ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO

Transcripción

1 ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO Producto escalar Distancia 1 Sean los vectores x1, 5,, y 3, 4, 1, 6,3, 5 y w4, 6, 6 Halla los siguientes productos escalares: x y, x, ww y w Calcula la distancia entre los puntos A1,, 3 y B, 1,3 3 Halla el valor del parámetro a para que la distancia entre los puntos A1, a, y B 5,3, sea igual a cinco 4 Si la distancia del punto A 6,0,0 a un punto del eje Z es 10, halla las coordenadas de dicho punto 5 Sabiendo que la distancia del punto A,1, a un punto B, situado en el eje Y es tres, determina las coordenadas del punto B Producto vectorial 6 Calcula el producto vectorial de los vectores u 1,, 5y v 3,1, 7 Halla el valor de a para que al efectuar el producto vectorial de u 1,, a y va,3,1 obtenga el vector w 4,3, 1 se 8 Calcular el área del triángulo de vértices A,1,0, B3,,1 y C4,, 1, calcula el área del triángulo que determinan dos representantes suyos, con el mismo origen, al unir sus extremos 9 Dados los vectores u 1,,3 y v3,1, 0 Vector director de una recta 10 Obtener un vector director de cada una de las siguientes rectas, usando el producto vectorial: x y 3 x y 0 r1 c) r 3 x y 1 x y 5 b) x 8 x y 0 r d) r 4 y 4 x y 3 Producto mixto 11 Calcula el volumen del tetraedro que determinan los vectores u,3,3, v,9,1 w 1,,1 y 1 Calcula el volumen del tetraedro que determina el plano x 4y8 0 al cortar a los planos coordenados Ecuación normal del plano Cipri Departamento de Matemáticas 1

2 13 Halla la ecuación normal del plano x y35 0 Ángulos 14 Halla el ángulo que forman estas parejas de vectores: u 4, 1,3 y v3, 0, b) u 5, 4, 1 y v, 3, c) u 4,,5 y v1,3, u 6,8, 4 y v 9, 1, 6 d) 15 Qué valor debe tomar a para que el ángulo que forman a1,, y b3,1, a 60º? 16 Si u y v son vectores ortogonales y unitarios, halla los posibles valores del parámetro real a para que los vectores uav y uav formen un ángulo de 60º 17 Decide si el triángulo de vértices A, 4,0, B3, 3,1 y C6,, 4 acutángulo u obtusángulo 18 Estudia la posición de las rectas r y mida es rectángulo, s, y halla el ángulo que forman: x 3t x y 3 r s y 1t y t 19 Determina el ángulo que forman las siguientes parejas de rectas: x1t x y 1 r y 4 t s 3 4 t b) = = x y r s c) xt xy60 r y 4 t s x t 0 x 3 y Calcula el ángulo que forman la recta con el plano x3y Halla, en cada caso, el ángulo que forman la recta y el plano: x1 y3 r 4 xy1 0 b) x t r y 1 t x y 0 Matemáticas II

3 c) x1 y3 r x Calcula el ángulo que forman los planos: 3 y x y4 0 b) x y10 y ' x3 0 Ejercicios de selectividad 3 Página 18 Junio de 010 Propuesta A D 4 Página 18 Junio de 010 Propuesta B D 5 Página 185 Reserva 1 de 010 Propuesta A D 6 Página 186 Reserva 1 de 010 Propuesta B D 7 Página 187 Reserva de 010 Propuesta A D 8 Página 188 Reserva de 010 Propuesta B D 9 Página 176 Junio de 009 Cuarto Bloque A) 30 Página 176 Junio de 009 Cuarto Bloque B) 31 Página 170 Junio de 008 Cuarto Bloque A) 3 Página 170 Junio de 008 Cuarto Bloque B) 33 Página 166 Septiembre de 007 Cuarto Bloque A) 34 Página 169 Reserva de 007 Cuarto Bloque B) 35 Página 13 Septiembre de 001 Cuarto Bloque B) 36 Página 16 Septiembre de 000 Primer Bloque B) Distancia entre dos puntos 37 Calcula la distancia entre los puntos A 1,,0 y B,0, 1 38 Calcula el perímetro del triángulo de vértices A0,0, 3, B,, y C,0,5 Distancia de un punto a un plano P,1,0 al plano x3y 0 39 Halla la distancia del punto 40 Halla la distancia del punto P,1,0 al plano x y Calcula la altura traada desde el vértice D del tetraedro determinado por los puntos A,0,0, B1,3,, C1, 4, 1 y D0,0,0 Indicación: Halla el plano determinado por los puntos A, B y C, y obtén la distancia del punto D a ese plano Distancia de un punto a una recta 4 Halla la distancia del punto P,1,0 a la recta 43 Halla la distancia del punto P 1,1, 1 a la recta y r x 1 x y1 r 3 1 Cipri Departamento de Matemáticas 3

