F G D C A B 6.67 (PAU) Se consideran las rectas r:, s: el plano π, que pasa por los puntos A(,, ), B(,, ) C(,, ). a) Da la ecuación general o implícita de π. b) Una de las dos rectas corta a π. Determínala halla el punto de corte con π. c) Calcula el seno del ángulo que forman dicha recta el plano π. d) Comprueba que la otra recta es paralela a π calcula la ecuación general del plano que la contiene es paralelo a π. 77

17 6.68 (PAU) a) Demuestra que los planos π : 4 6 π': 4 no son paralelos calcula sus planos bisectores. b) Calcula el ángulo que forman entre sí ambos planos bisectores (PAU) Sean P (,, ), P (,, ), P (, 4, ) P 4 (, 5, ). a) Demuestra que los cuatro puntos están en el mismo plano. Da la ecuación de ese plano. b) Verifica que el polígono que tiene como vértice esos cuatro puntos es un rectángulo. c) Calcula el área de ese rectángulo. 6.7 (PAU) Considérese la recta r de R de vector director (,, ) que pasa por el origen. Escribe las ecuaciones paramétricas de todas las rectas que pasan por el origen, que están contenidas en el plano que forman, además, un ángulo de 6 con r. 6.7 (PAU) a) Calcula la distancia entre las rectas r s, siendo r : s : b) Obtén la ecuación de la recta perpendicular común a ambas. 78

18 6.7 (PAU) Halla los vértices del triángulo formado por las rectas r :, r : 4 6, r : 5 5 a) Es un triángulo rectángulo? Qué vértice corresponde al ángulo recto? b) Halla el área del triángulo. 6.7 (PAU) Sea el plano π de ecuación 5. a) Encuentra la ecuación de un plano paralelo a π cua distancia al origen sea. Cuántas soluciones ha? b) Calcula el punto P del plano π que está más próimo del origen. c) Sea Q el punto (,, ). Se sabe que los segmentos OP OQ son dos lados de un paralelogramo. Halla los vértices el área de dicho paralelogramo (PAU) Dados los puntos A(, 5, ), B(4,, ) C(,, ): a) Prueba que son los vértices de un triángulo. b) Halla la longitud del segmento que determina el punto B su proección sobre el lado AC. 79

19 6.75 (PAU) Halla el lugar geométrico de los puntos P que determinan con A(,, ), B(,, ) C(,, ) un tetraedro de volumen (PAU) Son coplanarios los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) D(,, )? Justifica la respuesta. Da la ecuación del plano que determinan los tres primeros puntos. Contiene este plano alguna recta que pase por el origen? Calcula los ángulos que forma tal plano con los ejes coordenados Halla el plano de la familia m (m ) que está situado a distancia del origen Un cuadrado tiene un lado sobre la recta r, donde r : P(,, ). Calcula el área del cuadrado. 4 4 un vértice en el punto 8

20 6.79 Dadas las rectas r: s: λ λ λ halla los puntos que dan la mínima distancia determina la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas. 6.8 (PAU) Dados los planos α α α : : : a) Analia su posición relativa. b) Halla el punto simétrico del origen de coordenadas respecto a la recta intersección de los dos primeros planos. c) Halla la proección ortogonal del origen sobre el plano. 8

21 6.8 (PAU) Dado el plano π : 4 la recta r : a) Determina su posición en el espacio. b) Calcula, si eiste, el punto P intersección de π r. c) Halla el ángulo que forman π r. d) Dado el punto Q(,, ) de r, halla su simétrico respecto del plano π la ecuación de la recta simétrica a r respecto de π. 6.8 (PAU) Determina λ para que el triangulo formado por los puntos de coordenadas ( λ,, λ), (,, λ ) ( λ, λ, ) tenga área mínima. 6.8 (PAU) Calcula el volumen de un cubo del que se sabe que tiene una arista sobre cada una de las rectas: r : λ 6λ λ 8 s : 6 4 8

22 PROFUNDIZACIÓN (PAU) Sean A, B C los puntos de la recta,, respectivamente. 6 a) Determina raonadamente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos. que están en los planos coordenados b) Siendo D un punto eterior a la recta, indica, raonadamente, cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tiene maor área (PAU) Un rao luminoso que está en el plano determinado por el punto A(,, ) la recta r: parte del punto A se refleja en la recta r, incidiendo en ella en el punto P(,, ). Se pregunta si el rao reflejado ilumina el punto Q(,, ). Justifíca la respuesta (PAU) De un plano se sabe que contiene los puntos A(,, ) B(,, ). Además se sabe que el plano contiene el punto C, que está en la recta r : equidista de A de B. Encuentra la ecuación del plano. 8