4 44 Calcula el área del triángulo que forman los puntos A,0,0, B 1,3, y C1, 4, 1 Indicación: Toma, por ejemplo, como base el lado AB y la altura será la distancia del vértice C a la recta que determinan los puntos A y B Distancia entre dos rectas que se cruan 45 Halla la distancia entre los siguientes pares de rectas: 1 x y y x y r s x1 y1 1 x 3y 0 b) r y s y c) x r y y s x y Halla la distancia entre los siguientes pares de rectas: x y0 x3y 0 r y s 0 y3 0 b) r es la recta que pasa por el origen de coordenadas y el punto P 1,,1 que pasa por el punto Q 1,1,1 y es perpendicular al plano x 0 Distancia entre dos planos 47 Halla la distancia entre los siguientes planos: xy3 0 y ' 4x4y6 1 b) 3x 3y 0 y ' x y 1, y s es la recta Perpendicular común 48 Halla la perpendicular común a los pares de rectas que puedes formar con las rectas: x 1 y y r r x y r x 1 49 Halla unas ecuaciones de la recta t perpendicular común a las rectas x y 1 3 x y 1 r s y que corta a ambas Puntos simétricos 50 Halla el punto simétrico del punto A0,, 1 respecto del punto 1, 0, 51 Obtén el punto simétrico de A 0,0,1 respecto del punto 1,,1 B 5 Calcula los vértices del triángulo simétrico al formado por los puntos A0, 1,, B1,,0, C,0, 1 respecto del origen de coordenadas 53 Halla el punto simétrico del punto P,1,0 respecto de la recta B Matemáticas II 4

5 x y r Calcula los vértices del triángulo simétrico al formado por los puntos A0, 1,, B1,,0, C,0, 1 respecto de la recta 55 Halla el simétrico del punto,1,0 P respecto del plano x3y 0 56 Si los puntos A1, 0, 5 y A' 3,, 3 son simétricos, halla una recta y el plano respecto de los cuales dichos puntos son simétricos 57 Halla el simétrico del punto 0,1, 3 A respecto del plano x y 0 58 Si los puntos A,0, y A' 3,1, 3 son simétricos, halla una recta y el plano respecto de los cuales dichos puntos son simétricos Son únicos? Proyecciones ortogonales 59 Halla la proyección ortogonal del punto O 0,0,0 sobre la recta x 1 y3 r Encuentra la proyección ortogonal de los puntos A0,0,0, B 1,1,1 y C0,,0 recta r : x 3 y 1 r 3 1 x 3 b) r y 0 61 Calcula la proyección ortogonal del punto 0,0,0 sobre la P sobre el plano x3y 0 6 Calcula la proyección ortogonal de los puntos A0,0,0, B 1,1,1 y C0,,0 sobre el plano, determinado por las rectas: x3 y 1 x 3 r s 3 1 y 0 63 Halla la proyección ortogonal de la recta x3y 0 x 3 y 1 r sobre el plano de ecuación Calcula la proyección ortogonal de la recta x ecuaciones paramétricas y 3 3 x y r sobre el plano de Cipri Departamento de Matemáticas 5

6 65 Halla el punto donde se cortan las proyecciones de las rectas x 8 t xy0 r s y 1t x y10 1 t sobre el plano x y 0 Problemas de selectividad 66 Página 15 Junio de 000 Primer Bloque B) 67 Página 15 Junio de 000 Tercer Bloque B) 68 Página 16 Septiembre de 000 Segundo Bloque B) 69 Página 17 Otra propuesta 1 de 000 Primer Bloque B) 70 Página 17 Otra propuesta 1 de 000 Segundo Bloque B) 71 Página 19 Otra propuesta de 000 Tercer Bloque B) 7 Página 130 Junio de 001 Segundo Bloque B) 73 Página 130 Junio de 001 Tercer Bloque B) 74 Página 13 Otra propuesta 1 de 001 Segundo Bloque B) 75 Página 133 Otra propuesta 1 de 001 Cuarto Bloque B) 76 Página 135 Junio de 00 Primer Bloque B) 77 Página 136 Septiembre de 00 Primer Bloque B) 78 Página 138 Reserva 1 de 00 Tercer Bloque B) 79 Página 139 Reserva de 00 Cuarto Bloque B) 80 Página 141 Junio de 003 Cuarto Bloque B) 81 Página 14 Septiembre de 003 Tercer Bloque B) 8 Página 146 Junio de 004 Tercer Bloque B) 83 Página 148 Septiembre de 004 Tercer Bloque B) 84 Página 148 Septiembre de 004 Cuarto Bloque B) 85 Página 153 Junio de 005 Cuarto Bloque B) 86 Página 154 Septiembre de 005 Cuarto Bloque B) 87 Página 157 Reserva de 005 Cuarto Bloque B) 88 Página 158 Junio de 006 Cuarto Bloque A) 89 Página 158 Junio de 006 Cuarto Bloque B) 90 Página 160 Septiembre de 006 Cuarto Bloque B) 91 Página 161 Reserva 1 de 006 Cuarto Bloque B) 9 Página 164 Junio de 007 Cuarto Bloque B) 93 Página 166 Septiembre de 007 Cuarto Bloque B) 94 Página 167 Reserva 1 de 007 Cuarto Bloque A) 95 Página 169 Reserva de 007 Cuarto Bloque A) 96 Página 17 Septiembre de 008 Cuarto Bloque B) 97 Página 175 Reserva de 008 Cuarto Bloque B) 98 Página 179 Reserva 1 de 009 Cuarto Bloque A) 99 Página 179 Reserva 1 de 009 Cuarto Bloque B) 100 Página 183 Septiembre de 010 Propuesta A D) Matemáticas II 6