23 6.87 (PAU) Halla de forma raonada un punto P del plano determinado por los puntos A(,, ), B(, 4, ) C(,, 6) que esté a igual distancia de los tres (P se llama circuncentro del triángulo cuos vértices son A, B C) (PAU) Calcula la longitud del segmento de la recta r comprendido entre los planos π π, donde: r : π : 5 π' : 6.89 (PAU) Considérese la recta r de ecuaciones. Halla todos los puntos de dicha recta tales 4 que su distancia al origen de coordenadas es (PAU) Sea el tetraedro de vértices A(,, ), B(,, ), C(,, ) D(,, ). a) Calcula la ecuación del plano que contiene la cara BCD la del plano que contiene la cara ACD. b) Calcula las ecuaciones de dos de las alturas del tetraedro, la que pasa por el vértice A la que pasa por el vértice B, respectivamente. (Nota: la altura de un tetraedro es la recta que pasa por un vértice es perpendicular al plano que determina la cara opuesta). c) Comprueba que las dos alturas anteriores se cortan en un punto P. d) Comprueba si la recta que une cualquier vértice del tetraedro con el punto P es perpendicular a la cara opuesta, es decir, es una altura del tetraedro. 84

24 6.9 (PAU) Halla los puntos cua distancia al origen es el triple que su distancia a la recta r : 6.9 (PAU) Dada la recta r : los puntos P(,, ) Q(5, b, c), se pide: a) Halla b c sabiendo que la recta PQ es paralela a r. b) Halla la distancia entre los puntos P Q. c) Halla el volumen del cilindro obtenido al girar el segmento PQ en torno a r. 85

25 Elige la única respuesta correcta en cada caso: RELACIONA Y CONTESTA 6. El ángulo formado por los planos π : 4 π ' : es: A) 9º 47 49, D) 4º,68 B) 49º 47 49, E) Ninguna de las anteriores es correcta. C) 9º 47 49, 6. El ángulo formado por el plano π : la recta r : A) º 7,56 D) 7º 47,44 es: B) 57º 47,44 E) Ninguna de las anteriores es correcta. C) 67º 47,44 6. La distancia entre los planos π : 4 π '' : 4 6: A) d(π, π ' ) C) d(π, π ' ) B) d(π, π ' ) 6 D) d(π, π ' ) E) Ninguna de las anteriores es correcta. 6.4 Halla el volumen del tetraedro de vértices A(,, ), B(,, ), C(4,, ) D(,, ). A) unidades cúbicas. C) unidad cúbica. E) 5 unidades cúbicas. B) Los puntos no forman un tetraedro. D) unidades cúbicas. 6.5 Los puntos A(, 5, 4), B(,, ) C(7, 4, ) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD. Las coordenadas de D son: A) D(, 4, 4) B) D(,, ) C) D(, 8, 8) D) D(6, 8, 4) E) D(6, 8, 8) Señala, en cada caso, las respuestas correctas: 6.6 Dos planos π π ' son ortogonales: A) Si n π n π' B) Si cos(π, π ' ) C) Si n π n π' son linealmente dependientes. D) Si el vector normal de π es ortogonal a cualquier recta contenida en π. E) Si cos(π, π ' ) 86

26 6.7 Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas r s se hace: A) Se toma un punto P de r otro Q de s, entonces d(r, s) d(p, Q). B) Si son paralelas u r u entonces d(r, s) s u r. C) Se toma un punto A de r se calcula la distancia de A a la recta s, entonces d(r, s) d(a, s). D) Se halla un plano π perpendicular a r a s. Sea A r π r A s π s, entonces d(r, s) d(a r, A s ). E) Se toma un punto A s de s se calcula la distancia de A s a la recta r, entonces d(r, s) d(a s, r). Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas: 6.8 Sean dos puntos distintos P P ' un plano π. a) d(p, π) d(p ', π) b) P P ' son simétricos respecto de π. A) a b D) a b son ecluentes. B) a b, pero b a E) Ninguna de las anteriores es correcta. C) b a, pero a b Señala el dato innecesario para contestar: 6.9 Para hallar la proección sobre el plano π de la recta r: A) π r se cortan en el punto (,, ). D) El punto B(4,, ) pertenece al plano π. B) r tiene por vector director a u r (,, ). E) No puede eliminarse ninguno. C) El vector normal a π es n π (,, ). Analia si la información suministrada es suficiente para contestar la cuestión: 6. Demuestra que si u r es el vector director de la recta r n es perpendicular al plano π, la recta r está contenida en el plano π siempre que: a) u r n b) Eiste un punto P que pertenece a r a π. A) Cada afirmación es suficiente por sí sola. D) Son necesarias las dos juntas. B) a es suficiente por sí sola, pero b no. E) Hacen falta más datos. C) b es suficiente por sí sola, pero a no. 87